Matematyka w codziennym życiu ( w niecodziennym wydaniu)

Transkrypt

1 Matematyka w codziennym życiu ( w niecodziennym wydaniu) Aleksandra Biernat Paulina Turek I C

2 TAIPEI 101 Taipei 101 liczący 509,2 m wieżowiec znajdujący się w Tajpej na Tajwanie, w dzielnicy Xinyi. Budynek, zaprojektowany w biurze C.Y.Lee & Partners

3

4

5

6 WSTĘGA MIöBUSA Wstęga Möbiusa to dwuwymiarowa zwarta rozmaitość topologiczna istniejąca w przestrzeni trójwymiarowej, którą można uzyskać sklejając taśmę końcami "na odwrót". Jej najważniejszą cechą jest to, że ma tylko jedną stronę (jest tzw. powierzchnią jednostronną). Posiada również tylko jedną krawędź - "sklejenie" tej krawędzi (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) daje butelkę Kleina. Opisana przez niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku.

7 W ten sposób tworzy się wstęga Möbiusa o szerokości 1, której środkowe koło leżące na płaszczyźnie x-y ma promień 1 i jest wyśrodkowane w punkcie (0,0,0). Parametr u przebiega dookoła wstęgi a parametr v od jednej krawędzi do drugiej.

8 W cylindrycznym układzie współrzędnych (r,θ,z) nieograniczona wersja wstęgi Möbiusa może być przedstawiona jako równanie

9

10

11

12

13 BUTELKA KLEINA Butelka Kleina jest to jednostronną, zamkniętą powierzchnią. Butelka Kleina nie może byd skonstruowana w przestrzeni Euklidesowej. Najlepiej zobrazowana jest jako cylinder zapętlony wewnątrz siebie i łączący się ze swoim drugim koocem. Jednakże nie jest to ciągła powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej, gdyż nie może przeniknąd przez siebie bez zaistnienia nieciągłości. Możliwe jest zbudowanie butelki Kleina w przestrzeni nieeuklidesowej.

14 DYWAN SIERPIŃSKIEGO Dywan Sierpińskiego to fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięd (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów. Pozostałośd po wyjściowym kwadracie po wykonaniu nieskooczenie wielu kroków konstrukcji jest krzywa, właśnie ja nazywa się dywanem Sierpioskiego. Jest to fraktal samopodobny jeśli wytniemy fragment dywanu Sierpioskiego i powiększymy to dostaniemy dokładnie to co na początku. Pole powierzchni dywanu Sierpioskiego jest zerowe. Jest on wykorzystywany np. w grafice komputerowej.

15 Krok pierwszy Najpierw rysujemy kwadrat, który dzielimy na dziewięć równych części i usuwamy środkowy kwadrat.

16 Krok drugi Każdy z pozostałych ośmiu mniejszych kwadratów dzielimy znowu na dziewięć równych części i usuwamy środkowe kwadraciki.

17 Kolejne kroki W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Po krokach kwadrat będzie miał aż dziur, którymi są usunięte kwadraty różnej wielkości. Rysunek poniżej pokazuje dywan po 5 krokach konstrukcji.

18 PIRAMIDA SIERPIŃSKIEGO Piramida Sierpińskiego, Gąbka Sierpińskiego, tetrix zbiór fraktalny, trójwymiarowy odpowiednik trójkąta SierPIŃSKIEGO Każda ściana piramidy Sierpińskiego jest trójkątem Sierpińskiego. Miara Lebesgue'a piramidy Sierpińskiego wynosi zero. Wymiar fraktalny piramidy wynosi 2.

19 KONSTRUKCJA Piramida Sierpińskiego powstaje z czworościanu foremnego przez wykonanie następującego algorytmu: Weź ostrosłup o boku długości x. Utwórz 4 ostrosłupy o boku długości 1/2x i umieść je w przestrzeni tak, by zawierały się w dużym ostrosłupie oraz każdy miał wspólny jeden wierzchołek z dużym ostrosłupem. Usuń duży ostrosłup. Do każdego z 4 małych ostrosłupów zastosuj ten algorytm. Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy piramidę Sierpińskiego.

