Podstawy elektroniki

Transkrypt

1 dr hab. inż. Michał K. Urbański, prof. nzw. Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Zakład V, Badań strukturalnych Gmach Fizyki pok. 18 GF, Gmach Mechatroniki pok. 713, Gmach Główny pok. 159 strona murba/

2 ZASADY ZALICZANIA: zal ćwiczeń - obecność wykład - ocena: 4 kolokwia trwające 45min. obejmujące materiał, z wykładów i ćwiczeń, będą zadania, kolokwia będą oceniane systemem punktowym, (kol do 12p.). Laboratorium 9 ćwiczeń po 5p + kol lab 5p całkowita liczba punktów do uzyskania 48+50=98 warunek zaliczenia przedmiotu: zaliczone trzy kolokwia (każde od 7 punktów) i 8 laboratoriów oceny wg systemu: (50-58) - 3,0 (59-68) - 3,5 (69-78) - 4,0 (79-88) - 4,5 (89-98) - 5,0 terminy kolokwiów: 25 paźdź, 29 listop, 18 grud. 2018, 24 stycz (ostatni wykład) będą dwa dodatkowe terminy poprawy: w grudniu i w końcu stycznia (w sesji).

3 TREŚĆ ELEMENTY TEORII OBWODÓW: sygnały elementy obwodów obwody, prawa Kirchhoffa, superpozycja, układy zastępcze prąd zmienny, opis zespolony prądów sinusoidalnych, układy liniowe, filtry RC i RL, moc, praca. ELEMENTY CZYNNE i NIELINIOWE dioda, tranzystor, układ scalony. fizyczne podstawy działania tranzystora i diody podstawowe układy wzmacniające filtry dolno- i górno-przepustowy

4 OBWODY Sygnały, klasyfikacja, parametry sygnałów. Elementy obwodów: rezystor, kondensator, indukcyjność, źródło napięciowe i prądowe. Obwody liniowe: prawa Kirchhoffa, metody rozwiązywania układów liniowych. Dwójniki i czwórniki. Matematyczny opis czwórników. Układy równoważne, twierdzenia o źródłach zastępczych. Zasada superpozycji, wyznaczanie parametrów układów równoważnych. Opis i analiza obwodów prądu zmiennego: rachunek symboliczny (opis zespolony), wskazy. Dwójniki i czwórniki przy pobudzeniach harmonicznych. Filtry RC i RL. Zależności energetyczne w obwodach prądu zmiennego, dopasowanie źródła i obciążenia.

5 Układy czynne Fizyczne podstawy działania elementów półprzewodnikowych. Diody: charakterystyki, schematy zastępcze, układy z dużymi i małymi sygnałami. Tranzystory bipolarne i tranzystory polowe: zasady działania, charakterystyki. Parametry wielko- i małosygnałowe tranzystorów bipolarnych i polowych przy małych i wielkich częstotliwościach, parametry impulsowe. Zastosowania tranzystorów: liniowe (wzmacniacze) i nieliniowe (przełączniki, układy impulsowe). Wzmacniacze operacyjne idealne, opis ich działania. Zastosowania w układach liniowych i nieliniowych. Rzeczywiste wzmacniacze operacyjne, ich właściwości i ograniczenia. Zastosowania wzmacniaczy operacyjnych w układach pomiarowych.

6 Literatura J.Osiowski, J.Szabatin Podstawy teorii obwodów, WNT Warszawa książki z teorii obwodów

7 Wielkości podstawowe Napięcie elektryczne U = W q gdzie q - ładunek elektryczny, W - praca ładunku w polu elektrycznym. natężenie prądu I = dq dt Natężenie pola elektrycznego E = F q gdzie: F siła pola działająca na ładunek q. Napięcie elektryczne pomiędzy punktem A i b: U a,b = W q W - praca wykonana przy przemieszczaniu ładunku z punktu a do b b, ponieważ praca W = F d l więc: U a,b = b F d l b a q = a F q d l = a b a Ed l Prawo Ohma I = U R co na poziomi mikroskopowym odpowiada j = σē, gdzie σ przewodność właściwa, j - wektor gęstości prądu..

