Inducja matematyczna Inducja jest taą metodą rozumowania, za pomocą tórej od tezy szczegółowej dochodzimy do tezy ogólnej. Przyład 1 (o zanurzaniu ciał w wodzie) 1. Kawałe żelaza, tóry zanurzyłem w wodzie, stracił na wadze waży mniej, niż ważył przed zanurzeniem w wodzie (teza szczegółowa). 2. Każde ciało zanurzone w wodzie waży mniej niż przed zanurzeniem (teza ogólna). W pierszym przyładzie teza ogólna wyprowadzona z tezy szczegółowej jest słuszna, ale nie zawsze ta bywa. Przyład 2 (szlana z wodą) 1. Szlana, tórą trzymam w rau, pęła przy szybim napełnianiu jej wrzątiem. 2. Każda szlana pęa przy szybim napełnianiu jej wrzątiem. W drugim przyładzie teza ogólna nie jest słuszna, bo są szlani wyproduowane ze specjalnego szła, tóre nie pęają przy najszybszym nawet napełnianiu ich wrzątiem. Inducja jest najpowszechniejszym, codziennym sposobem rozumowania. Ja jedna ustrzec się od wyciągnięcia błędnego wniosu na podstawie inducji? W życiu uczymy się uniać błędnego wniosowania dzięi wielorotnemu powtarzaniu atu inducyjnego, dzięi doświadczeniu życiowemu. W nauce, bardzo szeroo stosującej metodę inducyjną, uniamy błędnego wniosowania, uzupełniając inducję zwyłą, dodatowym rozumowaniem. Polega ono na sprawdzeniu, że jeśli pewien wniose jest słuszny dla l, 2, 3,... przypadów, załadamy, iż jest on słuszny dla przypadów i dowodzimy, że soro jest on słuszny dla przypadów to jest on słuszny i dla przypadu +1. Taą metodę rozumowania nazywamy inducją zupełną albo inducją matematyczną. Wniosi wysuwane bez stosowania inducji matematycznej nawet przez najwięszych matematyów niejednorotnie oazały się błędne. 1
Oto przyłady 1. Znaomity matematy Leonard Euler (1707-1783) przypuszczał, że trójmian x 2 + x + 41 wyraża liczby pierwsze przy podstawieniu za x dowolnej liczby naturalnej. Istotnie, gdy x podstawimy 1, 2, 3,..., 10, otrzymamy liczby 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, tóre są liczbami pierwszymi. Ale wniose ten oparty na 10 przypadach, oazuje się błędny, gdy za x podstawimy np. 40; otrzymamy wówczas liczbę 1681, tóra nie jest liczbą pierwszą, bo 1681 = 41 41. 2. Fermat uważał, że liczby postaci 2 2n + 1, gdzie n jest liczbą naturalną, są liczbami pierwszymi. Po podstawieniu za n liczb 1, 2, 3, 4 otrzymamy 5, 17, 257, 65537. Wszystie te liczby są pierwsze, ale po podstawieniu za n liczby 5 otrzymujemy 4294967297, tórej podzielnia Fermat nie znalazł i sądził, że jest ona również pierwszą. Dopiero Euler wyrył że liczba ta jest podzielna przez 641, a więc nie jest liczbą pierwszą. Stąd widzimy, ja ważne jest w nauce stosowanie inducji matematycznej. Dowód przeprowadzony na podstawie metody inducji matematycznej musi oniecznie sładać się z dwóch części, z dowodów dwóch niezależnych twierdzeń: Twierdzenie I Teza jest prawdziwa dla n = 1. Twierdzenie II Jeśli teza jest prawdziwa dla n =, gdzie jest dowolną liczbą naturalną, to jest prawdziwa również dla n = + 1. Jeżeli oba te twierdzenia są udowodnione, to w myśl zasady inducji matematycznej teza jest prawdziwa dla ażdego n N Przyłady zastosowania inducji matematycznej Twierdzenie 1 (nierówność Bernoulliego) Dla dowolnego n N, n 1 i dowolnego x R, x 1 zachodzi nierówność: Dowód (1 + x) n 1 + nx Sprawdzamy warune początowy dla n = 1: (1 + x) (1 + x) 2
Stąd, że (1 + x) n 1 + nx jest prawdziwe, dla pewnego n N, n 1 mamy poazać, że prawdziwe jest (1 + x) n+1 1 + (n + 1)x. Istotnie, mnożąc obie strony nierówności (1 + x) n 1 + nx przez nieujemne wyrażenie (1 + x), dostajemy: (1 + x) n (1 + x) (1 + nx)(1 + x) (1 + x) n+1 1 + x + nx + nx 2 (1 + x) n+1 1 + (1 + n)x + nx 2 a stąd, że 1 + (1 + n)x + nx 2 1 + (1 + n)x, więc mamy: (1 + x) n+1 1 + (1 + n)x W myśl inducji matematycznej twierdzenie I i II zostało spełnione, więc prawdziwa jest nierówność Bernoulliego. Twierdzenie 2 (wzór dwumienny Newtona) Dla dowolnych a, b R oraz dowolnego n N prawdziwa jest nierówność: (a + b) n = =0 a b n. Dowód Możemy bez straty ogólności przyjąć, że b 0. Dzieląc obie strony tego równania przez b n oraz podstawiając x = a b, otrzymujemy: (1 + x) n = i tego wzoru będziemy dowodzić. =0 x Sprawdzamy warune początowy dla n = 1: P = L = (1 + x) 1 = 1 + x ( ) 1 x 0 + 0 ( ) 1 x 1 = 1 + x 1 L = P 3
