Analiza wpływu wielodrogowości na dynamikę przekładni zębatej

Transkrypt

1 DREWNIAK Józef RESZUTA Krzysztof Analiza wpływu wielodrogowości na dynamikę przekładni zębatej WSTĘP Przekładnie zębate znajdują coraz większe zastosowanie w przemyśle. Są najpowszechniej stosowanymi mechanizmami do przenoszenia energii i ruchu obrotowego. Podczas ich pracy generowane są siły dynamiczne, które mają duży wpływ na nośność, wytrzymałość, trwałość, niezawodność i cichobieżność przekładni. Odpowiednią wytrzymałość i niezawodność przekładni możemy osiągnąć poprzez zastosowanie wielodrożności. Dzięki powiększeniu liczby dróg, całkowite obciążenie jest dzielone na kilka mniejszych obciążeń występujących równolegle, w zależności od ilości dróg. Dynamikę przekładni wielodrogowych zębatych można zaliczyć do trudniejszych zagadnień mechaniki stosowanej. Głównym powodem jest złożoność zjawisk zachodzących w takich przekładniach. W celu przeprowadzenia analizy dynamiki przekładni walcowych opracowano wiele mniej lub bardziej dokładnych modeli matematycznych. Natomiast, jeśli chodzi o zagadnienie dynamiki przekładni wielodrogowych, w literaturze światowej brak szerszego rozwinięcia tego zagadnienia. W artykule przedstawiono wyniki analizy dynamiki modelu drgań skrętnych walcowej przekładni zębatej oraz przekładni zębatej dwudrogowej posiadającej jedno wejście i dwa wyjścia. W modelu przyjęto również uproszczony model tarcia w zazębieniu. Zmienną sztywność zazębienia wyznaczono za pomocą metody elementów skończonych a do wykreślenia jej przebiegu zastosowano wzór Cai a [4], [5].. MODEL DYNAMICZNY DWUDROGOWEJ PRZEKŁADNI ZĘBATEJ Do symulacji numerycznych przyjęto następujący model przekładni zębatej dwudrogowej o zębach prostych. Ogólny schemat przekładni przedstawiono na poniższym rysunku. Rys.. Schemat ogólny dwudrogowej przekładni zębatej z jednym wejściem oraz dwoma wyjściami [9] Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, 4-09 Bielsko-Biała, ul. Willowa

2 Do analizy dynamiki przekładni dwudrogowej przyjęto koła o następujących parametrach: Tab.. Parametry analizowanej przekładni zębatej Symbol Nazwa Wartość Jednostka z Liczba zębów zębnika 2 - z 2, z Liczba zębów koła 2 i 57 - m n Moduł normalny 2,5 mm d Średnica podziałowa zębnika 52,5 mm d 2 Średnica podziałowa koła 2 i 42,5 mm u Przełożenie geometryczne 2,74 - α wt Toczny kąt przyporu 20 stopnie ε ɑ Czołowy wskaźnik zazębienia,500 - T Moment obrotowy wejściowy 49,40 N m Model dynamiczny dwudrogowej przekładni zębatej z jednym wejściem oraz dwoma wyjściami przedstawiony na rysunku 2 posiada trzy stopnie swobody związane z drganiami skrętnymi kół. Współpracujące zęby odwzorowano w postaci równolegle połączonych elementów sprężystych oraz tłumiących. W badaniach przyjęto stały współczynnik tłumienia c g oraz zmienną w czasie sztywność zazębienia k g (t), której przebieg przedstawiono na rysunku 4. W modelu uwzględniono siłę tarcia, która generuje moment tarcia w zazębieniu. Parametry dynamiczne analizowanej przekładni przedstawiono w tabeli 2. Tab. 2. Parametry dynamiczne analizowanej przekładni zębatej Symbol Nazwa Wartość Jednostka J Masowy moment bezwładności zębnika,6 0-4 kg m 2 J 2, J Masowy moment bezwładności koła 2 i 7, kg m 2 c g Tłumienie w zazębieniu 00 (N s)/m r b Promień zasadniczy zębnika 2, m r b2, r b Promień zasadniczy koła 2 i 6, m r f Ramię momentu tarcia na zębniku 7, m r f2, r f Ramię momentu tarcia na kole 2 i 20, m μ Współczynnik tarcia między współpracującymi zębami 0,05 - Rys. 2. Model dynamiczny dwudrogowej przekładni zębatej z jednym wejściem oraz dwoma wyjściami [9] Do porównania wpływu wartości współczynnika dynamicznego K v na dynamikę przekładni wielodrogowych wybrano model walcowej przekładni zębatej przedstawionej na rysunku. 22

