F I N A N S E I P R A W O F I N A N S O W E

F I N A N S E I P R A W O F I N A N S O W E 0 1 4 Journal of Finane and Finanial Law 1/2014 Maiej Górski Mgr, absolwent Uniwersytetu Łódzkiego, Wydziału Ekonomizno-Sojologiznego, kierunku Finanse i Rahunkowość ZASTOSOWANIE TEORII LOG-PERIODYCZNOŚCI W PROGNOZOWANIU KRACHÓW GIEŁDOWYCH Streszzenie W niniejszym artykule zaprezentowane zostanie zastosowanie najnowszej metody prognozy wystąpienia krahów giełdowyh w opariu o analizę fraktalną. Zawarte w nim wnioski mają na elu wykazanie, że trajektorie en akji zawierają pewne wzore log-periodyzne, które potwierdzają występowanie słabej hipotezy rynku efektywnego. Owe zjawiska mogą również wynikać ze speyfiznyh zahowań inwestorów. Teoria log-periodyznośi może być zastosowana do prognozowania zmian trendów. W pray zostanie zbadana skutezność predykji na jej podstawie w odniesieniu do skrajnie różnyh (pod względem rozwoju) rynków akji. Słowa kluzowe: efektywność rynku kapitałowego, analiza tehnizna, teoria log-periodyznośi, krah giełdowy, analiza fraktalna. WPROWADZENIE Głównym elem poniższego artykułu jest weryfikaja prawdziwośi słabej hipotezy rynku efektywnego w opariu o metody analizy fraktalnej. Przedstawione w nim analizy będą opierać się na metodah statystyznyh franuskiego ekonofizyka Didiera Sornette a jednego z twórów teorii log-periodyznośi. Do zastosowania modelu log-periodyznego w prognozowaniu krahów giełdowyh zostaną wykorzystane dane indeksów WIG oraz S&P 500 z lat 2003 2008. Oblizenia przeprowadzono w programie Solver aplikaji Mirosoft Exel 2007. Badane zostały następująe okresy: hossa w latah kwieień 2004 wrzesień 2007 oraz krah giełdowy z października 2007 r. Istotność prognoz została sprawdzona za pomoą testów statystyznyh. W pray zostaną poddane analizie następująe hipotezy: 1. Teoria log-periodyznośi skuteznie prognozuje wystąpienie zasu rozpozęia krahu lub korekty (zmiany trendu) na skrajnie różnyh pod względem wielkośi kapitalizaji rynkah giełdowyh; [6]

Finanse i Prawo Finansowe Journal of Finane and Finanial Law, 1/2014 7 2. Wprowadzenie osylaji log-periodyznyh statystyznie istotnie poprawia jakość modelu i dopasowanie danyh teoretyznyh do empiryznyh dla historyznyh wartośi indeksów; 3. Zahowanie kursu głównego indeksu na relatywnie słabo rozwiniętym polskim rynku kapitałowym odpowiada najsłabszej formie teorii rynku efektywnego; natomiast typowe metody analizy tehniznej, do któryh zaliza się także teoria log-periodyznośi, nie są odpowiednie dla prognoz kursu najbardziej rozwiniętego indeksu amerykańskiego; 4. Preyzja prognoz zasu rozpozęia się zmiany trendu zależy śiśle od zastosowanej metody estymaji, w szzególnośi od rodzaju formuły log- -periodyznośi. Głównym elem analizy jest weryfikaja wyżej wymienionyh hipotez, w szzególnośi zbadanie, zy: przyzyny krahu giełdowego zapozątkowanego we wrześniu/październiku 2007 r. można utożsamiać z działaniami spekulantów i speyfiznym zahowaniem inwestorów, na wykresah wartośi indeksów S&P 500 i WIG widozne są w pewnyh przedziałah zasu w latah 2003 2007 osylaje periodyzne, którym towarzyszy nieliniowy trend o harakterze wykładnizym, proedura oblizeniowa oparta na teorii log-periodyznośi może być z powodzeniem zastosowana dla rynków giełdowyh: amerykańskiego i polskiego oraz krahu z lat 2007 2008, mimo wielu założeń statystyznyh w zastosowaniu teorii log-periodyznej różne modele oparte na niej prezentują podobne wyniki. Jako, że teoria log-periodyznośi jest jednym z narzędzi analizy tehniznej, którą stosuje się do zagregowanyh en akji (indeksów), jej efektywność prognostyzna powinna być lepsza dla mniej rozwiniętego rynku polskiego zgodnie z zaawansowaną teorią rynku efektywnego. Inne zynniki jednak, takie jak: harakter trendu poprzedzająego gwałtowny spadki na rynkah, obeność lokalnyh minimów/maksimów oraz relaja ilośi spekulantów do fundamentalistów mogą okazać się deydująymi dla wyników predykji modeli log- -periodyznyh. 