MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH

Podobne dokumenty
UOGÓLNIONE LICZBY HORADAMA I RACHUNEK RÓŻ NIC WSTECZNYCH

ROZWIĄ ZANIE LINIOWEGO RÓWNANIA RÓŻ NICOWEGO W PRZESTRZENI WYNIKÓW GENEROWANEJ PRZEZ CIĄ GI DWUSTRONNE

MACIERZE FIBONACCIEGO GENEROWANE PRZEZ OPERACJE RÓŻ NICOWE

Przestrzenie wektorowe

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Przestrzenie liniowe

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Układy równań liniowych

Wielomiany podstawowe wiadomości

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.

Wykład z równań różnicowych

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Układy równań i nierówności liniowych

Informacja o przestrzeniach Hilberta

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA STOSOWANA - KLASA II I. POWTÓRZENIE I UTRWALENIE WIADOMOŚCI Z ZAKRESU KLASY PIERWSZEJ

III. Układy liniowe równań różniczkowych. 1. Pojęcie stabilności rozwiązań.

R E P R E S E N T A T I O N S

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Rozdział 2. Liczby zespolone

Wielomiany podstawowe wiadomości

R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Matematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Matematyka dyskretna dla informatyków

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Układy równań i równania wyższych rzędów

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

Matematyka dyskretna

Zbiory, relacje i funkcje

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Analiza funkcjonalna 1.

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Aproksymacja diofantyczna

1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

Układy równań liniowych

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

14. Przestrzenie liniowe

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

Wykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.

1 Układy równań liniowych

Wykład z równań różnicowych

2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

M10. Własności funkcji liniowej

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

Równania różniczkowe liniowe II rzędu

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Przykładowe rozwiązania

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII

ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

3 Przestrzenie liniowe

1 Zbiory i działania na zbiorach.

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

Podstawowe struktury algebraiczne

Transkrypt:

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 1 (192) 2013 Hubert Wysocki Akademia Marynarki Wojennej Wydział Mechaniczno-Elektryczny, Katedra Matematyki i Fizyki 81-103 Gdynia, ul. J. Śmidowicza 69 e-mail: H.Wysocki@amw.gdynia.pl MODEL RACHUNKU OPERATORÓW DLA RÓŻ NICY WSTECZNEJ PRZY PODSTAWACH STRESZCZENIE W pracy skonstruowano dyskretny model rachunku operatorów Bittnera, w którym pochodna rozumiana jest jako operacja różnicowa. Stanowi on uogólnienie modelu z różnicą wsteczną. Słowa kluczowe: rachunek operatorów, pochodna, pierwotne warunki graniczne, różnica wsteczna, element wykładniczy. PODSTAWY RACHUNKU OPERATORÓW Rachunkiem operatorów Bittnera [1 3] nazywamy zespół i są przestrzeniami liniowymi (nad tym samym ciałem skalarów 1 ) takimi, że. Operacja liniowa (co zapisujemy ), nazywana pochodną (abstrakcyjną), jest surjekcją. Ponadto jest zbiorem wskaźników dla operacji takich, że, zwanych pierwotnymi i dla operacji takich, że, zwanych warunkami granicznymi. (1) 1 Będziemy zakładali, że i są przestrzeniami rzeczywistymi, tzn.. 109

Hubert Wysocki Jądro operacji, tzn. nazywamy zbiorem stałych dla pochodnej. Nietrudno sprawdzić, że warunki graniczne są rzutami na podprzestrzeń. Przez indukcję określa się ciąg przestrzeni 2 w taki sposób, że Wówczas W pracy wykorzystane zostaną następujące twierdzenia pomocnicze [3]: Lemat 1. Abstrakcyjne równanie różniczkowe z warunkami granicznymi ma jednoznaczne rozwiązanie (2) Lemat 2. Przy danej pochodnej rzut wyznacza pierwotną z warunku Ponadto rzut jest warunkiem granicznym przy pierwotnej. Każdy rachunek operatorów określony przez zadanie obiektów (1) nazywamy jego reprezentacją lub modelem. Przykład 1. Niech będzie zbiorem liczb całkowitych. Jest oczywiste, że zbiór nieskończonych ciągów rzeczywistych ze zwykłymi działaniami 2 oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich. 110 Zeszyty Naukowe AMW

