Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Piotr Targowski i Bernard Ziętek Pracownia Optoelektroniki WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO BADANIE WIĄZKI GAUSSOWSKIEJ Zadanie VII Zakład Optoelektroniki Toruń 004
Wyznaczanie macierzy ABCD, Badanie wiazki WYZNACZANIE MACIERZY [ABCD] UKŁADU OPTYCZNEGO I Cel zadania Celem zadania jest praktyczne opanowanie metody macierzowej opisu układu optycznego II Optyka macierzowa A Podstawowe zależności Optyka macierzowa opisuje odwzorowania kolinearne (płaszczyzny odwzorowują się w płaszczyzny) oraz centrowane ( punktom przedmiotowym leżącym na pewnej wybranej prostej (osi optycznej) odpowiadają punkty obrazowe leżące na tej samej prostej oraz istnieje symetria obrotowa wokół tej osi) Podstawowe zagadnienie optyki promieni polega na wyznaczeniu własności promienia wychodzącego z układu (ρ i ϕ na rys ) na podstawie znajomości własności promienia wchodzącego (ρ i ϕ ) oraz własności układu ϕ ρ ρ ϕ oś optyczna Π Płaszczyzna Π wejściowa Płaszczyzna wyjściowa Rys Pomiędzy płaszczyznami Π i Π znajduje się układ optyczny przekształcający promień Optyka promieni przyosiowych bada przekształcenia promieni tworzących mały kąt z osią optyczną, wówczas ϕ=sin(ϕ) = tg(ϕ) () Odwzorowania kolinearne, centrowane odpowiadają przekształceniu liniowemu parametrów promienia ρ = a ρ + b ϕ (a) ϕ = c ρ + d ϕ (b) Współczynnik załamania ośrodka przed płaszczyzną wejściową oraz za płaszczyzną wyjściową uwzględnia się zastępując kąt ϕ przez kąt uogólniony v v = n ϕ (3) VII -
Wówczas odwzorowanie promienia () zapisuje się w postaci ρ = A ρ + Bv v = C ρ + Dv (4a) (4b) albo w postaci macierzowej ρ v = A B CD ρ v (5) Dla dowolnego układu optycznego wyznacznik macierzy [ABCD] jest równy A D B C = (6) B Postać macierzy [ABCD] dla prostych układów optycznych Wartość współczynników macierzy ABCD zależy od własności układu optycznego i położenia płaszczyzn Π i Π Dla standartowych elementów układów optycznych macierz ta ma postać: płaszczyzna S stanowi granicę ośrodków o różnych współczynnikach załamania, przy czym S = Π = Π 0 0 (7) dielektryk o współczynniku załamania n i grubości d pomiędzy płaszczyznami Π i Π d n 0 (8) pojedyncza sferyczna powierzchnia łamiąca o promieniu r (r > 0 jeżeli środek krzywizny leży po stronie ośrodka ) Płaszczyzny Π = Π przecinają oś optyczna razem z powierzchnia łamiącą 0 (9) n n r soczewka cienka o ogniskowej f (f > 0 dla soczewki skupiającej) Płaszczyzny Π = Π przecinają oś optyczna razem z soczewka cienką 0 f (0) VII -
Złożony układ optyczny można skonstruować z elementów opisanych powyżej Jeżeli promień światła kolejno przechodzi przez elementy,k to własności promienia wyjściowego można obliczyć ze wzoru ρ k v k = Ak C k B k D k A B C D A B C D ρ v = A B CD ρ v () gdzie macierz [ABCD] opisuje cały układ optyczny zawarty pomiędzy płaszczyznami Π i Π k C Punkty kardynalne układu optycznego Układ optyczny można również opisać za pomocą 4 płaszczyzn: płaszczyzn ogniskowych i płaszczyzn głównych (czasami definiuje się też płaszczyzny