8 Elementy obwodów Rysunek: Powiązania wielkości podstawowych definicje Rezystancja: U = IR

9 SYGNAŁY Wyróżniamy nośnik i treść sygnału Nośnik sygnału - wielkość fizyczna np. sygnał elektryczny, mechaniczny itd Treść sygnału - informacja zapisana w sygnale, matematycznie jest to funkcja czasu opisująca zależności wielkości będącej nośnikiem od czasu. Modelem matematycznym sygnału jest funkcja od czasu. Sygnał o wartościach rzeczywistych x : R R Rysunek: Przykład sygnału, zależność temperatury od czasu grzanego kubka z wodą, przykład funkcji rosnącej

10 Parametry sygnałów wartość średnia AV - (average value): X AV = 1 T t 0 +T t 0 x(t)dt Wartość średnia dla sygnałów okresowych nie zależy od wyboru momentu początkowego całkowania t 0. x A - sygnał całkowity wielkości A, x a - składowa zmienna sygnału wielkości A sygnał rozkładamy na składową zmienną x a i stałą X AV : x A (t) = x a (t) + X AV (1) Rysunek: Rozkład sygnału na składową zmienną i stałą

11 Rozkład sygnału na składowe zmienną i stałą x A (t) = x a (t) + X AV (2) Wartość średnia składowej zmiennej wynosi zero tj.: X a(av) = 0, uzasadnienie: X a(av ) = t 0 +T t 0 x a (t)dt = = 1 T t 0 +T t 0 1 T t 0 +T t 0 (x A (t) X AV )dt = (3) x A (t)dt 1 T t 0 +T t 0 X AV dt = (4) = X AV X AV = 0 (5)

12 SYGNAŁY - oznaczenia litera mała x - sygnał, czyli sygnał zależny od czasu x(t) litera wielka X - parametr sygnału, wskaźnik A przy znaku sygnału: x A - sygnał wielkości A. wskaźniki przy oznaczeniu sygnału wielka duża odnosi się do całego sygnału, np x A litera mała - odnosi się do składowej zmiennej, np x a oznacza składową zmienną sygnału x A. Przykład: I E - parametr całkowitej wartości prądu emitera i E I E(AV ) - wartość średnia całkowitego prądu emitera i E i E (t) - wartość chwilowa prądu emitera i E i e (t) - wartość chwilowa składowej zmiennej prądu emitera i E. I e(rms) - wartość skuteczna składowej zmiennej prądu emitera.

13 wartość skuteczna RMS Root Mean Square Wartość skuteczna sygnału X A : X A(RMS ) = 1 T t 0 +T t 0 x 2 A (t)dt (6) gdzie: t 0 - początek całkowania, dla sygnałów okresowych nie ma wpływu na wartość całki, T - okres sygnału. Wartość skuteczna opisuje średnia moc sygnału Jeśli zapiszemy sygnał jako sumę składowych zmiennej i stałej: to mamy: x A (t) = x a (t) + X AV (7) X 2 A(RMS) = X 2 a(rms) + X 2 AV (8) średnia moc sygnału równa jest sumie mocy składowej zmiennej i składowej stałej.

14 Wartość skuteczna - składowe = 1 T X 2 A(RMS) = 1 T t 0 +T t 0 x 2 a (t)dt + t 0 +T t 0 x 2 A (t)dt = 1 T t 0 +T 1 T t 0 +T t 0 2x a (t)x AV dt + t 0 (x a (t) + X AV ) 2 dt = 1 T t 0 +T t 0 (X AV ) 2 dt = = X 2 a(rms) X 2 AV Wykorzystano fakt, że wartość średnia składowej zmiennej jest t 0 +T 1 zerowa: T 2x a (t)dt = 0 t 0

15 Oznaczenia Rysunek: Oznaczenia sygnału i jego parametrów i wartość chwilowa, I - parametry

16 Moc prądu zmiennego Napięcie - praca dw wykonana przy przesuwaniu ładunku dq:dw = Udq W = t 2 t 1 u(t)dq = t 2 t 1 u(t)i(t)dt = Moc średnia w okresie T = t 2 t 1 : P AV = W T = 1 1 R T t 2 t 1 t 2 t 1 u 2 (t)dt u 2 (t) R dt = 1 R = U2 RMS R t 2 t 1 u 2 (t)dt

17 Operacja uśredniania, różne oznaczenia Wartość średnia sygnału x(t): X AV = x = x = 1 T t 0 +T t 0 x(t)dt (9) Korzystając z tego oznaczenia: X 2 RMS = x 2 operator uśredniania jest liniowy: dla α R, R liczby rzeczywiste. x + y = x + y αx = α x (10)

18 Woltomierz wartości skutecznej - uproszczony Konstrukcja uproszczona: miernik średniej wyprostowanej wyskalowany w wartości skutecznej napięcia sinusoidalnego. V - napięcie średnie z sygnału wyprostowanego: V = X AV = 1 T T 0 x(t) dt (11) Współczynnik przeskalowania k tak dobrany aby miernik wskazywał wartość skuteczną dla sygnału sinusoidalnego.

