Budownctwo Archtektura 3() (04) 43-5 Możlwośc oblczenowe a wymagana wg Eurokodu 3 przy wyznaczanu sł przekrojowych konstrukcj powłokowych Wesław Baran Katedra Konstrukcj Budowlanych Inżynerskch, Wydzał Budownctwa, Poltechnka Opolska, e mal: w.baran@po.opole.pl Streszczene: W pracy opsano rodzaje analz oblczenowych przy projektowanu powłok, zalecane wg Eurokodu 3. Przedstawono rozwązane analtyczne dla grupy powłok prostokreślnych, umożlwające wyznaczane sł wewnętrznych dla dowolnego sposobu obcążena. Analzowano wpływ członów nelnowych w zwązkach geometrycznych na wynk oblczeń. Zwrócono uwagę na koneczność dobrego przygotowana badacza przy budowanu model numerycznych powłok oraz koneczność ch weryfkacj metodam analtycznym. Słowa kluczowe: budownctwo, powłoka, teora powłok, sły wewnętrzne, analza oblczenowa, rozwązana analtyczne, modele numeryczne. Wprowadzene Konstrukcje powłokowe w zależnośc od przyjętych parametrów, można zakwalfkować do różnych kształtów typów, dla których jest nny ops geometr powerzchn podstawowej powłok. Ogólne powłok można podzelć na rozwjalne, do których zalczamy przede wszystkm powłok walcowe nerozwjalne, gdze wyróżnamy mn. hperbolodę jednopowłokową, dwukrzywznowe powłok wypukłe, parabolodę hperbolczną nne. Alternatywne wyróżna sę grupę powłok obrotowych, zazwyczaj o ponowej os obrotu tworzącej, której ops wpływa na kształt powerzchn środkowej powłok. Wele z podanych przykładowych kształtów możemy utworzyć poprzez odpowedną transformację prostej jako tworzącej wówczas mówmy o powłokach prostokreślnych. Ma to duże znaczene przy rozwązywanu równań równowag powłok, bowem składowe perwszego drugego tensora metrycznego upraszczają sę []. Projektowane konstrukcj stalowych wg zalecanej obecne normy PN-EN 993--3, Eurokod 3, jest możlwe po uprzednm wyznaczenu efektów oddzaływań E d (4), wyrażonych w postac sł przekrojowych lub naprężeń. Wyróżna sę 6 sł przekrojowych [4]: n x, n Q, n xq sła przekrojowa połudnkowa, obwodowa ścnająca, m x, m Q, m xq moment zgnający połudnkowy, obwodowy moment skręcający na jednostkę długośc. Dla układów osowo symetrycznych w sense geometr, obcążena warunków podparca można pomnąć składowe n xq m xq. Sposób określana naprężeń zastępczych s eq,ed zależy od stanu naprężena. Można np. stosować podejśce naprężenowe wg kryterum Hubera von Msesa, jednak ne do oceny statecznośc powłok. Zasadnczym jednak problemem przy projektowanu powłok, nezależne od podejśca przy sprawdzanu warunków nośnośc, jest wyznaczene sł wewnętrznych. Aktualne stosuje sę dwe podstawowe metody rozwązywana powłok: analtyczne numeryczne.
