Małgorzata Mielniczuk FRAKTALE Poniższy referat będzie traktować o fraktalach, majestatycznych wzorach, których kręte linie nie tworzą się z przypadku. Są tworzone naturalnie przez otaczającą nas przyrodę, bądź za pomocą równań rekurencyjnych w geometrii. Fraktal jest figurą geometryczną o złożonej strukturze. Posiada cechę samopodobieństwa, co oznacza, że podzielenie jej na kolejne części, w dowolnej skali określonej przez wymiar fraktalny, ukaże pomniejszone kopie całości. Fraktal posiada również ułamkowy wymiar Hausdorffa Besicovitcha. Jest to nowy wymiar służący do wyliczania fraktali, korzystający z następującego wzoru D= log N / log s. N jest liczbą mniejszych części składowych fraktala wytwarzanych przez jedną większą część fraktala, a s jest wielkością nowopowstałej części w stosunku do wielkości pierwotnej struktury. Krótko mówiąc wzór ten opisuje jak wiele małych fraktali tworzy strukturę pierwotną. Wymiar Hausdorffa jest większy lub równy wymiarowi topologicznemu. Wymiar topologiczny natomiast jest używany w geometrii klasycznej. Najczęściej opisuje się go definicją: dowolny wymiar d należący do N, oznacza ilość liczb potrzebnych do opisania współrzędnych punktu w przestrzeni d-wymiarowej. 1 Oznacza to, iż linia jest jednowymiarowa, kwadrat dwuwymiarowy, a sześcian trójwymiarowy. Nie ma innej nazwy w klasycznej matematyce dla omawianej figury niż fraktal. Z angielskiego fraction - ułamek, łacina fractus - złamany. Matematycy w XX wieku próbowali zmierzyć się z pojęciami takimi jak wymiar, ciągłość oraz krzywa. Podczas tych zmagań dostrzeżono istnienie struktur, które dzisiaj nazywamy fraktalami. Technika komputerowa umożliwia tworzenie bardzo złożonych fraktali. 1 http://pldocs.org/docs/index-163008.html?page=3 1
Niektóre jednak mogą powstać na kartce, a do ich narysowania nie są potrzebne specjalne umiejętności. Najprostszym przykładem jest zbiór Cantora. Powstaje on poprzez dzielenie na trzy części odcinka oraz usuwanie z nich środkowej. Czynność tą można wykonać nieskończoną ilość razy, jednak po pewnym czasie jej efekt przestanie być widoczny dla ludzkiego oka. źródło: https://pl.wikipedia.org/wiki/zbi%c3%b3r_cantora Wielu badaczy twierdzi iż geometria fraktali jest geometrią przyrody. Wiele z przykładów owej geometrii możemy spotkać w otaczającym nas świecie stworzonych przez naturę, bez jakiejkolwiek ingerencji człowieka. Warto zaznaczyć iż w modelach matematycznych fraktali możliwe jest przybliżanie obiektu nieskończoną ilość razy bez utraty samopodobieństwa. Natomiast w naturze w pewnym momencie samopodobieństwo się kończy. Shaun Lovejoy, kanadyjski geofizyk, wykazał podczas swoich badań nad chmurami, że jeszcze w siódmym zanurzeniu ich samopodobieństwo nadal istnieje. 2 Oznacza to, że dalsze zagłębianie się w ich strukturę zapewne nie wykaże już podobieństwa do całości. Wiele źródeł podaje jako przykład fraktala płatek śniegu: Obiekty w przybliżeniu samopodobne, o cechach fraktali [...]. Podobne cechy ma fragment kwiatu kalafiora, płatek śniegu, zgrupowanie chmur, sieć dopływów niektórych rzek lub pewne łańcuchy gór. 3 Jednak nie każdy płatek śniegu może być fraktalem, gdyż jego kształt nie zawsze tworzy się na zasadzie samopodobieństwa. Podawanie go jako przykładu wynikać może ze skojarzenia z matematyczną figurą fraktalną Krzywą Kocha, która została opisana poniżej. W dalszej części opiszę działanie algorytmów, które prowadzą do powstania matematycznych fraktali. W 1904 roku Helge von Koch, szwedzki matematyk, obmyślił konstrukcję fraktalną nazywaną Krzywą Kocha, potocznie natomiast płatkiem śniegu. Powstaje ona poprzez narysowanie trójkąta równobocznego o bokach równych 1 oraz podzielenie ich na trzy równe części. Następnie do środkowych odcinków dorysowujemy kolejny trójkąt równoboczny. 2 http://zeszyty-naukowe.wwsi.edu.pl/zeszyty/zeszyt4/fraktalne_wokol_nas_i_kilka_slow_o_chaosie.pdf 3 http://chaos.if.uj.edu.pl/~karol/pdf/foton03.pdf 2
