MATHCAD 000 - Rozwiązywanie równań, optymalizacja, wykresy 3D Wprowadzenie Jak zauważyliśmy w poprzednich ćwiczeniach Mathcad dysponuje dość silnym "solverem" symbo- licznym. Tym niemniej przy rozwiązywaniu złozonych problemów, szczególnie przy rozwiązywaniu równań przestępnych, musimy zastosować bardziej zaawansowane techniki obliczeniowe. i umiejętnie podpowiadać Mathcadowi poprzez wybranie odpowiedniej do danej klasy zagadnień metody. Wymaga to oczywiście pewnego doświadczenia w posługiwaniu się Mathcadem jak również elementarnej wiedzy z metod numerycznych. Rozwiązania równań (lub układów równań) przestępnych w ogólnym przypadku nie da się przedstawić w postaci zwartego wzoru matematycznego i musimy zadowolić się wynikiem numerycznym. W zależności od klasy problemu stosujemy różne metody rozwiazywania równań. Często też stosujemy różne metody zamiennie lub równolegle co pozwala na weryfikację uzyskanego rozwiązania. Poniżej przedstawiono możliwe startegie obliczeń:. Realizacja własnego algorytmu - warto wspomnieć o tym, gdyż jesli wiemy co i jak policzyć to nie musimy polegać na zawiłych algorytmach wbudowanych w Mathcada, ponadto w wyjątkowych sytuacjach może to być jedyna lub najskuteczniejsza metoda obliczeń.. Metoda graficzna - stosowana głównie jako weryfikator wyników i podpowiadacz tzw. punktów startowych w metodach numerycznych. Stanowi ogromną pomoc i jest zawsze zalecana. 3. Solver symboliczny (solve, x ->) - bardzo wygodny i prosty w użyciu, pozwalający na uzyskanie rozwiązania w postaci parametrycznej (wzór a nie liczba), jednak nie zawsze prowadzi do poszu- kiwanego rozwiązania. Tym niemniej jest to podstawowe narzędzie, od którego zawsze możemy rozpocząć nasze poszukiwania i dopiero w razie niepowodzeń zastosować inne metody. 4. Blok "" - to najbardziej wszechstronny sposób rozwiązywania równań, a przede wszystkim układów równań nieliniowych z kilkoma niewiadomymi. Blok given stosuje się również w rozwią- zywaniu równań różniczkowych (zwyczajnych lub cząstkowych) oraz zagadnień optymalizacji.. Zastosowanie specjalizowanych procedur numerycznych - najbardziej efektywny sposób rozwiązania, pod warunkiem zastosowania właściwej procedury do danej klasy problemu. Solver symboliczny (solve, x ->) z p.3 poznaliśmy już na poprzednich ćwiczeniach. Nadaje się przede wszystkim do rozwiązywania równań z jedną niewiadomą, ale można go również wykorzystać w bardziej złożonych zagadnieniach i przy pewnych "sztuczkach" usprawnić proces przetwarzania danych. Dzisiejsze zajęcia poświęcone jednak będą przede wszystkim metodom z punktów 4 i. Warto zauważyć, że z problematyką rozwiązywania równań zetknęliśmy się już w poprzednich ćwiczeniach a pewne tematy zostaną tu powtórzone dla usystematyzowania wiedzy. Już od pierwszych zajęć zaczynaliśmy rozwiązywać proste równania algebraiczne lub układy równań liniowych i stosowaliśmy a) własne algorytmy, b) solver symboliczny lub c) specjalizowaną procedurę lsolve(a,b). Teraz nadszedł własciwy moment aby to wszystko uporządkować. Podzielimy tematykę na kategorie w zależności od rodzaju zagadnienia.