20

21 Maurits Cornelis Escher Maurits Cornelis Escher - holenderski grafik, malarz. W swoich pracach wykorzystywał niejednoznacznośd rzutu perspektywicznego i chętnie sięgał po motyw "figur niemożliwych". Jego prace to wspaniałe mozaiki nawiązujące do działów matematyki jak geometria nieeuklidesowa. Grał z architekturą, perspektywą i niemożliwymi przestrzeniami. W pracy z 1941 roku postulował o włączenie matematycznych procedur w proces twórczy sztuki, obmyślając specjalny system selekcjonowania kształtów, proporcji i kolorów. Kilkanaście lat później zajął się przedstawianiem nieskooczoności w warunkach dwuwymiarowej perspektywy. Nawiązał kontakt z kanadyjskim matematykiem, Haroldem S. M. Coxeterem i mocno wniknął w zagadnienia geometrii hiperbolicznej. Później interesował się jeszcze m.in. topologią.

22 PARKIETAŻ Powtarzający się motyw złożony z wielokątów foremnych wypełniających całą dostępną przestrzeń. Wielokąty układają się koło siebie, mając wszystkie boki wspólne z sąsiednimi figurami. Formalnie jest to zbiór przystających wielokątów foremnych złożonych w ten sposób, że każdy punkt płaszczyzny należy do jakiejś figury, a każdy wierzchołek parkietażu zawiera wyłącznie wierzchołki określonej liczby figur. Cechą, za pomocą której klasyfikuje się parkietaże, są właściwości wierzchołków, z których ten parkietaż się składa. Jeśli w wierzchołku spotykają się dwa kwadraty, trójkąt równoboczny i sześciokąt foremny, to taki parkietaż jest typu (3, 4, 6, 4). Kolejność liczb odczytuje się zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

23 Circle limit III

24 Cały obszar wypełniony jest seria teoretycznie nieskończenie wielu ryb, płynących jedna za druga i mających ten sam kolor. Białe linie, przechodzące przez środki ich ciał podkreślają ciągłość każdej serii. Potrzebowałem 4 drewnianych bloków po jednym dla każdego koloru i piątego dla linii czarnych. Każdy blok kolorowy był 90- stopniowym wycinkiem koła. Zatem pełny rysunek wymagał 4 5 = 20 odbitek. Każda seria ryb wystrzeliwuje niczym rakieta z nieskończoności, prostopadle do brzegu i znika tez w nieskończoności, przy czym żaden element nie osiąga brzegu. Na zewnątrz jest absolutna nicość. A jednak ten okrągły świat nie mógłby istnieć bez otaczającej go pustki, nie tylko dlatego, ze wnętrze zakłada istnienie zewnętrza, ale również dlatego, ze w tej pustce znajduje sie rusztowanie, wyznaczające z geometryczna precyzja środki okręgów, tworzących szkielet pracy.

25 Gdy Coxeter otrzymał odbitkę, posłał Escherowi list pełen zachwytu nad głębia matematyki, zawartej w Circle limit III. Escher nie dożył niestety momentu, w którym ukazały sie dwie matematyczne prace Coxetera poświecone dziełu Circle limit III. Otóż w roku 1964, Coxeter opisał regularne wielokątne parkietaże płaszczyzny hiperbolicznej. Juz po śmierci Eschera, w jednej z prac analizujących Circle Limit III z punktu widzenia matematyki, Coxeter zauważył, ze Escher 5 lat przed nim odkrył i umieścił w Circle limit III parkietaż typu {3, 8}, [6{8, 8}], {8, 3}.

26 Smaller and Smaller 1956

27 Print Gallery 1956

28 Balkon 1945

29 Względnośd 1953

30 Gady

31 CEWKA TESLI Transformator Tesli (cewka Tesli, transformator rezonansowy, generator Tesli) transformator powietrzny wytwarzający wysokie napięcie rzędu milionów woltów. Twórcą cewki wysokonapięciowej jest Nikola Tesla.

32

33

34