węzłowe - tutaj pomijane) Płaszczyznę ogniskową tworzy odwzorowanie wiązki równoległych promieni Punkt ogniskowy (F) jest obrazem równoległej do osi optycznej wiązki równoległych promieni i leży na przecięciu płaszczyzny ogniskowej (prostopadłej do osi optycznej) i osi opty- cznej Płaszczyzny główne są prostopadłe do osi optycznej i odwzorowują się na siebie w stosunku : Punkty główne (H) leżą na przecięciu płaszczyzn głównych z osią optyczną Punkty F i H należą do punktów kardynalnych odwzorowania Ogniskowymi układu optycznego są odległości ognisk do płaszczyzn głównych Przyjmijmy następujące oznaczenia i umowę co do znaków odległości w układzie optycznym: ogniskowe: f = F H f = H F położenie płaszczyzn głównych: s = Π H s = położenie ognisk: τ = F Π τ = Π F H Π płaszczyzna główna płaszczyzna główna H H F P P F Π Π τ s s τ f f Rys Przykładowe rozmieszczenie podstawowych punktów odwzorowania Dla takiego układu płaszczyzn wszystkie odległości są dodatnie Korzystając z rys łatwo można wyznaczyć związki pomiędzy położeniem punktów kardynalnych a współczynnikami [ABCD] VII - 3
s = n D D τ = n f C =τ + s = n C C oraz () s = n A C τ = n A C f =τ + s = n C D Przypadki szczególne Szczególne znaczenie mają tak rozmieszczone płaszczyzny Π i Π, że pewne elementy macierzy [ABCD] się zerują: A = 0 oznacza, że płaszczyzna Π jest drugą płaszczyzną ogniskową B = 0 oznacza, że płaszczyzna Π jest obrazem płaszczyzny Π (przedmiotowej) Inaczej mówiąc przedmiot umieszczony w płaszczyźnie Π ma ostry obraz w płaszczyźnie Π A jest powiększeniem liniowym układu C = 0 oznacza, że układ przekształca wiązkę równoległą na wiązkę równoległą Taki układ nazywamy afokalnym lub teleskopowym, D jest powiększeniem kątowym tego układu D = 0 oznacza, że płaszczyzna Π jest pierwszą płaszczyzną ogniskową III Metoda wyznaczenia współczynników [ABCD] układu optycznego Układ pomiarowy przedstawia rys 3 Pomiędzy punktami P i P znajduje się układ optyczny, którego macierz wyznaczamy Przedmiot o znanych rozmiarach umieszczony jest w punkcie O Ekran z ostrym obrazem przedmiotu znajduje się w punkcie O przedmiot ostry obraz przedmiotu A B ρ C D ρ O P P O X Y Rys3 Zasada pomiaru współczynników [ABCD] nieznanego układu optycznego Ponieważ układ pomiarowy znajduje się w powietrzu, współczynniki załamania w obszarach X i Y możemy przyjąć jako równe W takim przypadku macierz [ABCD] całego układu (od przedmiotu do obrazu) można wyrazić wzorem M = Y 0 AB CD X 0 = A + YC C AX+ B + Y(D + XC) D+ XC (3) VII - 4
Jeżeli obraz jest ostry, to M = 0, czyli A X + B + Y(D + XC)=0 ρ oraz (4) ρ = α = A + YC gdzie /α jest powiększeniem kątowym Obliczając w tym przypadku wyznacznik macierzy z prawej strony wzoru (3), uwzględniając (3) i wzór (6) otrzymujemy (A + YC)(D + XC) 0 C = (5) i dalej D + XC= A +YC =α A X + B = Y(D + XC)= Yα oraz (6) Pomiar polega na wyznaczeniu α(x) i Y(X) dla szeregu wartości X IV Literatura B Ziętek, Optoelektronika, Wyd UMK, Toruń, 004 V Aparatura Układ pomiarowy zestawiony jest na ławie optycznej wyposażonej w podziałkę i składa się z: Źródła światła z żarówką halogenową i zasilaczem Z 300 (napięcie pracy żarówki = = V) Matówki z krzyżem - "przedmiotu" o wysokości 06 mm 3 Nieznanego układu optycznego - zestawu soczewek ustawionych przez opiekuna zadania 4 Ekranu z tłem z papieru milimetrowego Obiekty - 4 ustawione są na koniach ze wskaźnikami VII - 5
