Plan Przypomnienie: Dominacja oraz równowaga Nasha Model konkurencji ilościowej Cournot Model konkurencji cenowej Bertranda jednakowe produkty produkty zróżnicowane Prosty model aukcji: Aukcja drugiej ceny - równowaga Nasha w strategiach słabo dominujących Aukcja pierwszej ceny - równowaga Nasha Model przetrzennego głosowania
Aukcja drugiej ceny Najwyższa oferta wygrywa, wygrany płaci drugą najwyższą cenę. W przypadku równych ofert, obiekt dostaje gracz 1 Przypuśćmy, że v 1 > v 2 > 0 Forma strategiczna: N = {1, 2} A 1 = A 2 = R + Funkcje wypłaty: Dla każdego (b 1, b 2 ) R 2 + u 1 (b 1, b 2 ) = u 2 (b 1, b 2 ) = { v1 b 2, jeśli b 1 b 2, 0, w przeciwnym przypadku { v2 b 1, jeśli b 2 > b 1, 0, w przeciwnym przypadku
Równowaga w strategiach słabo-dominujących w aukcji drugiej ceny On the le(: bidding higher than your value is weakly dominated. On the right: bidding lower than your value is weakly dominated.
Aukcja drugiej ceny - strategia słabo dominująca Słabo dominującą akcją dla każdego gracza to: b i = v i. Jest wiele równowag Nasha - na przykład (v 1, 0). Jedna równowaga w strategiach słabo dominujących: (v 1, v 2 )
Aukcja pierwszej ceny Najwyższa oferta wygrywa, wygrany płaci swoją ofertę W przypadku równych ofert, obiekt dostaje gracz 1 Forma strategiczna: N = {1, 2} A 1 = A 2 = R + Funkcje wypłaty: Dla każdego (b 1, b 2 ) R 2 + u 1 (b 1, b 2 ) = u 2 (b 1, b 2 ) = { v1 b 1, jeśli b 1 b 2, 0, w przeciwnym przypadku { v2 b 2, jeśli b 2 > b 1, 0, w przeciwnym przypadku
Aukcja pierwszej ceny Nie ma równowagi w strategiach dominujących Nie ma takiej akcji, która jest lepsza dla danego gracza niż inna akcja niezależnie od tego, co zrobi drugi gracz Szukamy równowagi Nasha sposobem wprost: Warunki konieczne (jeśli profil strategii jest równowagą, wtedy musi speł niać te warunki) Warunki wystarczające (jeśli profil strategii spełnia te warunki, wtedy jest równowagą w sensie Nasha)
Warunki konieczne Niech (b1, b 2 ) będzie równowagą Nasha. Wtedy, Gracz 1 wygrywa: b1 b 2 Przypuśćmy, że nie: b1 < b 2. Mamy dwie możliwości: b 2 v 2 : Gracz 1 mógłby zaoferować v 2 i mieć zysk b2 > v 2 : Gracz 2 mógłby zaoferować zero i zredukować straty do zera Co oznacza, że taki profil nie może być równowagą. b 1 = b 2 Przypuśćmy, że nie: b 1 > b 2. Gracz I może zaoferować b 2 i mieć zysk. v 2 b 1 v 1 Przypuśćmy, że nie. Są dwie możliwości: b 1 < v 2, wtedy gracz II może podnieść swoją ofertę v1 < b1, wtedy gracz I powinien obniżyć swoją ofertę
Warunki wystarczające Każda równowaga Nasha (b1, b 2 ) musi spełniać: v 2 b 1 = b 2 v 1 Czy jakaś z par spełniających te nierówności jest równowagą Nasha? TAK, wszystkie
Model wyborów politycznych Kandydaci wybierają, jak bardzo chcą być prounijni. Preferencje: Wygrana Remis Przegrana Wyborcy mają swoją ulubioną pozycję prounijności Jednowymiarowa przestrzeń strategii: prounijność w skali [0, 1] Wyborcy głosują na tego, kto jest najbliżej ich ulubionej pozycji Społ eczeństwo jest kontinuum i wyborcy rozmieszczeni są na przedziale [0, 1] według rozkładu jednostajnego
Medianowy wyborca N = {1, 2} A 1 = A 2 = [0, 1] Funkcje wypłaty dla obu partii 1, jeśli i wygra 1 u i (p 1, p 2 ) = 2, jeśli remis 0 jeśli i przegra
Niech p1, p 2 będzie równowagą Nasha. Wtedy: Wynikiem musi być remis p1 = p 2 Przypuśćmy, że nie: p 1 p2? Wówczas gracz 1 na przykład ma bodziec, aby zbliżyć się do gracza 2. Wynik powinien być dokładnie w połowie p1 = p 2 = 1/2 Przypuśćmy, że nie: p1 = p2 1/2? Wówczas gracz 1 na przykład ma bodziec, aby przesunąć się nieznacznie w stronę środka. Jedyną równowagą Nasha jest (p 1, p 2 ) = ( 1 2, 1 2 )