19 Woltomierz wartości skutecznej - uproszczony obliczenia dla sygnału sinusoidalnego x(t) = A sin(ωt) V = X AV = 1 T T T 0 x(t) dt = = 2 T 0 A sin(ωt)dt = A 2 Π 1 X RMS = T T 0 (A sin(ωt)) 2 dt = = A 2 Współczynnik przeskalowania k jest tak dobrany aby V = X RMS dla sygnału sinusoidalnego. podstawiając: V = k X AV = X RMS czyli k = X RMS X AV = Π 2 2

20 Woltomierz wartości skutecznej - uproszczony obliczenia dla sygnału trójkątnego x(t) = at + b dla 0 < x < T, gdzie a = 2a T i b = A. V = X AV = 1 T T T 0 x(t) dt = = 2 T 1 X RMS = T T 0 0 at + b dt = A 2 (at + b) 2 dt = A 3 współczynnik kształtu dla trójkąta : k = X RMS X AV = 2 3 (13) Wskazanie woltomierza: V = k V = k X AV = k X RMS k

21 Schemacik Rysunek: Przedwzmacniacz mikrofonowy - do przemyślenia

22 Prawa podstawowe - Prawa Kirchhoffa 1 zasada zachowania energii. Dla każdego oczka: K u k=1 u k = N E n (14) n=1 gdzie K u - składowych napięć w oczku, N- liczba sił elektromotorycznych (źródeł napięciowych). 2 zasada zachowania ładunku. Dla każdego węzła: K i i k = 0 (15) k=1 Rysunek: Schematyczne przedstawienie węzłów i oczek gdzie: K i - liczba ramion w węźle.

23 zadanie domowe zadanie uzasadnij, że prawa Kirchhoffa wynikają z zasad zachowania energii i ładunku. zasady punktowania Pierwsze 10 rozwiązań będzie punktowane w skali 0-5p (ale mogę uwzględnić więcej niż 10 poprawnych) decyduje data otrzymania maila, odpowiedzi czytam do niedzieli. wysyłać na adres michal u@post.pl punkty powyższe nie dodają się do żadnego kolokwium i go nie zastępują - nie zmieniają kryterium zaliczenia (dodają się do sumy) format maila: skan rękopisu, LaTeX, inny edytor. (imię nazwisko Kirchhoff.*)

24 Technologia pudełkowa Rysunek: Schematy blokowe ( czarne skrzynki ) dwójnika i czwórnika Konwencja strzałek zazwyczaj zakłada się, że : w dwójniku prąd wchodzi do układu (strzałka skierowana do pudełka) w czwórniku prąd wchodzi do wejścia i wychodzi z wyjścia. Czasami wygodniej jest założyć inną orientację strzałek i jedynie zmienia to znak prądu w równaniach.

25 Symbole źródeł Rysunek: oznaczenia zródeł

26 Zasady wskaźnikowania i ustalania znaków Prąd płynie od plusa do minusa: Rysunek: strzałkowanie napięć i prądów źródła napięciowego i rezystora (układu biernego). Prąd wypływa ze źródła i wpływa do opornika dla źródła u = E 0 ir w dla rezystora u = ir (16)

27 Źródło napięciowe Rysunek: Charakterystyka prądowo napięciowa źródła napięciowego. Linia przerywana zależność napięcia od natężenia prądu dla źródła napięciowego o sile elektro-motorycznej E 0 o rezystancji wewnętrznej R W : u = E 0 ir W, linia ciągła - równanie rezystora R: u = ir

28 Dwójnik Rysunek: Dwójnik - prąd wpływa do dwójnika, napięcie strzałka od strony +. Obok: Dwójnik aktywny zastrzałkowany jak dwójnik bierny. Zależność napięcia od prądu dla strzałkowania jak dla dwójnika biernego. u = E + ir w

