Recenzje 275 formuła boole owska (w postaci koniunkcji alternatyw), w której każda klauzula ma k literałów, a każda zmienna występuje w co najwyżej 2k 4k klauzulach, jest spełnialna (to jest jedno ze sztandarowych zastosowań lokalnego lematu Lovásza). Dzięki odkryciu Mosera i Tardosa możemy teraz znaleźć odpowiednie wartościowanie za pomocą prostego algorytmu losowego w oczekiwanym czasie wielomianowym. Od strony dydaktycznej podręcznik napisany jest prawidłowo. Układ materiału, zakres, dobór przykładów i zadań jest właściwy. Jego głównym adresatem są doktoranci i studenci ostatnich lat informatyki, ale także i matematycy zainteresowani zastosowaniami teorii prawdopodobieństwa czy teorią obliczeń. Wydaje się, że pozycja ta może stanowić pewną konkurencję dla klasycznej książki Motwaniego i Raghavana, Randomized Algorithms, Cambridge University Press, 1995. Bardzo dobrze się stało, że została przetłumaczona na język polski. Jarosław Grytczuk (Kraków) Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN, Warszawa 2005, 356 str. Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, PWN, Warszawa 2005, 120 str. Książka Wojciecha Guzickiego i Piotra Zakrzewskiego jest, jak nazwa wskazuje, podręcznikiem do przedmiotu wykładanego tradycyjnie na pierwszym roku studiów matematycznych pod nazwą Wstęp do matematyki. Podręczniki do tego przedmiotu pisano już wcześniej. Najbardziej znaną, i jak się zdaje najczęściej polecaną przez wykładowców, jest opublikowana w roku 1968 książka Heleny Rasiowej Wstęp do matematyki współczesnej, wydawana jeszcze do dziś przez PWN. Nieco później, w roku 1970, opublikowano nakładem PWN książkę Juliana Musielaka pod niemal tym samym tytułem Wstęp do matematyki. Również za podręcznik do wstępu do matematyki trzeba uznać pierwszą część (wydanej ostatnio ponownie) książki Kazimierza Kuratowskiego Wstęp do teorii mnogości i topologii, która po raz pierwszy ukazała się w roku 1955. Ostatnio, w roku 2007, Wstęp do matematyki wydał Jan Kraszewski, a w roku 2006 Elementy teorii mnogości Jarosław Górnicki (patrz c 2010 Polskie Towarzystwo Matematyczne
276 Recenzje recenzja w Wiadomościach Matematycznych, tom 45, nr 1). W roku 2003 w Dolnośląskim Wydawnictwie Edukacyjnym ukazała się książka Jacka Cichonia Wykłady ze wstępu do matematyki. Wymienione tu książki znacznie różnią się objętością, zakresem tematycznym i sposobem prezentacji. Wszystkie stawiają jako główny cel wyłożenie logicznej i teoriomnogościowej podstawy dla przedmiotów matematycznych wykładanych w kursie uniwersyteckim. Jednak w kwestii ustalenia proporcji między poszczególnymi tematami i kolejności ich przedstawiania wymienieni tu Autorzy, a także piszący te słowa, mają zróżnicowane poglądy. Studiowanie matematyki, szczególnie w początkowym stadium, sprawia trudności ze względu na konieczność opanowania umiejętności ścisłego formułowania myśli i prowadzenia rozumowań dedukcyjnych, a także poprawnego rozumienia pojęć elementarnej teorii zbiorów, która jest powszechnie przyjętym językiem matematyki. Jak wynika z przedmowy, także Autorzy omawianej książki wyznają pogląd, że tak zwany wstęp do matematyki jest dla początkujących studentów przedmiotem trudnym, gdyż jak piszą wiąże się to...ze znacznym stopniem abstrakcji wprowadzanych pojęć i rozumowań teoriomnogościowych. Sposób na usunięcie tej trudności widzą Autorzy w podaniu czytelnikowi dużej ilości przykładów. Jest to sposób niewątpliwie bardzo dobry, który został w książce Guzickiego i Zakrzewskiego zrealizowany z sukcesem. Książka bowiem obfituje w niebanalne i ciekawe przykłady (zwykle oryginalne), których celem jest nie tylko zilustrowanie niezbędnych definicji, ale także wytworzenie u czytelnika pewnych intuicji pomocnych w ich późniejszym stosowaniu. Wiadomo, że przykłady pomagają oswoić się z definicjami. Pozostaje jeszcze problem naturalności owych definicji, czy też ich akceptacji jako czegoś naturalnego. Tu Autorzy są mniej przekonywujący. Czytelnik książki Guzickiego i Zakrzewskiego może odnieść wrażenie, że definicje działań mnogościowych podane są niejako arbitralnie, bez odniesienia do, jak się zdaje, bardziej intuicyjnych praw sylogistyki arystotelesowskiej, czyli dwuwartościowej logiki klasycznej. Związek między logiką a operacjami na zbiorach omówiony jest dopiero przy końcu wykładu drugiego, po tym, jak wprowadzono wszystkie działania na zbiorach, łącznie z sumą i iloczynem indeksowanej rodziny zbiorów. W szczególności, symbol A jest już na stronie 10, podczas gdy w istocie potrzebny do jego zdefiniowania symbol pojawia się dopiero na stronie 40, zaś pojęcie formuły logicznej dopiero na stronie 331.