1. LOG-PERIODYCZNOŚĆ NA RYNKACH KAPITAŁOWYCH Rynki akji są systemami dynamiznymi, na któryh oddziałują dwie klasy inwestorów: spekulani (zazwyzaj są to zwolenniy analizy tehniznej) i fundamentaliśi. Zahowanie tyh pierwszyh prowadzi do nieliniowyh, zęsto wykładnizyh trajektorii en, a działania praktyków analizy fundamentalnej przyzyniają się do pojawienia się fluktuaji log-periodyznyh z odpowiednimi właśiwośiami skalująymi. Zmiany en danego aktywa są uzależnione od

8 Maiej Górski, Zastosowanie teorii log-periodyznośi w prognozowaniu... relaji popyt podaż, inazej mówią od różniy pomiędzy zleeniami kupna i zleeniami sprzedaży ( ).Wielkość zleeń netto ( ) jest uzależniona od działań wszystkih traderów i zmienia się niemal natyhmiastowo, odzwieriedlają przepływ informaji i opinie oraz nastroje inwestorów. Skrajne wartośi wpływają na trwałe odhylenia enowe (np. wykazane jako logarytm eny waloru) i są uzależnione od pewnyh stałyh zynników. Czynniki te powiązane są z zahowaniami uzestników rynku i są to: podążanie za trendem i preferowanie oszaowanej wartośi fundamentalnej [Sornette 2003: 217 218]. Pierwsza strategia implikuje tezę, że inwestorzy reagują bardziej niż proporjonalnie na duże zmiany en, a ignorują małe skoki enowe. Wielkość zleeń netto jest w tym przypadku równa różniy logarytmu eny dziś i wzoraj podniesionej do potęgi lizby większej od jednośi. Prowadzi to do zjawiska punktu krytyznego (przemiany) zyli punktu, od którego następuje gwałtowna i stała zmiana trendu [Sornette 2003: 218]. W przypadku inwestorów fundamentalnyh wielkość zleeń netto ( ) występuje jako funkja różniy pomiędzy logarytmem eny a logarytmem oszaowanej wartośi rynkowej. W estymaji tej ostatniej zęsto zyni się upraszzająe założenia (np. dotyząe wskaźnika wzrostu dywidend), które poddają w wątpliwość jej preyzję odzwieriedlenia rzezywistośi. W konsekwenji trader wzorująy się na wartośi fundamentalnej nie będzie dostrzegał bodźa do kupna walorów, gdy ta wartość nie różni się zbytnio od eny rynkowej. Kierowanie się oszaowaną wartośią rynkową odzwieriedlone jest w osylajah, któryh zęstotliwość uzależniona jest od amplitudy odhyleń tej wartośi od eny rynkowej. Wspólne działanie obu grup (analityków tehniznyh, jak i fundamentalnyh) na rynku prowadzi do oraz to zęstszyh osylaji z ostrzejszymi wierzhołkami oraz oraz większej dynamiki trendu, zbiegająyh się w zasie krytyznym (t ). Z geometryznego punktu widzenia, trajektorie en z tymi dwiema harakterystykami przypominają spiralę, odzwieriedlająą hierarhizną organizaję zależnośi ena dynamika w zasie występują osylaje log-periodyzne [Ide i Sornette 2002: 3 36]. Punkt krytyzny, który jest niejako odpowiednikiem rozpozęia krahu i harakteryzuje się występowaniem przed jego zaistnieniem osylaji log- -periodyznyh, należy analizować przez pryzmat zęśi składowyh funkji log-periodyznej. Mają na uwadze zmodyfikowaną postać równania [Oświęimska i in. 2009: 1 2]: F ( λ x) = µ F( x) można uznać, że stała µ opisuje właśiwośi zmian systemu pod wpływem współzynnika skalująego λ. Zgodnie z teorią dyskretnego równania skalowania system wykazuje ehy samo-podobieństwa, gdy istnieje określona lizba parametrów λ [Dróżdż, Bartolozzi i in. 2008].

