Mcik kwtow IV Opcowi: Bb Pc Piot Ptl
Atom wodou W ukłdi śodk ms ówi Scödig dl tomu wodou i joów wodoopodobc m postć: V [W..] µ E gdi: Z Vˆ [W..] - opto Lplc dfiiow wom [W..7] Sfci smtc potcjł w ówiu [W..] umożliwi odili w im mic; fukcję moż pisć w postci ilocu: lm ϑ R Y ϑ [W..] l lm Fukcjmi Y wstępującmi w wo [W..] są fukcj kulist dfiiow womi [W..7-77]. Z pc wcjowc stępujm wstępując w ic licb kwtow J i M licbmi kwtowmi l i m Y J M Y l m. Fukcj R- tw. fukcj dil jst dfiiow stępująco: Z Z l F l ; l ; Z R l N l gdi: - głów licb kwtow l- poboc obitl licb kwtow l.- Nl l! [W..] Z / l! l! F b; to wodił fukcj ipgomtc dfiiow wom: F b; b! b b! b b b! [W..7]... [W..9] W itsującm s ppdku tj. F l ; l ; Z fukcj t jst wilomim stopi -l- mij Egi włs tomu wodou i joów wodoopodobc jst kwtow tlko p licbę kwtową : µz E [W..9] Wó t w jdostkc tomowc pjmuj postć: Z E [W..9b] Fukcj lm są ówocśi fukcjmi włsmi miltoiu kwdtu momtu pędu i skłdowj towj momtu pędu: H lm E lm [W..9] Mˆ lm l l lm [W..9] M m [W..9] lm lm Pwdopodobiństwo potki lktou w lmci d moż pisć jko: dp ϑ R Y ϑ siϑddϑd [W..9] l lm Scłkowi powżsgo wżi po współędc ϑ i dj: dp R d [W..9] l W tkim i dil cli lż tlko od mij gęstość pwdopodobiństw to: dp ρ Rl [W..9] d Z.
Pkłd. Zjdź jw postci obitli p i p - dl tomu wodou.. Utwó powżsc fukcji odpowidi obitl cwist.. Któ wmiioc wilkości ficc: gi kwdt momtu pędu skłdow tow momtu pędu i są osto d w stc opisc obitlmi p p - i obitlmi wpowdomi w pukci.. Oblic wtość śdią b jbdij pwdopodobą odlgłości lktou jdującgo się obitlu p od jąd. Ad. Obitl p i p - cli i możm wó [W..] pisć w postci: ϑ R Y ϑ [..] ϑ R Y ϑ [..b] Fukcj R pjmi wó [W..7] postć: R ; F N ;! gdi: N / /!! [..] [..b] F W tkim i: R ; [..c] / / [..d] Y ϑ o ϑ Postci fukcji Y ostł wpowdo w pkłdi wo [..] i [..b]: Y Y i ϑ siϑ [..] π i ϑ siϑ [..b] π Osttci tm: / i i / ϑ si siϑ π π / i i ϑ / si ϑ p [..] p si [..b] π π Ad. Obitlmi cwistmi będą kombicj liiow podc obitli spoloc p i p - o postci: N 'p p i N" p p gdi N i N są stłmi omującmi odpowidią kombicję. Tk postć obitli cwistc wik woów Eul: im im cos m [..] im im i si m Stosując j w sm ppdku mm: N p p N' ϑ si N' siϑ cos ' π / i i π / [..b] [..] Stł omliując kombicji N jst ów poówj: Pkłd pukt. Uomową cwistą fukcję o podj iżj postci ocm jko obitl p w wiąiu do współędc sfcc w któc mm siϑ cos Alogici:. p p p siϑ cos [..] π / N p p N" ϑ si N' i siϑ si " π / i i π / [..7]
Ab utwoo obitl bł uomowm obitlm cwistm: N " i Uomową cwistą fukcję o podj iżj postci ocm jko obitl p w współędc sfcc siϑ si. p i p p siϑ si π / [..] Ad. Ab móc okślić wtość gii kwdtu momtu pędu i skłdowj towj momtu pędu dl lktou jdującgo się dm obitlu musim ć wtości licb kwtowc- odpowidio l i m [wo W..9-9]. Zstw licb kwtowc cktującc obitl p p - p i p podo w poiżsj tbli obitl l m p p - - p * p * Dl kżdgo itsującc s obitli możm okślić wtości licb i l co tm idi wtości gii i kwdtu momtu pędu jdującc się ic lktoów. Wtość mgtcj licb kwtowj m jst jdoci okślo tlko dl obitli p i p - tm dl jdującc się ic lktoów możm okślić wtość skłdowj towj momtu pędu. Ad. Wtość śdi poówj wó [W..] odlgłości lktou jdującgo się obitlu p od jąd opis jst wom: p [..9] p W tkim i: π π π / siϑ cos / siϑ cos siϑddϑd π π π π π si cos dd d d si d cos d ϑ ϑ π ϑ ϑ π π si ϑ π [..] ϑd [..] cos d π [..b] d 77 [..c] Powżs oblici moż upościć bioąc pod uwgę ż fukcję moż obić cęść dilą lżą od itsującj s mij i kątową lżą od mic ϑ i. Kżd tc fukcji osob musi bć uomow. Mm tm: π π p p siϑddϑd π π π π # # R Y ϑ siϑddϑd R d Y ϑ siϑdϑd Poiwż wuku uomowi dug cłk musi bć ów jdości to: [..] R d [..]
