Badania operacyjne i teorie optymalizacji

Badania operacyjne i teorie optymalizacji dr Zbigniew Karwacki Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Katedra Badań Operacyjnych Centrum Informatyczno-Ekonometryczne pok. E-137 Środa, 16.30-18.00 zakarwacki@uni.lodz.pl

Program ( 1) 1. Elementy teorii podejmowania decyzji a. podejmowanie decyzji w warunkach pewności b. podejmowanie decyzji w warunkach niepewności c. podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka d. podejmowanie decyzji w warunkach dodatkowej informacji 2. Liniowe modele decyzyjne a. budowa liniowych modeli decyzyjnych b. rozwiązanie graficzne i algebraiczne przy pomocy programu Winstorm c. analiza postoptymalizacyjna 3. Optymalizacja w zagadnieniach przewozowych a. klasyczne zadanie transportowe b. całkowita i częściowa blokada tras c. zagadnienie przydziału metoda węgierska

Program ( 2) 4. Zarządzanie projektami a. Metoda CPM b. Metoda LESS c. Metoda PERT

Literatura i oprogramowanie 1. Kukuła K. (red.), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa, 2011 2. Miszczyńska D., Miszczyński M., Wybrane metody badań operacyjnych, WSzEH, Skierniewice, 2002 3. Trzaskalik T., Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE, Warszawa, 2011 1. BAD_OP - pakiet programów załączony do podręcznika [3] 2. SOLVER (narzędzie Excel a w MS Office) 3. WinSTORM

Zaliczenie Przedmiot będzie zaliczany na podstawie pracy kolokwialnej obejmującej zakres praktyczny i teoretyczny metod badań operacyjnych oraz indywidualnej oceny za pracę w trakcie laboratoriów komputerowych. Sprawdzian odbędzie się w jednym terminie dla całego roku (wszystkie grupy). Obecność na sprawdzianie jest obowiązkowa. Zaliczenie nieobecności na sprawdzianie (usprawiedliwionej bądź nieusprawiedliwionej) możliwe jest tylko w terminie poprawkowym.

BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Elementy teorii podejmowania decyzji

Rola i wartość informacji w procesie podejmowania decyzji ( 1 ) Istnieje pięć głównych klas problemów podejmowania decyzji ze względu na ilość informacji, jaką dysponujemy: 1. Podejmowanie decyzji w warunkach pewności trudność w wyborze optymalnej strategii może stanowić istnienie bardzo dużej liczby strategii dopuszczalnych, która uniemożliwia podjęcie optymalnej decyzji bez użycia odpowiednich metod optymalizacyjnych. 2. Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka zmienne mogą przyjmować różne wartości, lecz znamy prawdopodobieństwa ich wystąpienia

Rola i wartość informacji w procesie podejmowania decyzji ( 2 ) 3. Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności zmienne mogą przyjmować różne wartości i nie znamy prawdopodobieństw ich występowania, a w przeszłości brakuje doświadczeń dla ich oszacowania. 4. Podejmowanie decyzji w warunkach częściowej informacji nie znamy postaci rozkładu prawdopodobieństwa realizacji zmiennych decyzyjnych lecz tylko niektóre ich charakterystyki np. wartość oczekiwaną, medianę lub dominantę. 5. Podejmowanie decyzji w warunkach konfliktu występuje sprzeczność interesów dwóch lub więcej racjonalnych przeciwników

Przykład Firma specjalizująca się w zakresie przetwarzania i analizy danych zamierza wydzierżawić system komputerowy wspomagający jej usługi. Rozważane są trzy możliwości: D 1 D 2 D 3 - dzierżawa dużego systemu komputerowego, - dzierżawa średniego systemu komputerowego, - dzierżawa małego systemu komputerowego. Wybór jednej z trzech decyzji powinien prowadzić do uzyskania maksymalnego zysku przez firmę, który jest jednak uzależniony od tego jak zachowa się rynek klientów. W grę wchodzą dwie możliwości: S 1 S 2 Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności ( 1 ) - wysoki popyt na oferowane usługi, - niski popyt na oferowane usługi.

