Janusz LISIECKI Sylwester KŁYSZ Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych PRACE NAUKOWE ITWL Zeszyt, s. 47 79, 7 r. DOI 1.478/v141-8--5 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU Podano zasady postępowania przy wyznaczaniu niepewności pomiaru. Przedstawiono podstawowe pojęcia dotyczące tego zagadnienia oraz sposób wyznaczania niepewności pomiaru dobrze określonej wielkości fizycznej stanowiącej wielkość mierzoną. Przedstawiono sposób szacowania niepewności pomiaru na przykładzie szacowania niepewności przy sprawdzaniu mikrometru i szacowania niepewności podstawowych parametrów wytrzymałościowych. Słowa kluczowe: niepewność pomiaru, niepewność typu A, niepewność typu B, błąd pomiaru, odchylenie standardowe, rozkład normalny, rozkład prostokątny, budżet niepewności, efektywna liczba stopni swobody. 1. Wstęp Zgodnie z wymaganiami normy PN-EN ISO 11 [1]: niepewność pomiaru powinna być oszacowana dla każdego procesu pomiarowego objętego systemem zarządzania pomiarami; oszacowania niepewności powinny być zapisywane, a wszystkie znane źródła zmienności pomiaru należy udokumentować; przy szacowaniu niepewności pomiaru trzeba uwzględnić, oprócz niepewności wzorcowania wyposażenia pomiarowego, wszystkie inne składniki niepewności, które są istotne w danym procesie pomiarowym, z wykorzystaniem odpowiednich metod analizy; jeżeli niektóre składowe niepewności są na tyle małe w porównaniu do innych składowych, że ich określenie jest nieuzasadnione technicznie i ekonomicznie, należy zrezygnować z ich obliczania, a decyzję i uzasadnienie zapisać; wysiłek poświęcony na określenie i zapisanie niepewności pomiaru powinien być współmierny do znaczenia wyników pomiarów dla jakości wyrobu.
48 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ Zgodnie z wymaganiami normy PN-EN ISO/IEC 175 [] w laboratorium akredytowanym: w przypadku przeprowadzania własnych wzorcowań lub sprawdzeń należy mieć i stosować procedurę (instrukcję) szacowania niepewności pomiaru dla każdego wzorcowania lub sprawdzenia; należy mieć i stosować procedury szacowania niepewności pomiaru; w przypadku, gdy charakter metody badawczej uniemożliwia ścisłe, metrologicznie i statystycznie uzasadnione obliczenie niepewności pomiaru, należy starać się zidentyfikować wszystkie składniki niepewności i dokonać racjonalnego jej oszacowania w oparciu o wiedzę o możliwościach metody i wcześniejsze doświadczenia; taki sposób szacowania niepewności powinien być opisany; w przypadku, gdy wykonywane są badania według dobrze znanej metody, w której określono graniczne wartości głównych źródeł niepewności pomiarów oraz sposób prezentacji wyników, wyniki te należy przedstawiać zgodnie z zapisami w procedurze badawczej lub instrukcji; źródła niepewności obejmują między innymi stosowane wzorce i materiały odniesienia, stosowane metody i wyposażenie, warunki środowiskowe, właściwości i stan obiektów poddawanych badaniu lub wzorcowaniu oraz wykonawcę badań.. Definicje metrologiczne [ 7] Błąd pomiaru jest to różnica między wynikiem pomiaru a wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Ponieważ wartość prawdziwa jest nieznana, to błąd nie może być w pełni wyznaczony. Błąd systematyczny jest to różnica między średnią z nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonywanych w warunkach powtarzalności, a wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Jest to błąd, który w warunkach powtarzalności jest stały lub zmienia się według znanego prawa. Poprawka jest to wartość dodana algebraicznie do surowego wyniku pomiaru w celu skompensowania błędu systematycznego. Poprawka jest równa wartości oszacowanego błędu systematycznego ze znakiem przeciwnym. Błąd przypadkowy jest to różnica między wynikiem pomiaru a średnią z nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Jest to błąd, który w warunkach powtarzalności zmienia się w sposób losowy.
Szacowanie niepewności pomiaru 49 Błąd gruby (nadmierny) wynika z nieprawidłowego wykonania pomiaru, np. z nieprawidłowego odczytu wskazania, użycia uszkodzonego przyrządu, niewłaściwego zastosowania przyrządu. Jeżeli w serii pomiarów pojawi się wynik obarczony błędem grubym, należy go odrzucić. Odchylenie różnica między daną wartością a wartością odniesienia. Błędy graniczne dopuszczalne (przyrządu pomiarowego) są to wartości skrajne błędu, dopuszczone przez warunki techniczne lub wymagania dotyczące danego przyrządu pomiarowego. Wartość prawdziwa wartość zgodna z definicją wielkości określonej. Wartość, jaką uzyskałoby się jako wynik bezbłędnego pomiaru. Wartość umownie prawdziwa wartość przypisana wielkości określonej i uznana, niekiedy umownie, jako wartość wyznaczona z niepewnością akceptowalną w danym zastosowaniu. Oznacza to, że jeżeli w danych okolicznościach niepewność wzorca można uznać za znikomo małą, to przypisana mu wartość jest wartością umownie prawdziwą. Wynik pomiaru jest to wartość przypisana wielkości mierzonej, uzyskana drogą pomiaru. Wynik surowy wynik pomiaru przed korekcją błędu systematycznego. Wynik poprawiony wynik pomiaru po korekcji błędu systematycznego. Dokładność pomiaru stopień zgodności wyniku pomiaru z wartością prawdziwą wielkości mierzonej. Dokładność pomiaru ma charakter jakościowy i nie można jej przypisywać wartości liczbowej. Rozdzielczość (urządzenia wskazującego) najmniejsza różnica wskazania urządzenia wskazującego, która może być zauważona w sposób wyraźny. Rozdzielczość jest jednym ze źródeł niepewności przyrządu pomiarowego. Wartość rozdzielczości należy przyjmować zgodnie z poniższymi zasadami: w urządzeniu wskazującym analogowym wyrażona stosunkiem szerokości wskazówki urządzenia do długości działki elementarnej, pomnożonej przez wartość działki elementarnej; w urządzeniu wskazującym cyfrowym jako połowa zakresu obserwowanych zmian plus jedna działka elementarna dla wskazań niestabilnych lub jedna działka elementarna, gdy wskazania nie zmieniają się więcej niż o jedną działkę elementarną. Dla urządzenia wskazującego analogowego przyjmuje się rozdzielczość: 1/ działki elementarnej przy długości działki elementarnej mniejszej niż 1,5 mm; 1/5 działki elementarnej przy długości działki elementarnej od 1,5 mm do,5 mm;
