PROBLEMY NUMERYCZNE MODELOWANIA OBWODU PRĄDU PRZEMIENNEGO Z OBCIĄŻENIEM NIELINIOWYM

Transkrypt

1 POZNAN NIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JORNALS N 89 Electrical Engineering 2017 DOI /j Mirsław WCIŚLIK* Paweł STRZĄBAŁA* PROBLEMY NMERYCZNE MODELOWANIA OBWOD PRĄD PRZEMIENNEGO Z OBCIĄŻENIEM NIELINIOWYM W pracy zaprezentwan metdy mdelwania bwdu AC z prstwnikiem mstkwym. Przeanalizwan i zaprpnwan mdele takieg bciążenia przy użyciu funkcji signum z uwzględnieniem ddatkwych elementów bwdu. W metdach tych uwzględnin zastępcze rametry systemu zasilania i bciążenia prstwnika. Ze względu na prblemy numeryczne raz dkładnści rzwiązań, które mgą wystąpić dla mdelu prstwnika pisaneg funkcją signum zaprpnwan nwy mdel prstwnika mstkweg. Analizy prwadzne były w systemie MATLAB/Simulink. Otrzymane wyniki zstały prównane z prgramem OrCAD PSpice. SŁOWA KLCZOWE: prstwnik mstkwy, bciążenie nieliniwe, mdelwanie, mdel statyczny, mdel dynamiczny 1. WSTĘP W literaturze istnieją liczne pracwania yczące analizy i mdelwania bciążeń nieliniwych [1, 2, 3], a także ich wykrzystania w symulacji kmputerwej. Liczną grupę tych bciążeń stanwią układy prstwnikwe, które są stswane w większści urządzeń elektrycznych, szczególnie w sieciach nn. Analiza układów prstwnikwych w większści przydków nie granicza się jedynie d sameg prstwnika didweg. Działanie układu prstwnika zależy m.in. d charakteru bciążenia prstwnika [4]. Pna, w przydku, gdy prwadzne są analizy ddziaływań takieg bciążenia z systemem zasilania t knieczne jest również uwzględnienie sztywnści sieci zasilającej. Jednym z stawwych wymagań, ze względu na jakść energii elektrycznej jest natmiast, aby ilść harmnicznych generwanych przez takie bciążenia była jak najmniejsza. W tym celu stsuje się m.in. sywne filtry wyższych harmnicznych [5, 6, 7]. W efekcie bwód, który pwstaje p uwzględnieniu charakteru bciążenia DC, sztywnści sieci zasilającej czy też elementów filtrów wyższych harmnicznych jest skmplikwany. * Plitechnika Świętkrzyska.

2 164 Mirsław Wciślik, Paweł Strząbała 2. MODEL OBWOD AC Z PROSTOWNIKIEM MOSTKOWYM Mdel prstwnika mstkweg w isttny spsób zależy d pzstałych elementów bwdu, którymi są m.in. zastępcze elementy systemu zasilania, w decydującym stpniu indukcyjnść, elementy sywne filtrów harmnicznych czy też charakter sameg bciążenia DC dłączneg na wyjściu prstwnika. Ze względu na charakter bciążenia DC mżemy wyróżnić przede wszystkim bciążenia pjemnściwe lub tez indukcyjn-pjemnściwe twrzące najczęściej filtry tętnień napięcia wyjściweg prstwnika. Pdstawwym zadaniem prstwnika jest najczęściej transfrmacja energii prądu przemienneg na energie prądu stałeg. Dla takieg przydku wyprstwane napięcie wyjściwe jest pmniejszne sdek napięcia na dwu przewdzących didach raz rezystancjach tych did w stanie przewdzenia. W niektórych przydkach na wyjściu prstwnika mże być generwane napięcie ujemne np. jeżeli w bwdzie wyjściwym będzie indukcyjnść. Wtedy częst stswana jest dida zaprwa dłączna równlegle d wyjścia prstwnika. W celu prześledzenia zjawisk, gdy ujemne napięcie na wyjściu jest becne rzważany jest prsty bwód z mstkiem Graetza prezentwany na rysunku 1. Obwód ten składa się z dwóch źródeł napięciwych V i V i szeregwych rezystancji R 1 i R 2 na wejściu i wyjściu mstka. Rys. 1. Schemat bwdu d analizy przydku, gdy na wyjściu prstwnika jest napięcie ujemnej wartści Dla takieg bwdu wyknan analizę stałprądwą DC Sweep w prgramie OrCAD PSpice. Charakterystyki bwdu prezentwane na rys. 2 uzyskan dla napięcia V zmieniająceg się w zakresie d 10 V d 10 V. Źródł napięcia V natmiast ma stałą wartść -3 V. Rezystancja R 1 = 1 Ω i R 2 = 2 Ω. Charakterystyka przedstawia bszar, w którym zachdzą analizwane zjawiska. Z charakterystyk tych wynika, że występują dwa bszary pracy prstwnika, natmiast ich warunki graniczne są zależne d relacji prądów I i I. W przydku, gdy prądy spełniają zależnść, że: I I 2I (1)