Plan Co było: Pojęcie gry w postaci standardowej/normalnej (tabelka) Strategie dominujące Iteracyjna eliminacja strategii dominujących Racjonalność graczy jest wspólną wiedzą Równowaga Nasha w strategiach czystych Funkcje/korespondencje najlepszych odpowiedzi
Plan wykładu Więcej o wiedzy wspólnej: Historia trzech pań z brudnymi twarzami Pojęcie preferencji i użyteczności porządkowej (Cantor) i kardynalnej (von Neumann i Morgenstern) Wprowadzenie strategii mieszanych: Eliminacja strategii zdominowanych przez strategię mieszaną Równowaga Nasha w strategiach mieszanych Pijany kierowca Bitwa płci Sherlock Holmes i profesor Moriarty Doniesienie o przestępstwie Co dalej?: Gry dynamiczne i postać ekstensywna W samo południe
Brudne twarze Trzy panie ze środkowego zachodu USA mają brudne twarze. Każda pani widzi twarze innych pań, ale nie widzi swojej. Jeśliby którakolwiek z nich wiedziała na 100%, że ma brudną twarz, wówczas zarumieniłaby się. Jednak żadna z nich nie rumieni się. i ogłasza, że jedna pani ma brudną twarz. Po tym ogłoszeniu, jedna z pań zarumieniła się. DLACZEGO??? Czy panie już tego przedtem nie wiedziały??? Wielebny, który zawsze mówi prawdę, przybywa
Brudne twarze Jeśli ani Beata ani Cecylia się nie rumieni, Alicja rozumuje następująco: Alicja: Przypuśćmy, że moja twarz jest czysta. Wówczas Beata rozumowałaby następująco: Beata: Widzę, że twarz Alicji jest czysta. Przypuśćmy, że moja twarz jest również czysta. Wówczas Cecylia rozumowałaby następująco: Cecylia: Widzę, że Alicja i Beata mają czyste twarze. Zatem moja twarz musi być brudna. Muszę się zarumienić. Beata: Ponieważ Cecylia się nie zarumieniła, moja twarz musi być brudna. Zatem ja muszę się zarumienić. Alicja: Ponieważ Beata się nie zarumieniła, moja twarz jest brudna. Muszę się zarumienić.
Użyteczność ordynalna (porządkowa) Preferencje ujawnione - dedukujemy z obserwowanych wyborów, nie tłumaczymy skąd się biorą. Dwa założenia: Wybory muszą być stabilne Wybory muszą być spójne Relacja preferencji (podzbiór iloczynu kartezjańskiego Ω Ω) spełnia dwa aksjomaty: zupełność: a b lub b a przechodniość: jeśli a b i b c, to a c dla wszystkich a, b, c Ω Twierdzenie (Cantor (1915)) Relacja spełnia zupełność, przechodniość (i separowalność) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje u : Ω R taka, że: u(a) u(b) a b, a, b Ω
Aksjomaty von Neumanna Morgensterna Postulat (1) Racjonalny gracz preferuje tą loterię wygraj-lub-przegraj, która daje większą szansę wygranej. (W, p; P, 1 p) (W, q; P, 1 q) p > q Postulat (2) Każda nagroda pomiędzy najgorszą a najlepszą jest równoważna jakiejś loterii wygraj-lub-przegraj. Postulat (3) Racjonalni gracze są obojętni wobec wymiany jednej z wygranej w loterii na inną, którą uważają za jednakowo wartościową. Postulat (4) Racjonalni gracze troszczą się jedynie o całkowite prawdopodobieństwo z jakim dostaną odpowiednią nagrodę w loterii złożonej.
Użyteczność kardynalna L = (ω 1, p 1 ;... ; ω n, p n ) [(W, q 1 ; L, 1 q 1 ), p 1 ;... ; (W, q n ; L, 1 q n ), p n ] (W, p 1 q 1 +... + p n q n ; L, 1 (p 1 q 1 +... + p n q n )) gdzie pierwsza relacja obojętnośći wynika z postulatów (2) i (3), a druga relacja wynika z postulatu (4). Zatem zgodnie z postulatem (1) racjonalny gracz preferuje loterię z wyższym prawdopodobieństwem wygranej: r = p 1 q 1 + p 2 q 2 +... + p n q n = p 1 u(ω 1 ) + p 2 u(ω 2 ) +... + p n u(ω n ) = Eu(L) Funkcja u : Ω R jest funkcją kardynalną von Neumanna Morgensterna.