Finanse i Prawo Finansowe Journal of Finane and Finanial Law, 1/2014 9 Dążą do wyznazenia kompletnej formuły log-periodyznośi należy najpierw przeanalizować konept, który jest powiązany z występowaniem punktów krytyznyh, zyli wykładnizy harakter zmian en. Można go określić następująym równaniem [Dróżdż i in. 2008]: log[ p( t)] α = A + B( t t) (formuła 1) Powyższa równość wymaga pewnyh objaśnień [Sornette 2003: 336 338]: nieznanymi argumentami są A, B, t, α i na podstawie powyższyh danyh wartośi t oraz zmiennej objaśnianej: log[p(t)] istnieje możliwość ih oszaowania, wartość α powinna osylować, według twóry konepji log-periodyznośi D. Sournetta pomiędzy 0,2 i 0,8. Z tego też powodu, aby funkja odzwieriedlała trend rosnąy (malejąy) parametr B musi być ujemny (dodatni). Wześniej wymieniona funkja periodyzna nie wymagała przyjęia żadnyh ustalonyh zasad jej kształtowania i dlatego różni autorzy hieli wyznazyć jej najlepszą postać funkyjną, możliwą do zastosowania w praktye. W jej poszukiwaniu bardzo pomonym elementem okazało się współwystępowanie powtarzająyh się, podobnyh do siebie wzorów. Struktury te niosą za sobą najwięej informaji o dynamie rynku. W końowym rozrahunku otrzymano funkję periodyzną w postai szeregu Fouriera pozwalająą rozłożyć funkję okresową na sumę funkji trygonometryznyh. W połązeniu z wześniej omawianym równaniem wykładnizym podstawowa formuła uwzględniająa log-periodyzne osylaje prezentuje się następująo: α log[ p( t)] = A + B( t t) {1 + C os[ ω log( t t) + φ]} (formuła 2) gdzie ω związane jest z zęstotliwośią i równa się ω = 2π/ln(π), natomiast parametr φ określa zas występowania osylaji (T). Interpretuje się go jako φ = ω lnt [Dróżdż i in. 2008: 2 3]. Dla krótszyh szeregów zasowyh należy zastosować moduł funkji kosinus, przez o model lepiej uwzględnia lokalne minima [Dróżdż i in. 2005: 2]. Warto zaznazyć, że parametry A, B, C zależą liniowo od ztereh zmiennyh: t, α, φ oraz ω. Najlepszym sposobem ih wyznazenia jest nieliniowa metoda najmniejszyh kwadratów lub zastosowanie innyh algorytmów wyznazania maksimów/minimów i parametrów równania (np. algorytm Levenberga-Marqardta). Warto wspomnieć, że wartość t musi być większa od ostatniej daty próby, tak aby model mógł zostać wykorzystany do prognoz [Sornette i Johansen 2001].

10 Maiej Górski, Zastosowanie teorii log-periodyznośi w prognozowaniu... Didier Sornette przedstawił jeszze jedną postać funkji log-periodyznej, zawierająą dwa dodatkowe parametry t oraz ω : log[ p( t)] = A + B ω t t + log(1 + ( ) 2α t ( t t) t t 1+ ( ) 2α t + Φ α 2 2α )]} {1 + C os[ ω log( t t) + (formuła 3) Powyższy wzór winien być stosowany dla dłuższyh szeregów zasowyh, ponieważ uwzględnia on płynne przejśia głównyh trendów np. z malejąego na rosnąy bez wystąpienia zjawiska krytyznego, zyli bez formowania się bańki spekulayjnej [Sornette i Johansen 2001: 336]. Sornette i Zhou zbudowali również formułę log-periodyzną uwzględniająą harmonizność funkji log-periodyznej dla zęstotliwośi 2ω, której postać wygląda następująo [Sornette i Zhou 2002: 1 3]: log[ p( t)] = + D( t t) α A + B( t t) os[2ω ln( t α {1 + C os[ ω log( t t) + φ ] 2 t) + φ ] + 1 (formuła 4) Powyższe równanie różni się od poprzednih dodaniem proporjonalnej amplitudy D i parametru φ 2. Parametry dotyhzas wymienionyh równań mają jedną poważną wadę. Objawia się ona w niestabilnośi parametrów z wyjątkiem parametru ω powiązanego z λ. Pozostałe z nih, zwłaszza parametr α, są nietrwałe ze względu na występowanie obserwaji odstająyh oraz zmiany długośi próby. Problem braku uniwersalnośi parametru α został rozwiązany przez belgijskiego badaza N. Vandewalle a, który zaproponował następująą postać modelu log-periodyznego [Vandewalle i in. 1999]: t t t t log[ p ( t)] = A + B ln {1 + C os[ ω log( ) + φ]} (formuła 5) t t W powyższym równaniu założono, że parametr α powinien być zastąpiony przez logarytm naturalny. Oznaza to, że jego wartość jest bliska zeru. Dzięki temu zabiegowi ilość parametrów, którą należy wyznazyć, zmniejszyła się o jeden element [Vandewalle i in. 1998].