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności ( 2) Każdej parze ( d i, s j ) odpowiada pewna wielkość zysku nazywana wypłatą ( korzyścią ). decyzja firmy Wielkość popytu (stan natury) duży mały s 1 s 2 d 1 duży system 200-20 d 2 średni system 150 20 d 4 mały system 100 60 Dwóch graczy: 1. decydent (firma) mający trzy możliwości; 2. natura (popyt) mająca dwie możliwości

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 1 ) Analiza gry z naturą oparta jest na: 1. macierzy wypłat (macierz korzyści lub macierz strat) A 3 2 200 150 100 20 20 60

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 2 ) Analiza gry z naturą oparta jest na: 1. analizie drzewa decyzyjnego d 1 2 s 1 s 2 200-20 d 2 1 3 s 1 s 2 150 20 d 3 4 s 1 s 2 100 60

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 3 ) Kryteria wyboru decyzji: 1. kryterium MaxiMax (kryterium ryzykanta, optymisty) 2. kryterium MaxiMin (kryterium asekuranta, pesymisty) 3. kryterium Hurwicza (kompromis pomiędzy MaxiMax a MaxiMin) 4. kryterium Savage a (kryterium MiniMax żalu ) 5. kryterium Laplace a (równych prawdopodobieństw)

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 4 ) Kryterium MaxiMax: 1. Dla każdej decyzji d i wyznacz maksymalny zysk o i 2. Wskaż decyzję d k, dla której maksymalny zysk o i jest największy o o i k j max a max i ij o i A 3 2 200 150 100 20 20 60 o 1 = max{200;-20} = 200 o 2 = max{150;20} = 150 o 3 = max{100;60} = 100 o k = max{200;150;100} = 200 d 1

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 5 ) Kryterium MaxiMin: 1. Dla każdej decyzji d i wyznacz minimalny zysk p i 2. Wskaż decyzję d k, dla której minimalny zysk p i jest największy p p i k j min a max i ij p i A 3 2 200 150 100 20 20 60 p 1 = min{200;-20} = -20 p 2 = min{150;20} = 20 p 3 = min{100;60} = 60 p k = max{-20;20;60} = 60 d 3

Kryterium Hurwicza: Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 5 ) 1. i (0,1) skłonność do ryzyka przy decyzji d i 2. Dla każdej decyzji d i wyznacz średni ważony zysk h i z zysków: maksymalnego (o i ) i minimalnego (p i ) 3. Wskaż decyzję d k, dla której średni ważony zysk h i jest największy h i ioi ( 1i) p h k max hi i i A 3 2 200 150 100 20 20 60 1 = 0,3 2 = 0,5 3 = 0,7 h 1 = 0,3200 + (1-0,3)(-20) = 46 h 2 = 0,5150 + (1-0,5)20 = 85 h 3 = 0,7100 + (1-0,7)60 = 88 h k = max{46; 85; 88} = 88 d 3

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 6 ) Kryterium Savage a: 1. Zbuduj macierz żalu R a j R mn i r max a ij ij a j a ij A 3 2 200 150 100 20 20 60 R 3 2 200 200 0 200 150 50 200 100 100 60 ( 20) 80 60 20 40 60 60 0

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 7 ) Kryterium Savage a (c.d.): 2. Operując na macierzy żalu R wyznacz dla każdej decyzji d i maksymalny żal r i 3. Wskaż decyzję d k, dla której żal r i jest najmniejszy ri max j r k min i r ij r i R 3 2 0 50 100 80 40 0 r 1 = max{0;80} = 80 r 2 = max{50;40} = 50 r 3 = max{100;0} = 100 r k = min{80;50;100} = 50 d 2

Podejmowanie decyzji w warunkach niepewności gry z naturą ( 7 ) Kryterium Laplace a: 1. Prawdopodobieństwo zaistnienia każdego stanu natury jest jednakowe i wynosi: P{s j } = 1/n 2. Dla każdej decyzji d i wyznacz oczekiwaną wartość zysku l i używając w/w prawdopodobieństwa stanu natury 3. Wskaż decyzję d k, dla której oczekiwana wartość zysku l i jest największa n n l i j 1 P{ s j } a ij 1/ n j 1a l k max li A 3 2 i 200 150 100 20 20 60 ij l 1 = 1/2200 + 1/2(-20) = 90 l 2 = 1/2150 + 1/220 = 85 l 3 = 1/2100 + 1/260 = 80 l k = max{90; 85; 80} = 90 d 1

