Krzysztof Piasecki Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Aksjomat synergii w arytmetyce finansowej Problem badawczy Pieniądz odpowiednio traktowany zwiększa swą wartość wraz z upływem czasu. Jest to przyrost wartości realnej będącej naturalną konsekwencją ogólnego kierunku rozwoju społeczności ludzkiej, polegającej na zwiększeniu wartości tworzonych towarów i usług. Pieniądz, jako ekwiwalent tych produktów bezpośrednio na nie wymienialny, zwiększa zatem w czasie swą wartość. Jest to wyidealizowany ze względów na zastosowanie tutaj zasadę ceteris paribus model przyrostu wartości pieniądza. Ostatnio w polskiej literaturze problem pracy ludzkiej jako czynnika kształtującego przyrost wartości jednostki pieniężnej podnosi Dobija [] cytując przy okazji cały szereg prac równie prominentnych autorów wyrażających ten sam pogląd. Przyrost ten jest dokładnie modelowany przy pomocy całego systemu równań nazywanego kiedyś matematyką finansową [3], [7],a w chwili obecnej arytmetyką finansową [6] lub teorią procentu [4], []. Przy analizie tych modeli uderza ich wysoka złożoność logiczna wyrażająca się dużą ilością przyjętych założeń. W [5] zaproponowano uproszczenia tego systemu na drodze zbudowania matematycznej teorii aksjomatyczno-dedukcyjnej. Przyjęto implicite jednak tam założenie, że tempo przyrostu wartości kapitału jest niezależne od ilości zgromadzonego kapitału. Praktyka gospodarowania i teoria ekonomii wskazują jednak bardzo wyraźnie, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Efekt ten nazywa się efektem synergii kapitału. W prezentowanej pracy zostanie przedstawiona implementacja warunku synergii kapitału do zaprezentowanego w [5] układu aksjomatów arytmetyki finansowej. - -
- -. Arytmetyka finansowa podstawy ujęcia aksjomatycznego Cześć ta w całości została opracowana na podstawie [5]. Tam też można znaleźć dowody przedstawionych tutaj twierdzeń. Na wstępie zostanie przedstawiony model opisującego proces przyrostu (aprecjacji) wartości kapitału w jednoznacznie wyróżnionym przedziale czasowym 0,T. Model ten odnosi się do instrumentu finansowego o wartości nominalnej C w momencie t 0. Wartość C nazywamy wartością początkową. Przyjmujemy tutaj umowę, że nieujemne wartości finansowe odpowiadać będą przychodom, należnościom lub pozostałym aktywom, podczas gdy ujemne wartości finansowe opisywać będą wydatki, zobowiązania lub inne pasywa. Wartości początkowej C i dowolnemu momentowi czasowemu t 0,T przypisujemy wartość przyszłą s C, t. Oznacza to, że wartość przyszła spot jest funkcją określoną nad dziedziną określoną przez iloczyn kartezjański R 0, T c, t: c R, t 0, T. Podstawowe własności wartości przyszłej spot opisuje poniższa definicja. Definicja : Wartością przyszłą nazywamy funkcję s : R [0, T] R spełniającą - dla dowolnych wartości początkowych C, C R i momentów czasowych t, t 0, T warunki: sc C, t sc, t sc, t t t C 0 sc, t sc, t C, 0 C ; () ; () s. (3) Warunek () zakłada, że dowolnie wyznaczana wartość przyszła jest funkcją addytywną wartości początkowej. Oznacza to, że wartość przyszła sumy kapitału jest równa sumie wartości przyszłych kapitału. Warunek ten wyklucza efekt synergii kapitału i z tego względu będzie szczegółowo rozważany w drugiej części tej pracy. Warunek () informuje nas, że wraz z upływem czasu wartość przyszła aktywów nie może zmaleć. Inaczej mówiąc, na oszczędzaniu nie można stracić. Warunek (3) identyfikuje wartość przyszłą spot przypisaną chwili bieżącej z wartością początkową. Weźmy pod uwagę teraz strumień finansowy reprezentowany przez parę t, C 0, T R, gdzie symbol t oznacza moment przepływu strumienia, zaś symbol C opisuje wartość nominalną tego przepływu. Wartość bieżąca strumienia finansowego t, C jest taką wartością początkową PV t, C, której wartość przyszła przypisana momentowi przepływu strumienia t, C jest równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości - -
- 3 - s PV t C, t C,. (4) Twierdzenie : Tożsamość (4) jest równoważna tożsamości PV t sc, t C, (5) Proces wyznaczania wartości bieżącej wartości kapitału. nazywamy potocznie dyskontowaniem Twierdzenie : Warunki (), (), (3) i (4) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T spełnione były warunki: PV t, C C PV t, C PV t, C t t C 0 PV t, C PV t, C 0, C C ; (6) ; (7) PV. (8) Dzięki Twierdzeniu wiemy, że na to, aby opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną wartość przyszłą spełniającą warunki (), () i (3) albo dowolną wartość bieżącą spełniające warunki (6), (7) i (8). W pierwszym przypadku wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (4). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (5).. Aksjomatyczne ujęcie efektu synergii kapitału Pan Profesor Antoni Smoluk z Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu w swej recenzji wydawniczej książki [5] zaproponował zastąpienie w Definicji warunku () przez warunek 0, T: sc C, t sc, t sc t C C R t, ; (9), Zaproponowany warunek jest modelem dopuszczającym efekt synergii kapitału. Oznacza to przyjęcie założenia, że tempo przyrostu wartości kapitału lokowanego w pewnym przedsięwzięciu rośnie wraz ze wzrostem wartości zainwestowanego kapitału. Prawdziwość tego założenia wielokrotnie była weryfikowana empirycznie. Dyskutując warunek (9) warto też zauważyć, że dla C 0 warunek ten opisuje efekt dźwigni finansowej. Z tego powodu warunek (9) zostanie wykorzystany w tej części do uogólnienia definicji wartości przyszłej kapitału do przypadku nie wykluczającego już efektu synergii. - 3 -
- 4 - Definicja : Uogólnioną wartością przyszłą nazywamy funkcję s : R [0, T] R spełniającą - dla dowolnych wartości początkowych C, C R i momentów czasowych t, t 0, T warunki: (), (3) i (9). Twierdzenie 3: Dowolna uogólniona wartość przyszła posiada właściwości: s : R [0, T] R R t 0, T: sc, t 0 0, T: s0, t 0 R t 0, T: sc, t 0 R t 0, T: sc, t s C, t 0 C, C R t 0, T: C C sc, t sc, t Dowód: Z () i (3) dla dowolnej pary C, t R 0, T s C, t sc,0 C 0, co dowodzi (0). Stąd jeśli C C, to z (9) dla dowolnego t 0,T s C, t sc C, t sc, t sc, t, co dowodzi (4). Korzystając z (9). dla dowolnego t 0,T s 0, t s0, t s0, t 0 s0, t C, (0) t, () C, () C, (3). (4) otrzymujemy mamy otrzymujemy. (*) Z drugiej strony, korzystając z () i (3), dla dowolnego momentu czasowego t 0,T otrzymujemy 0, t s0,0 0 s. (**) Zestawiając razem (*) i (**) otrzymujemy (). Korzystając z (9) i (), dla C, t R 0, T mamy dowolnej pary 0 s C C, t sc, t s C, t, co dowodzi (3). Korzystając teraz z (0) i (3), dla dowolnej pary C, t R 0, T otrzymujemy 0 s C, t s C, t sc, t, co dowodzi () i kończy dowód całego twierdzenia. Warunki (0) i () informują, że klasa aktywów finansowych i klasa pasywów finansowych są zamknięte ze względu na operację wyznaczania wartości przyszłej. Warunek () pokazuje, że efekt synergii kapitału nie jest samoistnym źródłem pojawienia się możliwości arbitrażu cenowego. Treścią warunku (3) jest informacja, że jeśli wartości początkowa aktywów jest równa - 4 -
- 5 - zwrotowi z wartości początkowej pasywów, to tempo przyrostu wartości przyszłej aktywów nigdy nie przekracza tempa względnego przyrostu wartości przyszłej pasywów. Wszystkie te wnioski potwierdzają poprawność wykorzystania warunku (9) w celu uogólnienia definicji wartości przyszłej. Warunek (4) przedstawia uogólniona wartość przyszłą, jako rosnącą funkcję wartości początkowej kapitału. Dzięki temu, dla każdej ustalonej wartości momentu czasowego t 0,T istnieje funkcja odwrotna do funkcji s, t: R R. Formalne spostrzeżenie to będzie nam ułatwiać dowodzenie dalszych twierdzeń. Analogicznie do podanego w poprzedniej części pojęcia wartości bieżącej, uogólniona wartość bieżąca strumienia finansowego t, C jest taką wartością początkową PV t, C, której uogólniona wartość przyszła przypisana momentowi przepływu strumienia t, C jest równa wartości nominalnej C tego przepływu. Ta definicja w formalny sposób może być zapisana przy pomocy tożsamości s PV t C, t C,. (5) Lemat : Dowolna uogólniona wartość bieżąca PV 0, T R R warunek: 0, T: C C PV t, C PV t C R t, : spełnia C, C. (6) Dowód: Wprost z (4) i (5). Twierdzenie 4: Tożsamość (5) jest równoważna tożsamości PV t sc, t C Dowód: W tożsamości (5) podstawiamy C sc, t, (7) PV t, sc, t, t sc t s,, co razem z (4) daje (7). i mamy wtedy Twierdzenie 5: Warunki (), (3), (9) i (5) są warunkami dostatecznymi i koniecznymi na to, aby dla dowolnych wartości C, C R i t, t 0,T spełnione były warunki: PV t, C C PV t, C PV t, C ; (8) t t C 0 PV t, C PV t, C ; (9) PV 0, C C. (0) Dowód: Korzystając z (5) i z (9), dla dowolnej trójki C, C, t R 0, T otrzymujemy - 5 -