5 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ 1/1 działki elementarnej przy długości działki elementarnej większej niż,5 mm. Wzorcowanie zbiór operacji ustalających, w określonych warunkach, relacje między wartościami wielkości mierzonej przez przyrząd pomiarowy albo wartościami reprezentowanymi przez wzorzec miary lub przez materiał odniesienia a odpowiednimi wartościami wielkości realizowanymi przez wzorce jednostki miary. Wynik wzorcowania pozwala na przypisanie wskazaniom przyrządu odpowiednich wartości wielkości mierzonej lub na wyznaczenie poprawek wskazań. Sprawdzenie czynności stwierdzające zgodność narzędzia pomiarowego z wymaganiami przepisów legalizacyjnych, zaleceniami norm lub warunkami technicznymi. Najczęściej tymi wymaganiami są błędy graniczne dopuszczalne ±E g. Niepewność standardowa (u) niepewność wyniku pomiaru wyrażona w formie odchylenia standardowego. Niepewność typu A (u A ) niepewność obliczana metodą analizy statystycznej serii pojedynczych obserwacji (najczęściej z wykorzystaniem normalnego rozkładu wyników). Niepewność typu B (u B ) niepewność obliczana innymi metodami niż w przypadku A (najczęściej z wykorzystaniem rozkładu prostokątnego opisującego błędy systematyczne spowodowane nierozpoznanym oddziaływaniem systematycznym). Niepewność standardowa złożona (u c ) niepewność określana w przypadku występowania wielu składowych niepewności; dla pomiarów bezpośrednich jest pierwiastkiem sumy kwadratów niepewności składowych, dla pomiarów pośrednich sumowanie kwadratów niepewności składowych odbywa się z odpowiednimi wagami, zgodnie z prawem propagacji niepewności. Niepewność rozszerzona (U) jest iloczynem niepewności standardowej złożonej i współczynnika rozszerzenia k: U = k u c (1) Określa ona granice przedziału niepewności, któremu można przypisać określony poziom ufności. Poziom ufności (p) jest prawdopodobieństwem tego, że w przedziale niepewności wyniku pomiaru (w przedziale ufności) znajduje się wartość prawdziwa, co można zapisać: P = P{x (x-u; x+u)} ()
Szacowanie niepewności pomiaru 51. Wyrażanie niepewności pomiaru Celem pomiaru jest wyznaczenie wartości wielkości mierzonej, tj. wielkości określonej stanowiącej przedmiot pomiaru. Wynik pomiaru jest tylko przybliżeniem lub oszacowaniem (estymatą) wartości wielkości mierzonej i dlatego jest kompletny tylko wtedy, gdy jest podany wraz z oszacowaną niepewnością. Według przewodnika Wyrażanie niepewności pomiaru [4]: Niepewność (pomiaru) jest to parametr, związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej. Wyrażanie niepewności pomiaru dotyczy dobrze określonej wielkości fizycznej stanowiącej wielkość mierzoną, która może być scharakteryzowana przez pojedynczą wartość wyznaczoną w wyniku pomiaru. Terminem wielkość (która jest mierzalna) określona jest cecha zjawiska, ciała lub substancji, którą można wyróżnić jakościowo i wyznaczyć ilościowo. Niepewność pomiaru jest efektem błędów o charakterze losowym, jakie występują w procesie pomiarowym. Istotne jest rozróżnienie między pojęciem błędu i pojęciem niepewności pomiaru. Błąd jest zmienną losową, a niepewność jest parametrem rozkładu prawdopodobieństwa błędu. W ogólnej postaci wynik pomiaru Y składa się z [6]: wyniku surowego Y s, poprawki sumarycznej P Σ kompensującej wyznaczalne błędy, niepewności rozszerzonej U(Y) pomiaru wielkości Y w taki sposób, że: Y = (Y s + P Σ ) ± U(Y) () Składniki Y s i P Σ są obciążone niepewnościami cząstkowymi U(Y s ) i U(P Σ ), które składają się na niepewność U(Y). Po uwzględnieniu poprawek wynik pomiaru ma postać: gdzie: Y pop = Y s + P Σ jest wynikiem poprawionym. Y = Y pop ± U(Y) (4) Metody obliczania niepewności dotyczą wyników skorygowanych, tzn. po skompensowaniu składowej błędu systematycznego spowodowanej rozpoznanym oddziaływaniem systematycznym, przez dodanie do surowego wyniku poprawki lub pomnożenie go przez współczynnik poprawkowy. Zakłada się, iż skorygowany wynik pomiaru jest zmienną losową, której wartość oczekiwana jest równa wartości prawdziwej.
5 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ 4. Analiza źródeł niepewności Podstawowe źródła błędów w procesie pomiarowym, składających się na niepewność pomiaru [4, 6, 8]: Nieprecyzyjne określenie wielkości mierzonej i/lub niedoskonała realizacja definicji wielkości mierzonej Istotne jest precyzyjne określenie wielkości mierzonej. Każda nieścisłość w jej określeniu może być przyczyną błędów. Jeżeli wielkością mierzoną jest np. prędkość rozchodzenia się dźwięku w suchym powietrzu, to należy sprecyzować skład powietrza, jego temperaturę i ciśnienie. Niedokładność zastosowanej aparatury pomiarowej Wyposażenie pomiarowe jest podstawowym źródłem błędów. Efektem występowania różnych czynników, np. błędów wzorcowania, wykonania podziałki, nieliniowości, zmian wymiarów i innych właściwości części zespołów przyrządów w czasie oraz pod wpływem zewnętrznych warunków otoczenia są: błąd poprawności wskazania, rozrzut wskazań, błąd histerezy itp. Kwalifikacje i stan psychofizyczny obserwatora, z uwzględnieniem rozdzielczości przyrządu Niedoskonałość zmysłów ludzkich, jak również niewłaściwe rozmieszczenie przyrządów na stanowisku pomiarowym mogą być przyczynami błędów odczytania wskazań przyrządów. Błędy metody pomiarowej (np. przybliżenia i założenia upraszczające tkwiące w metodzie i procedurze pomiarowej) Pojawiają się wtedy, gdy zastosowana metoda nie umożliwia zmierzenia ściśle tej wartości, która miała być zmierzona, np. w wyniku oddziaływania przyrządu na wielkość mierzoną. Przykładem może być pomiar długości metodami naciskowymi powodujący odkształcenie sprężyste mierzonego obiektu, a tym samym zmianę jego wymiarów; termometr stykowy wprowadzony do badanego ośrodka zmienia jego temperaturę; woltomierz z długimi nieekranowanymi przewodami mierzy napięcie źródła zakłócone zniekształceniami. Niereprezentatywne pobieranie próbek Jest to składowa błędu spowodowana tym, że mierzona próbka nie jest reprezentatywna dla definiowanej wielkości mierzonej. Warunki otoczenia Warunki środowiskowe, tj. temperatura, ciśnienie, wilgotność, są czynnikami oddziałującymi na system pomiarowy, a tym samym na wynik pomiaru. Zewnętrzne czynniki, takie jak pola elektryczne i magnetyczne, drgania, zapylenie, uderzenia, promieniowanie jądrowe, mogą mieć znaczący wpływ na wynik pomia-
Szacowanie niepewności pomiaru 5 ru. Czynniki środowiskowe oddziałują zarówno na system pomiarowy, jak i na wielkość mierzoną. Błędy obliczeniowe wynikające np. z zaokrąglania wyników obliczeń obliczeń Niedokładnie znane wartości stałych i innych parametrów otrzymanych ze źródeł zewnętrznych i stosowanych w procedurach przetwarzania danych Rozrzut wartości wielkości mierzonej uzyskanych podczas obserwacji Jest spowodowany tym, że powtarzanie obserwacji odbywa się w warunkach pozornie identycznych. 5. Procedura szacowania pełnego wyniku pomiaru Procedurę szacowania pełnego wyniku pomiaru przedstawiono na rysunku poniżej. Rys. 1. Obrazowe przedstawienie procedury szacowania niepewności wyniku pomiaru [9]