Recenzje 277 Taką samą kolejność, to jest najpierw rachunek zbiorów, a następnie rachunek zdań i kwantyfikatorów, przyjęła w swojej książce Rasiowa. Jednak Kuratowski, jak również i pozostali wymienieni powyżej autorzy, wykład z teorii zbiorów poprzedzają wprowadzeniem z logiki. Przyznaję, że i ja uważam za celowe poprzedzenie wykładu teorii zbiorów niewielkim wstępem zawierającym pojęcia spójników logicznych, kwantyfikatorów i najważniejszych praw, które nimi rządzą, w tym także pojęcia dedukcji, czyli dowodu w sensie matematycznym. Uważam w szczególności, że łatwiej jest zaakceptować prawa przeczenia alternatywy i koniunkcji niż odpowiadające im prawa de Morgana dla zbiorów. Można także rozważyć argumenty historyczne: w historii rozwoju matematyki logika poprzedzała teorię mnogości. Oczywiście, zbytnie rozbudowanie aparatu logicznego uczyniło by książkę trochę nudną. Taka obawa być może skłoniła Autorów do drastycznej redukcji logiki w książce. Poza tym zastrzegli oni w podtytule, że książka jest wprowadzeniem do teorii mnogości. Książka składa się z trzynastu wykładów zgrupowanych w trzech częściach oraz z dodatku podzielonego na sześć części. Część pierwsza dotyczy podstawowych własności zbiorów i funkcji. Przy tym funkcja także traktowana jest jako zbiór, a więc jest utożsamiana ze swoim wykresem. Taką definicję funkcji podał już Peano, chociaż w książce Rasiowej panuje jeszcze opisowa definicja podawana uczniom szkół średnich. Warto w tym miejscu zaznaczyć, że książka Guzickiego i Zakrzewskiego jest podręcznikiem ze wszech miar nowoczesnym. Dysponując już pojęciem funkcji, w drugiej części książki Autorzy omawiają równoliczność zbiorów. Przedstawione tu rozumowania są bardzo dokładne i poparte wieloma przykładami. Ze szczególną uwagą potraktowano twierdzenie o przeliczalności zbioru N N podając dwa różne dowody. Można było dodać jeszcze trzeci dowód korzystający z udowodnionego wcześniej twierdzenia Cantora Bernsteina. Nieco później, w wykładzie 13, Autorzy podają także dwa dowody lematu Kuratowskiego Zorna. Zabieg dydaktyczny polegający na podawaniu różnych dowodów tego samego twierdzenia uważam za bardzo dobry. Można w ten sposób przedstawić różne konstrukcje matematyczne, często równie ważne. Bywa, że dowód staje się ważniejszy od samego twierdzenia. Relacje na zbiorach opisane są dopiero w części trzeciej. Taka kolejność równoliczność przed relacjami została wybrana przez Autorów słusznie, bo dzięki temu duże nagromadzenie definicji nie pojawia się w książce zbyt wcześnie. Tu także, w wykładzie 11, przedstawione zostały konstrukcje zbiorów liczbowych. W szczególności, są tu liczby
278 Recenzje naturalne wprowadzone poprzez aksjomaty Peana; jest także twierdzenie o definiowaniu przez indukcję. Może to trochę późno, gdyż definicje indukcyjne pojawiały się już wcześniej. Na przykład, już na stronie 75 pojawia się ciąg Fibonacciego. W tej części książki jest także konstrukcja Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych, lecz niepełna, bo brakuje dowodu zasadniczego w matematyce faktu, że R jest ciałem. Trudno mi zgodzić się z Autorami, że sprawdzenie własności działań na przekrojach jest...