Finanse i Prawo Finansowe Journal of Finane and Finanial Law, 1/2014 11 Ozywiśie błędnym jest założenie, że każda zauważalna fluktuaja na wykresie wartośi indeksów zy nawet kursów akji może być zaklasyfikowana jako pewien urywek rozkładu log-periodyznego. Kilka z tyh fluktuaji bowiem jest spowodowana zynnikami zewnętrznymi, które występują ałkowiie losowo w przeiwieństwie do hierarhiznyh, wywołanyh zahowaniami inwestorów osylaji. Dzięki shematyznym postaiom tyh ostatnih możliwe było wyznazenie ih postai funkyjnej oraz udowodnienie stabilnośi parametru λ [Dróżdż, Ruf i in. 2008]. 2. ZAKRES I CEL BADANIA Przeprowadzone badanie empiryzne, wykorzystująe formuły log-periodyznośi w predykji krahu opiera się na wykresie wartośi dwóh indeksów: amerykańskiego S&P 500 i polskiego WIG-u. Oba indeksy w swoih krajah obejmują największą wartość kapitalizaji spółek giełdowyh. Dane obejmują okres: 2003 2010 i pohodzą z portalu: www.stooq.pl. Oblizenia zostały przeprowadzone w aplikaji Mirosoft Exel, w której do optymalizaji parametrów posłużono się programem Solver. Efektem końowym badania jest oszaowany na podstawie danyh historyznyh zas krytyzny tj. moment, w którym powinien rozpoząć się krah giełdowy. Podkreśla się, że teoria log-periodyznośi powinna przede wszystkim wskazywać dzień zapozątkowania zmiany trendu. Jej elem nie jest wyznazenie dokładnej wartośi indeksu w punkie szzytowym. Oszaowaną wartość T można porównać do rzezywistej wartośi zasu krytyznego i w ten sposób oenić zdolność prognostyzną modelu opartego na danej formule log- -periodyznośi (prognoza ex post). Wybrane indeksy reprezentują dwa skrajnie różne rynki: należąy do grupy emerging markets rynek giełdowy w Polse (WIG) oraz najbardziej rozwinięty na świeie rynek amerykański (S&P 500). Wysuwa się tezę, że oba indeksy reprezentują różne formy efektywnośi rynku. Rynek polski utożsamia się z formą najsłabszą, gdzie fundamenty spółki i wiadomośi inside traderów w głównej mierze determinują eny akji, lez stosowanie analizy tehniznej również może okazać się skutezne. Rynek amerykański natomiast odzwieriedla formę półmoną, a niekiedy najmoniejszą. Z tego powodu można założyć, że zastosowanie teorii log-periodyznośi, opartej na ruhah historyznyh osiągnie lepsze rezultaty dla rynku polskiego. Autor zbada tę tezę i spróbuje udowodnić, że teoria log-periodyznośi skuteznie prognozuje wystąpienie typowo spekulayjnego krahu giełdowego na wybranyh, skrajnie różnyh rynkah. Powyższe daty zostały wybrane na podstawie: formaji najwyższego szzytu utworzonego w danym zasie i nie następująymi po nim kolejnymi, wyższymi maksimami,

12 Maiej Górski, Zastosowanie teorii log-periodyznośi w prognozowaniu... zjawiska tak zwanej super-bańki, gdzie po odreagowaniu na pewny gwałtowniejszy spadek następuje kolejny lokalny szzyt, po którym rozpozyna się dopiero trwały trend malejąy. Tabela 1. Czas występowania zmian trendów zaobserwowanyh na indeksie WIG i S&P 500 WIG Ofijalna data rozpozęia krahu 15 października 2007 r. Skonwertowana data 7,792 S&P 500 Ofijalna data rozpozęia krahu 12 października 2007 r. Skonwertowana data 7,784 Ź r ó d ł o: opraowanie własne na podstawie: Sornette [2003]. Przed przystąpieniem do prezentaji wyników prognozy pierwszego krahu giełdowego z 2007 r. przy zastosowaniu modelu log-periodyznego dla indeksów: WIG i S&P 500, warto wyjaśnić, w jaki sposób dokonano oblizeń. Wykorzystano 4 główne, wześniej opisane formuły