54 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ 6. Równanie pomiaru Zależność wyniku pomiaru przedstawionego jako zmienna losowa Y od wielu zmiennych losowych X 1,, X n, procesu pomiarowego, tzn. wielkości mierzonych bezpośrednio, poprawek, stałych fizycznych oraz ich błędów opisuje równanie: Y = f(x 1, X, X,..., X n-1, X n ) (5) Funkcja f z tego równania może nie wyrażać żadnego prawa fizycznego, a opisywać jedynie proces pomiarowy. Powinna ona zawierać wszystkie wielkości modelujące wynik pomiarowy. Wielkości wejściowe (argumenty funkcji f) powinny być określone tak precyzyjnie, aby można było wyznaczyć jednoznacznie ich wartości. Oszacowaniem wielkości wyjściowej Y przyjętym za wynik pomiaru jest wartość y określona powyższym równaniem, w którym wielkości X 1,, X n zastąpiono estymatorami x 1,, x n, mianowicie: y = f(x 1, x, x,..., x n-1, x n ) (6) 7. Wyznaczanie niepewności standardowych dla wszystkich składowych [4, 6, 9] Należy oszacować niepewności standardowe u(x i ) wielkości wejściowych i wpływających na badanie. Dla badań (pomiarów), w których wykonuje się serie obserwacji, stosuje się metodę analizy statystycznej serii obserwacji typu A. Jeżeli niepewność wielkości wejściowej nie może być wyznaczona na podstawie serii pomiarów, stosuje się metodę typu B, tzn. wyznacza się niepewność standardową na podstawie informacji o możliwym zakresie zmienności tej wielkości. W metodzie A (dla wartości mierzonej lub błędów jej pomiaru opisywanych rozkładem normalnym) najlepszym oszacowaniem (estymatorem) wartości oczekiwanej µ, zmiennej losowej x, dla której dokonano n niezależnych obserwacji w warunkach powtarzalności pomiaru, jest wartość średnia z n otrzymanych wyników: 1 x = n n 1 x i (7)
Szacowanie niepewności pomiaru 55 Niepewnością standardową typu A nazywa się standardowe odchylenie eksperymentalne średniej. Wyznacza się je ze wzoru: u A ( x ) = u( x) n (8) gdzie: n ( x i x) 1 u( x) = (9) n 1 Wzory te są prawdziwe dla na tyle dużej serii obserwacji (przyjmuje się n > ), że wartość średnia jest wiarygodnym oszacowaniem wartości oczekiwanej. Na rys. przedstawiono zależność współczynnika n 1 od długości serii pomiarowej. i = 1 Rys.. Wykres przebiegu współczynnika 1 w funkcji liczby niezależnych obserwacji n [1] n Współczynnik poprawy niepewności standardowej eksperymentalnej n 1 maleje szybko dla małych n (dla n = 4 zmniejsza się -krotnie), a dla n dużych (powyżej kilkunastu) maleje powoli. Stąd nieuzasadnione jest nadmierne zwiększanie liczby pomiarów w serii. Tym bardziej, że zapewnienie warunków powtarzalnych przy długich seriach może być trudne. Liczba ta jednak powinna być na tyle duża, aby wartość średnia mogła być wiarygodnym oszacowaniem wartości oczekiwanej.
56 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ Duże serie pomiarowe (n > ) należy wykonywać wtedy, gdy chcemy wyznaczyć niepewność standardową połączoną u p (x). Niepewność tę wykorzystuje się później przy prowadzeniu podobnych badań w takich samych warunkach. Wtedy wykonując serię n 1 nowych pomiarów, znamy rozkład obserwacji i niepewność wyznaczamy ze wzoru: up( x) ua ( x) = (1) n 1 Jeżeli rozkład obserwacji nie jest znany, uzasadniona liczba pomiarów w serii zależy od wymaganego poziomu ufności niepewności rozszerzonej. Rys.. Zależność poziomu ufności p od współczynnika rozszerzenia k dla rozkładu normalnego [1] Tabela 1 Współczynniki rozszerzenia k obliczone z rozkładu t-studenta dla wybranych poziomów ufności p i liczby różnych stopni swobody ν ν p 68,7 7 9 95 95,45 99 99,7 1 1,84 1,96 6,1 1,71 1,97 6,66 5,8 1, 1,9,9 4, 4,5 9,9 19,1 1, 1,5,5,18,1 5,84 9, 4 1,14 1,19,1,78,87 4,6 6,6 5 1,11 1,16,,57,65 4, 5,51 6 1,9 1,1 1,94,45,5,71 4,9 7 1,8 1,1 1,89,6,4,5 4,5 8 1,7 1,11 1,86,1,7,6 4,8 9 1,6 1,1 1,8,6,,5 4,9 1 1,5 1,9 1,81,,8,17,96 1, 1, 1,65 1,96,,58,
Szacowanie niepewności pomiaru 57 Na podstawie przedstawionych danych można wysnuć wnioski co do racjonalnego wyboru liczby pomiarów w serii. Dla ν = współczynniki rozszerzenia k obliczone z rozkładu t-studenta i rozkładu normalnego pokrywają się. Natomiast różnice są znaczne dla krótkich serii pomiarów. Są one tym większe, im większy jest postulowany poziom ufności. Przyczyną tych różnic jest duża niepewność wyznaczania odchylenia standardowego średniej z mało licznej próby. Dla niezbyt dużych poziomów ufności (p 7%) różnice między danymi obliczonymi z obu rozkładów są istotne tylko dla krótkich serii pomiarów n 5, natomiast stają się mało istotne dla serii dłuższych (n > 5). Stąd wniosek, że dla n 5 współczynnik rozszerzenia należy obliczać z rozkładu t-studenta, natomiast dla n > 5 można obliczać z rozkładu normalnego. Przy dużych poziomach ufności (p 95%) różnice między danymi obliczonymi z rozkładu normalnego i t-studenta są znaczne nawet przy dużej liczności próby (powyżej 1 pomiarów). Stąd wniosek, że przy dużym postulowanym poziomie ufności p x (np. 99%) należy wybierać długie serie pomiarów (np. n > 1). Jak widać, poziom ufności dla niepewności standardowej u( x) = σx wynosi 68,%, a dla dwusigmowej niepewności rozszerzonej U = σ x jest równy 95,4%. Dla laboratoryjnych zastosowań takie poziomy ufności są wystarczające. Jednak w pewnych sytuacjach, zwłaszcza wtedy, gdy chodzi o zdrowie i bezpieczeństwo, wymaga się większych poziomów ufności. Wtedy zakłada się wymagany poziom ufności p α i z tablic wyznacza się odpowiedni współczynnik rozszerzenia. Poziom ufności dla współczynnika rozszerzenia (U = σ x ) wynoszący 99,7% uznaje się za bardzo wysoki, bliski pewności. W metodzie B, gdy mamy do czynienia z pojedynczym wynikiem lub liczbą pozyskaną z dokumentów, literatury, możliwe jest tylko oszacowanie granic a + i a - dla wielkości wejściowej X i i wtedy niepewność standardową oblicza się ze wzoru: gdzie: a a = a + + a ub ( xi ) = (11) k Wyznaczone w ten sposób u B (x i ) jest nazywane niepewnością standardową typu B. Jest to metoda analizy warunków występowania źródła błędu, zalecana do analizy i szacowania błędów instrumentalnych (aparaturowych). Jeżeli niepewność standardowa cząstkowa u(x i ) nie może być wyznaczona na podstawie powtarzanych obserwacji (serii pomiarów), to wyznacza się nie-
