THE MODELLING OF STIFFNESS OF HARMONIC DRIVE FLEXSPLINE

ZESZYTY NAUOWE POLITECHNII ŚLĄSIEJ 1 Seria: TRANSPORT z. 67 Nr kl. 18 Pitr FOLĘGA, Grzegrz WOJNAR MODELOWANIE SZTYWNOŚCI OŁA PODATNEGO PRZEŁADNI FALOWEJ Strezczenie. W artykule mówin niektóre apekty mdelwania dynamiczneg przekładni falwej. W zczególnści zaprpnwan nwy, ryginalny mdel dynamiczny przekładni falwej w układzie napędwym. W mdelu uwzględnin nieliniwe zmiany ztywnści i tłumienia. THE MODELLING OF STIFFNESS OF HARMONIC DRIVE FLEXSPLINE Summary. In the paper me apect f harmnic drive gear mdeling f dynamic are cnider. At particular f the prpe a new riginal dynamic mdel f harmnic drive gear in pwer tran-miin ytem. In the mdel we take int cnideratin a nnlinear tiffne and damping. 1. WPROWADZENIE Przekładnia falwa (ry. 1) kłada ię z trzech elementów kntrukcyjnych: kła ztywneg wewnętrznym uzębieniu, kła pdatneg z wieńcem zębatym zewnętrznym uzębieniu, generatra fali, wywłująceg dkztałcenia kła pdatneg. Ry. 1. Przekładnia falwa [1] Fig. 1. Harmnic drive [1] Specyfika pracy tych przekładni plega na tym, Ŝe ruch względny wpółpracujących kół jet wynikiem dkztałceń pręŝytych kła pdatneg. SpręŜyte fale kła pdatneg ą wytwarzane przez generatr fali, który bracając ię pwduje przemiezczanie fal dkztałceń p bwdzie kła. Dzięki temu nieknwencjnalnemu mechanizmwi zazębienia

4 P. Flęga, G. Wjnar przekładnie falwe zapewniają duŝą wartść przełŝenia przy niewielkich gabarytach. Przekładnie falwe mają liczne zalety, ale takŝe wady, w prównaniu z klaycznymi przekładniami zębatymi. Pdta zalety t: wyki mment brtwy przy małej maie i zwartej budwie, wpółiwść wałów czynneg i bierneg, płynnść pracy raz duŝa dkładnść kinematyczna. Wadami przekładni falwych ą: wyka elatycznść i wartść przełŝenia minimalneg raz nieliniwa ztywnść i tłumienie. Zatwanie zębatych przekładni falwych w róŝnych dziedzinach Ŝycia jet craz zerze. Obecnie znajdują ne zatwanie w przemyśle: mtryzacyjnym, kmicznym, ltnictwie, medycynie raz autmatyce i rbtyce. W przekładniach, wykrzytywanych w układach autmatycznej regulacji, duŝeg znaczenia nabierają zagadnienia dtyczące ich wykiej dkładnści kinematycznej, płynnści przekazywania mmentu raz charakterytyki dynamiczne (ztywnści, tłumienia, mmentów bezwładnści, czętści włanych). Od czau wynalezienia przekładni falwej w 1955 r. liczni badacze i kntruktrzy pświęcili duŝ uwagi badanim zjawik dynamicznych w przekładniach falwych. Pierwze waŝne prace, dtyczące tej tematyki ztały publikwane przez Rjan [], []. Badania dynamiczne pierające ię na licznych ekperymentach dświadczalnych ze wbdnym bciąŝeniem przekładni wyknali Tuttle i Seering [4], [5]. W wich pracach pracwali ni rŝne mdele dynamiczne przekładni, róŝniące ię przyjętymi załŝeniami raz uprzczeniami. Ich najbardziej kmpletny mdel uwzględniał błąd kinematyczny, nieliniwą ztywnść i wpółpracę międzyzębną ze tratami tarcia. W pracy [6] ircanki i Gldenberg zaprpnwali mdel dynamiczny przekładni falwej, pierający ię na badaniu przekładni z blkwanym bciąŝeniem. W wich badaniach wykrzytali jednak prte mdele tłumienia i tarcia. Wśród prac, które wniły równieŝ ittny wkład w badania dynamiki przekładni falwych naleŝy wymienić publikacje Seyffertha [7], Taghirada [8] raz Al-Bendera [9]. Prace tych autrów dtyczą przede wzytkim bardz ittneg prblemu prawidłweg zamdelwania nieliniwej ztywnści krętnej i tłumienia kła pdatneg przekładni falwej raz uwzględnienia dpwiednich mdeli tarcia w łŝykach i zazębieniu. Na uwagę załugują równieŝ prace dtyczące dynamiki przekładni falwych, publikwane w Plce przez W. Otapkieg [1]. W wich licznych pracach wykrzytał n dwa mdele dynamiczne. Pierwzy dtyczył prteg mdelu układu napędweg z reduktrem falwym. Miał n jeden tpień wbdy i piywał drgania krętne kła pdatneg przekładni falwej. Mdel pzwalał na badanie wpływu: mmentów bezwładnści, wartści i charakteru rzkładu ił pręŝytści i tłumienia raz luzów i zmian wymuzenia na amplitudę i czętści drgań krętnych układu napędweg z reduktrem falwym. Drugi mdel dtyczył dynamiki kła pdatneg wydrębnineg z przekładni, przy załŝeniu dpwiednich warunków brzegwych i reakcji w trefie zazębienia raz wpółpracy z generatrem. W tym przypadku ztał zatwany nieliniwy mdel ciągły, wykrzytujący równania gemetrycznie nieliniwej terii pręŝytści pwłk cienkściennych. Analizując wyniki prac włanych [11] raz innych autrów [-1] twierdzn, Ŝe zagadnienia mdelwania przekładni falwej w układzie napędwym d chwili becnej nie ą całściw rzwiązane. Dlateg autrzy pracwali prpzycję nweg mdelu dynamiczneg zębatej przekładni falwej, pracującej w układzie napędwym.. MODEL DYNAMICZNY Mdel przedtawiny na ry. uwzględnia pracę ilnika aynchrniczneg przekładni falwej i mazyny rbczej.