log-periodyzne: podstawową formułę Sornette a (oznazoną jako formułę 2), formułę uwzględniająą przejśia trendów (formuła 3), formułę harmonizną (formuła 4), wzór Vandewalle a (formuła 5). Formuła 1 nie zawiera zęśi funkji odpowiedzialnej za osylaje, dlatego w analizie empiryznej została ona pominięta. W elu dopasowania danyh empiryznyh do przeprowadzenia estymaji należało usunąć wszystkie dni, w któryh nie odbywały się sesje giełdowe, o skróiło próbę. Czas został odpowiednio skonwertowany. W programie Solver zastosowano jako funkję elu kryterium minimalizaji kwadratów reszt pomiędzy rzezywistymi wartośiami (kursu) indeksu podanyh w logarytmie a wartośiami wyznazonymi z funkji log-periodyznej. Od minimalizaji kwadratów reszt zależą wartośi parametrów funkji, które Solver dopasowuje do funkji kryterium (metoda najmniejszyh kwadratów). W podstawowej formule Sornette a należy oszaować 7 nieznanyh parametrów: A, B, C, α, ω, φ oraz najważniejsze T. Wybrano osiem harakterystyznyh t start, w okoliah któryh następowały widozne maksima/minima lub inne zdarzenia o harakterze tehniznym: 01.01.2003 r., 01.01.2004 r., 01.10.2004 r., 28.02.2005 r., 01.06.2005 r., 01.10.2005 r., 01.02.2006 r., 01.07.2006 r. Następnie dla tyh dat startowyh zastosowano identyzne t last (30.06.2007 r.), biorą pod uwagę wześniej określone kryteria. Po przeprowadzeniu estymaji, kierują się najlepszymi oszaowaniami T, tzn. takimi, które najbardziej były

Finanse i Prawo Finansowe Journal of Finane and Finanial Law, 1/2014 13 zbliżone do prawdziwej daty wystąpienia pierwszej kryzysowej korekty na WIG lub S&P500, dokonano wyboru dwóh t start, prezentująyh najlepsze wyniki. W wybranyh datah startowyh przeprowadzono estymaje dla 5 10 wielkośi t last, aby zbadać niezmiennizość wześniej wyznazonyh wyników parametrów, zwłaszza zasu krytyznego. Warto dodać, że przed przeprowadzeniem estymaji dokonano restrykji na 3 parametry w modelu. Zgodnie ze wskazówkami innyh autorów parametr α powinien osylować pomiędzy wartośiami 0,2 i 0,8. Została podtrzymana restrykja na parametr λ = 2 [Dróżdż, Ruf i in. 2008], od którego wartośi zależy wartość ω, a wartość T powinna być większa od t last, aby prognoza była logizna. 3. WYNIKI BADANIA Wyniki analiz przedstawiają się dość obieująo. Dla około 5 6 t start z ustalonym t last = 31.06.2007 r. dla obu analizowanyh indeksów, T osylowało w okoliah daty krytyznej (+/ miesią), za którą uznano dla indeksu S&P 500 przedział zasowy 12.10.2007 r. 19.10.2007 r. (skonwertowane: t = 7,784 7,803), natomiast dla indeksu WIG przedział zasowy 15.10.2007 r. 22.10.2007 r. (t = 7,792 7,811). W przedziałah tyh nastąpiły pierwsze wyraźne spadki kursów indeksów i zostały one poprzedzone maksimami indeksów, które już nie zostały ponownie osiągnięte. Poniżej znajdują się wyniki estymaji T i kwadraty błędów reszt dla różnyh dat końowyh, dla t start = luty 2005 r. dla indeksu WIG oraz t start = październik 2005 r. dla S&P 500. Tabela 2. Wyniki estymaji parametru T oraz wartośi sumy kwadratów reszt dla WIG-u dla danyh dat końowyh (data startowa = 28.02.2005 r.) Estymowany zas krytyzny Suma kwadratów błędów Data ostatezna estymaji (rzezywisty: 7,792 7,811) reszt modelu Czerwie 2006 9,134 0,5088 Grudzień 2006 7,861 0,6549 Luty 2007 7,868 0,6899 Marze 2007 7,833 0,0716 Kwieień 2007 7,776 0,7326 Maj 2007 7,777 0,7370 Czerwie 2007 7,824 0,7576 Lipie 2007 7,859 0,7794 Sierpień 2007 7,935 1,1095 Ź r ó d ł o: jak do tab. 1.