58 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ pewność standardową na podstawie informacji o możliwym zakresie zmienności tej wielkości, biorąc pod uwagę takie przesłanki, jak: wcześniej uzyskane dane pomiarowe, doświadczenie i wiedzę ogólną o właściwościach stosowanych materiałów i przyrządów, specyfikacje podane przez producenta, dane stanowiące wyniki wzorcowania lub pochodzące z innych certyfikatów, dane z tablic fizycznych. Jeżeli w dostępnych dokumentach, tablicach fizycznych lub innych źródłach jest określony zakres zmienności analizowanej wielkości, np.: podana jest niepewność rozszerzona U jako wielokrotność odchylenia standardowego, to niepewność standardową u oblicza się, dzieląc tę pierwszą wartość przez odpowiedni współczynnik rozszerzenia k, podana jest niepewność rozszerzona U jako przedział o określonym poziomie ufności, wtedy zakłada się rozkład normalny i dla podanego poziomu ufności przyjmuje odpowiedni współczynnik, nie jest podane k ani poziom ufności, należy stosować regułę σ, przyjmując k =. Należy rozważyć następujące cechy charakteryzujące dane źródło błędu: 1) czy istnieją informacje o tym, jaki rozkład prawdopodobieństwa ma dana wielkość (np. normalny, prostokątny, trójkątny), ) czy istnieją granice przedziału, w jakim dana wielkość jest zmienna, x i należy do (a -, a + ), ) jakie jest prawdopodobieństwo, że dana wartość wielkości x i znajduje się w danym przedziale. Przykłady wzorów do szacowania niepewności standardowej typu B podano w tabeli. Tabela Reguły szacowania typu B niepewności standardowych wybranych wielkości [9] Charakterystyka wielkości podlegających szacowaniu typu B rozkład możliwych wartości wielkości X i jest normalny, wartość wielkości X i leży w oszacowanych granicach od a - do a +, najlepsza przybliżona wartość x i odpowiada środkowi przedziału (a + + a - ), znana jest wartość współczynnika k odpowiadająca poziomowi Niepewność standardowa u(x i ) dla k = ; u(x i ) = a ; p =,99 dla k = ; u(x i ) = a ; p =,95 dla k = 1; u(x i ) = a; p =,68 u(x i ) = 1,48a (odnosi się do uwagi) Przykład zastosowania szacowania typu B gdy a jest niepewnością podawaną w świadectwie wzorcowania, gdy a jest niepewnością danych odniesienia, dla których znane są wartości współczynników k
Szacowanie niepewności pomiaru 59 ufności. Uwaga: także wtedy, gdy nieznana jest wartość współczynnika k p odpowiadająca poziomowi ufności, a istnieje 5% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej X i leży w przedziale od a - do a + rozkład możliwych wartości wielkości X i jest prostokątny (równomierny), najlepsza przybliżona wartość x i odpowiada środkowi przedziału (a + + a - ), istnieje 1% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej X i leży w przedziale od a - do a + rozkład możliwych wartości wielkości X i jest trójkątny, najlepsza przybliżona wartość x i odpowiada środkowi przedziału (a + + a - ), istnieje 1% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej X i leży w przedziale od a - do a + rozkład możliwych wartości wielkości X i jest arcsin, najlepsza przybliżona wartość x i odpowiada środkowi przedziału (a + + a - ), istnieje 1% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej X i leży w przedziale od a - do a + rozkład możliwych wartości wielkości X i nie jest dostatecznie znany, istnieje 1% prawdopodobieństwa, że wartość wielkości wejściowej X i leży w granicach przedziału a - = x i - b - do a + = x i + b +, który może być niesymetryczny względem najlepszej przybliżonej wartości x i, przyjmuje się zastępczo, że rozkład możliwych wartości wielkości X i jest prostokątny i że wartość wielkości X i leży w granicach przedziału od b - do b + gdzie a = gdzie a = gdzie a = gdzie a = (a + + u(x i ) = (a + + u(x i ) = (a + + u(x i ) = u(x i ) = u(x i ) = (a + + ) a - a ) a - a 6 ) a - a ) a - a + b 1 a + a 1 dla przedziału symetrycznego (a + - a - ) = a u (x i ) = a gdy a jest błędem granicznym przyrządu pomiarowego, gdy a jest błędem granicznym danej odniesienia, dla której nieznana jest wartość współczynnika k, niepewność rozdzielczości (r = a) urządzenia wskazującego (np. suwmiarki, mikrometru) gdy prawdopodobieństwo wystąpienia błędów w pobliżu granic przedziału jest mniejsze niż w pobliżu środka pola błędów, gdy rozrzut wskazań przyrządu pomiarowego jest zbyt mały w porównaniu z jego rozdzielczością, a nie ma możliwości pomiaru przyrządem o większej rozdzielczości pomiar średnicy elementu owalnego w losowym przekroju (odchyłki zarysu od okręgu średniego mają rozkład arcsin) gdy a jest rozdzielczością urządzenia wskazującego cyfrowego, gdy a jest szerokością zakresu zmian odczytów spowodowanych histerezą (wskazania różnią się w zależności od tego, czy odczyty są wykonywane przy rosnącej, czy malejącej wartości wielkości X i, gdy a jest błędem granicznym wynikającym z zaokrąglania lub obcinania liczb w trakcie obliczeń
6 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ Wyniki obliczeń otrzymane w ten sposób niekoniecznie muszą być gorsze od wyników obliczeń opartych na powtarzanych obserwacjach. W tabeli podano wartości niepewności niepewności, powstającej w sposób statystyczny w zależności od liczby obserwacji. Tabela Wartości stosunku odchylenia standardowego eksperymentalnego wartości średniej arytmetycznej n niezależnych obserwacji o rozkładzie normalnym do odchylenia standardowego średniej [4] σ [ s( q )] / σ( q ) Liczba obserwacji n 4 5 1 5 Z danych zawartych w tabeli wynika, że nawet dla n = 1 obserwacji niepewność niepewności wynosi 4%. Na tej podstawie można wnioskować, że obliczenia niepewności standardowej metodą typu A niekoniecznie są bardziej wiarygodne niż obliczenia niepewności standardowej metodą typu B i że w wielu praktycznie spotykanych sytuacjach pomiarowych, gdzie liczba obserwacji jest ograniczona, składniki otrzymane z obliczeń metodą typu B, mogą być lepiej znane niż składniki otrzymane z obliczeń metodą typu A. % 76 5 4 6 4 16 1 1 8. Wyznaczenie niepewności standardowej złożonej 8.1. Pomiary bezpośrednie Dla wielkości mierzonej bezpośrednio, kiedy uwzględnia się niepewność standardową typu A i typu B, złożona niepewność standardowa u C jest pierwiastkiem sumy kwadratów tych niepewności: C A B u = u + u (1)
