Elektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek Wykład 3. Obwody prądu sinusoidalnego
|
|
- Kazimiera Czech
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Elektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek Wykład 3. Obwody prądu sinusoidalnego (Omówimy jak powstają sinusoidalne wymuszenia, jak analizujemy obwody prądu zmiennego z pomocą liczb i funkcji zespolonych)
2 Obecnie powszechnie dostępna energia elektryczna jest produkowana w postaci sinusoidalnego napięcia wymuszającego sinusoidalne natężenie prądu elektrycznego. Częstotliwość tego zmiennego (mówimy też przemiennego) napięcia wynosi 50 Hz w Europie lub 60 Hz w Ameryce północnej. Dzięki transformatorom łatwo można zmieniać wielkość amplitud napięć i prądów zmiennych. Energia elektryczna (= U sk I sk t) w postaci dużych zmiennych napięć przy małych natężeniach prądów jest łatwa do ekonomicznego transportu przy użyciu sieci linii transmisyjnych krajowego systemu energetycznego. Wszędzie gdzie pożądane jest napięcie stałe stosowane są układy konwersji nazywane prostownikami.
3 Generowanie napięć zmiennych w elektrowniach polega na zamianie innych rodzajów energii na energię elektryczną z wykorzystaniem prawa Faradaya E = -db/dt czyli SEM = - dφ/dt (jedno z równań Maxwella). Dostępną energię (wiatrową, wodną, jądrową czy cieplną) wykorzystuje się do wirowania odpowiednimi zwojnicami w silnym polu magnetycznym.
4 Idea źródła napięcia sinusoidalnego: Uzwojenie w postaci ramki wiruje ze stałą prędkością kątową ω w stałym polu magnetycznym o indukcji B. Końce ramki połączone są z pierścieniami, które ocierają się (ślizgają) o dociskane sprężynowo szczotki. Oznaczając przez A pole powierzchni obejmowanej ramką możemy określić zależność czasową strumienia Φ przenikającego ramkę jako: Φ = B A cos(ωt). Generowana siła elektromotoryczna (SEM) e = -dφ/dt = ωbasin(ωt) = E max sin(ωt)
5 W elektrotechnice podstawowym przebiegiem napięć i prądów (wymuszeń i skutków) jest przebieg sinusoidalny. Takie przebiegi są generowane przez wirujące maszyny elektryczne zwane generatorami prądu zmiennego. Z podstaw trygonometrii wiadomo, że przebieg sinusoidalny można otrzymać przez rzutowanie promienia koła trygonometrycznego, wirującego ze stałą prędkością kątową ω na nieruchomą oś. Wynik rzutowania na oś y jest identyczny z rzutowaniem na oś x, ale przesunięty w czasie.
6 Liczby zespolone Dysponując tylko liczbami rzeczywistymi mamy problem z rozwiązaniem takich równań jak np.: X = 0. Jeżeli jednak za X podstawimy coś co nie jest liczbą rzeczywistą: -1, to podnosząc do kwadratu tę dziwną wielkość otrzymujemy liczbę rzeczywistą -1. Zatem to coś spełnia równanie: X = 0. Podobnie możemy podstawić za X wartość Jeżeli uznamy wielkość -1 za coś realnego i oznaczymy przez j to z łatwością rozwiążemy wiele innych równań, przykładowo równanie X = 0 spełniają rozwiązania: X = - 3j oraz +3j. W elektronice stosujemy symbol: j = -1 = (-1) 0.5, chociaż w matematyce używany jest symbol i = (-1) 0.5. Powód: bo i w elektronice to prąd elektryczny.
7 Liczby i funkcje zespolone w elektrotechnice i elektronice. Liczby zespolone mają postać dwuskładnikową (zespoloną): Z = x + jy. Gdzie j = -1 jest pierwiastkiem kwadratowym z liczby -1. Taka notacja przypomina zapis położenia punktu na płaszczyźnie przy pomocy dwóch (równoprawnych) współrzędnych: Z = (x, y). W dziedzinie liczb zespolonych jest jednak pewna asymetria np. kwadrat liczby czysto rzeczywistej (x + j0) jest wielkością czysto rzeczywistą dodatnią (x 2 + j0) a kwadrat liczby czysto urojonej (0 + jy) jest wielkością czysto rzeczywistą ujemną (-y 2 + j0) bo j 2 = -1. Dlatego liczby zespolone traktujemy jako zapis położenia punktu na płaszczyźnie zespolonej. Wielkości zespolone (liczby i funkcje) są wyjątkowo udaną abstrakcją stosowaną w opisie oscylacyjnych przebiegów napięć i prądów w elektryczności oraz elektronice. Dobrym tego przykładem są tzw. wykresy wskazowe, które zastosujemy przy analizie układów RLC zasilanych napięciami sinusoidalnymi. Zapis przebiegów sinusoidalnych w postaci funkcji zespolonych jest niezastąpiony przy analizie zależności amplitudowych i fazowych.
8 Przypomnijmy równość Eulera: e jx = cos(x) + jsin(x) oraz równoważność formuł: Ae j(ωt + φ) = Acos(ωt + φ) + jasin(ωt + φ) z obrazem punktu wirującego na płaszczyźnie zespolonej z prędkością kątową ω - zwaną też pulsacją.
