1 Modele ADL - interpretacja współczynników ZADANIE 1.1 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest intepretacja współczynników β 0 i β 1. 2. Pokazać jaki będzie wpływ na y t zmiany x t 1 i x t o jednostkę. Jak nazywany jest współczynnik β τ? 3. Policzyć odchylenie standardowe współczynnika b τ, jeżeli oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji estymatora MNK dla b = [ µ, β 0, β ] 1 ma postać: Var(b) = Σ b = σ µµ σ µ0 σ 00. σ µ1 σ 01 σ 11 4. Sformułuj prognozę dla y T dla x T i x T 1 5. Policz średnie opóźnienie dla tego modelu ZADANIE 1.2 Dany jest proces DL następującej postaci: y t = µ + α 1 y t 1 + α 2 y t 2 + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t. 1. Wyjaśnić, jaka jest interpretacja współczynnika β 0 2. Dany jest scenariusz bazowy, w którym x t = x t, x t 1 = x t 1, x t 2 = x t 2, y t 2 = y t 2,y t 3 = y t 3 (a) Policzyć, ile wyniesie E(y t ) w scenariuszu bazowym (b) Policzyć, o ile zmieni się E(y t ) w stosunku do scenariusza bazowego, jeśli zamiast x t 1 przyjmiemy x t 1 = x t 1 + 1. (c) Policzyć, o ile zmieni się E(y t ) w stosunku do scenariusza bazowego, jeśli przyjmiemy x t 1 = x t 1+ 1, x t = x t + 1. 3. Ile wynosi mnożnik długookresowy w tym modelu? 4. Jak wygląda równowaga długookresowa w tym modelu? 5. Przyjmijmy, że β 0 = 0. Jaki dodatkowe ograniczenie musi być prawdziwe, aby x nie był przyczyną w sensie Grangera y? ZADANIE 1.3 Dla modelu ADL postaci dla zależności zmian bezrobocia w/g bael od inflacji dla Polski w latach 1994.1 2003.4 otrzymaliśmy następujące oszacowanie parametrów 1
Source SS df MS Number of obs = 38 -------------+------------------------------ F( 3, 34) = 142.94 Model 399.156095 3 133.052032 Prob > F = 0.0000 Residual 31.6488362 34.930848124 R-squared = 0.9265 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9201 Total 430.804931 37 11.6433765 Root MSE =.9648 bael Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- bael L1.8823577.1672545 5.28 0.000.5424556 1.22226 L2.0364489.1618563 0.23 0.823 -.2924825.3653804 inf -.0395884.0202393-1.96 0.059 -.0807196.0015429 _cons 1.83276 1.012992 1.81 0.079 -.2258878 3.891407 Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 4 19.272 4 0.0007 Przy rozwiazywaniu zadań liczby zaokraglać do setnych 1. policz i zinterpretuj mnożnik bezpośredni 2. policz i zinterpretuj mnożnik długookresowy 3. Jaka będzie wartość oczekiwana bezrobocia jeśli: inflacja będzie stale równa 0% inflacja będzie stale równa 40% Co implikują te wartości w odniesieniu do polityki gospodarczej? 4. co implikuje wynik testu Breuscha-Godfreya jeśli chodzi własności estymatorów w tej regresji? ZADANIE 1.4 Dla danych kwartalnych dla Polski z lat 1994.1-2003.4 wyestymowano następujący model 4 bael t = µ + α 1 4 bael t 1 + α 1 4 bael t 2 + β 0 pkb t + ε t gdzie pkb t oznacza stopę wzrostu realnego PKB w stosunku do analogicznego kwartału poprzedniego roku a bael t jest stopą bezrobocia według BAEL. 2
Source SS df MS Number of obs = 34 -------------+------------------------------ F( 3, 30) = 102.64 Model 99.8829685 3 33.2943228 Prob > F = 0.0000 Residual 9.73144848 30.324381616 R-squared = 0.9112 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9023 Total 109.614417 33 3.321649 Root MSE =.56955 S4.bael Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- bael LS4 1.440093.1365317 10.55 0.000 1.161258 1.718928 L2S4 -.6333145.1350887-4.69 0.000 -.9092024 -.3574265 pkb -.0902387.048846-1.85 0.075 -.1899955.009518 _cons.517967.2450794 2.11 0.043.017448 1.018486 Breusch-Godfrey LM test for autocorrelation lags(p) chi2 df Prob > chi2 -------------+------------------------------------------------------------- 4 0.121 4 0.9982 Durbin-Watson d-statistic( 4, 34) = 1.973591 Przy rozwiazywaniu zadań liczby zaokraglać do setnych 1. Za pomocą jakiego testu powinno się przetestować w tym modelu autokorelację, dlaczego jest to ważne i jaki jest wynik tego testu dla α = 0.05? 2. Policz dla jakiej stopy wzrostu PKB oczekiwana stopa bezrobocia utrzymywać się będzie na stałym poziomie. 3. Liczby dotyczące bezrobocia i PKB są następujące: kwartał PKB BAEL 2002.2 0.9 19.9 2002.3 1.8 19.8 2002.4 2.2 19.7 2003.1 2.3 20.6 2003.2 3.9 19.4 2003.3 4 19.4 2003.4 4.7 Jaka będzie prognoza wysokości bezrobocia w ostatnim kwartale 2003 uzyskana z wyestymowanego modelu? 4. Oszacuj na podstawie rozwiązania długookresowego o ile spadłoby bezrobocie w ciągu 10 lat, gdyby udało się w tym czasie utrzymać stopę wzrostu PKB na poziomie 6.5% 3