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka gry z naturą ( 1 ) Popyt (stan natury) decyzja firmy duży s 1 mały s 2 P{s 1 } = 0,4 P{s 2 } = 0,6 d 1 duży system 200-20 d 2 średni system 150 20 d 4 mały system 100 60 P{s j } określone z góry prawdopodobieństwo zaistnienia stanu natury s j prawdopodobieństwo a priori

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka gry z naturą ( 2 ) Kryteria wyboru decyzji: 1. kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW) 2. kryterium minimalnego oczekiwanego żalu (MOŻ)

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka gry z naturą ( 3 ) Kryterium maksymalnego oczekiwanego zysku (MOW): 1. Dla każdej decyzji d i wyznacz oczekiwaną wartość zysku E i (a) używając określonych prawdopodobieństw stanu natury 2. Wskaż decyzję d k, dla której oczekiwana wartość zysku E i (a) jest największa E E i ( 1 k n a) j P{ s j } a ( a) max E ( a) i i ij P{s 1 }=0,4 P{s 2 }=0,6 A 3 2 200 150 100 20 20 60 E 1 (a) = 0,4200 + 0,6(-20) = 68 E 2 (a) = 0,4150 + 0,620 = 72 E 3 (a) = 0,4100 + 0,660 = 76 E k (a)= max{68; 72; 76} = 76 d 3

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka gry z naturą ( 4 ) Kryterium minimalnego oczekiwanego żalu : 1. Dla każdej decyzji d i wyznacz oczekiwaną wartość żalu E i (r) używając określonych prawdopodobieństw stanu natury 2. Wskaż decyzję d k, dla której oczekiwana wartość żalu E i (r) jest najmniejsza E E i ( 1 k n r) j P{ s j } r ( r) min E ( r) i i ij P{s 1 }=0,4 P{s 2 }=0,6 R 3 2 0 50 100 80 40 0 E 1 (r) = 0,40 + 0,680 = 48 E 2 (r) = 0,450 + 0,640 = 44 E 3 (r) = 0,4100 + 0,60 = 40 E k (r)= min{48; 44; 40} = 40 d 3

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka gry z naturą ( 5 ) Cena graniczna doskonałej informacji Cena graniczna doskonałej (perfekcyjnej) informacji to maksymalna kwota, jaką warto zainwestować w dodatkowe badanie związane z poznaniem przyszłego zachowania się natury. Doskonała informacja to wiedza o przyszłym stanie natury przed podjęciem decyzji. Jaka będzie korzyść w warunkach doskonałej (perfekcyjnej) informacji (OKPI)? a j max a j OKPI ij P{ s n j 1 j } a j P{s 1 }=0,4 P{s 2 }=0,6 A 3 2 200 150 100 20 20 60 s 1 : a 1 = max{200; 150; 100} = 200 s 2 : a 2 = max{-20; 20; 60} = 60 OKPI = P{s 1 }a 1 + P{s 2 }a 2 = = 0,4200 + 0,660 = 116

Podejmowanie decyzji w warunkach ryzyka gry z naturą ( 6 ) Cena graniczna doskonałej informacji (c.d.) Cena graniczna doskonałej (perfekcyjnej) informacji (CGPI) wynika z porównania korzyści osiąganej w warunkach doskonałej informacji z korzyścią osiąganą w warunkach zwykłych, tzn. w warunkach kiedy decyzja musi być podjęta przed zarejestrowaniem stanu natury. Jest to różnica pomiędzy OKPI a kwotą uzyskaną z zastosowania kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW): CGPI = OKPI MOW = 116 76 = 40 Uzyskana kwota CGPI jest równa minimalnemu oczekiwanemu żalowi : CGPI = E k (r)

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 1 ) Prawdopodobieństwa a priori to najlepsze możliwe do uzyskania oceny zajścia poszczególnych stanów natury na bazie własnej wiedzy i doświadczenia. Możemy uznać, że to nam wystarcza, albo, że nasza wiedza jest za mała do podjęcia optymalnej decyzji. W takim przypadku przed podjęciem istotnych ostatecznych decyzji będziemy szukać dodatkowej informacji co jest związane z poniesieniem pewnych kosztów. Analiza, którą wykonamy ma dać odpowiedź, czy celowe jest pozyskanie dodatkowej informacji. Można to przedstawić na następującym schemacie. Podobieństwa a priori Dodatkowa informacja Analiza bayesowska Prawdopodobieństw a posteriori