3 Prblemy numeryczne mdelwania bwdu prądu przemienneg 165 t wszystkie cztery didy mstka przewdzą, c wynika z przebiegów I D1,I D4 raz I D2,I D3. Prąd I jest t prąd wsteczny didy w stanie zaprwym. Jeżeli natmiast spełniny jest warunek: I I 2I (2) ry did D 1,D 4 lub D 2,D 3 przewdzą naprzemiennie w zależnści d plaryzacji napięcia. Rys. 2. Charakterystyki bwdu z rysunku 1 W pracy analizwany jest przydek, gdy spełniny jest warunek 2, mówiący, że prąd I jest równy wartści bezwzględnej prądu I z dkładnścią d 2I. We wcześniejszych pracach autrów [8, 9] rzważan bwód AC z prstwnikiem mstkwym i bciążeniem RC. Prstwnik zasilany był ze źródła napięcia przemienneg pprzez ddatkwą rezystancję i indukcyjnść tak jak t prezentwane jest na rysunku 3. Rys. 3. Schemat bwdu AC z prstwnikiem mstkwym

4 166 Mirsław Wciślik, Paweł Strząbała Obwód ten pisan równaniami (3 5). Mdel prstwnika mstkweg utwrzn przyjmując arbitralnie funkcję signum prądu I 1, dla której współczynnikiem prprcjnalnści jest napięcie C na wyjściu prstwnika na kndensatrze C pwiększne sdek napięcia 2 d na dwu przewdzących didach mstka. Rezystancję dwóch did mstka w stanie przewdzenia uwzględnin natmiast jak rezystancję szeregwą w bwdzie zasilania i przedstawin jak sumę rezystancji R 1 i 2R d. di1 L1 E sin( t) I1( R1 2R d ) (3) d C 1 C I 2 c gdzie I 2 I1 (4) R ( c 2 d ) sign ( I1 ) (5) Symulację takieg bwdu dla pracy ciągłej i impulswej mżna przeprwadzić przy użyciu prgramu Simulink. Szczególnie interesująca jest praca ciągła prstwnika w takim bwdzie, pnieważ dla teg przydku ilść harmnicznych generwanych d systemu zasilania jest znacznie zredukwana. Charakterystyczne przebiegi takieg bwdu prezentuje rysunek 4. Są t przebiegi typwe dla pracy ciągłej prstwnika, przy której prąd zasilania I 1 ma przeliczalną ilść punktów przejść przez zer. 25 I [A] 20 [V] I 1-10 I c z t [s] Rys. 4. Charakterystyczne przebiegi bwdu z rysunku 3, gdzie z znacza napięcie zasilania Symulację przeprwadzn dla następujących rametrów i wielkści wejściwych bwdu: E = 24 V; f = 50 Hz; R 1 = 1 Ω; L 1 = 30 mh; d = 0,7 V; R d = 0,05 Ω; C = 1 mf; R = 10 Ω. W symulacji wykrzystan stałkrkwą metdę całkwania numeryczneg Heun a. Przyjęt krk całkwania 10 ns.

