Obwody prądu zmiennego

Obwody prądu zmiennego

Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t

Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania się dodatnich ładunków elektrycznych Prąd zmienny i t ( ) d q t dt ( )

mowny kierunek napięcia Napięcie stałe ϕ ϕ B A Napięcie zmienne u t ϕ t ϕ t ( ) ( ) ( ) B A

prawo Kirchhoffa W każdej chwili czasu algebraiczna suma prądów w każdym węźle obwodu jest równa W każdym węźle K zbiór gałęzi połączonych z wybranym węzłem k K a i k k ( t) W każdej chwili czasu t!!! a k

prawo Kirchhoffa W dowolnym oczku w obwodzie, w każdej chwili czasu, algebraiczna suma napięć na gałęziach tworzących to oczko jest równa W każdym oczku L zbiór gałęzi tworzących wybrane oczko k L b u k k ( t) W każdej chwili czasu t!!! b k

Prawo Ohma ( ) i t u ( t) Ri ( t) u ( t) i ( t) Gu ( t), G R i ( t) u ( t) ( ) u t [ L] di L dt t L indukcyjność H (henr) 3 6 mh H, µh H i ( t) u ( t) i d ( t u ) C d t [ C] F (farad) C pojemność 6 9 µf F, nf F, pf F

Obwody prądu sinusoidalnie zmiennego Przebieg sinusoidalny ( ) sin ( ω + θ ) f t F t m T π ω f F m amplituda ω pulsacja θ faza początkowa T okres ω częstotliwość π θ ω F m F m [ ω ] rad s [ θ ] [ f ] [ T ] Hz s s rad

Parametry przebiegu sinusoidalnego Wartość średnia t + T F f ŚR ( t) dt T Moc średnia t t + T t + T m Fm F π ( ) P f t dt sin t dt T T T t Wartość skuteczna F P Fm t Przebieg sinusoidalny będziemy zapisywać ( ) sin ( ω + θ ) f t F t

Będziemy zakładać, że wszystkie pobudzenia w obwodzie, czyli wszystkie niezależne źródła (napięciowe i prądowe) są generatorami przebiegów sinusoidalnych o takiej samej pulsacji ω. Oznaczymy pobudzenia ( ) sin ( ω + θ ) e t E t i i i ( ) sin ( ω + η ) i t t zj zj j Wówczas składowe ustalone wszystkich przebiegów w obwodzie (tzn. wszystkich napięć i prądów) są przebiegami sinusoidalnymi o pulsacji ω, czyli gdzie k jest numerem gałęzi. ( ) sin ( ω + ψ ) ( ) sin ( ω + ψ ) u t t k k u k i t t k k i k

Liczby zespolone z x + j y, j x y Re m { z} { z} r z x + y ϕ arg z część rzeczywista część urojona moduł argument x cos ϕ, sinϕ z y z z x r y m{ z} ϕ x z cos ϕ y z sin ϕ z z ( cosϕ + j sinϕ ) Re{ z} z x + y z jϕ j e postać wykładnicza liczby zespolonej jφ e cosφ jsin + φ sinφ m{ e jφ } Wzór Eulera

( ) ( ) e t E ω t θ E Metoda symboliczna { j( )} + sin + m e ω t θ { j j } m Ee θ e ω t Oznaczmy: Ee jθ E e E jω t ( ) e t ( ) ( ) j { } { } e t m e t m Ee ω t E wartość skuteczna zespolona siły elektromotorycznej e(t) E przy ustalonej wartości zawiera pełną informację o e(t) ω E E, θ arg{ E} e( t) E