Jednoznaczność użyteczności Użyteczność ordynalna (porządkowa): jeśli u : Ω R reprezentuje relację preferencji zdefiniowaną na zbiorze Ω to każda ściśle rosnąca transformacja u również reprezentuje tą relację preferencji. (u = f u, gdzie f jest funkcją rosnącą) Użyteczność kardynalna: jeśli u : Ω R reprezentuje relację preferencji na zbiorze wszystkich loterii lott(ω), to kaźda ściśle rosnąca afiniczna transformacja u również reprezentuje tą relację preferencji. (u = Au + B, gdzie A > 0)
Akcje zdominowane i strategie mieszane L P G 1 1 1 0 S 3 0 0 3 D 0 1 4 0 żadna akcja nie dominuje akcji G Lecz strategia mieszana α 1 (S) = 1/2, α 1 (D) = 1/2 ściśle dominuje akcję T ściśle zdominowana akcja nigdy nie będzie grana z dodatnim prawdopodobieństwem w równowadze strategii mieszanych
Gra w monety lub strzelanie karnych Bramkarz w lewo Strzelec w lewo w prawo -1 1 1-1 w prawo -1 1 1-1 Jak grać w taką grę? Trzeba być nieprzewidywalnym - czyli grać losowo.
Pijany kierowca Szef policji w Warszawie martwi się problemem pijanych kierowców Może zorganizować punkt kontrolny do sprawdzania kierowców punkt kontrolny zawsze złapie pijanego kierowcę ale kosztuje c Kierowca decyduje, czy wypić wino czy colę przed prowadzeniem samochodu. Wypicie wina przynosi o r więcej satysfakcji kierowcy niż cola Koszt prowadzenia po wypiciu wina jest a dla kierowcy i f dla miasta Występuje tylko, gdy kierowca nie jest złapany Złapany pijany kierowca płaci mandat w wysokości d
Pijany kierowca policja kierowca kontrola wino cola r d 0 c c brak f r a 0 0 Zakładamy, że f > c > 0 oraz d > r > a 0 Na przykład: f = 2, c = 1, d = 4, r = 2, a = 1 policja kierowca kontrola wino cola -2 0-1 -1 1 0 brak -2 0
Strategia mieszana Strategia mieszana to rozkład prawdpodobieństwa na zbiorze akcji. W równowadze strategii mieszanych każda akcja grana z dodatnim prawdopodobieństwem musi być najlepszą odpowiedzią na strategie mieszane innych graczy. W szczególności gracze muszą być obojętni pomiędzy akcjami granymi z dodatnim prawdopodobieństwem. Przykład z pijanym kierowcą: niech p będzie prawdopodobieństwem picia wina przez kierowcę a q niech będzie prawdopodobieństwem urządzenia punktu kontrolnego przez policję
Pijany kierowca Oczekiwana wypłata kierowcy z wypicia: wina: q ( 2) + (1 q) 1 = 1 3q coli: 0 Warunek obojętności: 0 = 1 3q, czyli q = 1 3 Oczekiwana wypłata policji z: urządzenia punktu kontrolnego: 1 nie urządzenia punktu kontrolnego: p ( 2) + (1 p) 0 = 2p Warunek obojętności: 1 = 2p, czyli p = 1 2 (p = 1/2, q = 1/3) to równowaga w strategiach mieszanych
Bitwa płci mąż żona balet mecz balet 1 2 0 0 mecz 0 0 2 1 Niech p będzie strategią żony a q będzie strategią męża (prawdopodobieństwo wyboru baletu)
Najlepsza odpowiedź żony: Oczekiwana wypłata z pójścia na: balet: 2q mecz: 1 q Jeśli 2q > 1 q lub q > 1/3, najlepszą odpowiedzią żony jest balet (p = 1) Jeśli 2q < 1 q lub q < 1/3, najlepszą odpowiedzią żony jest mecz (p = 0) Jeśli 2q = 1 q lub q = 1/3, żonie wszystko jedno czy balet czy mecz p [0, 1] Korespondencja najlepszej odpowiedzi żony: {1}, jeśli q > 1/3 R 1 (q) = [0, 1], jeśli q = 1/3 {0}, jeśli q < 1/3
Najlepsza odpowiedź męża: Oczekiwana wypłata z pójścia na: balet: p mecz: 2(1 p) Jeśli p > 2(1 p) lub p > 2/3, najlepszą odpowiedzią męża jest balet (q = 1) Jeśli p < 2(1 p) lub p < 2/3, najlepszą odpowiedzią męża jest mecz (q = 0) Jeśli p = 2(1 p) lub p = 2/3, mężowi wszystko jedno czy balet czy mecz q [0, 1] Korespondencja najlepszej odpowiedzi męża: {1}, jeśli p > 2/3 R 2 (p) = [0, 1], jeśli p = 2/3 {0}, jeśli p < 2/3
W samo południe
W samo południe Szeryf Kane oraz Miller idą naprzeciwko sobie Oboje mają tylko jedną kulę w pistolecie Im bliżej siebie są, tym większe prawdopodobieństwo, że trafią Początkowy dystans wynosi D, p i (D) = 0, p i (0) = 1. Prawdopodobieństwo p i jest ciągłą ściśle malejącą funkcją 0 = d 0 < d 1 < d 2 <... < d n = D