Powstaje w ten sposób 12 boczna gwiazda o długości każdego boku ⅓. Po 5 krokach powstaje już gwiazda o 3072 bokach. Taki proces możemy powtarzać w nieskończoność, jednak w kolejnych krokach zmiany mogą już być niewidoczne dla ludzkiego oka. źródło: Bożena Woźniak-Szcześniak - Wykład z Podstaw Informatyki 3
Kolejny badacz, Wacław Sierpiński, stworzył fraktal z kwadratu. Powstaje on przez podzielenie płaszczyzny na dziewięć części oraz wyrzucenie środkowej. Powtarzamy tę operację na każdym nowo powstałym kwadracie. Fraktal ten nazywamy Dywanem Sierpińskiego. Po n krokach fraktal ten będzie miał aż Sn = 1 1 8n 1 1 8 dziur, którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości. źródło: Bożena Woźniak-Szcześniak - Wykład z Podstaw Informatyki Analogiczne operacje wykonujemy na płaszczyźnie trójkąta, której boki dzielimy na dwie części, powstałe punkty łączymy ze sobą dzięki czemu powstaje nowy trójkąt, który usuwamy. Jest to Trójkąt Sierpińskiego. Po n krokach trójkąt będzie miał Sn = 1 1 3n 1 usunięte trójkąty różnej wielkości. 1 3 dziur, którymi są źródło: Bożena Woźniak-Szcześniak - Wykład z Podstaw Informatyki 4
Oprócz fraktali na płaszczyznach, stworzono również fraktale z brył. Jednym z nich jest trójwymiarowy odpowiednik Dywanu Sierpińskiego. Jest nim Kostka Mengera czyli bryła fraktalna. Konstrukcję tę podał austriacki matematyk Karl Menger w 1927 roku. W pierwszym kroku tworzony jest sześcian, następnie należy przeciąć go na 27 sześcianów równej wielkości. Usuwamy sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz jeden znajdujący się w środku. Powtarzamy podane kroki w nieskończoność. Na poniższym obrazku widzimy kostkę po trzech iteracjach. źródło: https://en.wikipedia.org/wiki/menger_sponge Trójwymiarowym odpowiednikiem Trójkąta Sierpińskiego jest Piramida Sierpińskiego, która powstaje z czworościanu foremnego. Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu. Usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki. Z każdego małego czworościanu usuwamy bryłę, której krawędziami są odcinki łączące środki krawędzi czworościanów otrzymanych w pierwszym kroku. Powstanie piramida, która ma 5 dziur. W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po n krokach piramida będzie miała aż Sn = 1 1 4n 1 dziur, którymi są usunięte bryły różnej wielkości. 1 4 5
źródło: http://www.matematyka.wroc.pl/book/piramida-sierpinskiego Podsumowując fraktale są to zwykłe figury geometryczne, jednak niezwykłe w swej złożoności. Powstają poprzez wykonanie nieskończenie wiele razy tej samej operacji, przez co otrzymują one cechę samopodobieństwa. Dlatego też fraktal można nieskończenie przybliżać, a charakteryzuje go ułamkowy wymiar. Pierwsze badania na temat samopodobieństwa obiektów przeprowadzano już w XVII wieku, jednak pojęcia fraktala do matematyki zostało wprowadzone w XX wieku. Struktury te nie tylko tworzone są za pomocą działań matematycznych. Natura sama tworzy wiele takich struktur wokół nas. Przykładem mogą być liście paproci, kwiat kalafiora czy niektóre dopływy rzek lub łańcuchy górskie. Fraktale dały początek nowej geometrii zwanej fraktalną, która umożliwia modelowanie niektórych obiektów oraz zjawisk występujących w przyrodzie. Przykładem zjawisk fraktalnych są między innymi błyskawice. Natomiast niedawno odkryto iż ludzkie DNA również posiada strukturę podobną do tej fraktalnej. 4 4 http://www.swietageometria.info/artykuly/140-fraktalne-dna-newswee 6
Kwiat kalafiora włoskiego źródło: http://spf.fotolog.com/photo/47/5/98/frankfuterka/1253629429292_f.jpg źródło: http://static.frazpc.pl/board/2011/05/bc85bd4603431ea9.jpg 7