Równania z jedną niewiadomą Równania algebraiczne, wielomiany Tu wystarczająco skutecznym narzędziem jest solver symboliczny (solve, x->) ale dla wielomianów mamy alternatywę w postaci specjalnej funkcji polyroots(v), szczególnie zalecana dla wielomianów wyższego stopnia. Ponadto łatwiej przechować rozwiązanie do dalszych przeliczeń. n : Wx ( ) n : x i ( ) i Wx ( ) ( x ) ( x ) ( x 3) ( x 4) ( x ) Wx ( ) expand x x 4 + 8 x 3 x + 74 x 0 Wx ( ) 0 solve, x 3 4 świadomie wybieramy prosty wielomian, dla którego znamy pierwiastki aby łatwiej przśledzić dalsze obliczenia Solver bez problemu znajduje rozwiązanie. Ale jak przechować je do dalszych obliczeń? (dla krótkich jednorazowych obliczen możemy ratować się skopiowaniem wyniku poprzez schowek Windows ale na dłuższą metę jest to niewygodne, bo przy każdej zmianie wyniku musimy od nowa kopiować!!!) Możemy zastosować następującą sztuczkę: przed wpisaniem równania definiujemy zmienną, w której przechowamy rozwiązanie (tu będzie to wektor p). Potem już łatwo możemy wyciągać poszczególne pierwiastki do dalszych obliczeń. p : ( W( x) 0) solve, x 3 4 p 3 4 p Wp ( ) 0 tu ORIGIN0 dlatego p to drugi element wektora Aby zastosować funkcję polyroots(v) musimy mieć wektor współczynników wielomianu - możemy go oczywiście policzyć odpowiednim algorytmem, ale na razie aby nie zaciemniać istoty tematu wpiszemy go ręcznie.
v : ( 0 74 8 ) T wektor wierszowy zajmuje mniej miejsca Yx ( ) : n i 0 v i x i wielomianu nie trzeba nawet wcale definiować tu robimy to tylko dla sprawdzenia Yx ( ) x x 4 + 8 x 3 x + 74 x 0 p : polyroots( v) p 3 4 UWAGA: wynik numeryczny szukamy zawsze z pewnym dopuszczalnym (z góry ustalonym) błędem. Tu również wektor p zawiera błedy, o czym przekonać się można po wyświetleniu wyniku z cyframi znaczącymi. Powstaje naturalne pytanie - po co używać polyroots() jeśli (solve, x) robi to dokładniej? Owszem, ale dla wielomianów stopnia > 0 rozwiązanie symboliczne może zająć od kilku sekund do nawet kilku minut na wolnym komputerze, podczas gdy obliczenia numeryczne z użyciem polyroots trwaja zaledwie ułamek sekundy. Oczywiście fakt ten nabiera na znaczeniu dopiero w większych projektach, szczególnie jeżeli duże wielomiany musimy wielokrotnie rozwiązywać. Podobna uwaga dotyczy zresztą i pozostałych procedur numerycznych omawianych poniżej. - w skrócie - zyskujemy ogromną szybkość obliczeń kosztem minimalnych błędów (w typowych zastosowaniach inżynierskich pomijalnie małych) Równania przestępne Wracamy do przykładu z poprzednich ćwiczeń: cos( x) 0.3x, Tu dla wygody przejdziemmy do standardowej postaci f( x) 0 gdzie: f( x) : cos( x) 0.3x. Jak pamietamy (solve, x) potrafił znaleźć tyllko jedno rozwiązanie. Poniżej pokażemy jak mozna znaleźć pozostałe pierwiestki. Jak zwykle bardzo przydatny będzie wykres badanej funkcji i ewentualnie technika "zoomowania" do precyzyjniejszej lokalizacji pierwiastków. a : 0.3 f( x) : cos( x) a x f( x) 0 solve, x.0936366684648 Pierwszy - zgrubny wykres Drugi wykres - zawężony do przedziału (-4,)