Załóżmy, że na zaistnienie stanu natury s j ma istotny wpływ K czynników (wskaźników): I 1,I 2,I 3,,I K. Celem analizy jest określenie prawdopodobieństw warunkowych P{s j I k }, tzn. prawdopodobieństw zaistnienia stanu natury s j pod warunkiem, że wystąpił czynnik I k (k=1,2,,k). P{s j I k } prawdopodobieństwa a posteriori zrewidowana forma prawdopodobieństw a priori P{s j } Najczęściej w wyniku dodatkowych badań (eksperymentów) szacuje się prawdopodobieństwa warunkowe P{I j s k } } { } { } { } { } { } { } { } { 1 1 j n j j k n j j k k k j j k k j s P s I P s I P I P gdzie I P s P s I P I s P Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 2 )

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 3 ) Załóżmy, że w rozważanym przez nas przykładzie stan naszej wiedzy o rozmiarach przyszłego popytu określony przez prawdopodobieństwa a priori P(s 1 ) = 0.4 i P(s 2 )= 0.6 nie wystarcza nam do podjęcia optymalnej decyzji. Dodatkową informację możemy uzyskać zlecając odpowiedniej firmie badanie rynku. Jednakże przed podjęciem takiej decyzji chcielibyśmy się dowiedzieć czy będzie to dla nas opłacalne. Do przeprowadzenia takiej analizy potrzebujemy następujących informacji: 1. Jak trafne były wyniki badania rynku wybranej firmy doradczej? 2. Jaki jest koszt takiego badania?

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 4 ) W wyniku przeprowadzonych rozmów uzyskaliśmy następujące Informacje: w stu przypadkach kiedy popyt faktycznie był duży trafnie to przewidzieliśmy 85 razy, natomiast w stu przypadkach kiedy popyt okazał się mały trafnie przewidzieliśmy to 95 razy. Koszt badania rynku wynosi 20 tys. PLN. Na podstawie tych informacji możemy określić macierz prawdopodobieństw warunkowych P( I k /S j ) : P( I k / S j ) P( I P( I 1 1 / S / S 1 2 ) ) 0,85 0,05 P( I P( I 2 2 / S / S 1 2 ) ) 0,15 0,95

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 5 ) I 1 : Określenie prawdopodobieństw warunkowych P{s j I 1 }: P{s j } P{I 1 s j } P{I 1 s j } P{s j I 1 } s 1 0,4 0,85 0,40,85=0,34 0,34/0,37=0,92 s 2 0,6 0,05 0,60,05=0,03 0,03/0,37=0,08 1,00 P{I 1 } = 0,37 1,0000 I 2 : Określenie prawdopodobieństw warunkowych P{s j I 2 }: P{s j } P{I 2 s j } P{I 2 s j } P{s j I 2 } s 1 0,4 0,15 0,40,15=0,06 0,06/0,63=0,095 s 2 0,6 0,95 0,60,95=0,57 0,57/0,63=0,905 1,00 P{I 2 } = 0,63 1,0000

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 6 ) S j P( S j ) P( I k / S j ) P( S j ) P( I k / S j ) I 1 I 2 I 1 I 2 S 1 0,4 0,85 0,15 0,34 0,06 S 2 0,6 0,05 0,95 0,03 0,57 P( I k ) 2 j1 P( S j ) P( S j / I k ) 0,37 0,63 P( S 1 / I k ) 0,34/0,37=0,92 0,06/0,63=0,095 P( S 2 / I k ) 0,03/0,37=0,08 0,57/0,63=0,905

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 7 ) Wyznaczenie optymalnej decyzji przy wykorzystaniu kryterium maksymalnego oczekiwanego zysku (MOW): 1. Prawdopodobieństwa a priori P{s j } zostają zastąpione prawdopodobieństwami a posteriori 2. Decyzje optymalne podejmowane są dla oddzielnie uwzględnianych czynników I k E E i Ik * i Ik ( a) P{ s I j j ( a) max E ( a) i n 1 i Ik k } a ij