Model ruchu operatorów dla różnicy wstecznej przy podstawach a, b dodawania ciągów i mnożenia ciągów przez liczby rzeczywiste jest przestrzenią liniową. W pracy [8] wykazano, że zespół (1),, (3) (4) (5) tworzy dyskretny wsteczną 3. model rachunku operatorów Bittnera z pochodną jako różnicą MODEL Uogólnieniem pochodnej (3) jest operacja 4, (6) są ciągami danymi i takimi, że (7) Operację (6) będziemy nazywali różnicą wsteczną przy podstawach (por. 4]). Łatwo sprawdzić, że o ile ciągi spełniają warunek (7). 3 Z uwagi na definicję pierwotnych, zakłada się, że. 4 W pracy tej mnożenie ciągów oznacza zwykłe mnożenie po współrzędnych. 1 (192) 2013 111

Hubert Wysocki Do konstrukcji modelu rachunku operatorów związanego z pochodną (6) wykorzystamy ideę rozwiązywania równania opisaną w pracy [6]. Niech. Nietrudno sprawdzić, że ciągi mają postać (8) jest dowolną stałą rzeczywistą. Niech będzie ciągiem dla. W związku z tym przyjmijmy również, że. Rozważmy równanie różnicowe tzn. Mamy stąd (9) (10) Ponieważ więc z (10) otrzymujemy Ostatecznie (11) (12) Równanie (11) możemy przedstawić w postaci (13) 112 Zeszyty Naukowe AMW

Model ruchu operatorów dla różnicy wstecznej przy podstawach a, b Z lematu 1. (dla ) wynika, że rozwiązaniem równania (13) jest ciąg są pierwotnymi (4), natomiast warunkami granicznymi (5). Z (12) otrzymujemy. Zatem (14) jest rozwiązaniem równania (9). Niech (15) Korzystając z definicji (5) warunków granicznych, otrzymujemy Zatem. Ponadto ponieważ. Ostatecznie jest rzutem na dla każdego. Z lematu 2. wynika, że rzut wyznacza pierwotną ze wzoru (14). Mianowicie (16) Ponadto jest warunkiem granicznym odpowiadającym pierwotnej (16). W ten sposób otrzymujemy: model rachunku operato- Wniosek 1. Zespół (6), (15), (16) tworzy dyskretny rów Bittnera (17) 1 (192) 2013 113

Hubert Wysocki Przykład 2. W modelu (17), dla równanie różnicowe przyjmuje postać (18) (19) Wyznaczymy takie rozwiązanie równania (19), żeby (20) są danymi wartościami początkowymi. Z lematu 1. wynika, że równanie (18) z warunkami granicznymi (21) ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorem (2) dla, tzn. (22) Z (15) wynika, że warunki początkowe (20) jednoznacznie określają warunki graniczne (21). Mianowicie. Korzystając z (22), otrzymujemy następujące rozwiązanie zagadnienia (19), (20): model (17) możemy również uzyskać z dyskretnej reprezentacji rachunku operatorów wprowadzonej przez autora w pracy [8]. 5 (23) 5 Index,,1 występujący w operacjach modelu (23) oznacza ciąg. 114 Zeszyty Naukowe AMW

Model ruchu operatorów dla różnicy wstecznej przy podstawach a, b Mamy bowiem ELEMENT WYKŁADNICZY Niech i będą takimi liczbami rzeczywistymi, że Rozwiązanie zagadnienia (24) nazywamy elementem wykładniczym (o wykładniku ) 6. Ponieważ, zatem na podstawie (8) wnioskujemy, że rozwiązaniem zagadnienia (24) jest ciąg (25) W szczególności element wykładniczy odpowiadający różnicy wstecznej ma postać (26) 6 W (24) liczbę utożsamiamy z ciągiem stałym. 1 (192) 2013 115

Hubert Wysocki Ciąg (25) jest jedynym rozwiązaniem zagadnienia (24). Istotnie, gdyby istniały dwa rozwiązania zagadnienia (24), to dla mielibyśmy, czyli. Ponadto byłoby skąd wynika, że dla każdego. będzie rozwiązaniem bilateralnego niejednorod- Przykład 3. Niech nego równania różnicowego rzędu (27) są danymi liczbami rzeczywistymi. Relacja (27) określa ciąg znanych jest kolejnych jego wyrazów jednoznacznie, jeżeli dla pewnego Wówczas, na podstawie (27), pozostałe wyrazy wyznaczamy rekurencyjnie, stosując wzory (28) Niech. Nietrudno sprawdzić, że dla podstawienie, pozwala sprowadzić (27) do równania jednorodnego (29) 116 Zeszyty Naukowe AMW