29 Porównanie dwóch przypadków kierunków prądu Rysunek: Różne rodzaje strzałek prądu i równania. układ lewy E 0 = ir w + u układ prawy E 0 = ir w + u (17)

30 Źródło prądowe Rysunek: Źródło prądowe równanie: J = I + I W i I W = U R W czyli I = J U R W Rysunek: Charakterystyka prądowo-napięciowa źródła prądowego Wyliczamy napięcie: U = JR W IR W (18)

31 Źródło prądowe i napięciowe Rysunek: Charakterystyka prądowo-napięciowa źródła napięciowego równanie opisujące źródło napięciowe: U = E IR W Rysunek: Charakterystyka prądowo-napięciowa źródła prądowego I = J U R W Dla schematu napięciowego mamy U = JR W IR W, czyli siła elektromotoryczna napięciowego układu zastępczego dla źródła prądowego wynosi: E z = JR W

32 Idealne źródła napięciowe i prądowe Rysunek: Idealne źródło prądowe napięciowe Rysunek: źródło napięciowe i prądowe na wykresie U=U(I)

33 RÓWNOWAŻNOŚĆ SYSTEMÓW kiedy dwa wielomiany W (x) i H(x) są równe: gdy mają jednakowe współczynniki W (x) = ax 2 + bx + c (19) H(x) = αx 2 + βx + γ (20) a = α W (x) H(x) b = β c = γ (21)

34 RÓWNOWAŻNOŚĆ DWÓJNIKÓW - układy zastępcze Dwa dwójniki są równoważne jeśli równania są równoważne. Rysunek: Dwa dwójniki opisane równaniami liniowymi W (i) i H(i). W obu przypadkach prądy zostały zaznaczone jako wypływające. W (i) = a + b i oraz H(i) = E 0 R w i (22) W (i) H(i) { a = E0 b = R w (23)

35 Układ liniowy - dwa parametry Układ liniowy opisany jest równaniem liniowym H(i) = ai + b, czyli określony jest dwoma parametrami a i b. Rysunek: Układ opisany dwoma parametrami E 0 i R w jest równoważny układowi liniowemu złożonemu z dowolnej liczby elementów liniowych

36 Przykład wyznaczania układu zastępczego Wyznacz zastępczą wartość siły elektromotorycznej E z i zastępczą rezystancję wewnętrzną R z, czyli wyznacz parametry E z i R z modelu liniowego: u = E z ir w poniższego układu: Rysunek: Układ liniowy złożony z trzech elementów E 1 = i 1 R 1 + i 2 R 2 (24) i 1 = i + i 2 (25) u = i 2 R 2 (26) E 1 = (i + i 2 )R 1 + i 2 R 2 (27) i 2 = E 1 R 1 i 1 R 1 + R 2 (28) R 2 R 1 R 2 u = E 1 i R 1 + R 2 R 1 + R 2 (29) parametry zastępcze: E z = E 1 R 2 R 1 + R 2 i R z = R 1R 2 R 1 + R 2 (30)

37 INTERPRETACJA Szukamy opisu układu liniowego przy pomocy równania u = H(i) dla H(i) = E z ir z. R Rozwiązując równania Kirchhoffa mamy u = E 2 R 1 R 1 +R 2 i 1 R 2 R 1 +R 2 więc: E z = E 1 R 2 R 1 + R 2 i R z = R 1R 2 R 1 + R 2 (31) E z - jest to napięcie na zaciskach układu AB gdy nie ma obciążenia (gdy nie płynie prąd) E z = H(0) (32) Rezystancja R z jest rezystancją widziana z zacisków AB układu: lub R z = u i R z = d H(i) = du di di = R 1R 2 R 1 + R 2 (33) gdy E 1 = 0 (źródła są wyzerowane ) (34)

38 Zastępcza wartość siły elektromotorycznej i rezystancji Rysunek: Zasada Thevenina: parametry napięciowego źródła zastępczego otrzymujemy napięcie gdy prąd obciążenia dwójnika jest zerowy, rezystancja wewnętrzna gdy siły elektromotoryczne są zerowe.