fx ( ) 0 0 0 fx ( ) 4 0 x Korzystając z techniki zoomowania można stwierdzić, że dwa pozostałe pierwiastki wynoszą około: x -3.3 i x3 -.4. Dokładniejsze przybliżenia możemy znaleźć przy pomocy funkcji: root( f(x), x) tu musimy wcześniej określić punkt startowy root( f(x), x, a, b) tu zamiast punktu starowego podajemy przedział (a,b) lub za pomocą bloku given i funkcji find(x) UWAGA: Omawiane funkcje - jako ogólniejsze - można również z powodzeniem stosować do równań wielomianowych - "tylko po co wyciągać armatę do zabicia muchy". x f( x) cos( x).3 x x : 3.3 root( f ( x), x) 3.94378876 root( f ( x3), x3,., ).38470033 sprawdzamy wzór (czy wszystko OK?) definiujemy początkowe przybliżenie i rozwiazujemy tu podajemy przedział (a,b) tak aby na jego końcach funkcja miała różne znaki Drugi sposób jest bezpieczniejszy gdyż zmniejsza ryzyko rozbieżności procesu iteracyjnego. Nie ma tu jednak miejsca na dokładniejsze omówienie tego problemu bo nie jest to kurs matematyki czy metod numerycznych. Naszym celem jest zapoznanie sie z możliwościami jakie oferuje Mathcad. Pokażemy więc poniżej jak otrzymać wszystkie trzy pierwiaski od razu oraz jak kontrolować dokładność. p : 0 niszczymy starą definicje wektora p - to zabieg typowo kosmetyczny a : p i 3 0 b : ( ) : root f ( x), x, a i, b i 3 i : 0.. definiujemy początki i końce przedziałów jako wektory, a nastepnie poprzez zmienną zakresową wykonamy kolejne obliczenia cyklicznie Wywietlimy wyniki i sprawdzimy ewentualne błędy podstawiając do oryginalnego równania p 3.94466898.38470033.093636668 f( p) 0 0 0 tu szczęśliwie udało się rozwiązać problem super dokładnie ale na ogół powstają pewne błedy. Ich wielkość możemy konrolować poprzez globalne zmienne TOL i CTOL.
Zmienne TOL i CTOL używane są przede wszystkim przy rozwiązywaniu równań w bloku. TOL okresla dopuszczalny błąd względny rozwiązania CTOL określa dopuszczalny błąd względny niespełnienia warunków ograniczających Domyślnie wartości te ustawione są na 0-3 ale możemy je definiować wg własnych potrzeb. Warto jednak pamiętać, że zmniejszając dopuszczalny błąd zmuszamy Mathcada do cięższej pracy Blok + funkcja find(x) x0 :. 0. przed użyciem bloku given należy podać punkt startow. wpisujemy słowo kluczowe "" f( x0) 0. następnie poniżej określamy równania r : Find( x0) 3. rozwiązujemy funkcją find(var,var,...) --------------------------------------------- r.0930744986 f() r.09993649 0 7 p.093636668 f( p ) 0 CTOL 0 3 tak było do tej pory TOL : 0 0 CTOL : 0 0 podajemy nowe wartości (0-0 to naprawdę bardzo mały błąd) - przeważnie rozwiązanie będzie i tak dokładniejsze o kilka rzędów f( x0) 0 r : Find( x0) --------------------- r.093636668 f() r 0 teraz jest OK jak widać rozwiązanie jest mniej dokładne niż z funkcji root co wynika z zastosowania innego algorytmu numerycznego. Możemy jadnak sterować dokładnością obliczeń, a prawdziwe zalety bloku, będziemy mogli docenić dopiero dla układów równań z kilkoma niewiadomymi. Powtórzymy teraz powyższe obliczenia przy zmniejszonej tolerancji na błędy TOL 0 3 W bloku też możemy obliczyć wszystkie pierwiaski za jednym razem jeżeli za punkt startowy podamy wektor a nie pojedynczą wartość z : f() z 0
Find() z 3.94466897.38470033.093636668