14 Maiej Górski, Zastosowanie teorii log-periodyznośi w prognozowaniu... Tabela 3. Wyniki estymaji parametru T oraz wartośi sumy kwadratów reszt dla S&P 500 dla danyh dat końowyh (data startowa = 03.10.2005 r.) Data ostatezna Estymowany zas krytyzny Suma kwadratów błędów estymaji (rzezywisty: 7,784 7,803) reszt modelu Czerwie 2006 6,583 0,0765 Wrzesień 2006 7,620 0,0381 Grudzień 2006 7,728 0,0417 Luty 2007 7,887 0,0522 Kwieień 2007 7,838 0,0596 Czerwie 2007 7,832 0,0622 Sierpień 2007 7,940 0,1657 Ź r ó d ł o: jak do tab. 1. Tabela 4. Wyniki estymaji parametru T dla drugih optymalnyh dat startowyh (dla WIG t start = październik 2004 r., a dla S&P 500 t start = październik 2004 r.) przy wybranyh datah końowyh Data ostatezna Estymowany zas krytyzny Estymowany zas krytyzny estymaji (rzezywisty: 7,792 7,811) dla WIG (rzezywisty: 7,784 7,803) dla S&P 500 Grudzień 2006 7,863 7,701 Luty 2007 7,870 7,785 Marze 2007 7,842 7,799 Kwieień 2007 7,787 7,792 Czerwie 2007 7,829 7,795 Ź r ó d ł o: jak do tab. 1. Tabela 5. Wyniki estymaji T dla określonej daty końowej = zerwie 2007 r. i wszystkih t start dla obu indeksów (wybrane optymalne daty startowe zostały wyeksponowane pogrubioną zionką) Daty rozpozęia Estymowany zas krytyzny Estymowany zas krytyzny estymaji (rzezywisty: 7,792 7,811) dla WIG (rzezywisty: 7,784 7,803) dla S&P 500 Styzeń 2003 7,929 7,823 Styzeń 2004 7,973 8,010 Październik 2004 7,829 7,795 Luty 2005 7,824 7,791 Czerwie 2005 7,802 7,828 Październik 2005 7,701 7,832 Luty 2006 7,770 7,625 Lipie 2006 7,741 7,847 Ź r ó d ł o: jak do tab. 1.

Finanse i Prawo Finansowe Journal of Finane and Finanial Law, 1/2014 15 Mają na uwadze wartośi w wymienionyh tabelah można wyiągnąć następująe wnioski: zdeydowana większość oszaowanyh dat krytyznyh dla danyh t last na obu rynkah odzwieriedla zas wystąpienia kryzysu zbliżony do rzezywistego przedziału (zazwyzaj występują mało znaząe zawyżenia), szaowanie parametrów funkji log-periodyznej dla przedziału zasowego końząego się około miesią (i mniej) przed kryzysem może zawyżać wartość T ; dla t last powyżej 1,25 roku przed wystąpieniem sytuaji kryzysowej otrzymano mało wiarygodne wyniki, ze względu na zbyt duże skróenie próby i pominięie najważniejszyh informaji w końowyh miesiąah trendu rosnąego, optymalnie jest szaować parametry dla przedziału zasowego końząego się od 2 do 10 miesięy (w skrajnyh przypadkah nawet roku); potwierdzają to wyniki dla drugih optymalnyh t start na obu rynkah, zgodne prognozy pozwalają przypuszzać, że trend rosnąy miał harakter spekulayjny na obu rynkah, o spowodowało powstanie punktu krytyznego (pęknięie bańki), w którym zbiegały się osylaje; hoć geneza kryzysu finansowego z 2007 r. ma podstawy makroekonomizne, zmiany kursów indeksów były spowodowane głównie zahowaniem stadnym inwestorów. Pozostałe formuły log-periodyzne zostały zastosowane tylko dla jednej daty startowej. Sprawdzono dla niej spójność wyników danyh metod dla różnyh t last, wykorzystują wszystkie trzy pozostałe formuły. Tabela 6. Wyniki prognoz zasu krytyznego dla określonego, optymalnego t start (dla WIG t start = październik 2004 r., a dla S&P 500 t start = październik 2004 r.) przy wykorzystaniu trzeh pozostałyh formuł Formuły Formuła 3 uwzględniająa przejśie trendu Formuła 4 harmonizna Formuła 5 Vandewalle a Daty końowe Czas krytyzny WIG Czas krytyzny S&P 500 (t last ) (rzezywisty: 7,792 7,811) (rzezywisty: 7,784 7,803) Grudzień 2006 7,815 7,706 Marze 2007 7,845 7,801 Kwieień 2007 7,791 7,795 Czerwie 2007 7,829 7,795 Grudzień 2006 7,789 7,693 Marze 2007 7,774 7,803 Kwieień 2007 7,762 7,797 Czerwie 2007 7,821 7,796 Grudzień 2006 8,219 7,730 Marze 2007 7,890 7,847 Kwieień 2007 7,943 7,836 Czerwie 2007 7,852 7,813 Ź r ó d ł o: jak do tab. 1.