VI Wykonanie zadania W celu wykonania zadania należy kolejno: Obrać położenie płaszczyzn wejściowej i wyjściowej tak, by badany układ optyczny znajdował się pomiędzy nimi Dla pewnego położenia przedmiotu (odczytać i zapisać wartość X) znaleźć 0-cio krotnie położenie ekranu dające ostry obraz Wyznaczyć średnie wartości Y i α oraz ich odchylenia standartowe 3 Powtórzyć czynności z punktu dla kolejnych położeń przedmiotu z możliwie szerokiego przedziału Położenie źródła światła zmieniać tak, by zawsze mieć maksymalnie jasny obraz 4 Sporządzić wykresy α(x) i -Y(X)*α(X) - (patrz rys4) 5 Metodą regresji liniowej wyznaczyć współczynniki [ABCD] oraz błędy ich wyznaczenia 6 Obliczyć wartość wyznacznika macierzy [ABCD] i błąd jego wyznaczenia 7 Obliczyć położenia ognisk i płaszczyzn głównych 8 Na papierze milimetrowym wykreślić elementy układu zaznaczając położenia punktów P i P oraz punktów kardynalnych α -Yα }D arctg(c) X } B arctg(a) X Rys4 Metoda wyznaczenia współczynników [ABCD] VII - 6
BADANIE WIĄZKI GAUSSOWSKIEJ I Cel zadania Celem zadania jest poznanie podstawowych własności wiązki gaussowskiej II Podstawowe definicje i wzory A Definicja wiązki gaussowskiej Każda fala elektromagnetyczna rozchodząca się w ośrodku (o współczynniku załamania n) musi spełniać równanie falowe () E(x, y, z, t) n c E(x,y,z,t) t = 0 Najprostszym rozwiązaniem tego równania jest fala płaska Jeżeli dodatkowo układ współrzędnych zostanie tak zorientowany, by kierunek propagacji fali był zgodny z kierunkiem osi z to falę taką można opisać wzorem E(z, t)=e 0 e ikz e iω t () Należy zauważyć, że pole w tym przypadku nie zależy od x i y, a więc jest nieograniczone w przestrzeni Jednakże, na przykład energia wiązki lasera z pewnością jest skupiona w przestrzeni wokół kierunku propagacji Dlatego ważną klasą rozwiązań równania () są fale "nieco" odbiegające od płaskiej i ograniczone w przestrzeni Poszukuje się więc rozwiązań w postaci E(x, y, z, t)=e 0 Ψ(x, y, z) e ikz e i ω t, (3) gdzie niezależną od czasu modyfikację fali płaskiej opisuje funkcja Ψ(x,y,z) Podstawiając funkcję (3) do () otrzymuje się ścisłe równanie na funkcję zespoloną Ψ: t Ψ i k Ψ + Ψ z = 0, (4) z gdzie: t oznacza gradient w kierunku prostopadłym do z Ponieważ można założyć, że Ψ jest wolno zmienną funkcją z, trzeci człon w równaniu (4) można pominąć wobec pierwszego W laserze, będącym źródłem światła w zadaniu, rura wyładowcza oraz zwierciadła mają symetrię cylindryczną Powoduje to, że również pole ma symetrię cylindryczną Wówczas gradient t przyjmuje postać t = r ; (5) r r r r = x + y Wówczas najprostszym rozwiązaniem równania (4) jest funkcja Ψ(r, z)= w 0 r z w(z) exp[ ik( arc tan, (6) q(z) z 0 )] gdzie: w 0 i z 0 są stałymi rzeczywistymi charakteryzującymi wiązkę, a funkcje rzeczywiste w(z), R(z) i zespolona q(z) są następujące w(z)=w 0 +( z z 0 ) (7) R(z) = z [ + ( z 0 z ) ] (8) VII - 7