Mdelwanie ztywnści kła pdatneg... 41 Ry.. Mdel dynamiczny układu napędweg z przekładnią falwą Fig.. Dynamic mdel f the prpulin ytem f the harmnic drive Równania ruchu mdelu przyjęły ptać: ( J w J ) & + B ( & & ) + ( ) = M (& ) + 1 (1) ( J + w J ) && + B (& & ) + B & () + ( ) & = u u u u & ( J + w J ) && wwy + B & u () + Bwwy (& & ) wwy ( ) = u ( J + w J wwy ) && + Bwwy (& & 4 ) + wwy ( ) = M ( t), (4) gdzie: J mment bezwładnści wirnika ilnika, J mment bezwładnści wału wejściweg przekładni i generatra fali, J wwy mment bezwładnści wału wyjściweg przekładni i kła pdatneg, J mment bezwładnści generatra fali, J mment bezwładnści kła pdatneg, J mment bezwładnści mazyny rbczej zredukwany d i generatra fali, B wpółczynnik tłumienia drgań krętnych wału wejściweg przekładni, B wwy wpółczynnik tłumienia drgań krętnych wału wyjściweg przekładni, B wpółczynnik tłumienia drgań krętnych kła pdatneg przekładni, ztywnść krętna wału wejściweg przekładni, wwy ztywnść krętna wału wyjściweg przekładni, ztywnść krętna kła pdatneg przekładni, M n( & ) mment napędwy ilnika, M ( t) zmienny w czaie mment bciąŝenia, pchdzący d mazyny rbczej, w = w = w = w = 5 wpółczynniki uwzględniające rzkład mmentu bezwładnści, 1 4, kąt brtu wirnika ilnika, kąt brtu generatra fali, kąt brtu kła pdatneg, kąt brtu wału mazyny rbczej, u wartść bezwzględna przełŝenia przekładni. n

4 P. Flęga, G. Wjnar. SZTYWNOŚĆ OŁA PODATNEGO Sztywnść krętna wałów mŝe ztać wyznaczana np. na pdtawie zaleŝnści, pdanych w [1]. Niektórzy autrzy przyjmują [8], Ŝe ztywnść wałów jet duŝa w tunku d ztywnści kła pdatneg i wtedy mdel przyjmuje ptać tylk dwóch równań róŝniczkwych. Sztywnści kła pdatneg jet nieliniwa i pnadt w przekładniach falwych wytępuje pewien luz zwrtny. Prducent przekładni [1] zaleca wykrzytać liniwą aprkymację pmiędzy pdanymi w katalgu punktami, piującymi zmiany ztywnści. Inni autrzy [], [1] wykrzytują d piu zmian ztywnści aprkymację wielmianem trzecieg tpnia. Inne mdele ztywnści kła pdatneg mŝna znaleźć w pracach [4-9]. JednakŜe wzycy ci autrzy ptkali ię z prblemem prawidłweg zamdelwania zmian ztywnści krętnej przekładni falwej. Na przykład w pracach tych mŝna ptkać natępujący uprzczny pi nieliniwych zmian ztywnści: (, ) = a + b + c + d lub (, ) = a + b + c ign( ) + d i (, ) = > (5) > (6) (7) Przyjmując wartści parametrów a i c równe zer równania 5 i 6 mŝna prwadzić d ptaci: (, ) = b + d (8) W takim przypadku p przekrczeniu wartści kąta przy luzie zwrtnym wynzącym = 9 [min] przekładni HDUC ztywnść narata prgw d pewnej wartści (ry. ), c nie dpwiada prawidłwym zmianą ztywnści. Ry.. Zmiany ztywnści Fig.. Change in the tiffne Dlateg na pdtawie przeprwadznej analizy danych, zawartych w literaturze autrzy niniejzej pracy zaprpnwali natępujący pi nieliniwych zmian ztywnści:

Mdelwanie ztywnści kła pdatneg... 4 (, ) a + b + c + d = m m m m (, ) = < < (9) (1) (, ) a + b + c + d < <, (11) = p p p p gdzie: kątwy luz zwrtny, wynzący w zaleŝnści d prducenta i typu przekładni najczęściej: d,9 1-4 6 1-4 [rad] ( 1 9 [min]), a m, b m, c m, d m wpółczynniki wielmianu ztywnści, w przypadku gdy: < <, a p, b p, c p, d p wpółczynniki wielmianu ztywnści, w przypadku gdy: < <. Przykładwe zmiany ztywnści uzykane przez autrów (równania d 9 d 11) przekładni HDUC ( = 9 min) pkazan na ry. 4. Ry. 4. Zmiany ztywnści Fig. 4. Change in the tiffne 4. PODSUMOWANIE Zaprpnwany mdel przekładni falwej w układzie napędwym będzie przedmitem aplikacji w śrdwiku Matlab Simulink. Autrzy przewidują, iŝ wykrzytanie zidentyfikwaneg mdelu, który uwzględnia nieliniwe zmiany ztywnści i tłumienia pzwli na pzerzenie zakreu wiedzy, związanej z drganiami krętnymi, wytępującymi w układach napędwych wypaŝnych w reduktry falwe raz pzwli na zmniejzenie wydatków na kztwne badania dświadczalne. Bibligrafia 1. atalg firmy Harmnic Drive AG.. Aliev N. A.: A tudy f the dynamic behavir f flexible gear in harmnic drive. Sviet Engineering Reearch, 1986, 66(6), p. 7-11.

44 P. Flęga, G. Wjnar. Vlkv D. P., Zubkv Y. N.: Vibratin in a drive with harmnic gear tranmiin. Ruian Engineering Jurnal, 1978, 58(5), p. 17-1. 4. Tuttle T. D., Seering W.: A nnlinear mdel f a harmnic drive gear tranmiin. IEEE Tranactin n Rbtic and Autmatin, 1996, 1(), p. 68-74. 5. Tuttle T. D., Seering W.: Mdeling a harmnic drive gear tranmiin. Prceeding f IEEE Internatinal Cnference n Rbtic and Autmatin. 199,, p. 64-69. 6. ircanki N., Gldenberg A., Jia S.: An experimental tudy f nnlinear tiffne, hyterei and frictin effect in rbt jint with harmnic drive and trque enr. Prceeding f the third internatinal Sympium n Experimental Rbtic, 199, 1, p. 147-154. 7. Sefferth W., Maghzal A. J., Angele J.: Nnlinear mdeling and parameter identificatin f harmnic drive rbtic tranmiin. Prceeding f IEEE Internatinal Cnference n Rbtic and Autmatin, 1995,, p. 7-. 8. Taghirad H. D., Belanger P. R.: An experimental tudy n mdeling and identificatin f Harmnic drive ytem. Prceeding f IEEE Cnference n Deciin and Cntrl, 1996, 4, p. 475-47. 9. Al-Bender F., Symen W., Swever J., Van Bruel H.: Theretical Analyi f the Dynamic Behavir f Hyterei Element in Mechanical Sytem, Internatinal Jurnal f Nnlinear Mechanic, 4, 9, p. 171-175. 1.Otapki W.: Prblemy mdelwania przekładni falwych. Materiały Seminarium Przekładnie Mechaniczne Specjalne mdelwanie, rzwój kntrukcji i perpektywy zatwań, Warzawa, 1996, p. 11-. 11.Flęga P.: Zagadnienia mdelwania dynamiki przekładni falwej. ZN Pl. Śl.,. Tranprt, Gliwice 6, z. 6, p. 15-1. 1.Dąbrwki Z., Makymiuk M.: Wały i ie, PWN, Warzawa 1984. Recenzent: Prf. dr hab. inŝ. Lezek Blacha