3 Rys.. Model dynamiczny walcowej przekładni zębatej [9] 5.5 x 08 5 k'(t) [N/m] x 0 - Rys. 4. Wypadkowy przebieg sztywności dla zazębienia kół i 2 oraz kół i [9].. Dynamiczne równania ruchu Poniżej przedstawiono równania ruchu dynamiki dla przekładni dwudrogowej z rysunku 2 oraz dla przekładni walcowej z rysunku. Równania wyprowadzono przy wykorzystaniu równań Lagrange a II rodzaju. Równania ruchu dla dwudrogowej przekładni zębatej b g rb rb rb r f k t r r 2 2 cg r b r b2 2 g b rb J k t r r r k t r r r g b b 2 b g b b b c r r r c g b b T g b b rf k g t rb r b c r kg trb rb 2 cg b b 2 J k t r r r c r r r 2 2 g b b2 2 b2 g b b2 2 b2 T2 rf r r (2) kg t b b g b b J k t r r r c r r r g b b b g b b b T rf r r c r r () () 224

4 Równania ruchu dla walcowej przekładni zębatej g b b 2 kg b b 2 g b b J k t r r r c r r r g b b2 2 b 2 b T rf t r r c r r (4) kg trb rb 2 cg b b 2 J k t r r r c r r r 2 2 g b b2 2 b2 g b b2 2 b2 T2 rf r r (5) WYNIKI ANALIZY DYNAMICZNEJ Powyższe równania rozwiązano w programie MATLAB. Na podstawie uzyskanych wyników otrzymano przebiegi drgań poszczególnych kół zębatych dla dwóch modeli dynamicznych przedstawionych w punkcie.. Przebiegi tych drgań przedstawiono na poniższych rysunkach: x 0-4 Wychylenie kątowe [rad] wychylenie zębnika wychylenie koła 2 i koła Rys. 5. Przebieg drgań dla przekładni dwudrogowej, dla kół, 2 i [9] Wychylenie kątowe [rad] 0 x Rys. 6. Przebieg drgań dla przekładni dwudrogowej, dla kół 2 i [9] Ponieważ moment jest równomiernie przenoszony przez obydwie drogi (koła 2 i ), więc wykresy drgań przedstawionych na rysunku 5 i 6 dla kół 2 i mają identyczny przebieg. Poniżej przedstawiono wykresy drgań dla przekładni walcowej (rys. ): 225

5 5 x 0-4 Wychylenie kątowe [rad] wychylenie zębnika wychylenie koła Rys. 7. Przebieg drgań dla przekładni walcowej, dla kół i 2 [9] Na podstawie wykresów przedstawionych na rysunkach 5 i 7 oraz znajomości sztywności zazębienia k g (t) wyznaczono wartość siły międzyzębnej F c : 2 2 F k t r r c r r c 2 g b b2 g b b2 F k t r r c r r c g b b g b b Znając wartości siły międzyzębnej F c oraz nominalnej siły międzyzębnej F cn wyznaczono współczynnik dynamiczny K v dla poszczególnych modeli przekładni zębatych. Nominalna siła międzyzębna dla przekładni dwudrogowej (rys. 2) wyraża się następującym wzorem: (6) (7) F T 49,970 F 0,5 0,5 00, 27 N o r cos 26, 25 cos 20 cn2 cn t (8) Dla przekładni walcowej (rys. ) siła ta wynosi: F cn2 T 49,970 r cos 26, 25cos 20 t o 2002,54 N (9) Maksymalna siła międzyzębna dla przekładni dwudrogowej, zgodnie ze wzorami (6) i (7): F c , , , 700 4, ,47 0 0,02 6,700, ,89 N F c , , , 700 4, ,47 0 0,02 6,700, ,89 N Maksymalna siła międzyzębna dla walcowej przekładni zębatej, zgodnie ze wzorem (6): F c , 470 2,5200 6, 700 9, ,47 0 0, 264 6,700 0,06 287,79 N (0) () (2) 226

6 Maksymalna wartość współczynnika dynamicznego K v dla przekładni dwudrogowej: Fc F 60,89 2 c Kv K, 59 2 v F F 00, 27 cn2 cn () Maksymalna wartość współczynnika dynamicznego K v dla walcowej przekładni zębatej: K v 2 Fc 287,79 2 F 2002,54,45 cn2 (4) Poniżej na wykresie zaprezentowano porównanie przebiegu współczynnika dynamicznego K v dla przekładni dwudrogowej oraz dla przekładni walcowej. Współczynnik dynamiczny K v K v dla przekładni walcowej K v dla przekładni dwudrogowej Rys. 8. Porównanie współczynnika dynamicznego K v dla przekładni dwudrogowej i walcowej [9] WNIOSKI W artykule przeprowadzono analizę obciążeń dynamicznych przekładni zębatych dwudrogowej oraz walcowej zwykłej. Do wyznaczenia tych sił wykorzystano równania Lagrange a II rodzaju. Otrzymano przebiegi drgań dla każdej z zaprezentowanych przekładni. Przedstawiono również obliczenia dotyczące siły międzyzębnej Fc oraz współczynnika dynamicznego Kv. Na podstawie otrzymanych wyników stwierdzono, że wielodrogowość w przekładniach zębatych powoduje polepszenie właściwości dynamicznych. Widać po przebiegu drgań przedstawionych na rysunkach 5 i 7, że dla przekładni dwudrogowej maksymalne wychylenie kątowe φ oraz amplituda drgań jest mniejsza niż dla przekładni walcowej. Przekłada się to bezpośrednio na przebieg współczynnika dynamicznego Kv przedstawionego na wykresie 8. Maksymalna wartość Kv dla przekładni dwudrogowej wynosi,59, natomiast dla przekładni walcowej zwykłej,45. Streszczenie W artykule przedstawiono wyniki analizy dynamiki modelu drgań skrętnych walcowej przekładni zębatej oraz przekładni zębatej dwudrogowej posiadającej jedno wejście i dwa wyjścia. W modelu przyjęto również uproszczony model tarcia w zazębieniu. Zmienną sztywność zazębienia wyznaczono za pomocą metody elementów skończonych a do wykreślenia jej przebiegu zastosowano wzór Cai a. 227