44 Wesław Baran. Analza oblczenowa powłok wg Eurokodu 3 W dzałanach twórczych, do których kwalfkujemy projektowane konstrukcj obektów budowlanych, oprócz cech projektanta jak: talent, wedza, psychologczne zaangażowane, ważne są środk technczne oraz stosowane metody narzędza, w tym systemy komputerowe wspomagające projektowane. Na proces twórczy, projektowana konstrukcj, nałożone są ogranczena wynkające z lokalzacj obektu, możlwośc ekonomcznych zlecenodawcy, a przede wszystkm aktów prawnych norm, które opracowano jako wynk badań naukowych welu ośrodków naukowych nstytutów badawczych oraz jako dośwadczena wynkające z projektowana. W Eurokodze 3, w częśc -6 proponuje sę w oblczenach, w zależnośc od rozpatrywanego stanu grancznego [], stosowane jednego lub węcej rodzajów analz: analza globalna, analza według teor błonowej, stosowana przy założenach elmnujących efekty stanu zgęcowego, tj. efekty zwązane z: - warunkam podparca, które nekoneczne muszą spełnać warunk cągłośc odkształceń na brzegach lub na styku segmentów o różnych kształtach lub obcążenach, - sposobem obcążena (bez obcążeń lokalnych) geometrą powłok, która pownna charakteryzować sę łagodną zmaną kształtu brakem necągłośc, lnowo sprężysta analza, oznaczana jako LA, w której przyjmuje sę założena małych odkształceń jak dla powłok cenkch nezdeformowanych, lnowosprężysty ops materału, oraz zakłada sę koneczność spełnena warunków równowag warunków cągłośc odkształceń, a węc uzupełna uproszczena modelu wg analzy błonowej spełna równeż warunk dla stanu zgęcowego, analza bfurkacyjna lnowo sprężysta, oznaczana jako LBA, w której zakłada sę lnowo sprężysty ops materału, powłokę nezdeformowaną (małe ugęca) oraz brak jakejkolwek mperfekcj, a efektem analzy jest określene wskaźnka nośnośc plastycznej r Rpl () w rozpatrywanych punktach powłok o grubośc t, a węc podane najnższej wartośc własnej układu przy utrace statecznośc możlwość wyboczena, wyznaczony na podstawe sł przekrojowych stanu błonowego n x, n Q n xqθ wg zależnośc: r Rpl = tf yk x, Ed - x, Ed Q, Ed + Q, Ed + xq, Ed n n n n n () geometryczne nelnowa analza sprężysta, oznaczana jako GNA, oparta na nelnowośc w sense geometrycznym, czyl występowanu tzw. dużych ugęć określonych dla powłok o dealnym kształce (bez mperfekcj), przy uwzględnenu warunków stanu zgęcowego, analza fzyczne nelnowa, oznaczana jako MNA, odnesona do powłok o dealnej geometr, przy małych ugęcach oraz nelnowej, sprężysto-plastycznej charakterystyce materału, która pozwala wyznaczyć: - granczne obcążene plastyczne poprzez oblczene wskaźnka nośnośc plastycznej r Rpl wg teor małych ugęć jak dla analzy LBA, - plastyczny przyrost odkształcena ε podczas jednego cyklu obcążena przy tzw. zmęczenu nskocyklowym (występowane obcążeń zmennych, które mogą
Mechanka Konstrukcj Materałów Możlwośc oblczenowe a wymagana... 45 prowadzć do uplastycznena konstrukcj muszą wystąpć co najmnej trzykrotne w zakładanym czase użytkowana konstrukcj), analza geometryczne fzyczne nelnowa, oznaczana jako GMNA, wykorzystująca założena opsane dla analzy GNA MNA, geometryczne nelnowa analza sprężysta z mperfekcjam, oznaczana jako GNIA, która uwzględna w sposób jawny mperfekcje geometryczne w postac nezamerzonych odchyłek kształtu, a oblczena których efektem jest mn. wyznaczene sprężystej nośnośc wyboczenowej, przeprowadza sę jak dla założeń analzy GNA, analza geometryczne fzyczne nelnowa z mperfekcjam, oznaczana jako GMNIA, dla której oblczena przeprowadza sę jak dla analzy GMNA przy dodatkowo uwzględnonych mperfekcjach geometrycznych, opsujących w sposób jawny nezamerzone odchyłk kształtu powerzchn środkowej, które mogą być