q(z)=z + iz 0 albo: (9) q(z) = i w 0 R(z) Wstawiając funkcję (6) do (3) kompletne rozwiązanie równania () można zapisać w postaci: w(z) E(r, z, t)=e 0 w 0 w(z) exp[ r w(z) ] exp[ i (kz k r R(z) + arctan( z z 0 )+ωt)] <--- amplituda ---> <-------------- faza -----------------> (0) Tak więc: w(z) oznacza odległość od osi optycznej, dla której amplituda fali maleje e razy: E(w(z), z, t)= e E(0, z, t) W obszarze o promieniu w(z) koncentruje się 955% energii wiązki minimalna wartość w(z) przypadająca dla z=0 nazywa się przewężeniem wiązki w 0, R(z) jest promieniem krzywizny frontu falowego przecinającego oś optyczną w odległości z od przewężenia z 0 jest odległością od przewężenia, dla której w(z) rośnie razy: w(z 0 )=w 0 dodatkowo definiuje się parametr konfokalny b = z 0 długość wektora falowego k jest związana z częstością kołową drgań pola ω jak dla fali płaskiej: k =ω/c Związki pomiędzy parametrami wiązki gaussowskiej część urojona parametru z Kogelnika q(z) 0 = π n λ 0 w 0 = k w 0 = b przewężenie wiązki w 0 = λ 0 z 0 π n = z 0 = b k k parametr konfokalny b = π n λ 0 w 0 = kw 0 = z 0 wektor falowy w k ośrodku = π λ 0 n = z 0 = b w 0 w 0 długość fali w próżni λ 0 = π k n =πn w 0 z 0 = πn w 0 B Rozkład amplitudy we wiązce gaussowskiej Na Rys a przedstawiono rozkład amplitudy pola elektrycznego we wiązce w płaszczyźnie prostopadłej do osi optycznej i dla z = 0, na rys b wartości funkcji w(z) albo inaczej odległość od osi optycznej dla której amplituda pola maleje e razy b VII - 8
z 0 b w 0 0 05 0 0 3 γ a) amplituda b) w(z) R(z)/0 γ: kąt rozbieżności wiązki Rys Wiązka gaussowska, w 0 = 05, z 0 =, E 0 = Uwaga: dla przejrzystości wykreślono wiązkę z λ 0 =57 jednostki długości i w 0 =05 tej samej jednostki Odpowiada to wartości wektora falowego k = 4 Fala elektromagnetyczna z zakresu rozważanego w optyce ma k rzędu 0 7 m - i wiązki są bardziej "smukłe" Jak wynika z rysunku wiązka gaussowska charakteryzuje się więc pewną rozbieżnością, którą można opisać kątem rozbieżności γ Kąt ten (wyrażany w mierze łukowej) zawarty jest pomiędzy kierunkiem w którym w danej odległości amplituda maleje e razy i osią optyczną Innymi słowy: kątowe rozmiary plamki światła za ekranie w odległości z można z dobrym przybliżeniem określić na γ Kąt γ jest równy γ(z) = arctan w(z) z = arctan w 0 z 0 + ( z 0 z ) () C Rozkład amplitudy we wiązce gaussowskiej w strefie dalekiej Dla odległości z znacznie większych od z 0 funkcję w(z) (7) można przedstawić w postaci z przybliżonej: w(z) =w 0 z0 W takim przypadku kąt rozbieżności γ () nie zależy od z (od odległości od przewężenia) i wynosi tan (γ) = w(z) z = w 0 z 0 = kw 0 = π λ w 0 () D Mody wyższych rzędów Funkcja (0) jest najprostszym (ale nie jedynym) rozwiązaniem równania () dla fali typu (3) z symetrią cylindryczną W ogólności pole we wnęce opisywane jest funkcją VII - 9