łatwe, chociaż żmudne. Uważam, że początkujący studenci, a do takich książka jest adresowana, mogą sobie z tymi dowodami nie poradzić. Zgadzam się jedynie z opinią, że dowody te są żmudne. Integralną częścią wykładu są dodatki. Zajmują one ponad sto stron i podzielone są na pięć części: składowe, zbiory skończone, liczby porządkowe, indukcja pozaskończona, liczby kardynalne, aksjomaty teorii mnogości. Składowe rodziny zbiorów, o których mowa w dodatku A, wiążą się z postaciami normalnymi formuł klasycznego rachunku zdań. Ze względu jednak na zbyt szczupły aparat logiczny Autorzy niestety nie mogli tych związków opisać. W dodatku B opisano bardzo precyzyjnie pojęcie zbioru skończonego, łącznie ze skończonością w sensie Dedekinda i skończonością w sensie Tarskiego. Wspomniano także o roli pewnika wyboru w dowodzie równoważności tych pojęć, ale temat nie został rozwinięty. W dodatku C omówione są liczby porządkowe. Ten fragment książki wydaje się najtrudniejszy. Definicja liczby porządkowej pojawia się dwukrotnie. Wpierw na stronie 270 jest definicja odwołująca się do intuicji klas abstrakcji ze względu na izomorfizm zbiorów dobrze uporządkowanych, a potem na stronie 283 jest już ścisła definicja von Neumanna, według której liczba porządkowa to zbiór przechodni (tranzytywny), w którym relacja należenia jest dobrym porządkiem. Zasada indukcji pozaskończonej omówiona jest w dodatku D. Jako przykład jej zastosowania podany jest dowód bardzo ciekawego i nieczęsto spotykanego w literaturze twierdzenia Stefana Mazurkiewicza mówiącego, że na płaszczyźnie istnieje zbiór, który każda prosta przecina dokładnie w dwóch punktach. Omówiona jest także hierarchia zbiorów borelowskich. Liczby kardynalne, zdefiniowane jako liczby porządkowe początkowe, omawiane są w dodatku E. Tu także podany jest dowód, sygnalizowanego już na stronie 142, twierdzenia Hessenberga mówiącego, że dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej κ zachodzi równość κ κ = κ. Na koniec, niejako na deser, w dodatku F podane są aksjomaty teorii ZFC, czyli teorii mnogości Zermelo i Fraenkla wraz z pewnikiem wyboru. Aksjomaty
Recenzje 279 podane są w sposób bardzo elegancki, bez zbędnego formalizmu, za to z licznymi komentarzami i przykładami. Uzupełnieniem książki Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości jest Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, tych samych autorów. Zbiory zadań z logiki i teorii mnogości oczywiście istnieją w polskiej literaturze matematycznej. Trzeba tu wspomnieć klasyczny już zbiór zadań Wiktora Marka i Janusza Onyszkiewicza Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach wydany przez PWN w roku 1972 i od tego czasu stale wznawiany. Ponadto w 2005 to samo wydawnictwo opublikowało polskie tłumaczenie książki Ławrowa i Maksimowej Zadania z teorii mnogości, logiki i teorii algorytmów. Zbiór zadań Guzickiego i Zakrzewskiego jest równie dobry, jak część zasadnicza ich dzieła. Zadania są dobrze przemyślane i dobrane ściśle do poszczególnych wykładów. W ten sposób Autorzy mogli pominąć wstępy teoretyczne przed każdą serią zadań, co jest konieczne w innych książkach tego typu. Z drugiej strony, czytelnik zbioru zadań Guzickiego i Zakrzewskiego zmuszony jest do czytania także ich książki Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Książka Guzickiego i Zakrzewskiego jest moim zdaniem bardzo dobra. Jest nowoczesna, ciekawa i napisana w sposób przyjazny dla Czytelnika. Autorzy, mając na uwadze małe wyrobienie matematyczne odbiorcy, do którego książka jest adresowana, unikają nadużywanych niekiedy w książkach określeń typu łatwo widać. Myślę, że nawet czytelnik, który już przedmiot zna, może tu znaleźć dla siebie kilka rodzynków. Jestem przekonany, że recenzowana książka z powodzeniem może spełnić rolę wiodącego podręcznika ze wstępu do matematyki. Aleksander Błaszczyk (Katowice)