równeż następstwem nespełnena warunków brzegowych naprężeń własnych. Rys.. Zależność mnożnka obcążeń oblczenowych od sposobu deformacj wg zaleceń PN-EN 993--6 []. Legenda: r, mnożnk obcążeń, r Rpl, wskaźnk nośnośc plastycznej według teor małych ugęć, 3 r Rpl, granca wg analzy lnowej (LA), 4 r Rcr, wskaźnk nośnośc krytycznej według lnowej analzy bfurkacyjnej, 5 deformacja Na rys. pokazano w sposób jakoścowy zależność mnożnków oblczenowych stosowanych przy wyznaczanu nośnośc oblczenowej dla różnych analz wg Eurokodu 3, część -6, jako funkcję ogólne przyjętej deformacj. Początkowa faza do pkt. 4 w zakrese sprężystym obejmuje analzę LA LBA w zakrese lnowym, natomast dalej krzywa pokazuje dodatkową rezerwę plastyczną uwzględnaną mn. w analzach MNA poprzez wyznaczene wskaźnka r Rpl nośnośc plastycznej. Dla poszczególnych analz, nośnośc oblczenowe F R jako funkcję wartośc oblczenowej oddzaływań F Ed wyznacza sę wg zależnośc: nośność wyboczenowa przy uwzględnanu rezerwy plastycznej: FRpl = rrpl FEd nośność wyboczenowa przy uwzględnanu nośnośc krytycznej wg lnowej analzy bfurkacyjnej: FRcr = rrcr FEd Ogólny warunek nośnośc dla elementów konstrukcj lub połączena wg PN-EN 990, przy sprawdzanu stanu grancznego, możemy zapsać: () (3)
46 Wesław Baran E d R. (4) d gdze: E d wartość oblczenowa efektu oddzaływana wyrażona np. w postac sł wewnętrznych lub naprężeń, R d wartość oblczenowa odpowednej nośnośc, przekroju lub elementu. 3. Sły wewnętrzne w konstrukcjach powłokowych W celu spełnena równań równowag oraz warunków cągłośc przemeszczeń, ze względu na złożony model matematyczny wynkający z równana statyk, które w ogólnym przypadku jest nejednorodnym równanem różnczkowym cząstkowym ósmego rzędu [3], w teor cenkch powłok wprowadza sę podzał na: stan błonowy, który opsuje wydealzowany układ pozbawony możlwośc spełnena lokalnych ogranczeń wynkających z warunków zamocowana na brzegach lub necągłośc funkcj opsującej kształt albo obcążene, a rozwązane jest na etape całk szczególnej równana statyk, realzującej tzw. stan bezmomentowy, stan zgęcowy, który uwzględna warunk zamocowana, a rozwązane jest na etape całk ogólnej równana statyk, realzującej tzw. umowny stan zgęcowy. Ponadto korzystamy zazwyczaj z uproszczeń w zakrese teor małych odkształceń dla cenkch powłok sprężystych, polegających na pomjanu w rozwązanach welkośc zdefnowanych jako małe, które występują w potęgach lub loczynach w rzędze wększym nż perwszy. W lteraturze, ze względu na złożony model matematyczny, podawane są równana równowag w zapse ogólnym dla których, z wyjątkem powłok walcowej, trudne jest podane rozwązana opsującego sły przekrojowe w sposób jawny, w postac funkcj lub wyrażena arytmetycznego. 3.. Rozwązana analtyczne w zakrese analzy lnowej Podstawowe założena stosowane w teor cenkch powłok, to założena Krchhoffa- Love a, które umożlwają przyjęce uproszczonego modelu oblczenowego przejśce z analzy trójwymarowego stanu naprężena odkształcena do przyblżonego stanu dwuwymarowego. Na powerzchn podstawowej wprowadza sę układ współrzędnych krzywolnowych u jako odwzorowane wzajemne jednoznaczne zmennych x j : 3 u = u ( x, x, x ), (5) różnczkowalne potrzebną lość razy, dla którego przy wyznacznku: d u d x ¹ 0, (6) stneje odwzorowane odwrotne, dające rozwązane ze względu na x j. Przeanalzowano sparametryzowany wektorowy ops powerzchn środkowej powłok w parametryzacj prostokreślnej, z parametram kątowym α β (rys.): ( ) ( ) r = a cos( u ) + sn( u ) j + u cos( u + a ) + sn( u + a ) j cos b + u sn b k, (7) gdze: u, u - współrzędne krzywolnowe określające położene punktu na powerzchn środkowej, a - promeń na pozome podstawy.