Szacowanie niepewności pomiaru 61 8.. Pomiary pośrednie W większości przypadków wielkość poszukiwana y nie jest mierzona bezpośrednio, lecz wyznaczana na podstawie pomiarów innych wielkości x i związanych z nią określoną zależnością funkcyjną (patrz równanie pomiaru (6)): y = f(x 1, x, x,..., x n-1, x n ) (1) Na podstawie różniczki zupełnej formułowane jest prawo propagacji niepewności w postaci: n f uc ( y) = u ( xi ) (14) x u 1 i i ( i i y) = c u( x ) (15) gdzie: u(x i ) niepewności standardowe pomiaru wielkości wejściowych obliczone metodą typu A lub typu B; złożona niepewność standardowa u C (y) jest estymatą odchylenia standardowego σ y i charakteryzuje rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej y; f = ci pochodne cząstkowe nazywane są współczynnikami wrażliwości. x i Prawo propagacji niepewności jest słuszne, jeżeli zmienne wejściowe są nieskorelowane, co w praktyce pomiarowej zdarza się najczęściej. Jeżeli warunek o wzajemnej niezależności wielkości wejściowych nie jest spełniony, to należy korzystać ze wzoru uwzględniającego kowariancje: m m 1 m f = i x i 1 = i i = 1 j = i + 1 f f u C i, x x j ( y ) u ( x ) + u( x x ) i j (16) Wynik końcowy pomiaru wielkości Y oblicza się z funkcji, przyjmując średnie arytmetyczne wielkości bezpośrednio mierzonych: y = f x, x,..., x ) (17) ( 1 n
6 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ 8.. Budżet niepewności Jeśli poszczególne wielkości wejściowe są od siebie niezależne, to w celu zapewnienia przejrzystości analizy niepewności pomiaru można przedstawić dane istotne dla tej analizy w formie tabeli (tabela 4), czyli posłużyć się tzw. budżetem niepewności. Tabela 4 Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej dla nieskorelowanych wielkości wejściowych [8] Symbol wielkości X i Estymata wielkości x i Niepewność standardowa u(x i ) Współczynnik Rozkład wrażliwości prawdopodobieństwa c i Udział w złożonej niepewności standardowej u i (y) X 1 x 1 X x.. U u A (x 1 ) = normalny c 1 u 1 (y) = c 1 u A (x 1 ) x u B (x ) = prostokątny c u (y) = c u B (x ).... X N x N x u B (x N ) = N trójkątny c N u N (y) = c N u B (x N ) 6 Y y u c (y) 9. Wyznaczanie niepewności rozszerzonej W pomiarach bezpośrednich niepewność rozszerzona U jest iloczynem współczynnika rozszerzenia i złożonej niepewności standardowej: U = k u C (y) (18) gdzie u C (y) oblicza się ze wzoru dla pomiaru bezpośredniego (1). Współczynnik rozszerzenia dla zadanego poziomu ufności p powinien być obliczany na podstawie rozkładu standaryzowanej zmiennej losowej o rozkładzie będącym splotem rozkładu normalnego i rozkładu równomiernego, kiedy próba jest liczna, lub rozkładu t-studenta i równomiernego, kiedy próba nie jest liczna. W pomiarach pośrednich niepewność rozszerzona, oznaczana jako U, jest otrzymywana przez pomnożenie złożonej niepewności standardowej u C (y) przez współczynnik rozszerzenia k:
Szacowanie niepewności pomiaru 6 U = k u C (y) (19) gdzie u C (y) oblicza się ze wzoru dla pomiaru pośredniego (14), a wynik pomiaru podawany jest często umownie w postaci: Y = y ± U () Ścisłe obliczanie współczynnika rozszerzenia dla postulowanego poziomu ufności jest w przypadku pomiarów pośrednich zagadnieniem trudnym, ponieważ wymaga znajomości funkcji rozkładu gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej modelującej wynik pomiaru y. Jest ona splotem rozkładów składowych zmiennych losowych modelujących wielkości wejściowe. Obliczanie splotów jest trudne, z wyjątkiem przypadków szczególnych, do których należy splot dowolnej liczby rozkładów normalnych, który jest rozkładem normalnym o łatwych do obliczenia parametrach. Z tego względu w praktyce stosuje się przybliżone metody wyznaczania współczynnika rozszerzenia. 9.1. Przybliżone metody wyznaczania niepewności rozszerzonej [1] Metoda I narzuconych wartości współczynnika rozszerzenia Polega na zastosowaniu współczynnika k = dla poziomu ufności p 95% i k = dla poziomu ufności p 99%. Metodę tę stosuje się w sytuacjach pomiarowych, w których wielkości wejściowe X i są niezależne i: 1) wszystkie wielkości składowe złożonej niepewności standardowej u C (y) mają rozkłady normalne, ) wielkości składowe złożonej niepewności standardowej u C (y) mają rozkłady prostokątne, ale o tej samej szerokości i jest ich co najmniej, ) występuje znaczna liczba wielkości wejściowych X i (w praktyce nie mniejsza niż 4), złożona niepewność standardowa u C (y) nie jest zdominowana przez składową niepewności standardowej, obliczoną metodą typu A z serii niewielu obserwacji, lub składową niepewności standardowej, obliczoną metodą typu B z założonego rozkładu prostokątnego (tzn. niepewności c i u A (x i ) i c i u B (x i ) dają porównywalne wkłady do u C (y)), i u C (y) jest dużo większa od pojedynczego składnika c i u B (x i ). Metoda II sumy geometrycznej Polega na obliczaniu niepewności rozszerzonej U i dla każdej wielkości wejściowej (dla każdej składowej błędu) osobno i obliczaniu niepewności rozszerzonej wielkości wyjściowej U y jako pierwiastka sumy kwadratów składowych niepewności ze wzoru:
64 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ y x + U... 1 x + Uxn U = U + (1) Współczynniki rozszerzenia niepewności składowych należy obliczać dla tego samego poziomu ufności. Metoda III sumy zwykłej (algebraicznej) Sumowanie w dziedzinie niepewności: U = U A + U B lub U y = U x1 + U x + + U xn () Metoda zakłada najgorszy przypadek sumowania się błędów, tzn. taką sytuację, w której wszystkie błędy składowe mają wartości maksymalne i jednakowe znaki. Jest to mało prawdopodobne, co oznacza, iż metoda zawyża niepewność pomiaru, jest najbardziej pesymistyczna. Jest ona stosowana w pomiarach warsztatowych, z powodu łatwości obliczeń, a także w szczególnych sytuacjach lub przypadkach, np. wyznaczaniu tolerancji, w wymiarowaniu detali maszyn wymagających zachowania określonych luzów itp. Metoda IV dominującego składnika Zalecana jest w przypadkach, gdy dominuje jedna ze składowych niepewności typu A lub B. Jeżeli u A >> u B, to we wzorze (18) należy podstawić k = k A ; jeżeli u B >> u A, to we wzorze (18) należy podstawić k = k B. Dla normalnego rozkładu prawdopodobieństwa dla poziomu ufności 95,45% k =, dla poziomu ufności 99,7% k =. Dla prostokątnego rozkładu prawdopodobieństwa dla poziomu ufności 95%, k = 1,65, dla poziomu ufności 99%, k = 1,71. Metoda V efektywnych stopni swobody W tej metodzie niepewność rozszerzoną oznacza się U p i oblicza ze wzoru: U p = k p u C (y) = t p (ν eff ) u C (y) () gdzie t p jest współczynnikiem t z rozkładu t-studenta, odczytywanym z tablic, dla wybranego poziomu ufności p oraz dla efektywnej liczby stopni swobody ν eff. Liczbę ν eff wyznacza się ze wzoru Welcha-Satterthwaite a: 4 uc ( y ) νeff = (4) N i = 1 f x i 4 4 ui ( xi ) ν i