2 Procesy ARIMA ZADANIE 2.1 Otrzymaliśmy następujące wielkości kryteriów informacyjnych AIC (Akaike) i BIC (Bayesowskie) oraz następujące logarytmy funkcji wiarygodności dla modeli ARMA (2, 2), ARMA (2,1), ARMA (1, 1), ARMA (1,0) dla zmiennej y t. Otrzymaliśmy też funkcje ACF i PACF dla y t. Odpowiedzi na poniższe pytania muszą być szczegółowo uzasadnione! Autocorrelations of y 0.50 0.00 0.50 1.00 0 10 20 30 40 Lag Bartlett s formula for MA(q) 95% confidence bands Partial autocorrelations of y 0.50 0.00 0.50 1.00 0 10 20 30 40 Lag 95% Confidence bands [se = 1/sqrt(n)] model AIC BIC 2 ln L ARM A (2, 2) 301.23318 314.30878 291.23318 ARM A (2, 1) 299.32038 309.78086 291.32038 ARM A (1, 1) 297.4135 305.25886 291.4135 ARM A (1, 0) 310.4639 315.69414 306.4639 1. Który z modeli powinniśmy wybrać zgodnie z kryterium AIC? 2. Który z modeli powinniśmy wybrać zgodnie z kryterium BIC? 3. Który z modeli powinniśmy wybrać kierując się kształtami funkcji ACF i PACF? 4. Który z modeli powinniśmy wybrać testując od ogólnego do szczegółowego (poziom istotności α = 5%, χ 2 0.05 (1) = 3.84, χ 2 0.05 (2) = 5.99, χ 2 0.05 (3) = 7.81) ZADANIE 2.2 Otrzymano następujące wyniki estymacji modelu ARIM A (p, d, q): y t = 0.5 + 1.0y t 1 0.25y t 2 + ǫ t + 0.5ǫ t 1. 1. Podaj wielkość p,q 2. Policzyć prognozę dla y T+1 i y T+2 jeśli y T = 1, y T 1 = 2, e T = 1. 3. Czemu równe jest rozwiązanie długookresowe dla tego modelu? 4
4. Do jakiej wartości będą zbiegać prognozy przy wydłużaniu ich horyzontu? ZADANIE 2.3 Otrzymano następujące wyniki estymacji modelu ARIM A (p, d, q): y t = 0.2 y t 1 + 0.4 y t 2 + ǫ t + 0.2ǫ t 1. 1. Podaj wielkość p, d, q 2. Policzyć prognozę dla y T+1 i y T+2 jeśli y T = 2, y T 1 = 1, y t 2 = 2, y t 3 = 1, e T = 0.25. 3. Czemu równe jest rozwiązanie długookresowe dla y t w tym modelu? 3 Niestacjonarność i kointegracja ZADANIE 3.1 Mamy następujący proces ARIM A (p, d, q): y t = µ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 E(ε) = 0 Var(ε) = σ 2 I 1. Podać wielkość p, d, q 2. Udowodnić, że proces ten jest trendostacjonarny 3. Udowodnić, że y t E(y t ) jest procesem I (0) 4. Jakie jest rozwiązanie długookresowego tego procesu? ZADANIE 3.2 Dany jest proces ADL następującej postaci: y t = µ + αy t 1 + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t, E(ε) = 0 Var(ε) = σ 2 I 1. Podać warunek konieczny do tego, aby wpływ ǫ t na y t+s malał z upływem czasu - założyć, że lim s α s y t s = 0. Podpowiedź: Zastanów się jak y t 1 zależy od y t 2, x t 1, x t 2,ε t 1. Podstaw uzyskany wzór do wzoru na y t i zastanów się co uzyskamy powtarzając wielokrotnie tą procedurę. 2. Udowodnić, że przy założeniu, że x t jest deterministyczne i spełniony jest warunek z punktu 1 to y t jest trendostacjonarne 3. Pokazać, że y t E(y t ) jest I (0). 4. Znaleźć wielkość mnożnika bezpośredniego i długookresowego dla zmiennej x t. Jaka jest interpretacja tych mnożników? 5. Jakie warunki musi spełniać ǫ t, aby model ten można było wyestymować za pomocą MNK? 5
ZADANIE 3.3 Estymacja modelu AR (2) na pierwszych różnicach dla próby 100 obserwacji dała następujący wynik (w nawiasach błędy standardowe): y t = 0, 18 0.14 y t 1 + 0.24 y t 1 + ǫ t (0.12) (0.05) (0.10) 1. Wyjaśnić, dlaczego do zmiennych po prawej stronie równania dodano y t 1 2. Przetestować na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę o pierwiastku jednostkowym. Podać postaci hipotezy zerowej i alternatywnej. Wartości krytyczne: test pierwiastka jednostkowego ADF, α = 0.05, 100 obs., bez wyrazu wolnego 1.95, z wyrazem wolnym 2.89, wyrazem wolnym i trendem 4.04 Fuller (1976) 3. Mamy drugą zmienną x t, o której wiemy, że jest I (1). Czy sensowne jest testowanie kointegracji między x t i y t? ZADANIE 3.4 Analizujemy związek między wzrostem realnego spożycia ogółem (spoz_o) i wzrostem pkb (pkb) (dane GUS z lat 1996.1 2003.4) Przeprowadzono następujące regresje spoz_o t na spoz_o t 1, pkb t na pkb t 1. Przeprowadzono dodatkowo regresję spoz_o t na pkb t i uzyskano z niej reszty e t. Następnie przeprowadzono regresję e t na e t 1. Uzyskano następujące wyniki: 6