5 Prblemy numeryczne mdelwania bwdu prądu przemienneg 167 Prąd I 2 jest równy c d wartści bezwzględnej prądu I 1, zaś ten prąd wykazuje ujemne przesunięcie fazwe względem napięcia zasilania z. Prezentwany bwód AC z prstwnikiem mstkwym mdelwany przy użyciu funkcji signum prądu w bwdzie zasilania jest rzwiązywalny w Simulinku, tylk gdy wykrzystuje się metdy stałkrkwe. Jeżeli stswane są metdy zmiennkrkwe zarówn dla równań różniczkwych sztywnych jak i niesztywnych bwód jest nierzwiązywalny. Prblem ten nie jest więc związany ze sztywnścią układu. zasadnieniem teg jest fakt, że w przydku metd zmiennkrkwych krk całkwania jest ustalany w zależnści d szybkści zmian wartści danej zmiennej czyli jej stałej czaswej [10]. W przydku, gdy zmiany te są dść wlne krk całkwania jest zwiększany, natmiast, gdy wartści te zmieniają się gwałtwnie krk całkwania jest zmniejszany. Takie działanie pwduje, że w pbliżu nieciągłści, czyli gdy zmiany wartści funkcji następują gwałtwnie algrytm wyknuje bliczenia z bardz małym krkiem. W efekcie zwiększa się dkładnść, ale znacznie wydłuża czas symulacji. W przydku funkcji signum, ze względu, że jest t funkcja nieciągła w zerze występuje znaczne zwlnienie bliczeń symulacji. Dlateg nie należy stswać metd zmiennkrkwych d rzwiązywania takieg mdelu. 3. PROPOZYCJA MODEL PROSTOWNIKA MOSTKOWEGO Mdel pisujący rzważany bwód AC z prstwnikiem mstkwym przy użyciu funkcji signum jest rzwiązywalny w Matlabie jedynie przy użyciu metd stałkrkwych całkwania numeryczneg. Nieciągłść funkcji signum wymusza stswanie algrytmów całkwania ze stałym krkiem, któreg wartść jest mała, a c za tym idzie czas rzwiązania długi. W efekcie symulacje przy użyciu tych metd są nieefektywne ze względu na całkwity czas ich wyknywania. Pstawin więc pytanie: jaki ma wpływ charakter mdelu prstwnika na efektywnść rzwiązywania równań bwdu? W tym celu rzważan schemat bwdu prezentwany na rysunku 5. Obwód ten zawiera dwa źródła napięciwe i dłączne równlegle dpwiedni na wejściu i wyjściu mstka Graetza. Każda z did mstka jest pisana mntniczną charakterystyką I k = f k ( k ) tak jak na rysunku 6, gdzie k = 1, 2, 3, 4 [11]. W prwadznej analizie zakłada się, że w zależnści d plaryzacji napięcia przewdzą dwie didy D 1, D 4 lub D 2, D 3. W przydku przewdzenia jednej ry did pzstałe didy są splaryzwane zaprw i płynie przez nie mały prąd wsteczny zgdnie z charakterystyką didy prezentwanej na rysunku 6.

6 168 Mirsław Wciślik, Paweł Strząbała Rys. 5. Schemat prstwnika mstkweg mdel statyczny Rys. 6. Charakterystyka prądw napięciwa didy półprzewdnikwej [11] Równania pisujące rzważany bwód zapisan wykrzystując nieliniwe równanie pisujące charakterystykę prądw napięciwą didy półprzewdnikwej: d I 1 d I e (6) gdzie: d napięcie didy, ptencjał elektrkinetyczny didy, I prąd didy w kierunku zaprwym [12]. Prądy I i I bwdu z rysunku 5 mżna zapisać w następującej pstaci: I I d I d raz I I d I d (7) gdzie: d d I d I e 1 raz I d I e 1 (8) są t równania pisujące charakterystykę prądw napięciwą didy półprzewdnikwej. Napięcia d i d+ zapisane są jak: d raz d (9) 2 2 Wyknując klejn stawienia równań (9) d (8), a następnie trzymane zależnści I d i I d+ stawiając d równania (7) trzymujemy wzry na prądy I i I : I I 2I 2I e e 2 2 sinh 2 csh 1 2 (10) (11)

7 Prblemy numeryczne mdelwania bwdu prądu przemienneg 169 których wartść zależy d napięć na wejściu i wyjściu prstwnika. Na stawie równań (10) i (11) mdel prstwnika mstkweg mżna zapisać w następującej pstaci: I I I tanh 2 2 (12) Opracwany mdel statyczny w niektórych przydkach, szczególnie w analizach bwdu AC i zmiennej knfiguracji bciążenia DC mże wymagać zastswania ddatkwych pjemnści przyłącznych równlegle p strnie napięcia i tak jak t zaprezentwan na rysunku 7. W efekcie trzymujemy mdel dynamiczny prstwnika. Przyłączne pjemnści C 1 i C 2 pwinny mieć wartści rzędu k. 1nF, c sprawia, że ich wpływ na wyniki prwadznych symulacji będzie znikmy, natmiast znacznie uprszczą mdelwanie bwdu. Rys. 7. Schemat prstwnika mstkweg z ddatkwymi pjemnściami C 1 i C 2 mdel dynamiczny Równania takieg bwdu mżna zapisać w pstaci: d C1 C1 I 1 I (13) d C2 C2 I I 2 (14) Zmienne stanu C1 i C2 są t dpwiedni napięcia i. Prądy I i I bliczane są na stawie zależnści (10 12). Prądy I 1 i I 2 wynikają z pzstałych elementów bwdu. 4. ANALIZA OPRACOWANEGO MODEL PROSTOWNIKA W OBWODZIE AC Aby przeanalizwać pracwany mdel prstwnika wykrzystan bwód z rysunku 3 i zmdyfikwan d pstaci z rysunku 8. Wykrzystan dynamiczny mdel prstwnika mstkweg. Równlegle d wejścia prstwnika dłączn rezystancję R t1 w celu tłumienia scylacji pwstających w napięciu na zaciskach wejściwych prstwnika.