Szacowanie niepewności pomiaru 65 gdzie: u C (y) złożona niepewność standardowa wielkości wyjściowej, u(x i ) niepewności standardowe wielkości wejściowych, i = 1,,..., N, ν i liczby stopni swobody dla u(x i ). Praktyczne wyznaczenie liczby stopni swobody dla u(x i ): jeżeli składowa u(x i ) ma rozkład normalny, wtedy ν i = n 1, jeżeli składowa u(x i ) ma rozkład prostokątny o założonej szerokości a, to a u(x i ) = przyjmuje się bez niepewności, ponieważ granice tego rozkładu są dokładnie znane i wtedy ν i, czyli 1/ ν i, jeżeli źródło błędu jest zakwalifikowane do grupy B i rozpoznanie tego źródła błędu wskazuje, że standardową niepewność u(x i ) daje się oszacować u( xi ) jedynie z określonym błędem względnym δ ui =, wtedy u( x ) i ν i 1 1 δui Na przykład przy założeniu, że u(x i ) szacuje się z błędem 5%, liczba stopni 1 1 swobody ν i 8.,65 1. Przykłady szacowania niepewności pomiaru 1.1. Szacowanie niepewności przy sprawdzaniu mikrometru [6] 1.1.1. Równanie pomiaru Błąd wskazania mikrometru opisujemy równaniem: E x = (L W + P t ) ± U(E x ) [mm] (5) gdzie: L maksymalne wskazanie mikrometru z trzech pomiarów;
66 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ W długość nominalna płytki wzorcowej (W n ) z uwzględnieniem poprawki odchylenia długości płytki; P t poprawka temperaturowa; U(E x ) niepewność rozszerzona na poziomie ufności 1 α =,95. Wartość poprawki temperaturowej przyjmuje się za równą zeru. 1.1.. Równanie niepewności Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność standardowa związana z wyznaczonym bezwzględnym błędem wskazania mikrometru opisana jest wzorem: ( ) = ( u E c u ) (6) c x gdzie: c i współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji pomiaru względem jej składników. W tym przypadku c i = 1 lub c i = -1. Niepewność standardową błędu granicznego można zatem przedstawić w postaci wzoru: c x i i u ( E ) = u ( L) + u ( W ) + u ( P ) [mm] (7) 1.1..1. Wyznaczanie niepewności standardowych składowych Niepewność standardową wskazania mikrometru wyznacza się na podstawie rozdzielczości przyrządu r, wynoszącej w tym przypadku, mm (odczyt za pomocą lupy), metodą B, przyporządkowując jej rozkład prostokątny: t u( L) = r =, 58 mm (8) Niepewność standardową długości wzorca wyznacza się na podstawie niepewności rozszerzonej U wyznaczenia odchylenia długości płytki od długości nominalnej zawartej w świadectwie wzorcowania, metodą B, przyporządkowując jej rozkład normalny: U u ( W ) = [mm] (9)
Szacowanie niepewności pomiaru 67 Niepewność standardową poprawki temperaturowej u(p t ) wyznacza się, przyjmując, że współczynniki rozszerzalności liniowej wzorca i mikrometru są jednakowe: α W = α L = α t = 11,5 1-6 o C -1 i t = t W - t L (gdzie: t W = o C, t L temperatura w laboratorium ± 1 o C); niepewność u( t), wyznaczona metodą B (rozkład prostokątny), wynosi wtedy: t u(p t ) = W α t t [mm] () 1.1.. Budżet niepewności Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 5. Tabela 5 Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej przy sprawdzaniu mikrometru Symbol wielkości X i Estymata wielkości x i Niepewność standardowa u(x i ) Udział w złożonej niepewności standardowej u(x i ) dla poszczególnych n płytek wzorcowych L wzór (8) c i u 1 (L 1 ) c i u (L ) c i u (L ) c i u n (L n ) W wzór (9) c i u 1 (W 1 ) c i u (W ) c i u (W ) c i u n (W n ) P t wzór () c i u 1 (P t1 ) c i u (P t ) c i u (P t ) c i u n (P tn ) E x L - W wzór (7) wzór (7) wzór (7) wzór (7) 1.1.4. Niepewność rozszerzona Jeżeli wszystkie wartości składowych niepewności u(e x ) są porównywalne, niepewność rozszerzoną na poziomie ufności 1 α =,95 wyznacza się ze wzoru: U(E x ) = u c (E x ) [mm] (1) Jeżeli dominującą składową niepewności u c (E x ) jest jedna składowa (np. u(l)) z przyporządkowanym rozkładem prostokątnym, to rozkład ten można uznać za rozkład błędów wskazań i wtedy niepewność rozszerzoną na poziomie ufności 1 α =,95 wyznacza się ze wzoru: U(E x ) = 1,65 u c (E x ) [mm] () Jeżeli dominującą składową niepewności u c (E x ) są dwie składowe (np. u(l) i u(w)) z przyporządkowanymi rozkładami prostokątnymi o rozstępach R 1 = a 1 i R = a, to ich kompozycją jest rozkład trapezowy równoramienny o rozstępie R = a = (a 1 + a ) i górnej podstawie b = aβ, gdzie β = (a a 1 )/(a + a 1 ).
68 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ Wtedy niepewność złożona wynosi: ( 1 u c (E x ) = u x ) + u ( x ) = 1 a a + () Niepewność rozszerzoną na poziomie ufności P = 1 α =,95 wyznacza się ze wzoru: 1 (1 P)(1 β ) U(E x ) = u c( E x ) 1+ β 6 (4) Ostatecznie błąd wskazania wynosi: E [ d-u(e ),d U(E )] = max [mm] (5) x x + gdzie: d maksymalna odchyłka od wymiaru W, d = L W. Uwaga: składowe niepewności u c (E x ) można uznać za mało istotne i je pominąć, gdy: gdzie u c (E x ) * u c (E x ),5 u c (E x ) * u c (E x ) niepewność złożona po pominięciu jednej lub dwóch składowych), tzn. gdy pominięcie jednej lub dwóch składowych we wzorze na niepewność złożoną nie spowoduje większej zmiany tej niepewności niż 5%. x 1.. Szacowanie niepewności pomiarów parametrów wytrzymałościowych uzyskanych w statycznej próbie rozciągania [11] 1..1. Szacowanie niepewności określenia wytrzymałości na rozciąganie R m 1..1.1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki) Wytrzymałość na rozciąganie: R m = f (F m, d ) = F m 4F = m S (6)
Szacowanie niepewności pomiaru 69 gdzie: F m maksymalna siła zarejestrowana w próbie rozciągania próbki; S pierwotny przekrój poprzeczny próbki; d średnia średnica początkowa próbki. 1..1.. Równanie niepewności Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność standardowa związana z wyznaczoną wytrzymałością na rozciąganie opisana jest wzorem: ( ) = ( u R c u ) (7) m gdzie: c i współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji względem i-tego składnika, u i niepewności standardowe poszczególnych składników. 4 8F W tym przypadku c Fm = i c do = m stąd: i i u m d d = (8) π π 4 8F ( R ) m u ( F ) + u ( d ) m Wyznaczanie niepewności standardowych składowych Niepewność pomiaru średnicy próbki u ( d ) wyznacza się: a) na podstawie średniej z serii sześciu pomiarów (metoda A), z przyporządkowanym rozkładem t-studenta (dla p = 68,7%): u ( d ) n k = 1 1 ( d d ) k s =,11 (9) n( n 1) gdzie: n liczba pomiarów lub b) na podstawie rozdzielczości mikrometru ze wzoru:,1 u ( d m ) = (4) gdzie u(d m ) wynosi,89 mm i przyjmuje do dalszych obliczeń wartość większą.