Mechanka Konstrukcj Materałów Możlwośc oblczenowe a wymagana... 47 Dla różnych wartośc kątów α β, wykorzystując równane (7), można uzyskać jeden z trzech kształtów powłok: walec, stożek, hperbolodę jednopowłokową []. Zapsując dowolne obcążene w układze kartezjańskm, w postac wektorowej: P = X + Y j+ Z k. (8) Po uwzględnenu wyznaczonych na powerzchn środkowej wektorów bazy: r, r, m oraz zapsanu wektora obcążena w wersj ogólnej we współrzędnych krzywolnowych u, u : 3 P = P r + P r + P m, (9) otrzymano ops dowolnego sposobu obcążena w tych współrzędnych, jako funkcję trzech składowych obcążena X, Y Z w układze kartezjańskm: gdze: ( b ) ( b) ( a ) cos( ) cos P = X éacos u + + B u ù+ û ( a ) ( ) ( b) cos sn Y éasn u + + Bsn u ù+ Z g, û g ( a) ( b ) ( ) P =- X écsn u + + a sn sn u ù+ û g ( + a) + ( b ) ( ) ù- ( b ) Y éccos u a sn cos u Z sn, û g ( b ) ( b ) ( ) ( b ) ( a) 3 sn P =- X éa cos u + u cos cos u + ù- û ( ) + ( b ) ( + a ) ù+ ( ) sn Y éa sn u u cos sn u Z g, û, ( b ) ( a) ( b ) ( b ) ( ) ( a) ( b ) ( a) ( b ) A= u cos + au cos cos, B= a u cos + a cos cos cos cos C = u + a g j, g składowe tensora perwszej formy różnczkowej lub ch wyróżnk. (0a) (0b) (0c), ()
48 Wesław Baran Rys.. Powerzchna podstawowa w parametryzacj prostokreślnej opsana równanem (7) Tak zaps umożlwa przeprowadzene oblczeń dla dowolnego sposobu obcążena dla jednego z trzech kształtów powerzchn środkowej. Rozwązane układu równań równowag dla stanu błonowego, przy zastosowanu odpowednej metodyk rozwązywana [], pozwolło na ops sł przekrojowych za pomocą prostych zależnośc zawartych w zborze funkcj elementarnych. Otrzymano (górny znak sły): Ø g N = - P + + g g J g g Ø Nj oznacza welkość fzyczną [ ] Ø [ J 3], N = P - J + g ( J + 3) [ J + g ( J 3) ], J g (a) g N Ø = P -, + J g g. (b) N g Ø 3 Ø = - P - N g sn( b ) g g. (c) gdze: J, J, J3, to całk uwzględnające ops funkcj obcążena opsy geometr powłok, zapsane w postac: ïì = u g J ò í l ïî e 3 [ HP - P ] ïü ýdu ïþ u ì ü é,, ù ò í ûý, l î þ J3= J + g J du ïì g, 3, J = ò í [ HP - P ] u l ïî ge sn ( b ) ïü ýdu, ïþ e =, (3) g
Mechanka Konstrukcj Materałów Możlwośc oblczenowe a wymagana... 49 a P jest funkcją, wyznaczoną z równana: j j P = g P, (4) w którym kreska ponowa oznacza pochodną kowarantną. Interpretacja sł N j w odnesenu do normy PN-EN 993--6 jest następująca: Ø N =n x N Ø =n, N Ø = n x Q. (5), Q Dla stanu błonowego, sły tnące momenty zgnające, można wyznaczyć z zależnośc: j j Q = M, M j h j = H N, 3 H = g j b j, (6) gdze: H - krzywzna średna, g j, b j - składowe perwszej drugej formy różnczkowej. 