7 Analysis of multipath effect on gear dynamics Abstract In the present paper, the results of dynamical analysis are presented. The two-path gear box - incorporated cylindrical gear wheels - was analyzed. The characteristic feature of the considered gear box was that it has one input and two outputs. The created model of the gear allows for dynamical analysis of torsional vibrations. BIBLIOGRAFIA. Bartelmus, W., Computer-aided Multistage Gearbox Diagnostics Inference by Computer Simulation, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, Bartelmus, W., Diagnostyka maszyn górniczych. Górnictwo Odkrywkowe, Wydawnictwo Śląsk, Katowice, Bartelmus, W., Gearbox Dynamic Modeling, Journal of Theoretical and Applied Mechanics 4 9 (200) Cai, Y., Hayashi, T., The Linear Approximated Equation of Vibration of a Pair of Spur Gears (Theory and Experiment), Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME 6 (994) Cai, Y., Simulation on the Rotational Vibration of Helical Gears in Consideration of the Tooth Separation Phenomenon (A New Stiffness Function of Helical Involute Tooth Pair), Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME 7 (995) Dama, R., Streit, D., Chang, L., Modeling and Analysis of a High-Speed Transmission with Multi- Path, Elastomeric Load-Share Gears, Mechanism and Machine Theory 2 (997) Drewniak, J., Projektowanie kół zębatych walcowych, stożkowych i ślimakowych wg norm ISO. Wydawnictwo Akademii Techniczno-Humanistycznej, Bielsko-Biała Fernandez del Rincon, A.,Viadero, F., Iglesias. M., García, P., de-juan, A., Sancibrian, R., A Model For the Study of Meshing Stiffness in Spur Gear Transmissions, Mechanism and Machine Theory 6 (20) Grzesica, P., Wpływ obciążenia zewnętrznego na siły międzyzębne w przekładniach zębatych maszyn górniczych, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice Howard, I., Jia, S., Wang, J., The Dynamic Modelling of a Spur Gear in Mesh Including Friction and a Crack, Mechanical Systems and Signal Processing 5(5) (200) Jaśkiewicz, Z., Wąsiewski, A., Przekładnie walcowe. Geometria, wytrzymałość, dokładność wykonania, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa Kahraman, A., Lim, J., Ding, H., A Dynamic Model of a Spur Gear Pair with Friction, 2 th IFToMM World Congress, Besançon (France) Kiekbusch, T., Howard, I., A Common Formula for the Combined Torsional Mesh Stiffness of Spur Gears, 5 th Australasian Congress on Applied Mechanics, Brisbane (Australia) Kiekbusch, T., Sappok, D., Sauer, B., Howard, I., Calculation of the Combined Torsional Mesh Stiffness of Spur Gears with Two- and Three-Dimensional Parametrical FE Models, Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering 57(20), Lakshminarayana, K., Parallel Power Paths and Compactness of Gear Transmissions, Sadhana 22 (997) Müller, L., Przekładnie zębate. Dynamika, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa Osiński, J., Wybór modelu dynamicznego dla analizy obciążeń w przekładni zębatej, Mechanika Teoretyczna i Stosowana (99) Osiński, J., Kamiński, E., Drgania parametryczne modelu jednostopniowej przekładni zębatej uwzględniającej tłumienie i stałe obciążenie. Archiwum Budowy Maszyn, Tom XXVIII, zeszyt, Warszawa Reszuta, K., Analiza dynamiki przekładni zębatych dwudrogowych. Praca dyplomowa magisterska (w przygotowaniu). Akademia Techniczno Humanistyczna - Bielsko Biała. 228

8 20. Sirichai, S., Howard, I., Morgan, L., Teh, K., Finite Element Analysis of Gears in Mesh, 5 th International Congress on Sound and Vibration, Adelaide (South Australia) Yu, H., Eberhard, P., Zhao, Y., Wang, H., Sharing Behavior of Load Transmission on Gear Pair Systems Actuated By Parallel Arrangements of Multiple Pinions, Mechanism and Machine Theory 65 (20)