39 Dlaczego - we wzorze na rezystancję Rezystancja R z jest rezystancją widziana z zacisków AB układu: R z = d H(i) = du di di = R 1R 2 R 1 + R 2 (35) Rysunek: gdy u = E 0 ir w wtedy R z = du di, gdy u = E 0 + ir w wtedy R z = + du di

40 Rezystancja zastępcza - obliczenia dla składowej zmiennej 1 = i R z u Rysunek: Układ liniowy dwa rezystory ze źródłem napięciowym, Rezystancja zastępcza równoległe połączenie R 1 i R 2 1 R z = 1 R R 2 (36) i = i 1 i 2 czyli i = i 1 i 2 1 = i 1 R z u + i 2 u u = i 2 R 2 czyli u = i 2 R 2 u = E 1 i 1 R 1 czyli u = i 1 R 1 i 1 u = 1 R 1 i 2 u = 1 R 2

41 Źródło zastępcze twierdzenie Thevenin Siła elektromotoryczna = napięcie dla prądu zerowego rezystancja = rezystancja układu dla zwartych sił elektromotorycznych i rozwartych źródeł prądowych Rysunek: Zasada Thevenina

42 Rezystancja i konduktancja układów szeregowych i równoległych Układ szeregowy - napięcie jest suma napięć, układ równoległy - prąd jest sumą prądów. Układ szeregowy U 1 I + U 2 I R = U I U N I = U 1 + U U N I = = R 1 + R R N układ równoległy Rysunek: Połączenie szeregowe i równoległe rezystorów G = 1 R = I 1 + I I N = U = R 1 R 2 R N konduktancja G = G 1 + G G N

43 Źródło prądowe Rysunek: transformacja źródło prądowe - źródło napięciowe

44 Twierdzenie Nortona o prądowym źródle zastępczym Każdy dwójnik liniowy może być zastąpiony źródłem prądowym o wydajności J z i rezystancji wewnętrznej R z. Rysunek: Układ zastępczy prądowy

45 Dzielnik napięcia i = u R 1 + R 2 (37) u 2 = ir 2 (38) R 2 u 2 = u (39) R 1 + R 2 Rysunek: Dzielnik napięcia, napięcie jest proporcjonalne do rezystancji

46 Dzielnik prądowy i = i 1 + i 2 i 1 R 1 = i 2 R 2 R 1 } i = i 2 R 2 R 1 + i 2 (40) G 2 i 2 = i = i (41) R 1 + R 2 G 1 + G 2 Rysunek: Dzielnik prądowy Rezystancja: R = u i, konduktancja G = i u.

47 Metody wyznaczania prądów w układach liniowych 1 rozwiązanie równań Kirchhoffa 2 metoda prądów oczkowych (obwodowych) 3 zasada superpozycji 4 metoda źródła zastępczego reguła Thevenina o napięciowym źródle zastępczym Twierdzenie Nortona o prądowym źródle zastępczym zasada superpozycji transformacja źródło prądowe - napięciowe i składanie źródeł prądowych i napięciowych 5 metoda potencjałów węzłowych

48 Zasada superpozycji Prąd = sumą prądów pochodzących od poszczególnych źródeł skrót: prąd = natężenie prądu elektrycznego Rysunek: Zasada superpozycji

49 Zasada superpozycji I 3 = I 3 = E 2 R 1 R 2 + R (42) 1R 3 R R 1 +R 3 + R 1 3 E 1 R 2 R 1 + R 2R 3 R 2 +R 3 R 3 + R 2 (43) I 3 = I 3 + I 3 (44) Rysunek: Zasada superpozycji, obliczenia

50 Łączenie źródeł prądowych i napięciowych Łączenie źródeł prądowych: prądy wpływające do węzła dodają się. Łączenie źródeł napięciowych: napięcia w oczku dodają się (prace dodają się) Rysunek: łączenie źródeł

51 Metoda prądów oczkowych Zamieniamy wszystkie źródła na źródła napięciowe [ E1 E 2 ] [ ] [ ] R1 + R = 2 R 2 IA R 2 R 2 + R 2 I B I 1 = I A (45) I 2 = I A I B (46) I 3 = I B (47)

52 [ ] [ ] [ ] E1 E 2 R1 + R = 2 R 2 IA E 2 R 2 R 2 + R 2 [ ] [ ] 1 [ ] IA R1 + R = 2 R 2 E1 = E 2 I B R 2 R 2 + R 2 E 2 [ ] 1 R1 + R 2 R 2 = 1 [ R2 + R 3 R 2 I B ] 1 R 2 R 2 + R 2 W R 2 R 1 + R 2 W = R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 I 3 = E 1R 2 + E 2 R 1 W