- 6 - s (PV (t, C + C ), t ) = C + C = s (PV (t, C ), t ) + s (PV (t, C ), t ) s (PV (t, C ) + PV (t, C ), t ) Powyższa nierówność wraz z (4) dowodzi (8). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (8). Korzystając z (7) i (8) otrzymujemy wtedy PV PV t, sc C, t C C t, sc, t PV t, sc, t PV t, sc C, t. Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (9). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami (9) i (8). Z warunku () i (5) mamy s PV t C, t s PV t, C, t C spv t, C,, t, co razem z (6) dowodzi (9). Załóżmy teraz prawdziwość warunku (9). Korzystając z (7) i (9) otrzymujemy wtedy PV t, sc, t PV t, sc, t C PV t, sc t., Powyższa nierówność wraz z (6) dowodzi (). Została zatem wykazana równoważność pomiędzy warunkami () i (9). Z (3) i (5) mamy PV C, C s PV 0, C, 0 0, co dowodzi równoważności warunków (3) i (0). Konieczność i dostateczność warunków (), (3) i (9) została wykazana. Dzięki Twierdzeniom 4 i 5 wiemy, że na to, aby w pełni opisać procesy aprecjacji kapitału i dyskontowania wartości kapitału dopuszczające efekt synergii kapitału, wystarczy określić jedynie dowolną uogólnioną wartość przyszłą spełniającą warunki (), (3) i (9) albo dowolną uogólnioną wartość bieżącą spełniające warunki (8), (9) i (0). W pierwszym przypadku uogólnioną wartość bieżącą jest wyznaczana przy pomocy zależności (5). W drugim przypadku wartość przyszła jest wyznaczana przy pomocy zależności (7). Przedstawione tutaj wyniki wskazują, że w sytuacji - gdy spodziewamy się ujawnienia efektu synergii kapitału - dla jednoznacznego zdefiniowania modelu aprecjacji kapitału wystarczy jednoznacznie określić merytoryczne uzasadnione uogólnioną wartość przyszłą albo uogólnioną wartość bieżącą. - 6 -
- 7 - Zakończenie Oceniając znaczenie przedstawionych powyżej wyników należy tutaj podkreślić fakt, że opisane w Twierdzeniu 5 wzajemne relacje pomiędzy uogólnioną wartością przyszła i uogólnioną wartością bieżącą zostały udowodnione bez pomocy twierdzeń o współczynnikach aprecjacji i dyskontowania, tak jak to miało miejsce w [5] w przypadku dowodzenia Twierdzenia. Z drugiej strony zebrane tutaj wyniki są na tyle zachęcające, że wydaje się celowym kontynuowanie podjętych tutaj badań nad efektem synergii kapitału.. Na pierwszy ogień powinny iść uogólnione twierdzenia o czynnikach aprecjacji i dyskontowania. Tematem wartym podjęcia jest tez problem specyfikacji merytorycznie uzasadnionych jednoznacznych modeli uogólnionej wartości przyszłej. Literatura [] Chrzan P.; Matematyka finansowa. Podstawy teorii procentu, Oikońomos Sp.z o.o,. Katowice 00. [] Dobija M., Źródła wartości jednostki pieniądza [W:] Tarczyński W. (red.) Rynek kapitałowy- skuteczne inwestowanie (red. Tarczyński W.), Uniwersytet Szczeciński, Szczecin 00,, s.-38. [3] Dobija M., Smaga E.; Podstawy matematyki finansowej i ubezpieczeniowej, PWN, Warszawa-Kraków 995. [4] Luenberger D.G., Teoria inwestycji finansowych, Warszawa 003, Wydawnictwo Naukowe PWN. [5] Piasecki K., Od arytmetyki handlowej do inżynierii finansowej, Wydawnictwo Naukowe AE w Poznaniu, Poznań 005. [6] Smaga E.; Arytmetyka finansowa, PWN, Warszawa-Kraków 999. [7] Sobczyk M.; Matematyka finansowa, Placet, Warszawa 997. - 7 -
- 8 - STRESZCZENIE W pracy implementowano warunek synergii kapitału do układu aksjomatów arytmetyki finansowej opisujących wartość przyszła. Uzyskano w ten sposób pojęcie uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano podstawowe własności uogólnionej wartości przyszłej. Zbadano też własności uogólnionej wartości bieżącej. Zwrócono uwagę na kontekst ekonomiczny uzyskanych wyników formalnych. Synergy axiom in financial arithmetic SUMMARY In this paper the condition of capital synergy was implemented to the system of financial arithmetic axioms which describe future value. Into this way generalized notion of future value was gotten. Basic properties of generalized future value were examined. A property of generalized present value was also examined. Author paid attention to the economic context of gotten formal results. - 8 -