Model ruchu operatorów dla różnicy wstecznej przy podstawach a, b Uwzględniając (28), równaniu (29) odpowiadają warunki początkowe Stosując model rachunku operatorów z pochodną jako różnicą wsteczną (przykład 1.), równanie (29) możemy przedstawić w postaci (30) (31) (32) co wynika z twierdzenia 1 [9]. Z kolei na podstawie wniosku 1 [9] stwierdzamy, że warunkom początkowym (30) odpowiadają równoważne warunki graniczne postaci (33) Zagadnienie (31), (33) możemy rozwiązać w tzw. przestrzeni wyników generowanej przez ciągi dwustronne [9]. Mówiąc najogólniej, wyniki powstają przez,,dzielenie ciągów dwustronnych przez injekcyjne endomorfizmy przestrzeni. Rezultatem takiego działania mogą być wyniki regularne, czyli ciągi dwustronne wyniki singularne, które nie są elementami przestrzeni [7]. Na przykład jest wynikiem singularnym [3], natomiast element wykładniczy (26) jest wynikiem regularnym postaci tzn. (34) jest tzw. operatorem Heaviside a, natomiast jest operacją identycznościową określoną na przestrzeni [9]. Szczególnym przypadkiem równania postaci (27) jest równanie określające tzw. ciąg soczewkowy [5]. 1 (192) 2013 117

Hubert Wysocki Formalnym ciągiem soczewkowym generowanym przez uporządkowaną trójkę liczb nazywamy ciąg będący rozwiązaniem zagadnienia ; (35) (36) Wówczas. Ponadto stałe i są,,niezmiennikami ciągu w tym sensie, że ich wartości mogą być wyznaczone na podstawie każdych trzech kolejnych wyrazów tego ciągu. Jeżeli, to (35) jest równoważne równaniu jednorodnemu (37) natomiast (36) odpowiadają warunki początkowe (38) Z kolei w modelu zagadnienie (37), (38) przyjmuje postać Dla ustalenia uwagi rozważmy zagadnienie generowane przez trójkę. Jest ono równoważne zagadnieniu ; (39) (40). 118 Zeszyty Naukowe AMW

Model ruchu operatorów dla różnicy wstecznej przy podstawach a, b, po uwzględnieniu wa- Działając na równanie (39) obustronnie operacją runków granicznych (40), otrzymujemy czyli jest operatorem Heaviside a odpowiadającym pierwotnej. Stąd, po rozkładzie na ułamki proste, uzyskujemy ciąg w postaci wyniku (41) Porównując (41) z (34), stwierdzamy, że wyraża się przez elementy wykładnicze. Ostatecznie wyraz ogólny dwustronnego ciągu soczewkowego generowanego przez uporządkowaną trójkę liczb ma postać skąd, po prostych przekształceniach, otrzymujemy (por. 5]) BIBLIOGRAFIA [1] Bittner R., On certain axiomatics for the operational calculus, Bull. Acad. Polon. Sci., 1959, Cl. III, 7(1), pp. 1 9. [2] Bittner R., Algebraic and analytic properties of solutions of abstract differential equations, Dissertationes Math., 41, PWN, Warszawa 1964. 1 (192) 2013 119

Hubert Wysocki [3] Bittner R., Rachunek operatorów w przestrzeniach liniowych, PWN, Warszawa 1974. [4] Hosseinzadeh H., Afrouzi G. A., Backward difference operator and solving difference equations, Int. J. Contemp. Math. Sci., 2008, Vol. 3, 36, pp. 1755 1765. [5] Kocik J., Lens sequences, e print: arxiv:0710.3226v1. [6] Levy H., Lessman F., Finite Difference Equations, Pitman and Sons, London 1959. [7] Wysocki H., The result derivative. Distributive results, Acta Math. Hung., 1989, 53 (3 4), pp. 289 307. [8] Wysocki H., Model nieklasycznego rachunku operatorów Bittnera dla różnicy wstecznej, Zeszyty Naukowe AMW, 2010, nr 2 (181), s. 37 48. [9] Wysocki H., Rozwiązanie liniowego równania różnicowego w przestrzeni wyników generowanej przez ciągi dwustronne, Zeszyty Naukowe AMW, 2010, nr 3 (182), s. 85 101. THE BACKWARD -DIFFERENCE OPERATIONAL CALCULUS MODEL ABSTRACT The paper presents a discrete model of Bittner s operational calculus, in which the derivative is understood as a difference operation. The model is a generalization of the -model with the backward difference. Keywords: operational calculus, derivative, integrals, limit conditions, backward difference, exponential element. 120 Zeszyty Naukowe AMW