53 Metoda potencjałów węzłowych Zamieniamy wszystkie źródła na źródła prądowe prądy: [ JA J B ] = [ 1 R R 2 1 R 2 1 R 2 1 R R R 3 J A = J 1 J 2 ] [ ] VA V B i 4 = V B R 4 i 3 = V B R 3 i 1 = V A R 1 i 2 = V A V B R 1 J B = J 2 + J 3

54 Czwórniki Macierz impedancyjna [ ] [ ] u1 z11 z = 12 u 2 z 21 z 22 [ i1 i 2 ] (48) Macierz hybrydowa [ u1 i 2 ] [ ] h11 h = 12 h 21 h 22 [ i1 u 2 ] (49) Rysunek: czwórnik macierz admitancyjna [ ] [ ] i1 y11 y = 12 i 2 y 21 y 22 [ u1 u 2 ] (50) macierz łańcuchowa [ ] [ ] [ ] u1 a11 a = 12 u2 i 1 a 21 a 22 i 2 (51)

55 Czwórniki Macierz impedancyjna [ ] [ ] u1 z11 z = 12 u 2 z 21 z 22 [ i1 i 2 ] (52) Macierz hybrydowa [ ] [ ] u1 h11 h = 12 i 2 h 21 h 22 [ i1 u 2 ] (55) u 1 = z 11 i 1 + z 22 i 2 (53) u 2 = z 12 i 1 + z 22 i 2 (54) u 1 = h 11 i 1 + h 22 u 2 (56) i 2 = h 21 i 1 + h 22 u 2 (57)

56 elementy macierzowe z i h [ u1 u 2 ] [ ] z11 z = 12 z 21 z 22 z 11 = du 1 di 1 z 12 = du 1 di 2 z 21 = du 2 di 1 z 22 = du 2 di 2 i2 =0 i1 =0 i2 =0 i1 =0 [ i1 i 2 ] [ u1 i 2 ] [ ] h11 h = 12 h 21 h 22 h 11 = du 1 di 1 h 12 = du 1 du 2 h 21 = di 2 di 1 h 22 = di 2 du 2 u2 =0 i1 =0 u2 =0 i1 =0 [ i1 u 2 ]

57 macierz hybrydowa odwrotna [ i1 u 2 ] [ ] g11 g = 12 g 21 g 22 [ u1 i 1 = u 1 r w + J 1 = g 11 u 1 + g 12 i 2 u 2 = E 2 + g 22 i 2 = g 21 u 1 + g 22 i 2 i 2 ] g 11 = di 1 du 1 g 12 = di 1 di 2 g 21 = du 2 du 1 g 22 = du 2 di 2 i2 =0 u1 =0 i2 =0 u1 =0

58 Czwórnik typu odwrócone Γ (dzielnik napięcia) w innej postaci: u 1 = i 1 R 1 + u 2 i 2 = i 1 + u 2 1 R 3 u 1 = i 1 R 1 + u 2 u 1 = i 1 R 1 + (i 1 + i 2 )R 3 = i 1 (R 1 + R 3 ) + i 2 R 3 u 2 = (i 1 + i 2 )R 3 = i 1 R 3 + i 2 R 3 macierz elementów z: [ ] [ ] z11 z 12 R1 + R = 3 R 3 z 21 z 22 R 3 R 3 elementy macierzy mieszanej (hybrydowej): [ ] h11 h 12 = h 21 h 22 [ R1 ] R 3

59 Czwórnik typu odwrócone Γ (dzielnik napięcia) z równania (58): Kirchhoffa: z równań u 1 = i 1 (R 1 + R 3 ) + i 2 R 3 (58) u 2 = (i 1 + i 2 )R 3 = i 1 R 3 + i 2 R 3 (59) szukamy elementów macierzy hybrydowej odwrotnej g: [ ] [ ] i1 g11 g = 12 u 2 g 21 g 22 [ u1 i 2 ] 1 R 3 i 1 = u 1 i 2 R 1 + R 3 R)1 + R 3 (60) po wstawieniu tego równania do (59) u 2 = u 1 R 3 R 1 + R 3 + i 2 R 1 R 3 R 1 + R 3 elementy macierzy hybrydowej odwrotnej: [ ] g11 g 12 = g 21 g 22 [ 1 R 1 +R 3 R 3 R 1 +R 3 R 3 R 1 R 3 R 1 +R 3 R 1 +R 3 ]