E(r, φ, z) =E 0 ( r w(z) )m L nm ( r ) exp( imφ) w0 r w(z) w(z) exp( ) exp[ i(kz + kr z (n + m + )arctan( w(z) R(z) z 0 ))] (3) gdzie: są uogólnionymi wielomianami Laguerre'a L n m (x) L m 0 (x)=, L m (x)=m + x, L m (x)= (m + )(m + ) (m + )x + x Oczywiście funkcja (3) sprowadzi się do (0) dla m = 0 i n = 0 Indeksów m i n używa się do oznaczenia modów wiązki: mod podstawowy (0) oznacza się TEM 00 Na rys przedstawiono poprzeczny rozkład natężenia oświetlenia (E ) dla kilku modów najniższych rzędów 06 04 0 0 06 04 0 0 06 04 0 0 Rys Poprzeczny (wzdłuż osi x, dla y = 0, z = ) rozkład natężenia E dla modów TEM 00, TEM 0 i TEM (symetrii cylindrycznej) wiązki gaussowskiej o parametrach z rys Należy zauważyć, że jakkolwiek wszystkie mody z rys opisane są tym samym w 0, to dla wyższych modów energia jest mniej skupiona wzdłuż kierunku propagacji Zazwyczaj laser emitujący wiązkę wielomodową pracuje w kilku modach równocześnie (na przykład 00, 0, i 0) i w rezultacie obserwuje się sumę natężeń z rys W konsekwencji laser pracujący wyłącznie w modzie 00 zapewnia największą koncentrację energii E Transformacja wiązki gaussowskiej przez układ optyczny Do opisu transformacji wiązki gaussowskiej zostanie zastosowany formalizm optyki macierzowej Zgodnie z twierdzeniem ABCD wiązka gaussowska o zespolonym parametrze Koge- VII - 0
lnika q(z) przechodząc przez układ optyczny opisany macierzą [ABCD] przekształca się na wiązkę o parametrze q (z) danym wzorem: q (z)= A q(z)+b C q(z)+d (4) Tak więc, aby uzyskać wartość parametru Kogelnika w odległości y za soczewką cienką o ogniskowej f umieszczoną w odległości L od przewężenia wiązki, do wzoru (4) należy podstawić macierz o współczynnikach y 0 0 f = f y f y f (5) oraz parametr Kogelnika q(l) Tak więc nowy parametr Kogelnika w odległości y od soczewki będzie wyrażał się wzorem q (y)= f y (L +i z f 0 )+y f (L +i z 0)+ (6) w 0 F Φ F w'0 γ L Y w w' 0 0 F F γ L Y Rys3 Transformacja wiązki gaussowskiej przez soczewki o różnych ogniskowych W obszarze zakreskowanym gęstość mocy spada nie więcej niż o połowę Na podstawie zależności (9) można obliczyć w(y) i R(y) dla nowej wiązki Położenie Y i wartość nowego przewężenia można wyznaczyć z warunku: R(D)= Po prostych przekształceniach otrzymuje się: VII -
Y = f L (L f)+z 0 (L f) + z 0 w 0 = w 0 f (L f) + z 0 γ =γ (L f) + z 0 f (7) Należy podkreślić, że z zależności () wynika związek: γ w 0 =γ w 0 = λ π, (8) a więc iloczyn rozbieżności wiązki i wielkości jej przewężenia jest niezmiennikiem przekształcenia optycznego Tak więc stosując soczewkę o krótkiej ogniskowej można uzyskać bardzo małą plamkę, jednak kosztem dużej rozbieżności wiązki małej głębokości ostrości Głębokość ostrości (depth of focus, DOF) jest długością, wzdłuż której gęstość mocy wiązki maleje dwukrotnie w stosunku do wartości mierzonej w przewężeniu Łatwo pokazać, że przedział ten rozciąga się na ±z 0 wokół przewężenia A więc DOF=z 0 Jeżeli ogniskowa soczewki jest mała wobec odległości L (L >> f), to można łatwo pokazać, że Y = f ; w 0 = λ π f Φ ; γ = f Φ ; DOF = 8λ f π Φ, (9) gdzie: Φ jest średnicą plamki na soczewce (rys 