Podobnie: ( ) ( ω ψ ) u t t + ψ j sin u e u ( ) ( ω ψ ) i t t + jψ sin i e i j ( ) m{ e ω } t u t jω ( ) m{ e } t i t ( ) ( ω + ψ ) u t t sin u j e ψ u j e ψ u ( ) ( ω + ψ ) u t t sin u

prawo Kirchhoffa w postaci symbolicznej k K a k k W każdym węźle obwodu algebraiczna suma wartości skutecznych zespolonych prądów jest równa. Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy i ( t) i ( t) i3 ( t) ( ) ( ) ( ) i t + i t i t + 3 3 3

prawo Kirchhoffa w postaci symbolicznej k L b k k W każdym oczku w obwodzie algebraiczna suma wartości skutecznych zespolonych napięć jest równa. Schemat obwodu Symboliczny schemat zastępczy u ( t) u ( t) u3 ( t) 3 u4 ( t) ( ) ( ) ( ) ( ) u t + u t u t + u t + 3 + 4 3 4 4

i ( t) u ( t) ( ) u t j t j t ( ) m{ e ω ω }, ( ) m{ e } u t i t di L d t di dt d jωt m{ e d jωt jωt } m ( e ) m{ ( jω ) e } dt dt Różniczkowaniu w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie wartości skutecznej zespolonej przez jω d u t L L dt jωt jωt jωt ( ) m{ e } m{ e } m{ ( jω ) e } jω L

Prawo Ohma w postaci symbolicznej R R G j j L L ω ω j L ω j j C C ω ω

mpedancja i admitancja zespolona Z Y impedancja zespolona admitancja zespolona Prawo Ohma Z Y

Z R + jx R część rezystancyjna impedancji zespolonej (rezystancja) X część reaktancyjna impedancji zespolonej (reaktancja) Y G + jb G część konduktancyjna admitancji zespolonej (konduktancja) B część susceptancyjna admitancji zespolonej (susceptancja) Y R + j X G + jb Z R + jx R + X R + X G Z G + j B R + jx Y G + jb G + B G + B B R X

Rezystor R Z R G Y G nduktor jω L Z jω L Y j jω L jω L ω L Kondensator jω C Y jω C Z j jω C jω C ω C

Łączenie dwójników Połączenie szeregowe Z Z Z Z n Z n k Z k Połączenie równoległe Y Y Y Y n Y n k Y k

Przykłady R L Z R + j ω L, Y R + jω L R C Y + j ωc, Z R + jωc R L C R Z Y j ω L +, + jωc R jω L + + jωc R

Źródła autonomiczne dealne źródło napięciowe dealne źródło prądowe E z E dowolny E siła elektromotoryczna źródła (SEM) z z dowolne wydajność prądowa źródła (prąd źródłowy)

Źródła sterowane Źródło napięciowe sterowane napięciem (ŹNSN) Źródło napięciowe sterowane prądem (ŹNSP) β ρ β współczynnik sterowania ρ (bezwymiarowy) współczynnik sterowania [ ρ ] [ R] Ω

Źródła sterowane Źródło prądowe sterowane napięciem (ŹPSN) Źródło prądowe sterowane prądem (ŹPSP) γ α γ współczynnik sterowania [ γ ] [ G] S α współczynnik sterowania (bezwymiarowy)

Równoważność źródeł Z s A A E g Z z Z r Z B B Z E g + Z s Z r + Z z Z r Jeżeli Z Z oraz Z E to dla każdego (dowolnego) Z r s r z g Oznacza to, że pod względem elektrycznym na zaciskach A i B układy są równoważne

Z g E g E Z g g Z g Z g z Z g Z g z

Prąd stały Prąd sinusoidalnie zmienny (metoda symboliczna) k K k L a k b k k k R G prawo Kirchhoffa prawo Kirchhoffa Prawo Ohma k K k L a k b k k k Z Y R G Z Y

Metoda napięć węzłowych z( ( ) R C i t R R3 L i( t) 3 C R u ( t ) u ( t ) i ( t ) iz ( t rad ) sinωt A, ω s R Ω, R Ω, R Ω, L H, F.?? j z e

z 3 3 C R L 3 4 5 n R n R3 n3.. 3. z + + 3 + 4 + + 3 5 n n n n3 3 n n3 3.. 3. + ( ) + jω C ( ) R z n n n n3 4 ( ) + + ( ) R R jω L n n n n n3 5 ( ) j C ( ) j L ω ω + R n n3 n n3 n3 3