60 Transmitancja Rysunek: czwórnik Transmitancja układu (element macierzy hybrydowej odwrotnej) K U = g 21 = u 2 (61) u 1 i2 =0 dla składowej zmiennej (dla układów nieliniowych) K U = u 2 u 1 I2 =0 (62)

61 Rezystancja wejściowa i wyjściowa - elementy macierzy g Rezystancja wejściowa: R wej = 1 = u 1 g 11 i 1 Rezystancja wyjściowa: R wyj = g 22 = u 2 i 2 i2 =0 u1 =0 (63) (64)

62 schemat zastępczy tranzystora sprzężenie zwrotne wyjścia z wejściem rezystor r s. Układ równań Kirchhoffa: u 1 = r 1 (i 1 i s ) i s r s = u 1 u 2 i s + i 2 = αi 1 + i w u 2 = i w r 2 i 2 = u 1 = r 1r s i 1 + r 1 u 2 r 1 + r s r 1 + r ( s α r ) ( 1 1 i ) u 2 r 1 + r s r 1 + r s r 2 h 11 = u 1 i 1 h 12 = u 1 h 21 = i 2 h 22 = i 2 i 1 u2 =0 u 2 i1 =0 u2 =0 u 2 i1 =0 = r 1r s r 1 + r s = r 1 r 1 + r s = α r 1 r 1 + r s = 1 r 1 + r s + 1 r 2

63 Układ zastępczy tranzystora - przybliżenie dużego r s r 1 Rysunek: Układ zastępczy tranzystora, rezystor r s - sprzężenie zwrotne wyjścia z wejściem. Dla dużej rezystancji r s r 1, czyli dla małego wpływu napięcia r wyjściowego na wejściowe: s r 1 1: h 11 = r 1r s r 1 ; h 12 = r 1 r 1 r 1 + r s r 1 + r s r s h 21 = α r 1 α; h 22 = r 1 + r s r 1 + r s r 2 r 2

64 czwórnik T i Π, transformacja gwiazda trójkąt u 1 = i 1 (r 1 + r 3 ) + i 2 r 3 u 2 = i 1 r 3 + i 2 (r 2 + r 3 ) aby równania były zgodne: r 1 = R 3R 2 R C ; r 2 = R 3R 1 R C ; r 3 = R 1R 2 R C ; R C = R 1 + R 2 + R 3 i 1 = u 1 R 1 + u 1 u 2 R 3 i 2 = u 2 R 2 + u 2 u 1 R 3 u 1 = i 1 R 1 R C R 2 1 R C + i 2 R 1 R 2 R C u 2 = i 1 R 1 R 2 R C + i 2 R 2 R C R 2 2 R C

65 Liczby zespolone jednostka urojona j = 1 Działania arytmetyczne z 1 = x 1 + jy 1 = z 1 e jϕ 1 z 2 = x 2 + jy 2 = z 2 e jϕ 2 dodawania i mnożenie: Liczba zespolona na płaszczyźnie R 2 : z = x + jy = z e jϕ, gdzie z = x 2 + y 2 oraz tan(ϕ) = y x mnożenie przez e jϕ 2 przekręca wektor z o kąt ϕ 2. z 1 + z 2 = x 1 + x 2 + j(y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = x 1 x 2 y 1 y 2 + j(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) z 1 z 2 = z 1 z 2 e j(ϕ 1+ϕ 2 ) ze jϕ 2 = z e jϕ e ϕ 2 = z e j(ϕ+ϕ 2) Mnożenie przez e jϕ 2 przekręca wektor z o kąt ϕ 2.

66 Trygonometria na liczbach zespolonych e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) e j(ϕ 1+ϕ 2 ) = e j(ϕ1) e j(ϕ2) = (cos(ϕ 1 ) + j sin(ϕ 1 ))(cos(ϕ 2 ) + j sin(ϕ 2 )) = cos(ϕ 1 ) cos(ϕ 2 ) sin(ϕ 1 ) sin(ϕ 2 )+ j(sin(ϕ 1 ) cos ϕ 2 ) + sin(ϕ 2 ) cos(ϕ 1 )) z drugiej strony e j(ϕ 1+ϕ 2 ) = e j(ϕ1) = cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + j sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) (65) czyli cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 ) cos(ϕ 2 ) sin(ϕ 1 ) sin(ϕ 2 ) (66) sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos(ϕ 1 ) sin(ϕ 2 ) + sin(ϕ 1 ) cos(ϕ 2 ) (67)