Wstwijąc postć fukcji R mm: / 77 d d d R [..] Rdilą gęstość pwdopodobiństw wó [W..9] moż w sm ppdku pisć jko: R ρ [..] Po wstwiiu jwj postci fukcji R otmujm / C ρ [..] gdi C Nsm clm jst lii mksimum okłdu gęstości dgo wom [..]: ' C C ρ C [..] Mijsc ow fukcji ' ρ to: ' ρ lub lub 7 lub 7 [..7] jj mksim globl ppdją dl 7 i 7 [..]
Zdi do smodilgo owiąi: Zdi Fukcj flow lktou obitlu s tomu wodou m postć: Ψ ϑ N p gdi ϑ ocją odpowidi współę sfc p cm pomiń lico jst w jdostkc bwmiowc.. Zlźć wtość stłj omującj N.. Oblicć gęstość pwdopodobiństw lii lktou w pukci ; ϑ ;.. Oblicć pwdopodobiństwo lii lktou wąt sf o pomiiu.. Nskicowć wks lżości dilj gęstości pwdopodobiństw ρ od.. Oblicć śdią wtość odlgłości lktou od jąd. Zdi 9 Obitl d i d - moż pisć w postci ilocu ic cęści dilj i kątowj.. Wgowć dilą cęść fukcji d i d -.... Wgowć fukcj włs kwdtu momtu pędu i jgo skłdowj towj potb do pisi jwj postci fukcji d i d - Zpisć jw postci obitli d i d -. Zpisć jw postci obitli cwistc d i d któ moż utwoć obitli d i d -. Okślić jki wtości gii kwdtu momtu pędu skłdowj towj momtu pędu moż uskć w wiku pojdcgo pomiu tc wilkości dl lktou jdującgo się obitlu: δ d d
Pkłd 7 Cąstck wodou jst mkięt w sścim pudl o omic mkoskopowc. Zlźć jj st włs tktując cąstckę. Jko pukt mtil pousjąc się swobodi w gicc pudł. Jko otto stw o swobodj osi obotu pousjąc się swobodi w gicc pudł. Jko otto o swobodj osi obotu pousjąc się swobodi w gicc pudł p cm uc tomów wdłuż osi wiąi lż potktowć jko dgi moic o młj mplitudi. Ad. Zgodi wukmi di cąstckę wodou lż potktowć jko pukt mtil pousjąc się wwąt sścigo pudł potcjłu. Hmiltoi sj cąstcki wodou w ukłdi śodk ms pism tm poówj wó [W..] jko: H d d d c M d d d M c [.7.] gdi Mm m oc msę tomu wodou. Tki ukłd bł już owż w pkłdi ; fukcj włs i gi włs cąstcki wodou jdującj się w sścim pudl potcjłu o kwędi l d są wpowdomi wcśij womi [..] i [..]: π l l E Ml π l π l si si si [..] [..] Ad. Ruc cąstcki wodou w opisc wukc będi łożim jj ucu tslcjgo modl: cąstk w pudl potcjłu i ucu obotowgo modl: otto stw Hmiltoi tkigo ukłdu możm tm pisć w postci sum dwóc komutującc cłoów kżd ic dił i mi: H H c H ot gdi H c będi cęścią miltoiu wiąą ucm tslcjm H ot cęścią miltoiu wiąą ucm otcjm cąstcki wodou jdującj się w opisc wukc. Piws cęść lż od współędc śodk ms cąstcki m postć opisą wom [.7.] dug cęść lż od kątów ϑ i jst idtc jk w wo [W..7] H ot siϑ si [.7.] I ϑ ϑ ϑ si ϑ W tkim i d d d H siϑ I siϑ ϑ ϑ [.7.] M d d d si ϑ J ϑ Y ϑ [.7.] J M M gdi - fukcj włs cąstcki wodou tktowj jko cąstk w sścim pudl potcjłu d wom [..] J YM ϑ -fukcj włs cąstcki wodou tktowj jko otto stw d womi [W..7-79]. Egi sgo ukłdu będi sumą gii cąstcki wodou wikjącj obu odjów ucu: E E c E ot [.7.] cli wo [..] i [W..] E J J [.7.] Ml I Ad. Ruc cąstcki wodou w opisc wukc będi w pbliżiu łożim jj ucu tslcjgo modl: cąstk w pudl potcjłu ucu obotowgo modl: otto stw i ucu oslcjgo modl: osclto moic. Zkłdjąc bk spężi pomięd ucm osclcjm i otcjm dgi młj mplitudi mm: H H H H c ot osc 7
gdi H c i H ot d są womi [..] i [.7.] H osc możm pisć poówj wó [W..] jko: ζ ζ µ k H d d osc Q Y Q J M M J ϑ ϑ gdi Q to fukcj włs osclto moicgo Q H N Q Q ζ mk Q N i H są dfiiow womi [W..7] i [W..].