17 Naturalne jednostki w fizyce atomowej

Podobne dokumenty
Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Teorie wiązania chemicznego i podstawowe zasady mechaniki kwantowej Zjawiska, które zapowiadały nadejście nowej ery w fizyce i przybliżały

III. EFEKT COMPTONA (1923)

Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:

(U.13) Atom wodoropodobny

Fizyka 2. Janusz Andrzejewski

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Początek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Plan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe

Atomowa budowa materii

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

Fizyka 3.3 WYKŁAD II

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

gęstością prawdopodobieństwa

Mechanika kwantowa Schrödingera

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

II.5 Sprzężenie spin-orbita - oddziaływanie orbitalnych i spinowych momentów magnetycznych

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

II.4 Kwantowy moment pędu i kwantowy moment magnetyczny w modelu wektorowym

Promieniowanie X. Jak powstaje promieniowanie rentgenowskie Budowa lampy rentgenowskiej Widmo ciągłe i charakterystyczne promieniowania X

Energetyka Jądrowa. Wykład 28 lutego Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Wykład Budowa atomu 2

Rysunek 3-23 Hipotetyczne widmo ciągłe atomu Ernesta Rutherforda oraz rzeczywiste widmo emisyjne wodoru w zakresie światła widzialnego

Efekt naskórkowy (skin effect)

VII. CZĄSTKI I FALE VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924) De Broglie wysunął postulat fal materii tzn. małym cząstkom przypisał fale.

Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.

Spis treści. Tom 1 Przedmowa do wydania polskiego 13. Przedmowa 15. Wstęp 19

(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

λ(pm) p 1 rozpraszanie bez zmiany λ ze wzrostem λ p e 0,07 0,08 λ (nm) tł o

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Wykład 18: Elementy fizyki współczesnej -2

Zasada nieoznaczoności

Własności jąder w stanie podstawowym

21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

Fizyka 3. Konsultacje: p. 329, Mechatronika

II.1 Serie widmowe wodoru

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

V.6.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c. Zastosowania

Wykład Budowa atomu 3

Chemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki

Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.

Wykład Budowa atomu 1

Rozdział 6. Równania Maxwella. 6.1 Pierwsza para

Droga do obliczenia stałej struktury subtelnej.

WSTĘP DO FIZYKI CZĄSTEK. Julia Hoffman (NCU)

2008/2009. Seweryn Kowalski IVp IF pok.424

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera

Rozważania rozpoczniemy od fal elektromagnetycznych w próżni. Dla próżni równania Maxwella w tzw. postaci różniczkowej są następujące:

Wstęp do astrofizyki I

Budowa atomów. Atomy wieloelektronowe Układ okresowy pierwiastków

Ładunki elektryczne. q = ne. Zasada zachowania ładunku. Ładunek jest cechąciała i nie można go wydzielićz materii. Ładunki jednoimienne odpychają się

Kwantowa natura promieniowania

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

VIII. VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU, L= r p (VIII.1.1) p=m v (VIII.1.2) L= L =mvr (VIII.1.1a) r v. r=v (VIII.1.3)

h 2 h p Mechanika falowa podstawy pˆ 2

Podstawy Fizyki Jądrowej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Stara i nowa teoria kwantowa

IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)

Modele atomu wodoru. Modele atomu wodoru Thomson'a Rutherford'a Bohr'a

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Fale materii hipoteza de Broglie'a Funkcja falowa Równanie Schrödingera

Księgarnia PWN: David J. Griffiths - Podstawy elektrodynamiki

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Prawa ruchu: dynamika

ZASADY PRZEPROWADZANIA EGZAMINU DYPLOMOWEGO KOŃCZĄCEGO STUDIA PIERWSZEGO ORAZ DRUGIEGO STOPNIA NA KIERUNKU FIZYKA

Fizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła

Pole elektromagnetyczne. Równania Maxwella

Wykład 13 Mechanika Kwantowa

Zadania z mechaniki kwantowej

EGZAMIN MATURALNY 2013 FIZYKA I ASTRONOMIA

Fale elektromagnetyczne

Atom wodoru w mechanice kwantowej. Równanie Schrödingera

Podstawy fizyki subatomowej. 3 kwietnia 2019 r.