7 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ Podstawowe czynniki wpływające na niepewność całkowitą pomiaru siły F to: 1) niepewność pomiaru siły UF F m m uw ( Fm ) = (41) gdzie: U Fm niepewność pomiaru siłomierza maszyny (w procentach), odczytana ze świadectwa wzorcowania, dla wartości najbliższej wartości zmierzonej siły F m przy rozciąganiu, na wybranym zakresie zastosowanej głowicy pomiarowej; ) zerowanie kanału siły; ) osiowość przyłożenia siły; 4) temperatura badania i szybkość obciążania próbki; 5) częstotliwość próbkowania (zapisu). Błąd wynikający z tych czynników oszacowano na ±1%. Stąd, niepewność pomiaru siły maksymalnej wyznacza się ze wzoru: u,1 F ) = m ( Fm (4) 1..1.. Budżet niepewności Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 6. Tabela 6 Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej wytrzymałości na rozciąganie Symbol wielkości X i Estymata wielkości x i Niepewność standardowa u(x i ) Współczynnik wrażliwości c i F m wzór (4) d 4F m R m 4 Udział w złożonej niepewności standardowej u(x i ) c i u(f m ) wzór 8F m c (9) lub (4) i u( d ) 1..1.4. Wyznaczanie niepewności rozszerzonej wzór (8) Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = na poziomie ufności 1 α =,95 wyznacza się ze wzoru:
Szacowanie niepewności pomiaru 71 u( Rm ) U ( Rm ) = 1% (4) R m 1... Szacowanie niepewności określenia umownej granicy plastyczności (przy wydłużeniu nieproporcjonalnym) R p, 1...1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki) Umowna granica plastyczności: R p, F, 4F = f (F,, d ) = = (44) S, gdzie: F, siła rozciągająca w próbie rozciągania wywołująca w próbce umowne wydłużenie trwałe wynoszące,% długości pomiarowej odpowiadającej długości bazy ekstensometru; S pierwotny przekrój poprzeczny próbki; d średnia średnica początkowa próbki. 1... Równanie niepewności Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność standardowa związana z wyznaczoną umowną granicą plastyczności opisana jest wzorem: u ( R ) ( c u ) = p, i i (45) gdzie: c i współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji względem i-tego składnika; u i niepewności standardowe poszczególnych składników. W tym przypadku c F, = 4 8F i c do = -,, stąd: 8F = (46) 4, ( R ) u ( F ) + u ( d ) u p,, d d π π Wyznaczanie niepewności standardowych składowych Niepewność pomiaru średnicy próbki u ( d ) punkt 1..1.., wzory (9 4). Niepewność całkowita pomiaru siły F, :
7 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ ( F ) u ( F ) + u ( F ) u ( F ) u, F,, +, E gdzie poszczególne składowe wynikają z: = (47) niepewności pomiaru siły (patrz wzór (4)) ( F ) u F,,1 F, = F u F = () 1,( ) częstotliwości zapisu w pomiarze automatycznym ( ), gdzie: F,(1) najbliższa większa wartość siły od wartości F, ; F,() najbliższa mniejsza wartość siły od wartości F, ;, F nachylenia prostej równoległej do prostoliniowej części krzywej rozciągania opisanej równaniem o postaci: σ,e = E( ε,) lub = F ( ε,) ε F, E u,e ) ε, ε F( ε,) ( ε) F ε ( F ) = u ( F ) + u ( ε + u () ε gdzie: u ( F ) = u ( F ) + u ( F ),1 Fmax gdzie: u( Fmax ) = i u( Fmin ) = Kε εmax gdzie: u ( εmax ) = i u ( εmin ) = max,1 Fmin min u ( ε) = u ( ε ) + u ( ε ) Kε max ε u () ε = min K ε gdzie: K ε klasa dokładności ekstensometru. ε min 1... Budżet niepewności Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 7.
Szacowanie niepewności pomiaru 7 Tabela 7 Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej umownej granicy plastyczności Symbol wielkości X i Estymata wielkości x i Niepewność standardowa u(x i ) Współczynnik wrażliwości c i Udział w złożonej niepewności standardowej u(x i ) F, wzór (47) 4 c i u(f, ) d 4F, R p, wzór 8F, c (9) lub (4) i u( d ) wzór (46) 1...4. Wyznaczenie niepewności rozszerzonej Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = na poziomie ufności 1 α =,95 wyznacza się ze wzoru: ( R ) u p, U ( Rp, ) = 1% (48) R p, 1... Szacowanie niepewności określenia wydłużenia po rozerwaniu A 1...1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki) Dla pomiaru ekstensometrem wydłużenie po rozerwaniu: A = f (ε t, ε,1 ) = ε t - ε,1 (49) gdzie: ε t odkształcenie przy rozerwaniu próbki; ε,1 odkształcenie przy granicy sprężystości R s. 1... Równanie niepewności Z uwagi na fakt, że pomiar jest bezpośredni i niepewność złożona u(a) jest wypadkową dwóch składowych, niepewność standardową złożoną wyznacza się ze wzoru: u ( A) u ( ε ) + u ( ε ) = t c,1 (5)
74 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ Wyznaczanie niepewności standardowych składowych Niepewność pomiaru odkształcenia ε t określa się na podstawie klasy dokładności ekstensometru podłużnego K ε metodą B, przyporządkowując jej rozkład prostokątny: Kε ε u( εt ) = t (51) Niepewność pomiaru odkształcenia ε 1 : ( ) = u ( ε ) + u ( ε ) + u ( ) uc,1,1,1 ε, 1FE ε (5) gdzie poszczególne składowe wynikają z: K ε,1 klasy dokładności ekstensometru podłużnego u ( ε,1) = ε częstotliwości zapisu w pomiarze automatycznym ε,1(1) ε,1() u ( ε,1) = gdzie: ε,1(1) najbliższa większa wartość odkształcenia od wartości ε,1 ; ε,1() najbliższa mniejsza wartość odkształcenia od wartości ε,1 ; z nachylenia prostej równoległej do prostoliniowej części krzywej rozcią- σ = E ε,1, stąd gania opisanej równaniem o postaci: ( ) ε 4F,1,1 = + E,1, stąd:,1e,1 u 4 d E π 8F E,1,1 ( ε ) = u ( F ) + u ( d ) + u ( E),1FE gdzie: u( F ),1,1,1 F, 1 = (patrz wzór 4); u ( d ) patrz wzór (9) i (4); u ( E) patrz wzór (56). 4F E 1... Budżet niepewności Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 8.
Szacowanie niepewności pomiaru 75 Tabela 8 Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej wydłużenia po rozerwaniu Symbol wielkości X i Estymata wielkości x i Niepewność standardowa u(x i ) Udział w złożonej niepewności standardowej u(x i ) ε t wzór (5) c i u(ε t ) ε,1 wzór (51) c i u c (ε,1 ) A ε t - ε,1 wzór (49) 1...4. Wyznaczenie niepewności rozszerzonej Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = na poziomie ufności 1 α =,95 wyznacza się ze wzoru: u( A) U ( A) = 1% (5) A 1..4. Szacowanie niepewności określenia modułu Younga E 1..4.1. Wzór na wynik pomiaru (dla jednej próbki) Moduł Younga: E = f ( F, d, ε) = S F ε = 4 F ε (54) gdzie: F różnica pomiędzy górnym F max i dolnym F min poziomem siły dla zakresu odkształcenia sprężystego; S pierwotny przekrój poprzeczny próbki; d średnia średnica początkowa próbki; ε różnica pomiędzy górnym ε max i dolnym ε min poziomem odkształcenia dla zakresu odkształcenia sprężystego (pomiar ekstensometrem). 1..4.. Równanie niepewności Z uwagi na fakt, że wielkości wejściowe nie są skorelowane, niepewność standardowa związana z wyznaczonym modułem Younga opisana jest wzorem: ( ) = ( u E c i u i ) (55) gdzie: c i współczynniki wrażliwości, tzn. pochodne cząstkowe funkcji pomiaru względem i-tego składnika; u i niepewności standardowe poszczególnych składników.