R C L 3 z n R n R3 n3 jωc + n n j C n3 R ω R z n + n n3 R + + R R j L ω jωl jωc n n + j C n3 j L ω + + ω R3 j L ω

C R L z n R n R3 n3 3 3 jωc + jωc R R n z + + R R R jωl jωl jω C jωc + + jωl R3 jωl n n3 jω L ( ) n3 n n3

Y n n n Y n Y kk, (Y mm ) suma admitancji gałęzi połączonych z węzłem k, (m) Y mk, Y km suma admitancji gałęzi łączących węzły k i m wzięta ze znakiem minus

kład RLC, i z Y km Y, czyli Y mk n Y t n n Algebraiczna suma wartości skutecznych zespolonych prądów źródłowych (wydajności prądowych źródeł prądowych) dopływających do węzła k, przy czym prądy dopływające bierzemy ze znakiem plus, a wypływające ze znakiem minus

Przykład. i( t) L C R e( t ) α i( t) R C L u ( t) rad e( t) cosωt V, ω, s R Ω, R Ω, L H, L H, C F, C F, α. u t? ( ) E j

L C R R C E α n n L E j. + + n + n jω R L jωl R R + + jω C jω C + jω C E E α α α n + n j R + R ωl jω L + jω C jω C. + n + + + jω R L jωl jωl R + jωc + jωc n jω L ( ) n

+ α + α + + E jω L R R R jω L + + + jωc jωc jωc n R + jωc n + + R j j j + ω L R ω L ω L + jω C jωc Po podstawieniu danych liczbowych 3 5 j + j n + j 5 n + j j 6 4 n j,5547e 3 3 ( ) ( t ) u t,5547 sin,5536 V. j,5536

Przykład. e( t) R R 3 L C R u( t) ( ) ( π ) ω t e t 6sin V, ω, 4 R Ω, R R 3 Ω, Ω, L H, C F. u ( t )? E 3 j3

R 3 R L E n3 n C n R E 3 j3.. jωc + + n n n3 R j L ω jωl R n + + + n n3 jωl R R3 j L ω R3 W węźle 3: (nie jest to równanie z prawa Kirchhoffa) 3. n3 E

Równania można uporządkować tak jω + + C + + R jω L jω L R n n jωl R R3 jωl R 3 n3 E lub, po uwzględnieniu równania 3, tak jω C + + E R jωl jωl n R + + n E jωl R R3 jωl R3

Przykład 3. e( t) C C C 3 β u ( t) u ( t ) u ( t) R R R3 Wyznaczyć napięcie u ( t ) ( ) e t 3 5 sinωt V, ω, 3 3 ( t) rad s R 5Ω, R kω, R kω, C µf, C µf, C,5µF, β. u? ( ) e t 5 sinω t E 5

Symboliczny schemat zastępczy C 3 n C C 3 β E R R n3 R3 n. + j ω C + j ω C + j ω C3 n + j ω C n j ω C n3 j ω C E R R. jωc n + + + + jωc n n3 jωc E R R R R3 R 3. β n3 czyli β ( ) β n n β n + n3 n

C 3 C C 3 β E R R R3 n + jωc + jωc + jωc3 jωc jωc R R n jωc E jωc jωc n jωc E + + + R R R R3 R n3 β β Po podstawieniu danych liczbowych i rozwiązaniu otrzymujemy n, 333 + j,6,75e j,474 czyli ( ) ( ω + ) u t,75 sin t, 474 V

MATLAB function przyklad_3 E5;we3;R5;Re3;R3e3;Ce-6;Ce-6;C3.5e-6;beta; Yn[/R+j*w*C+j*w*C+j*w*C3 -/R-j*w*C -j*w*c -/R-j*w*C /R+/R+/R3+j*w*C -/R beta -beta ]; n[j*w*c*e;-j*w*c*e;]; nyn\n; -n(); >> przyklad_3.333 +.6i >> [abs() angle()] ans.75.474