Cząstki i siły. Piotr Traczyk. IPJ Warszawa

Atom wodoru i jony wodoropodobne

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Model oscylatorów tłumionych

Model Bohra budowy atomu wodoru - opis matematyczny

Podstawowe własności jąder atomowych

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

I. Przedmiot i metodologia fizyki

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Elektrostatyczna energia potencjalna U

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

Równanie Schrödingera

Transkrypt:

7 Naturalne jednostki w fizyce atomowej W systemie CGS wszystkie wielkości fizyczne wyrażane są jako potęgi trzech fundamentalnych jednostek:. długości (l) cm,. masy (m) g, 3. czasu (t) s. Wymiary innych wielkości, z którymi mamy do czynienia w mechanice wyprowadza się z równań. Przykładowo z równań wynika p mv, E mv, F dp dt, df x da η v x y [pęd] m l t, [energia] m l t, [siła] m l t, [lepkość] m l t l ( l t l ) m l t. (7.) Inne jednostki: funt, cal, ar są pochodnymi tych podstawowych. W elektrodynamice pojawia się ładunek. Nowa jakość wymaga nowej jednostki, np. Coulomb czy Faraday. Dziś wiemy, że ładunek odpowiada pewnej liczbie elektronów, np: C 6, 450636 0 8 elektronów. (7.) Niezależna jednostka nie jest potrzebna, można użyć jednostek podstawowych, korzystając z prawa Coulomba (nie da się tego jednak zrobić dla grawitacji): skąd dostajemy F e e r [ładunek] [siła] / l m / l 3/ t. (7.3) Zatem podstawowa jednostka ładunku w systemie CGS to [ładunek] g/ cm 3/. s Jest tak, bo napisaliśmy prawo Coulomba bez stałej proporcjonalności. Gdy e e i r cm, wtedy siła F dyna. Taki ładunek nazywamy skrótowo esu lub stat Coulomb. Wynosi on około, 08944 0 9 elektrona. 88

W układzie MKS (SI) jest inaczej. Nowe jednostki ad hoc wprowadza się dowolnie dodając stałe proporcjonalności do wzorów. W MKS Coulomb jest w gruncie rzeczy równoważny pewnej liczbie elektronów (ilu). Definicja: jest to ładunek przenoszony przez prąd o natężeniu jednego ampera w czasie sekundy. Prawo Coulomba F 4πε 0 Q Q r. (7.4) Argument, który pozwala w CGS zdefiniować ładunek, można rozciągnąć na wszystkie wielkości elektrodynamiczne: F e E + e v B (7.5) ale też F e E + e c v B (7.6) wersja jednostek Gaussa. Stąd pole magnetyczne [pole magnetyczne] [siła] [ładunek] [siła] [siła] / l m/ l / t. (7.7) Kiedy jednak opuszczamy świat ludzkich rozmiarów, układ CGS przestaje być naturalny. Świadczą o tym duże potęgi /0 w stałych h czy c wyrażonych w CGS. h h π, 0545766(63) 0 7 g cm s, c, 9979458 0 0 cm s, E ev, 607733(49) 0 g cm s. System jednostek, w którym każda wielkość może być wyrażona przez h, c jest powszechnie używany w fizyce atomowej, jądrowej, astrofizyce, fizyce wysokich energii. Jest to Naturalny Układ Jednostek. m, l oraz t są niezależne, można jednak użyć innych niezależnych jednostek: [działanie] m l t, [prędkość] l t, [energia] m l t. (7.8) Każda wielkość D w CGS może być przeliczona na te jednostki gdzie [D] m a l b t c E α h β c γ m α+β l (α+β)+γ t α β γ, (7.9) α a b c, β b + c, γ b a. (7.0) 89

W tych jednostkach mamy [masa] ev c, [czas] ev h, [długość] ev h c, [pęd] ev c, [siła] ev h c, [ciśnienie] ev 4 h 3 c 3, [ładunek ] h c, [pole magnetyczne] ev h 3/ c 3/. Powody, dla których ten układ jednostek jest dobry: Prostota. Można opuścić h i c. To można było zrobić w CGS, elminując np. cm i sekundę wyrażając wszystkie wielkości w gramach. Nie robi się tego, bo nie ma po temu żadnej fundamentalnej przyczyny i dlatego, bo lubimy różne jednostki dla różnych wielkości. W przypadku jednostek naturalnych h i c są wyróżnione i stanowią naturalne jednostki działania i prędkości dla zjawisk atomowych. Druga niedogodność jest zrównoważona przez wygodę. Czynniki konversji: ( MeV 0 6 ev, fm 0 3 cm). hc 97, 37053(59) MeV fm, h 6, 580(0) 0 MeV s, (7.) Naturalność. Stała Plancka i prędkość światła wyznaczają skalę zjawisk kwantowych. Przykłady. Energia odpowiadająca masie elektronu to 5 kev, więc w jednostkach naturalnych m e 5 kev. (7.) Jakiej odległości to odpowiada: l e h m e c hc m e c 97 5 MeV fm kev 385 fm 3, 85 0 cm. To jest długość fali Comptona elektronu. Jaki to czas? t e l e c, 8 0 s. (7.3) To jest czas, jaki potrzba, żeby światło przeleciało długość fali Comptona elektronu. 90