67 Zespolony opis sygnałów sinusoidalnych sygnał o częstości ω: ( x(t) = A cos(ωt + φ) = A cos ω(t + φ ) ω ) = Re (Ae j(ωt+ φ)) gdzie ω = 2Π T - częstość sygnału, T - okres sygnału, A - amplituda sygnału, φ - faza początkowa (przesunięcie fazowe). Faza (kąt fazowy) φ(t) = ωt + φ = ω(t + t), gdzie t = φ ω = T φ 2Π. Sygnał w zapisie symbolicznym: ˆx(t) = Ae j(ωt+ φ) = Xe jωt gdzie X = Ae j φ (68)

68 Zespolony opis sygnałów sinusoidalnych Sygnał sinusoidalny reprezentowany jest wektorem, który nazywany jest wykresem wskazowym. Na rysunku po prawej narysowany jest wektor reprezentujący liczbę zespoloną X = Ae j φ, gdzie amplituda A = X jest długością tego wektora. Sygnał w zapisie symbolicznym ma postać zespolonej funkcji czasu (68) Na wykresie wskazowym uwzględniony jest kąt fazowy φ, nie zachodzi potrzeba rysowania pełnego kąta φ(t) = ωt + φ = ω(t + t) bowiem w domyśle jest fakt, że wskazy kręcą się z prędkością kątową ω.

69 Transformata Fouriera dla każdej funkcji czasu x(t): x(t) = n (,+ ) X n e jωnt (69) X n amplituda składowej o częstości ω n zbiór częstości można wybrać dowolnie aby pokrywał całą przestrzeń dopuszczalnych wartości: ω n = nω 0 (70) Każdy sygnał jest kombinacją liniową sygnałów sinusoidalnych: dla linowego układu mamy zasadę superpozycji: y = Âx = A n (,+ ) X n e jωnt = Operator  działa na składowe osobno. n (,+ ) X n (Âe jω nt ) (71)

70 elementy elektroniczne Impedancja elementów. Szukamy zależności napięcia od prądu dla prądów sinusoidalnych. i(t) = I 0 e jωt+φ = I 0 e φ e jωt = Ie jωt (72) gdzie I = I 0 e φ. I jest opisem prądu zmiennego (symboliczny), zawiera informacje o amplitudzie i fazie: Kondensator Indukcyjność: I 0 = I, oraz arg(i ) = φ (73) U = 1 C Q = 1 C U = dφ b dt i(t)dt = 1 i(t) (74) iωc = L di dt = jωli(t) (75) czyli: Z C = 1 iωc oraz Z L = jωl (76)

71 Obwody prądu sinusoidalnego Rysunek: dwójnik RLC impedancja: Z = R + j ( ωl 1 ) ωc (77)

72 obwód rezonansowy RLC Rysunek: Układ rezonansowy Rysunek: wykres wskazowy układu rezonansowego

73 filtr RC Transmitancja: K U = U 2 = I2 =0 U jωrc = 1 = 1 + j ω ω 0 Rysunek: schemat czwórnika RC Układ jest dzielnikiem napięcia: U 2 = U 1 1 jωc R + 1 jωc = U jωrc (78) gdzie ω 0 = 1 RC - częstość charakterystyczna układu RC, 1 dla ω ω 0 1 K U = 1+j dla ω = ω 0 j ω 0 ω dla ω ω 0 (79)

74 Filtr RC- charakterystyka częstościowa Transmitancja: K U = U 2 = I2 =0 U jωrc = 1 = 1 + j ω ω 0 Rysunek: schemat czwórnika RC Układ jest dzielnikiem napięcia: U 2 = U 1 1 jωc R + 1 jωc = U jωrc (80) gdzie ω 0 = 1 RC - częstość charakterystyczna układu RC, 1 dla ω ω 0 1 K U = 1+j dla ω = ω 0 j ω 0 ω dla ω ω 0 (81)

75 Filtr RC- wykres wykres w skali logarytmicznej 0 dla ω ω 0 lg( K U ) = 1 2 lg(2) dla ω = ω 0 lg(ω 0 ) lg(ω) dla ω ω 0 Rysunek: schemat czwórnika RC 1 dla ω ω 0 1 K U = 1+j dla ω = ω 0 j ω 0 ω dla ω ω 0