Ćwiczenie :. Znajdź pierwiastki dowolnego wielomianu 4-go stopnia za pomocą funkcji polyroots() i porównaj wyniki z rozwiązaniem symbolicznym.. Znajdź pierwiastki równania: x x na różne sposoby opisane powyżej (obydwie postacie funkcji root() i blok ). x cos( x) 3. Dana jest macierz funkcyjna Ax ( ) : x. + x Znajdż takie x, dla których wyznacznik tej macierzy będzie równy 0. Uwaga: do zadań z p. i 3. sporządź odpowiednie wykresy. Układy równań z wieloma niewiadomymi Układy równań liniowych Temat ten szczegółowo omówiliśmy w ćw. (zajrzyj do pliku mcad_.mcd). Przypomnijmy jedynie, że obliczenia możemy przeprowadzić z zastosowaniem funkcji lsolve(a,b) lub poprzez macierz odwrotną. Nieliniowe układy równań Rozwiązywanie nieliniowych układów równań jest skomplikowanym zagadnieniem. Klasyczne podejście analityczne jest na ogół z góry skazane na niepowodzenie, gdyż eliminacja kolejnych zmiennych (nawet gdy możliwa) jest czasochłonna i prowadzi na ogół do skomplikowanego równania przestępnego. Mathcad pozwala w dość łatwy sposób przezwyciężyć te trudności na drodze numerycznej. Najbardziej uniwersalne jest w tym przypadku zastosowanie bloku, ale w niektórych szczególnych przypadkach możliwe jest nawet uzyskanie rozwiązania symbolicznego (solve, vec(x,y,z) ->).Aby nie zagłębiać sie dalej w zawiłosci teoretyczne przejdziemy od razu do przykładu. Przykład: Wyznacz okrąg przecinający punkty (x,y) (,4), (-3,), (,) Zadanie to można łatwo rozwiązać wykonując proste obliczenia geometrii analitycznej. Na wstępie należy wyznaczyć dwie proste prostopadłe do boków np. i 3 i przechodzące przez ich środki. Następnie z układu równań liniowych (równań tych prostych) znaleźć można środek okręgu (x0,y0) a na koniec wyznaczyć promień jako odległość (x0,y0) do np. (x,y). Opisany tu algorytm wymaga jednak trochę "ręcznej" pracy aby wpisać odpowiednie wzory i równania. Czy nie możemy wykonać obliczen prościej? Spróbujmy zapisać w bezpośredniej postaci odpowiedni układ równań i zlecić jego rozwiązanie Mathcadowi. Poniżej podajemy różne sposoby zapisu i rozwiązania problemu.
x : y : 4 x : 3 y : definiujemy parametry zadania (tu współrzędne punktów x3 : y3 : x0 : 0 y0 : 0 r : 4 podajemy punkt startowy do rozwiązania ( x x0) + ( y y0) r ( x x0) + ( y y0) r ( x3 x0) + ( y3 y0) r definiujemy blok punkty muszą spełniać to samo równanie okręgu Find( x0, y0, r) otrzymaliśmy okrąg o promieniu i środku (,) xp : 3 yp : 4 można znacznie skrócić zapis wykorzystując notację macierzową ( xp x0) + ( yp y0) r teraz trzy zwykłe równania możemy zapisać jednym równaniem macierzowym r > 0 Przy okazji nowy element - w bloku given możemy podawać nie tylko równości ale i dodatkowe ograniczenia w postaci nierówności. W rozpatrywanym przypadku nie Find( x0, y0, r) miało to znaczenia bo początkowa wartość r była dodatnia i nawet bez tego ograniczenia otrzymujemy r Rozpatrywany układ równań jest na tyle prosty, że mozna go nawet rozwiązać symbolicznie ( x xs) + ( y ys) rs ( x xs) + ( y ys) rs ( x3 xs) + ( y3 ys) rs solve, xs ys rs Tu również możemy podać dodatkowe ograniczenia nierównościowe
( x xs) + ( y ys) rs ( x xs) + ( y ys) rs ( x3 xs) + ( y3 ys) rs rs > 0 xs solve, ys ( ) W bloku można również uzyskać rozwiązanie symboliczne (po funkcji find wciskamy Ctrl+. ). ( x xx) + ( y yy) rr ( x xx) + ( y yy) rr ( x3 xx) + ( y3 yy) rr Find( xx, yy, rr) rs Ale z niewiadomych przyczyn nie można tu podać ograniczeń typu rr > 0 Na zakończenie omawianego przykładu zilustrujemy rozwiązanie graficznie.. tworzymy parametryczny wykres znalezionego okręgu. dodajemy serie punktów xp i yp 3. oraz pojedynczy punkt (,) Aby uzyskać końcowy efekt jak na wykresie obok musimy go jeszcze odpowiednio sformatować. sin() t + yp 0 cos() t +, xp, Ćwiczenie. Okrąg o promieniu i środku w punkcie (0,0) przecina krzywa y( x) : e x. Sporządź wykresy tych krzywych i oblicz punkty przecięcia z dokładnością co najmniej cyfr znaczących.. Wykorzystując rozwiązanie z poprzedniego punktu oblicz pole powierzchni "górnego-lewego" wycinka koła. 0