3.. Rozwązana analtyczne w zakrese analzy nelnowej geometryczne W pracy autora [4] podano zależnośc opsujące zwązk geometryczne dla powłok, w których uwzględnono człony nelnowe składowych w 3, wektora przemeszczena w. Jest to jedno z możlwych uproszczeń, polegające na szacowanu składnków sum zawerających welkośc małe, rzędu wyższego nż perwszy. Pozostawene wyrażeń ze składową w 3, ma uzasadnene równeż ze względu na ops tensora odkształcena błonowozgęcowego [3, 4]: r j = w 3 j, (7) wykorzystywanego w rozwązanach stanu zgęcowego, w którym pomja sę składowe zawerające składnk w w, a pozostawa sę tylko składową w 3. Analza rozwązań w zakrese lnowym nelnowym geometryczne [4, 5], doprowadzła do ważnego dla celów praktycznych kryterum, odnesonego do modułu składowej w 3. Określono umowną grance stosowana teor lnowej, gdy: 3 h w, (8) 0x 3-n ( ) natomast uznano, że wpływ nelnowośc geometrycznej może meć stotny wpływ na rozwązane powłok dla warunku: h 3 h w 0x 3 -n ( -n ) x 3 ( ) æ e ön ç, n,, 3 èw ø L, x = =, (9) 4 ( ) e = H + H - K, 3 -n w =, (0) h gdze: ν - współczynnk Possona, h połowa grubośc ścank powłok, K krzywzna Gaussa, H krzywzna średna. Przeprowadzone oblczena z uwzględnenem nelnowośc geometrycznej pokazały [4], że przy uwzględnenu oddzaływań stotnych dla występowana znacznych efektów oddzaływań w postac składowej w 3 prostopadłej do powerzchn środkowej, wynk z uwzględnenem członów nelnowych wzrosły od do 5%, w zależnośc od kształtu
50 Wesław Baran powłok. Wększe przyrosty były dla powłok walcowej, a mnejsze dla dwukrzywznowej powłok o kształce hperbolody jednopowłokowej. Analza oblczenowa pokazała ponadto, że umowne kryterum wymagające stosowane teor geometryczne nelnowej (9), uwzględnające zarówno cechy geometryczne powłok jak parametry materałowe, może być stotne w oblczenach przy wzrośce o ok.,5% składowej w 3n, wyznaczonej wg teor nelnowej, w stosunku do wartośc w 3l, polczonej wg teor lnowej. 3.3. Rozwązana numeryczne Welu badaczy współcześne zajmujących sę konstrukcjam powłokowym, stosuje do analzy pracy powłok metody numeryczne, uwzględnając w modelowanu różne typy elementów skończonych. W lcznych pracach na temat stalowych zbornków, Zółko [6] prezentuje wynk analz numerycznych z wykorzystanem powłokowych elementów do modelowana zbornków, elementów bryłowych do modelowana warstw podłoża gruntowego elementów kontaktowych na styku zbornk-podłoże gruntowe. Chróścelewesk, Makowsk Petraszkewcz w pracy [7] zameścl szerok przegląd ops różnych elementów skończonych o 4-ech, 5-cu, ale zazwyczaj o 6-cu stopnach swobody w węźle. Podano równeż lczne przykłady lczbowe dla welu kształtów powłok. Rozważono lnowe oraz nelnowe zadana statyk, statecznośc dynamk powłok sprężystych w zakrese małych odkształceń. Zameszczone analzy stanową bogaty zbór nformacj, które można wykorzystać do modelowana powłok. W nawązanu do własnych rozwązań analtycznych, częścowo przedstawonych w pkt..., wykonano porównana uzyskanych sł przekrojowych z rozwązań analtycznych z wynkam otrzymanym dla model numerycznych [8], dla których do generowana satk w systeme Robot wykorzystano czworokątne, 4-węzłowe, powerzchnowe elementy skończone. Różnce wynków wg dwóch metod oblczenowych były mnejsze nż %. W pracy [9] przedstawono analzę statyczną żelbetowej chłodn komnowej dla numerycznego modelu oblczenowego, w którym uwzględnono obcążena stałe zmenne środowskowe. Otrzymane wynk dla analzowanego modelu MES powłok w systeme oblczenowym Robot zostały zweryfkowane pod względem jakoścowym loścowym własnym proceduram oblczenowym, uzyskanym na podstawe własnych rozwązań analtycznych. 