8 170 Mirsław Wciślik, Paweł Strząbała Rys. 8. Zmdyfikwany schemat bwdu z rysunku 3 Obwód z rysunku 8 pisan układem równań różniczkwych (15 17), który następnie rzwiązan w Simulinku. di1 L1 E sin( t) I1( R1 2R d ) (15) d C 1 I 1 I (16) d 1 C I (17) R Prądy I i I bliczane są na stawie zależnści (10) i (11). Przykładwe wyniki symulacji przeprwadzne przy użyciu zmiennkrkwej metdy de23tb (zmdyfikwany algrytmu trapezów i Geara) zaprezentwan na rysunku 9. Są t charakterystyczne przebiegi prądów i napięć w bwdzie dla: E = 24 V; f = 50 Hz; R 1 = 1 Ω; C 1 = 1 nf; R t1 = 1 kω; L 1 = 30 mh; C = 1 mf; R = 10 Ω; R d = 0,04 Ω; I = na; = 51.8 mv. kład rzwiązan dla dkładnści względnej 1e 5 raz bezwzględnej 1e 7. Prpnwany mdel jest również użyteczny, gdy w bciążeniu DC będzie indukcyjnść tak jak jest t prezentwane na rysunku 10. kład równań różniczkwych pisujących bwód z rysunku 10 jest następujący: di1 L1 E sin( t) I1R1 C1 (18) d C1 1 C1 I1 C1 I (19) Rt1 d C2 1 C2 I C2 I 2 (20) Rt 2 di 2 L2 C2 c I 2R2 (21) d c 1 C I 2 c (22) R

9 Prblemy numeryczne mdelwania bwdu prądu przemienneg I [A] 20 [V] I 1 I z t [s] Rys. 9. Przebiegi prądów i napięć w Simulinku dla bwdu z rysunku 8 metda de23tb Rys. 10. Schemat bwdu AC z indukcyjnścią na wyjściu prstwnika Prądy I i I są bliczane na stawie (10) i (11). Symulacje bwdu przeprwadzn w Simulinku wykrzystując metdę de23tb. kład rzwiązan dla dkładnści względnej 1e 5 raz bezwzględnej 1e 7. W symulacji przyjęt wartści: E = 24 V; = 314 rad/s R 1 = 1 Ω; R 2 = 1 Ω; L 1 = 30 mh; L 2 = 1 mh; C 1 = 1 nf; C 2 = 1 nf; R t1 = 1 kω; R t2 = 1 kω; C = 1 mf; R = 10 Ω raz I = 14.11nA i = 51.8 mv. W celu weryfikacji trzymanych wyników symulację bwdu przeprwadzn w prgramie PSpice dla tych samych wartści elementów i rametrów wejściwych. Otrzymane przebiegi w Simulinku jak i prgramie PSpice prezentwane dpwiedni na rysunkach 11 i 12 są prównywalne. W Simulinku układ rzwiązywan metdami zmiennkrkwymi zalecanymi d rzwiązywania równań różniczkwych sztywnych. W przydku pzstałych metd zmiennkrkwych czas rzwiązywania takieg bwdu jest znacznie dłuższy.