16 Maiej Górski, Zastosowanie teorii log-periodyznośi w prognozowaniu... Zaobserwowano, że: wszystkie formuły log-periodyznośi prezentują zbliżone, spójne wyniki, rzezywisty zas rozpozęia kryzysu pokrywa się w większośi przypadków z prognozą. W elu sprawdzenia statystyznej istotnośi zęśi periodyznej w podstawowej formule log-periodyznej zastosowano test Wilka. W tym elu posłużono się następująym zestawem hipotez: H 1 : C = 0, zyli zęść log-periodyzna funkji nie poprawia istotnie jakośi modelu, H 2 : C 0, główne parametry pełnej formuły log-periodyznej są statystyznie istotne. Tabela 7 prezentuje wyniki dla optymalnyh t start i t last. Tabela 7. Wyniki testu Wilka dla optymalnyh wartośi t start i t last indeksów WIG i S&P 500 Indeks, t start, t last σ 1 σ 2 L 1 L 2 T 1,2 P 1,2 (%) WIG 02.2005 06.2007 0,001925 0,001293 1000,61 1117,18 233,15 <10-4 WIG 10.2004 06.2007 0,001955 0,001176 1172,75 1347,93 350,34 <10-4 S&P 500 10.2005 06.2007 0,00052 0,000142 1033,153 1318,7423 571,1786 <10-4 S&P 500 10.2004 06.2007 0,000476 0,00038 1662,49 1739,156 153,332 <10-4 Ź r ó d ł o: opraowanie własne na podstawie Sornette i Zhou [2002: 10 11]. Wysokie statystyki T 1,2 powodują, że prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju, zyli odrzuenia hipotezy pierwszej na korzyść drugiej, gdy ta pierwsza jest prawdziwa, jest bardzo niskie. Z tego powodu, we wszystkih przypadkah należy odrzuić hipotezę H 1 na korzyść H 2 dodanie zęśi logperiodyznej widoznie poprawia jakość wyników i zdolnośi prognostyzne, zwłaszza oszaowanie parametru T. W teśie zastosowano rozkład hi-kwadrat o 1 stopniu swobody. Zbadano również, zy dodanie parametru D w formule harmoniznej istotnie poprawia jakość prognostyzną modelu. We wszystkih przypadkah hipoteza podstawowa nie została odrzuona. Sugerowałoby to, że główna formuła Sornette a lepiej tłumazy zahowanie się kursów indeksów amerykańskiego i polskiego w latah przed kryzysem giełdowym w 2007 r. niż bardziej rozbudowana formuła harmonizna. PODSUMOWANIE Speyfika natury ludzkiej, w tym inwestorów, ih zdolność do naśladownitwa, zahowań stadnyh, tworzenia hierarhii informayjnyh, w połązeniu z działaniami fundamentalistów prowadzi do typowo nieliniowyh zależnośi

Finanse i Prawo Finansowe Journal of Finane and Finanial Law, 1/2014 17 kształtowania się trajektorii wartośi indeksów giełdowyh, ozdobionyh powtarzająymi się osylajami. Owe ehy kształtowania się en rynku zawierają pewne informaje dotyząe przyszłego krahu. Twarde dowody występowania log-periodyznośi w algebrze, biologii, analizie fraktalnej i innyh naukah pozwoliło twóry tej konepji D. Sornette owi zastosować tę teorię dla rynków finansowyh. Jak pokazano w artykule może być ona śmiało wykorzystana do prognozowania anomalii rynkowyh. Istnieje jednak szereg ogranizeń i założeń w tworzeniu prognoz na niej opartyh. Przede wszystkim metoda log-periodyzna, jak pokazują badania empiryzne, z dużą dokładnośią dopasowuje się do danyh empiryznyh tylko w przypadku typowo spekulayjnyh ruhów indeksów. Należy również zwróić uwagę, że modele log-periodyzne mają skłonnośi do tworzenia tzw. zagnieżdżeń, wynikająyh ze speyfiki funkji Weiestrasse a oraz eh samopodobieństwa. Mimo powyższyh ogranizeń, teoria log-periodyzna jest bardzo dobrym predyktorem załamania rynkowego z 2007 r. Należy jeszze raz zaznazyć, że estymaja nie wyznazała dokładnej wartośi indeksu w punkie krytyznym. Jest to pewna wada modelu, lez można ją pominąć, gdyż tak naprawdę elem jego stosowania jest prognoza zasu rozpozęia zmiany trendu, która okazała się trafna. Wszystkie wykorzystane formuły prezentowały spójne wyniki, a zęść periodyzna istotnie poprawiła wartość współzynnika determinaji w obu przypadkah. Zastosowanie różnyh wartośi t start i t last pozwoliło zbadać wrażliwość parametrów oraz wybranie modelu optymalnego, ze względu na minimalizaję kwadratów reszt. Test Wilka we wszystkih przypadkah potwierdził tezę, że zastosowanie modelu z osylajami log-periodyznymi istotnie poprawia dopasowanie danyh empiryznyh do teoretyznyh dla wszystkih indeksów. Sukesy większośi prognoz dla indeksu WIG wynikają z harakteru polskiego rynku giełdowego. Jest on nadal rynkiem rozwijająym się, o relatywnie niskiej wielkośi obrotów, przez o zęśiej jest narażony na ataki spekulantów. Z kolei, dla rynku amerykańskiego stosowanie analizy tehniznej do predykji krahów okazuje się niewłaśiwym krokiem, ale tylko w krótkiej perspektywie. Na rynku tym załamania indeksu S&P 500 są wynikiem trwająyh latami mehanizmów endogeniznyh, napędzanyh zynnikami zewnętrznymi, typu: niewypłaalność banków sprzedająyh CDS-y. Zaprezentowane w artykule analizy, mogą być ulepszone przy wykorzystaniu bardziej zaawansowanyh metod estymaji aniżeli metoda Newtona, dzięki którym można uzyskać dokładniejsze wyniki zasu krytyznego. Postuluje się tutaj stosowanie nieliniowej metody najmniejszyh kwadratów zy też algorytmu Levenberga-Marquardta. Praa może być również poszerzona o analizę anty-bańki z lat 2007 2009, korekty z lipa 2011 r. i prognozę ex ante długoterminową dla innyh indeksów oraz rynku surowowego.