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 8 ) Optymalna decyzja jeżeli wystąpi czynnik I 1 kryterium MOW: E E i I1 * i I1 ( a) P{ s I } 1 1 a j j ( a) max E ( a) i n i I1 ij P{s 1 I 1 }=0,92 P{s 2 I 1 }=0,08 A 3 2 200 150 100 20 20 60 E 1 I1 (a) = 0,92200 + 0,08(-20) = 182,4 E 2 I1 (a) = 0,92150 + 0,0820 = 139,6 E 3 I1 (a) = 0,92100 + 0,0860 = 96,8 E* k I1 (a)= max{182,4; 139,6; 96,8} = 182,4 d 1

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 9 ) Optymalna decyzja jeżeli wystąpi czynnik I 2 kryterium MOW: E E i I2 * i I2 ( a) P{ s I } 1 1 a j j ( a) max E ( a) i n i I2 ij P{s 1 I 2 }=0,095 P{s 2 I 2 }=0,905 A 3 2 200 150 100 20 20 60 E 1 I2 (a) = 0,095200 + 0,905(-20) = 0,9 E 2 I2 (a) = 0,095150 + 0,90520 = 32,35 E 3 I2 (a) = 0,095100 + 0,90560 = 63,8 E* k I2 (a)= max{0,9; 32,35; 63,8} = 63,8 d 3

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 9 ) Oczekiwana korzyść dodatkowej informacji OKDI K * k 1P{ Ik} Ei I ( a) k P{I 1 } = 0,37 E* k I1 (a) = 182,4 P{I 2 } = 0,63 E* k I2 (a) = 63,8 OKDI = P{I 1 }E* k I1 (a) + P{I 2 }E* k I2 (a) = = 0,37182,4 + 0,6363,8 = 107,6

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 10 ) 76 d 1 3 68 s 1 s 2 0,4 200 0,6-20 1 0,63 63,8 BDJ ZDJ 107,6 6 11 I 2 d 3 d 2 d 1 2 I 1 0,37 d 2 d 3 182,4 7 4 5 d 1 d 2 72 76 8 9 s 1 s 2 s 1 s 2 182,4 139,6 s 1 s 2 s 1 s 2 0,4 150 0,6 20 0,4 100 0,6 60 0,92 200 0,08-20 0,92 150 0,08 20 14 63,8 13 32,35 12 s 2 s 1 s 2 s 1 s 2 s 1 0,905 0,095 0,905 0,095 0,905 0,095 0,9 d 3 10 96,8 s 1 s 2 0,92 100 0,08 60 60 100 20 150-20 200

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 11 ) Kryterium Laplace a P(S 1 )=0,5 P(S 2 )=0,5 Wypłata = 90 Kryterium MOW P(S 1 )=0,4 P(S 2 )=0,6 Wypłata = 76 OKDI P(S 1 )=0,92 P(S 2 )=0,08 ν P(S 1 )=0,095 P(S 2 )=0,905 Wypłata = 107,6 OKPI P(S 1 )=1,0 P(S 2 )=0,0 ν P(S 1 )=0,0 P(S 2 )=1,0 Wypłata = 116 OWDI = CGDI = OKDI MOW OWDI = CGDI=107,6 76 = 31,6 OWPI = CGPI = OKPI MOW OWPI = CGPI=116 76 = 40

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 12 ) Oczekiwana wartość dodatkowej informacji Jest to różnica pomiędzy oczekiwaną korzyścią przy uwzględnieniu dodatkowej informacji (OKDI) a oczekiwaną korzyścią bez uwzględnienia dodatkowej informacji, tzn. kwotą uzyskaną z zastosowania kryterium maksymalnej oczekiwanej wartości (MOW): OWDI = OKDI MOW = 107,6 76= 31,6

Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem dodatkowej informacji gry z naturą ( 13 ) Efektywność dodatkowej informacji Jest to iloraz oczekiwanej wartości dodatkowej informacji (OWDI) do ceny granicznej doskonałej informacji (CGPI): EDI OWDI CGPI 100% EDI 31,6 100% 40 79%