Wprowadzenie do optymalizacji Tematyka optymalizacji jest na tyle bogata, że nie sposób tu podać nawet fragmentarycznych wiadomości. Punkt niniejszy proszę więc traktować czysto technicznie - czyli jak znaleźć opimum pewnej funkcji (tzw. funkcji celu) w Mathcadzie. Otóż rozwiązanie problemu zapisujemy praktycznie zawsze w podobny do opisanego niżej algorytmu. Z formalnego punktu widzenia nie jest istotne czy rozwiązujemy zadanie z jedną lub wieloma zmiennymi decyzyjnymi, z ograniczeniami lub bez, oraz czy zadanie jest liniowe lub nieliniowe. Zapis w Mathcadzie będzie zawsze podobny a solver sam będzie próbował sklasyfikować problem i zastosować odpowiednią procedurę numeryczną. Podobnie jak wcześniej, przejdziemy do konkretnego przykładu. Przykład: Obliczyć odległość dwóch krzywych y y x. Dla ułatwienia parametryzujemy obydwie krzywe - dla pierwszej krzywej przyjmujemy parametr a x, a dla drugiej by. Musimy teraz zdefiniować funkcję odległości dla tych parametrów i obliczyć kiedy osiągnie minimalną wartość. Dla uproszczenia możemy wziąć kwadrat odległości - unikniemy pierwiastkowania i zmniejszymy stopień nieliniowości naszej funkcji celu e x i e t t 0 tt, f( a, b) : a b f( 0, 0) ( ) + ( e a b) definiujemy funkcję celu to tylko dla sprawdzenia czy OK a : 0 b : 0 punkty startowe - musimy zawsze podać tu ew. mogą być zapisane ograniczenia pusty blok given bo nie mamy ograniczeń r : Minimize( f, a, b) obliczenie (a,b) > min f(a,b) r 0.07366979 0.386773397 a : r 0 b : r Ostatecznie odległość jest równa L : f( a, b) L 0.33877493908
Na koniec przedstawiamy wykres z zaznaczeniem znalezionych (najbliższych) punktów na wykresie. rx ( a b ) T : ry ( e a b ) T 0.0736 0.990784 : rx ry 0.8964 0.38677. e t t ry 0. 0. 0 0.. 0. UWAGA: Aby prawidłowo pokazać odległość musimy zadbać aby skale osi x i y były takie same. W innym razie wykres będzie zniekształcony i trudno będzie ocenić czy rozwiazanie jest OK. tt,, rx Wykresy przestrzenne UWAGA: Wykresy przestrzenne (powierzchniowe lub warsticowe) zostały umieszczone w oddzielnym pliku, ze względu na niestabilną pracę Mathcada (częste zawieszanie aplikacji przy obróbce i formatowaniu wykresów). Proszę zapisać i najlepiej zamknąć wszystkie otwarte pliki i dopiero przejść do pliku Plot3D.mcd. Ćwiczenie 3 Wyznacz maximum i minimum funkcji: f( x, y) exp x + y : sin( x) + cosy + 0. Sporządź wstępne wykresy powierzchniowy i warstwicowy.. Zlokalizuj graficznie (oszacuj) maximum i minimum i sporządź w ich otoczeniu odpowiednie wykresy warstwicowe. 3. Na podstawie wykonanych wykresów podaj odpowiednie punkty startowe do bloków i znajdż min i max f(x,y). 4. Jak sprawdzić czy rozwiązanie jest OK? UWAGA: ze względu na częste zawieszanie Mathcada przy pracy z wykresami 3D proszę zadanie to wykonać w oddzielnym pliku (ew. pominąć punkty i ).