Jaka to częstość? ν e t e 7, 8 0 0 Hz (7.4) co stanowi częstość każdego z dwóch fotonów (promieni światła) wyemitowanych w wyniku anihilacj elektron-pozyton. Morał: wszystkie interesujące skale kwantowe i relatywistyczne związane z elektronem są naturalne w Naturalnym Układzie Jednostek.. Elektron o energii 0 ev rozprasza się na atomie pod kątem 0, radiana. Jaką odległość wgłąb atomu penetruje taki elektron? Najpierw policzmy jego pęd p me ( 5 kev 0 ev) / 3, kev. (7.5) Dla małych przekazów pędu w przybliżeniu p θp 0, 64 kev.użyjemy teraz zasady nieoznaczoności (bez /, bo chodzi o rząd wielkości) x h p (0, 64 kev) 97 MeV fm 0, 64 kev 3, 0 3 cm 3, A, czyli 4 rzędy wielkości mniej niż promień atomu Bohra. 3. Zgodnie z (7.3) kwadrat ładunku elektronu ma ten sam wymiar co hc: [e ] m l3 t [ h c]. Ile wynosi e / hc, która to kombinacja jest bezwymiarową miarą siły oddziaływań elektromagnetycznych? Z doświadczenia e, 30 0 9 [cm 3 g/s ], hc 3, 6 0 7 [cm 3 g/s ], stąd α ELM e hc Dokładna wartość (37, 0359895(6))., 30 3, 6 0, 7 0 37. (7.6) 4. W klasycznej elektrodynamice siła może być dowolnie duża poprzez kumulację ładunku w jednym miejscu. W fizyce atomowej są ograniczenia: p < mc aby nie powstawały pary elektron-pozyton, więc x > h/mc (długość fali Comptona). Ponieważ nie możemy zlokalizować elektronu, więc energia oddziaływania dwóch elektronów jest rzędu (lub mniej) V e h/mc. Naturalną skalą energii dla tego problemu jest energia równoważna masie spoczynkowej elektronu mc : V mc e hc α ELM. (7.7) Zatem oddziaływania elektronów są słabe. 9

5. Wróćmy do skal atomowych. Długość fali Comptona elektronu wynosi λ h/mc. Ponieważ mamy do dyspozycji α ELM, które jest bezwymiarowe, możemy budować różne skale wielkości posiadające różne potęgi e. Np.: r e λα ELM e mc, (7.8) gdzie h się uprościło. Jest to więc wielkość klasyczna, często nazywana klasycznym promieniem elektronu. Precyzyjniej, jest to skala klasycznego rozkładu ładunku, którego energia potencjalna jest rzędu masy elektronu. Nie odgrywa ona roli w mechanice kwantowej. Bardziej interesująca jest wielkość a 0 λ α ELM h me, (7.9) czyli promień Bohra. Zwróćmy uwagę, że a 0 jest jedyną wilkością o wymiarze długości, która zawiera h, m oraz e, bez c. A zatem jest to jedyna skala długości, która charakteryzuje nierelatywistyczne efekty kwantowe w atomie. Analogicznie jedyna nierelatywistyczna skala energii (bez c) daje się zapisać jako E 0 e me4 a 0 h (7.0) co rzeczywiście odpowiada energii stanu podstawowego z dokładnością do E E 0 /. 6. Inny przykład analizy wymiarowej: poniewż α ELM jest bezwymiarowa, e / h ma wymiar prędkości. Zatem predkość elektronu w atomie wodoru v c α 37. 8 Ruch w polu magnetycznym 8. Poziomy Landaua Dotychczas omówiliśmy dość szczegółowo oddziaływanie cząstki naładowanej z zewnętrznym polem elektrycznym (atom wodoru). Aby opisać także ruch w polu magnetycznym, musimy skwantować odpowiedni hamiltonian klasyczny H ( p q A( r, m c t)) + qv ( r, t), (8.) gdzie q jest ładunkiem cząstki, zaś c prędkością światła. Przypomnijmy, że pola elektryczne i magnetyczne wyrażają się przez potencjały w następujący sposób: E c A t V, B A. (8.) 9