76 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ W tym przypadku c F = 4 ; d ε π c = - d 8 F i c ε = ε 4 F, stąd: π d ε 4 8 F 4 F u ( E) = ( ) ( ) + u F + u d u ( ε) (56) ε ε ε Wyznaczanie niepewności standardowych składowych Niepewność pomiaru średnicy próbki u ( d ) punkt 1..1., wzory (9 4). Niepewność pomiaru siły F: u ( F ) = u ( F ) + u ( F ) (57) max gdzie: niepewność pomiaru górnego F max i dolnego F min poziomu siły (patrz wzór (4)),1 Fmax u( Fmax ) = i u( Fmin ) = min,1 Fmin Niepewność pomiaru górnego ε max i dolnego ε min poziomu odkształcenia określona na podstawie klasy dokładności ekstensometru podłużnego K t, metodą B (rozkład prostokątny): u ( ε) = u ( ε ) + u ( ε ) (58) max Kε εmax K εmin gdzie: u ( εmax ) = i u ( εmin ) = ε. 1..4.. Budżet niepewności Dane do analizy niepewności przedstawiono w tabeli 9. Budżet niepewności do obliczania niepewności złożonej modułu Younga Symbol wielkości X i Estymata wielkości x i Niepewność standardowa u(x i ) min Współczynnik wrażliwości c i Tabela 9 Udział w złożonej niepewności standardowej u(x i ) 4 F wzór (57) c i u( F) d wzór (9) 8F, c lub (4) i u( d )
Szacowanie niepewności pomiaru 77 4 F ε wzór (58) ε c i u( ε) E 4 F ε wzór (56) 1..4.4. Wyznaczenie niepewności rozszerzonej Niepewność rozszerzoną względną przy współczynniku rozszerzenia k = na poziomie ufności 1 α =,95 wyznacza się ze wzoru: u( E) U ( E) = 1% (59) E 11. Podsumowanie W oparciu o przedstawioną w niniejszej pracy metodykę wyznaczania błędów i niepewności pomiaru dokonano analizy wyników sprawdzenia dla mikrometru oraz wyników badań biegłości, w jakich uczestniczyło akredytowane laboratorium badawcze ITWL. Sprawdzono mikrometr analogowy 5 mm nr 1-17-915746 firmy MITUTOYO. Przyrządem kontrolnym był komplet płytek wzorcowych nr 7149, posiadających świadectwo wzorcowania nr: M11-419-578./4. Sprawdzenie przeprowadzono w temperaturze ±, C, zgodnie z instrukcją nadzoru metrologicznego IW-1-11-L5, w pełnym zakresie pomiarowym mikrometru, stosując płytki wzorcowe o wymiarach nominalnych W n = 1; 1,5; 1,5; ; 5; 8; 1; 15; ; 5 mm. Wyniki sprawdzenia przedstawiono w tabeli 1. Wynik sprawdzenia uznano za pozytywny, ponieważ błąd wskazania E x wynoszący,8 µm nie przekroczył dopuszczalnego błędu granicznego dla przyrządów mikrometrycznych E g = ±4 µm (PN-8/M-5). W 5 r. Laboratorium Badań Wytrzymałościowych Materiałów (LBWM) wzięło udział w badaniach biegłości PT (test wytrzymałościowy stalowych prętów okrągłych w temperaturze pokojowej) zorganizowanych przez Institut für Eignungsprüfung (Niemcy). W badaniach wzięły udział laboratoria z 9 krajów, w tym 78 mających akredytację zgodnie z normą EN ISO/IEC 175. Uczestnicy podawali oszacowaną przez siebie niepewność pomiaru każdej wielkości. Wyniki badań i oszacowaną, wg wyżej przedstawionych zależności, niepewność przedstawiono w tabeli 11.
78 Janusz LISIECKI, Sylwester KŁYSZ Wyniki sprawdzenia mikrometru, [mm] Tabela 1 Długość płytki wzorcowej W n odczyt I L 1 Wartość odczytana/wyznaczona odczyt II L odczyt III L maksymalna odchyłka od wymiaru W d niepewność pomiaru U(E x ) Błąd wskazania E x d-u(e x ) d+u(ex) 1 1, 1, 1,1,154,9 1,9,1 1,5 1,51 1,5 1,51,91,9 1,8, 1,5 1,5 1,5 1,5,8,9,9 -,9,,1,,16,9,, 5 5, 5,1 5,1,148,9 1,9,1 8 8, 8,1 8,1,16,9 1,9,1 1 1,1 1,1 1,1,948,9 1,8, 15 15,1 15,1 15,1,9,9 1,8,,,1,1,1911,9,8 1, 5 5, 5, 5,1,1798,9,7,9 Tabela 11 Wyniki pomiarów uzyskanych przez LBWM w badaniach biegłości w 5 r. Numer próbki R p, [MPa] U(R po, ) [%] R m [MPa] U(R m ) [%] A [%] U(A) [%] E [MPa] U(E) [%] 1 719 ±,6 796 ±1,4 1,9 ±1,18 185 ±,1 71 ±,1 795 ±1,1 14, ±1,17 186 4 ±,1 718 ±, 79 ±1,8 1,5 ±1,17 187 ±,14 4 714 ±,1 784 ±1,18 16,1 ±1,17 185 ±,11 5 74 ±,1 781 ±1,4 14,8 ±1,17 186 ±,18 6 71 ±,1 79 ±1, 14,1 ±1,18 188 7 ±,11 Wartości średnie (LBWM) Wartości podane przez uczestników PT (mediana) Wartości podane przez organizatora 714,7 ±,4 79, ±1, 14,6 ±1,17 186 5 ±,1 71,4 ±, 79, ±1, 16, ±, 186 5 ±4, 691,1 ±, 786, ±1,6 15,7 ±1, nie podano nie podano Na podstawie porównania danych zawartych w raporcie [1] przesłanym przez Institut für Eignungsprüfung z danymi przedstawionymi w tabeli 11 można stwierdzić ogólną zbieżność wyników. LBWM uzyskało wyniki spełniające wymagania badania biegłości i otrzymało certyfikat.
Szacowanie niepewności pomiaru 79 Literatura 1. Analiza błędów i niepewności pomiarów, www.eti.pg.gda.pl/katedry/kose/dydaktyka. Arendarski J.: Niepewność pomiarów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa.. CWA 1561-:5 Measurement uncertainties in mechanical tests on metallic materials-part : The evaluation of uncertainties in tensile testing. 4. Dokument EA-4/: Wyrażanie niepewności pomiaru przy wzorcowaniu. 1999. 5. Międzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii. GUM. 1996. 6. Piotrowski J., Kostyrko K.: Wzorcowanie aparatury pomiarowej. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 7. PN-EN ISO 11:4 Systemy zarządzania pomiarami. Wymagania dotyczące procesów pomiarowych i wyposażenia pomiarowego. 8. PN-EN ISO 9:1 Systemy zarządzania jakością. Podstawy i terminologia. 9. PN-EN ISO/IEC 175:5 Ogólne wymagania dotyczące kompetencji laboratoriów badawczych i wzorcujących. 1. Proficiency Test-Tensile Test Steel- Round bar at room temperature (TTSRR 5) Final Raport. Institut für Eignungsprüfung. 6. 11. Rozporządzenie Ministra Gospodarki, Pracy i Polityki Społecznej w sprawie w sprawie wymagań metrologicznych, którym powinny odpowiadać maszyny wytrzymałościowe do prób statycznych. 4. 1. Wyrażanie niepewności pomiaru, Przewodnik GUM. 1999.