3) III Literatura R Jóźwicki, Optyka laserów, WNT, Warszawa, 98 B Ziętek, Optoelektronika, Wyd UMK, Toruń, 04 3 N W Karłow, Wykłady z fizyki laserów, WNT, Warszawa, 989 IV Aparatura W skład aparatury niezbędnej do wykonania zadania wchodzą następujące urządzenia: Laser He-Ne z zasilaczem NG-HN 5/40 (pracujący w modzie 00) lub podobny Zestaw zwierciadeł Miernik mocy lasera KB 630 albo MERATRONIK z głowicą pomiarową zaopatrzoną w mały otwór V Pomiary i opracowanie wyników A Wymagania dotyczące opracowania W opracowaniu zadania należy zamieścić wyprowadzenia wzorów (5) do (7) oraz (9) Opracować sposób wyznaczenia rozkładu kątowego natężenia promieniowania dla układu pomiarowego z rys 4 na podstawie rys 5 Promieniowanie emitowane w pewnym VII -
kierunku α kierowane jest do detektora za pomocą ruchomego lustra, które obraca się o kąt θ w skutek przesunięcia śruby mikrometrycznej o odległość x Kąt α w którym emitowane jest promieniowanie i kat obrotu lustra θ wymagany, aby skierować to promieniowanie do detektora związane są zależnością α= D D + L θ, (0) gdzie: L jest całkowitą odległością laser - lustro ruchome, D jest odległością lustro ruchome - detektor Należy znaleźć sposób pomiaru kąta θ oraz wyprowadzić wzór (0) B Wyznaczenie parametrów wiązki gaussowskiej emitowanej przez laser He-Ne Zestawić układ pomiarowy jak na rys 4 laser He-Ne lustro stałe lustro ruchome głowica pomiarowa z przesłoną mm KB 630 Rys4 Pomiar rozkładu przestrzennego emisji lasera He-Ne - widok z boku L lustro ruchome D detektor β oś optyczna α laser śruba m-metr θ β x Rys5 Konstrukcja geometryczna do wyznaczenia kąta α - widok z góry (wielkość kątów znacznie przesadzona) Przebieg pomiaru: Dokonać systematycznego pomiaru I(x) w płaszczyźnie poziomej przechodzącej przez oś optyczną W oparciu wzór (0) wykreślić zależność I(α) VII - 3
3 Zweryfikować hipotezę o gaussowskim rozkładzie natężenia dopasowując do uzyskanych danych funkcję I(α) = I tla + I max exp (α α 0) d () 4 Na podstawie dopasowanego parametru d (w radianach) obliczyć wartość funkcji w (z=l) w miejscu detektora porównując wzór () ze wzorem (0) pamiętając, że natężenie promieniowania I jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy pola E I(α) exp (α α 0) d [E(r, L)] exp r w(l) Ponieważ kąty w obrębie wiązki są małe, odległość r od osi optycznej można zastąpić kątem α: r =α L Po podstawieniu i wykorzystaniu wzoru () uzyskuje się d = w(l) L = γ Zakładając, że przewężenie wiązki leży w połowie długości rezonatora lasera wyznaczyć wartość parametru w 0 ze wzoru () oraz korzystając z zestawionych w tabeli związków pomiędzy parametrami obliczyć z 0 i b dla tej wiązki wiedząc, że długość fali promieniowania lasera He-Ne wynosi λ 0 = 638 nm C Zaprojektowanie układu optycznego o zadanych parametrach Zdemontować przesłonę z miernika mocy lasera KB 630 Zmierzyć całkowitą moc wiązki laserowej W oparciu o wzory (9) zaproponować układ optyczny (określić L, f oraz Φ) skupiający wiązkę lasera do plamki o gęstości mocy = 000 W/cm Obliczyć DOF i rozbieżność wiązki VII - 4