O ile część elektryczna nie przedstawia problemów, to część zawierająca potencjał wektorowy A nie daje się prosto skwantować, gdyż potencjał A jest funkcją r, a r nie komutuje z operatorem pędu. Jako przykład rozpatrzmy ruch elektronu w stałym polu magnetycznym B (0, 0, B). Wygodnie przyjąć potencjał wektorowy w postaci: Stąd Ĥ A B y 0 0 [ ( p q A c ) (ˆp x + qb ˆp x + ˆp z + ˆp y + m e Tu separację zmiennych przeprowadzamy zakładając. (8.3) ) c y + ˆp y + ˆp z ( qb m e c ] ) y + qb m e c yˆp x. (8.4) ψ(x, y, z) f(y)e ip xx/ h e ip zz/ h. (8.5) Podstawiając funkcję (8.5) do równania Schrödingera możemy zastąpić operatory ˆp z i ˆp x przez wartości własne. Oznaczając otrzymujemy Ĥ ω qb m e c p z + ˆp y + m e ω y + ωyp x + p x p z + ˆp y + m e ω ω (8.6) ( y + p x m e ω y + m e ω p x ). (8.7) Zmieniając zmienne otrzymujemy η y + p x m e ω (8.8) Ĥ p z + ˆp η + m e ω η. (8.9) Jest to hamiltonian oscylatora o częstości ω (plus ruch swobodny w kierunku z): ( E N,pz h ω N + ) + p z hω (N + ) + p z. (8.30) 93

Zwróćmy uwagę, że poziomy te są nieskończenie razy zdegenerowane ze względu na p x. Inna metoda znalezienia energii poziomów Landaua opiera się na uzyciu innego cechowania: A y B x. (8.3) 0 Wówczas Definiując nowe operatory mamy Zbadajmy komutator [ Ĥ (ˆp x + qb ) ( c y + ˆp y qb ) ] c x + ˆp z [(ˆpx h ω + m e ωy ) (ˆpx + m e ωx ) ] + ˆp z. (8.3) m e h ω m e h ω ˆπ x ˆp x + m e ωy, ˆπ y ˆp y m e ωx, (8.33) me h ω me h ω [ˆπ x, ˆπ y ] m e h ω Ĥ h ω [ˆπ x + ˆπ y ] + ˆp z. (8.34) { m e ω [ˆp x, x] + } m e ω [y, ˆp y ] i. (8.35) Widzimy zatem, że relacja komutacji [ˆπ x, ˆπ y ] przypomina (z dokładnością do h) relację komutacji między położeniem a pędem. Skonstruujmy nowe operatory â (ˆπ x + iˆπ y ), â (ˆπ x iˆπ y ), (8.36) których relacja komutacji jest w rzeczywistości relacją komutacji operatorów kreacji i anihilacji: [â, â ] i { [ˆπ x, ˆπ y ] + [ˆπ y, ˆπ x ]}. (8.37) Z kolei czyli Zatem â â (ˆπ x + ˆπ y + i [ˆπ x, ˆπ y ] ) (ˆπ x + ˆπ y ), (8.38) (ˆπ x + ˆπ y) â â +. (8.39) [ Ĥ h ω â â + ] + ˆp z. (8.40) 94

Dostajemy stąd, że energia poziomów Landaua E h ω (n + ) + p z (8.4) w zgodzie z (8.30). Zgodnie z naszymi poprzednimi rozważaniami, poziomy Landaua są nieskończenie zdegenerowane. Aby się przekonać, że w cechowaniu (8.3) mamy także do czynienia z nieskończoną degeneracją, zapiszmy operator anihilacji â w reprezentacji położeń: â { me h ω me h ω ˆp x + ( m e ωy + i ) { i h ( x + i y W reprezentacji położeń stan podstawowy spełnia równanie ˆp y )} m e ωx i } m e ω (x + iy). (8.4) â r 0 0, (8.43) co jest równoważne równaniu różniczkowemu {( x + i ) + m } e ω (x + iy) r 0 0. (8.44) y h Wielkość h/m e ω ma wymiar kwadratu długości i ma sens kwadratu promienia klasycznej orbity elektronu w ruchu w polu magnetycznym B. Oznaczmy: Wprowadźmy nowe zmienne r B h m e ω. (8.45) u x + iy, v x iy. Wówczas u ( x i ), y ( v x + i ) y (8.46) i równanie (??) przyjmuje postać ( v + ) u r 0 0. (8.47) 4rB Rozwiącanie tego równania jest bardzo proste r 0 f(u)e uv 4r B, (8.48) 95

gdzie f(u) jest dowolną funkcją spełniającą warunek normalizacji. Zatem rzeczywiście stan podstawowy jest nieskończnie zdegenerowany. Łatwo pokazać, że stany wzbudzone, które otrzymujemy działając na stan podstawowy operatorem â i r ( B u ) v (8.49) 4rB nie znosi tej degeneracji. 96