Stąd, że (1 + x) n = ( n n =0 ) x jest prawdziwe, dla pewnego n N, n 1 mamy poazać, że prawdziwe jest (1 + x) n+1 = ( ) n+1 n+1 =0 x. Istotnie: L = (1+x) n+1 = (1+x) n (1+x) = (1+x) = =0 x + =0 x +1 = Natomiast z równości ( n =0 x = ( ) ( ) n n x 0 + x + 0 =1 =1 ) ( ) ( ) + n 1 = n+1 mamy: =0 ( ) ( ) n + 1 n+1 1 + x + x n+1 n + 1 = x = P =1 =0 x +x x + 1 W myśl inducji matematycznej twierdzenie I i II zostało spełnione, więc prawdziwy jest wzór dwumienny Newtona. =0 x = x n+1 = n Twierdzenie 3 (nierówność Schwarza) Dla ażdych (x 1,.., x n ) R n, (y 1,.., y n ) R n oraz dla ażdego n N prawdziwa jest nierówność: Dowód (x 1 y 1 +... + x n y n ) 2 (x 2 1 +... + x 2 n)(y 2 1 +... + y 2 n) Sprawdzamy warune początowy dla n = 1: (x 1 y 1 ) 2 (x 2 1)(y 2 1) Stąd, że (x 1 y 1 +... + x n y n ) 2 (x 2 1 +... + x 2 n)(y1 2 +... + yn) 2 jest prawdziwe dla pewnego n N, n 1 mamy poazać, że prawdziwe jest (x 1 y 1 +... + x n+1 y n+1 ) 2 (x 2 1 +... + x 2 n+1)(y1 2 +... + yn+1). 2 Otóż: (x 1 y 1 +...+x n+1 y n+1 ) 2 = (x 1 y 1 +...+x n y n ) 2 +2(x 1 y 1 +...+x n y n )x n+1 y n+1 + x 2 n+1yn+1. 2 Ponieważ: 2ab a 2 + b 2, więc ładąc a = x y n+1 oraz b = x n+1 y otrzymujemy 2x y n+1 x n+1 y x 2 yn+1 2 + x 2 n+1y 2 i sumując dla = 1, 2,..., n mamy: 2(x 1 y 1 +... + x n y n )x n+1 y n+1 (x 2 1 +... + x 2 n)yn+1 2 + (y1 2 +... + yn)x 2 2 n+1. Stąd mamy (x 1 y 1 +... + x n+1 y n+1 ) 2 (x 2 1 +... + x 2 n)(y1 2 +... + yn) 2 + (x 2 1 +... + x 2 n)yn+1 2 + (y1 2 +... + yn)x 2 2 n+1 + x 2 n+1yn+1 2 = (x 2 1 +... + x 2 n)(y1 2 +... + yn+1) 2 + (y1 2 +... + yn+1)x 2 2 n+1 = (x 2 1 +... + x 2 n+1)(y1 2 +... + yn+1) 2 co należało poazać. 4
W myśl inducji matematycznej twierdzenie I i II zostało spełnione, więc prawdziwa jest nierówność Schwarza. Jeszcze jeden przyład W pewnym państwie jest miast, z tórych ażde dwa łączy droga jednoierunowa. Udowodnić, że istnieje miasto, z tórego można (zachowując jednoierunowość) dojechać do ażdego innego, nieoniecznie bezpośrednią drogą. Prowadzimy dowód inducyjny ze względu na wielość państwa. Jeśli jest w nim tylo jedno miasto, oczywiście można z niego dojechać wszędzie - innych miejsc po prostu nie ma. Załadamy teraz, że stwierdzenie napisane wyżej jest prawdziwe dla wszystich państw, tóre mają n miast. Będziemy usiłowali poazać, że również dla państw trochę więszych (z n+1 miastami) jest to prawda. Jeśli mamy n+1 miast, możemy na chwilę zapomnieć o jednym z nich - niech nazywa się Zapomniane Miasto. Pozostanie n, tworząc chwilowo mniejsze państwo. W tym państwie musi, co założyliśmy, znaleźć się taie miasto, z tórego można dojechać do pozostałych po wybudowanych drogach. Niech to będzie Stolica. Teraz przypominamy sobie o Zapomnianym Mieście. Stolicę i Zapomniane Miasto łączy droga jednoierunowa. Jeśli prowadzi ona od Stolicy do Zapomnianego, to ze Stolicy można dojechać wszędzie (do Zapomnianego jest bezpośrednia droga, a do innych gwarantuje nam wcześniejsze założenie). Jeśli ta droga prowadzi w drugą stronę, to z Zapomnianego można, przez Stolicę, dojechać do wszystich pozostałych miast. Dowiedliśmy więc, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla państw z n miastami, to dla taich z n+1 również, a taże, że prawdziwe jest dla państw z jednym miastem. Zasada inducji mówi, że w taim przypadu twierdzenie prawdziwe jest dla państwa z ażdą ilością miast, czyli po prostu dla ażdego państwa. 5
Bibliografia [1] Przez rozrywę do wiedzy - Stanisław Kowal, Wydawnictwa Nauowo- Techniczne, Warszawa 1973 [2] Rachune różniczowy i całowy Kazimierz Kuratowsi, BM. Warszawa 1978 [3] Analiza B srypt, Paweł Głowaci [4] Opowieści matematyczne - Michał Szure, Wydawnictwa Szolne i Pedagogiczne, Warszawa 1987 [5] www.matematya.org 6