4. Podsumowane Wymarowane konstrukcj powłokowych wg wytycznych PN-EN 993--6 wymaga dobrej znajomośc teor powłok oraz metod zwązanych z rozwązywanem tych konstrukcj wyznaczana sł wewnętrznych. Metody analtyczne są trudne do nżynerskego stosowana, dlatego współcześne główne budowane są modele numeryczne, które wymagają nnej wedzy, zwązanej z modelowanem konstrukcj wykorzystanem MES, co może w znaczący sposób wpłynąć na otrzymane wynk. Możlwość posadana rozwązań analtycznych umożlwa weryfkację modelu określene jego adekwatnośc. Lteratura Baran W., Jędraszak B. Rozwązane powłok hperbolodalnej w parametryzacj prostokreślnej, w: LIII Konferencja Naukowa KILW PAN KN PZITB, Krynca 007, Bałystok-Krynca 007, Mat. Konf., t., s. 43-438. PN-EN 993--6. Eurokod 3. Projektowane konstrukcj stalowych. Część -6. Wytrzymałość stateczność konstrukcj powłokowych. 3 Belak St.: Nelnowa teora powłok, cz.ii, WSI w Opolu, Studa monografe, z.83, Opole 995.
Mechanka Konstrukcj Materałów Możlwośc oblczenowe a wymagana... 5 4 Baran W. Nelnowe zwązk geometryczne dla powłok, w: LI Konferencja Naukowa KILW PAN KN PZITB, Krynca 005, Gdańsk-Krynca 005, Mat. Konf., t., s. 9-6. 5 Krawczyk J. Teora powłok. Ujęce symetryczne nelnowośc geometrycznej. WSP w Opolu, Studa monografe, z., Opole 993. 6 Zółko J. Postęp w stalowych zbornkach konstrukcjach powłokowych, w: XIX Ogólnopolska Konferencja WPPK, Ustroń 004, s. 33-336. 7 Chróścelewsk J., Makowsk J., Petraszkewcz W. Statyka dynamka powłok welopłatowych. Nelnowa teora metoda elementów skończonych, IPPT PAN, Warszawa 004. 8 Baran W., Jędraszak B., Żmuda J.: Statyka stanu bezmomentowego powłok hperbolodalnej, w: XI-th Internatonal Scentfc Conference "Current Issues of cvl and envronmental engneerng "Lvv-Koszyce-Rzeszów", Mat. Konf. BICHИК НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ "ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА" Βuдаеmься з 964 p. 600, Львів 007, s. 356-363. 9 Baran W., Jędraszak B, Jankowak R. Analza numeryczna powłok chłodn komnowej. Górnctwo Odkrywkowe 4-5 (008) 73-77. Calculaton possbltes and Eurokod 3 requrements used to calculate nternal forces n shell structures Wesław Baran Department of Buldng and Engneerng Structures, Faculty of Cvl Engneerng, Opole Unversty of Technology, e mal: w.baran@po.opole.pl Abstract: Ths work presents varous types of calculaton analyss for shell desgnng, recommended by Eurokod 3. Analytcal solutons for shell groups enablng calculatng nternal forces for any load are presented. The nfluence of nonlnear unts n geometrcal connectons on calculaton results was analyzed. Necessty of proper researcher preparaton to buld numercal models of shells and necessty to verfy them by analytcal models was underlned. Keywords: cvl engneerng, shell, shell theory, nternal forces, calculaton analyss, analytcal soluton, numercal models