18 Maiej Górski, Zastosowanie teorii log-periodyznośi w prognozowaniu... Znalezione w pray uporządkowane, hierarhizne osylaje periodyzne, występująe w kursah historyznyh indeksów S&P 500 oraz WIG, spójność większośi wyników oraz małe błędy oszaowań potwierdza aktualność i prawdziwość słabej hipotezy rynku efektywnego. Pomimo tego, że rynki kapitałowe są oraz bardziej rozwinięte, zastosowanie analizy tehniznej wiąż prowadzi do prawidłowyh deyzji dotyząyh wejśia lub wyjśia z inwestyji. BIBLIOGRAFIA D r óż dż S. i i n., 2008, Log-periodi self-similarity: An emerging finanial law?, Elsevier Siene, Kraków, http://arxiv.org/pdf/ond-mat/0209591v2.pdf [data dostępu: 06.06.2012]. D r óż dż S., B a r t o l o z z i M. i i n., 2008, Self-Similar Log-Periodi Strutures in Western Stok Markets from 2000, APS, Kraków, http://arxiv.org/pdf/ond-mat/0501513v4.pdf [data dostępu: 06.06.2012]. D r óż dż S., G r u m m e r F., R u f F., S p e t h J., 2005, Predition oriented variant of finanial log-periodiity and speulating about the stok market development until 2010, Polish Aademy of Sienes, Kraków. D r óż dż S., Oświę i m k a P., 2009, World stok market: More sizeable trend reversal likely in February/Marh 2010, Institute of Nulear Physis, Kraków. D r óż dż S., Oświę i m k a P., K w a p i eń J., 2008, Critiality Charateristis of Current Oil Prie Dynamis, Ata Physia Polonia A, vol. 114, Kraków. D r óż dż S., R u f F. i i n., 2008, Imprints of log-periodi sel-similarity in the stok market, Institute of Nulear Physis, Kraków. G n a iński P., M a k o w i e D., 2004, Another type of log-periodi osillations on Polish stok market, Physia A, nr 344. I d e K., S o r n e t t e D., 2002, Osillatory finite-time singularieties in finane, population and rupture, Physia A, nr 307. Oświęi m k a P., D r óż dż S., K w a p i eń J., G ó r s k i A. Z., 2009, Fratals, log-periodiity, finanial rashes, Ata Psysia Polonia A, Rzeszów. S o r n e t t e D., 2003, Why stok markets rash, Prineton University Press, Prineton. S o r n e t t e D., J o h a n s e n A., 2001, Signifiane of log-periodi preursors to finanial rashes, Quantitative Finane, no. 1. S o r n e t t e D., Z h o u W. X., 2002, The US 2000 2002 Market Desent: How muh longer and deeper?, Los Angeles. V a n d e w a l l e N. i i n., 1999, Visualizing the log-periodi pattern before rashes, The European Physial Journal B, Liege. V a n d e w a l l e N., A u s l o o s M., B o u v e r o u x Ph., M i n g u e t A., 1998, How the finanial rash of Otober 1997 ould have been predited, The European Physisa l Journal B, no. 2. THE APPLICATION OF LOG-PERIODICITY THEORY IN FORECASTING FINANCIAL CRASHES The main purpose of this artile is to apply the newest foreast methods of finanial rashes based on fratal analysis. The artile inludes short review of log-periodiity formulas and the researh whih shows the foreasting effiieny of these formulas referring to extremely different

Finanse i Prawo Finansowe Journal of Finane and Finanial Law, 1/2014 19 (in the size, development et.) finanial markets. Considerations refer to following problem: share prie trajetories ontain ertain log-periodiity patterns whih indiate the lak of share market effiieny. This problem is also indued by speifi investor s behavior. This behavior in ombination with speulators ativities are the main reasons of reating bubbles and finanial rashes. Key words: finanial market effiieny, tehnial analysis, log-periodiity theory, finanial rash, fratal analysis.