10 172 Mirsław Wciślik, Paweł Strząbała 25 I [A] 20 [V] I 1 I 2 z t [s] Rys. 11. Przebiegi bwdu z rysunku 10 w Simulinku metda de23tb 25 I [A] 20 [V] I 1 I 2 z t [s] Rys. 12. Przebiegi bwdu z rysunku 10 w PSpice algrytm Geara 5. PODSMOWANIE Wyknane analizy dwdzą, że wybór rdzaju mdelu prstwnika dgrywa isttną rlę w mdelwaniu rzważaneg bwdu. Mdelwanie prstwnika przy użyciu funkcji signum jest mżliwe, ale tylk gdy wykrzystuje się metdy stałkrkwe całkwania numeryczneg z bardz małym krkiem. W przydku metd zmiennkrkwych mdel taki zatrzymuje się w przejściu przez zer

11 Prblemy numeryczne mdelwania bwdu prądu przemienneg 173 napięcia wejściweg prstwnika. Krk całkwania wtedy maleje. Czas rzwiązywania jest długi. Prpnwany mdel prstwnika mstkweg rzwiązuje wymienine prblemy i znacznie pprawia czas rzwiązań wykrzystując metdy zmiennkrkwe. Mdel taki jest użyteczny w analizie działywań bciążenia nieliniweg z systemem zasilania. Analiza taka wymaga uwzględniania sztywnści systemu zasilania raz ddatkwych elementów, które występują w bwdzie m.in. elementów sywnych graniczających przepływ wyższych harmnicznych. W efekcie bwód, który pwstaje jest dść złżny i isttną rlę dgrywają prcesy dynamiczne. Złżnść mdelwaneg bwdu ze względu na rdzaj i wartści znaminwe zastswanych elementów sprawiają, że równania mdelujące bwód są równaniami różniczkwymi sztywnymi, d których wymagane są dedykwane metdy rzwiązywania równań. Na stawie zaprezentwanych mdeli prstwnika mżna stwierdzić, że nie sztywnść równań różniczkwych decyduje rzwiązywalnści układu, ale rdzaj nieliniwści w mdelu prstwnika. LITERATRA [1] IEEE PES Harmnic Wrking Grup, Mdeling Devices With Nnlinear Vltage Current, IEEE TRANSACTIONS ON POWER DELIVERY, pp , 4 Octber [2] IEEE PES Harmnic Wrking Grup,, Characteristics and Mdeling f Harmnic Surces Pwer Electrnic Devices, IEEE PES Harmnic Wrking Grup, pp , Octber [3] N. Mhan,. T. M. ndeland I W. P. Rbbins, Pwer Electrnics Cnverters, Applicatins and Design, Jhn Wiley & Sns Ltd, 2003 [4] K. Iwan, P. Musznicki, J. Guziński i J. Łuszcz, Labratrium Pdstaw Energelektrniki, Gdańsk: Wydawnictw Plitechniki Gdańskiej, [5] J. Das, Pwer System Harmnics and Passive Filter Designs, Jhn Wiley & Sns, [6] B. Singh I. A. Chandra, Pwer Quality Prblems and Mitigatins Techniques, Jhn Wiley & Sns Ltd, [7] R. Suprnwicz i H. Strzelecki, Współczynnik mcy w systemie zasilania prądu przemienneg i metdy jeg pprawy, Warszawa: Oficyna Wydawnicza Plitechniki Warszawskiej, [8] M. Wciślik i P. Strząbała, The simulatin analysis f the bridge rectifier cntinuus peratin in AC circuit, Cmputer Applicatins in Electrical Engineering, [9] M. Wciślik i P. Strząbała, Wyższe harmniczne i mce w bwdzie prądu przemienneg z indukcyjnścią i prstwnikiem mstkwym, Przegląd Elektrtechniczny, pp , Marzec 2016.

12 174 Mirsław Wciślik, Paweł Strząbała [10] MathWrks, crssing detectin.html, MathWrks, [Online]. [Data uzyskania dstępu: ]. [11] J. Kudrewicz, Nieliniwe bwdy elektryczne. Teria i symulacja kmputerwa., Warszawa: WNT, [12]. Tietze i C. Schenk, kłady półprzewdnikwe, Warszawa: Wydawnictw Naukw Techniczne, NMERICAL PROBLEMS OF AC CIRCIT MODELING WITH RECTIFIER BRIDGE The pers deal with a mdeling methds f AC circuit witch rectifier bridge. Mdeling methds such lad by using the signum functin and including additinal circuit elements have been prpsed and analyzed. In the methds replacements rameters f the pwer supply are included. Because f the numerical prblems and the slutins accuracy, which can ccur fr the rectifier mdel described by signum functin new rectifier mdel has been prpsed. The analyses were carried ut in MATLAB/ Simulink. The results were cmred with the prgram PSpice OrCAD. (Received: , revised: )