9 Równość Eulera po raz pierwszy pojawiła się w 1714 roku w postaci: Przy pomocy rozwinięć w szereg potęgowy można pokazać:
10 Mnożenie wielkości zespolonych jest łatwe gdy zastosujemy postać wykładniczą! Przykładowo zapis prawa Ohma jako iloczynu zespolonego prądu I i tzw. zawady Z (Z to zespolona - uogólniona oporność, jak zobaczymy niebawem): U = I Z = Ie j(ωt + α) Ze jβ = ZIe j(ωt + α+ β) j(ωt + θ) = Ue Mamy tu doskonałą ilustruję relacji amplitudowej i fazowej: amplitudowa: U = IZ i faz początkowych: α oraz θ = α + β Faza wyniku mnożenia to suma faz czynników! Zapis zespolony ilustruje też zależności faz od czasu: faza U = argument U = ωt + α + β = ωt + θ.
11 Zilustrujmy iloczyn z poprzedniej strony: U = I Z = Ie j(ωt + α) Ze jβ = ZIe j(ωt + α+ β) j(ωt + θ) = Ue Przy pomocy obrazów: W iloczynie mamy sumę argumentów i iloczyn modułów.
12 Zatem dowolną wielkość np. napięcie u = U m cos(ωt + ϕ) o amplitudzie A = U max możemy rozumieć jako część rzeczywistą napięcia zapisanego w postaci zespolonej U = U max e j(ωt + ϕ). Ze względu na zmienną t czas, dobrą ilustracją może być animacja/film pokazująca jak z upływem czasu wektor U wiruje bo rośnie jego argument, czyli kąt między nim a osią odciętych: ωt + ϕ. Przy analizie i obliczeniach wybieramy jednak sytuację zatrzymaną w kadrze czyli wybieramy jakąś dogodną chwilę np. t = 0. Dla wybranej dowolną wielkość zespoloną A możemy i będziemy zapisywać na 4 równoważne sposoby:
13 Zajmiemy się teraz pojemnością i indukcyjnością, które znane są między innymi z tego, że napięcia i prądy w nich występujące nie są zgodne w fazie. Początek ładowania kondensatora to duży prąd i małe napięcie, a koniec to zero prądu i maksymalne napięcie! Tu prąd jest potrzebny do zmian napięcia. W cewce aby rozpędzić prąd zaczynamy od dużego napięcia i powoli rosnącego prądu. Gdy prąd osiągnie maksimum i przestaje się zmieniać mamy zerowe napięcie. Tu napięcie jest potrzebne do zmian natężenia prądu.
14 Kondensatory w obwodach elektronicznych (podobnie jak oporniki i cewki) są elementami biernymi, nie mogą wzmacniać czyli zwiększać moc sygnału elektrycznego. Kondensator jest dwójnikiem (dwa zaciski) i składa się z dwóch okładzin przewodzących o dużej powierzchni odizolowanych dielektrykiem o dużej przenikalności elektrycznej. Kondensatory realizują koncepcję magazynowania energii w postaci pola elektrycznego między naładowanymi elektrycznie okładkami. Ich efektywność zależy od powierzchni i kształtu okładek, od odstępu oraz materiału między okładkami. Żywotność zależy od takich parametrów pracy jak: przykładane napięcia czy temperatura. Stosowane konstrukcje i materiały są rozmaite i nadal ulepszane. Kondensatory, podobnie jak rezystory należą do grupy podstawowych elementów elektroniki. Schemat zastępczy
15 Uwagi o odczycie parametrów kondensatorów Kondensatory o dużych pojemnościach (podobnie jak rezystory dużej mocy) są na tyle duże, że na ich obudowie wystarcza miejsca na napisanie wartości pojemności razem z jednostkami. Przykład: kondensatory elektrolityczne. Napis: +500MF oznacza, że końcówka bliższa znaku + musi mieć potencjał nie niższy od potencjału drugiej końcówki (w przeciwnym wypadku kondensator ulegnie zniszczeniu), pojemność kondensatora wynosi 500 µf. Znak - oznacza końcówkę, dla której przewidziany jest niższy potencjał. Kondensatory o mniejszych rozmiarach to np. kondensatory tantalowe. Napis +4R7µ oznacza 4.7µF (R oznacza miejsce dziesiętne). Taki sam kondensator może być oznaczony napisem: +475k, k oznacz tu tolerancję (±10%) natomiast cyfry 475 oznaczają do potęgi 5 pf. Jednostki należy odgadnąć na podstawie następujących wskazówek. 1) Przeważnie stosujemy mikro i pikofarady a unikamy mili- i nano-faradów, największe wśród typowych pojemności to około 500 μf i znaczne rozmiary kondensatora. Przykładowo napis: 680 musi zatem oznaczać 680 pf. 2) Pikofarad jest bardzo małą wartością i zwykle spotykamy kondensatory o pojemności większej od 1 pf. Oznacza to, że znajdując napis:.01 należy go odczytać jako 0.01µF. Zatem wcześniejszy napis: 475 oznacza pf. Przykładowo napis.02m 1kV oznacza 0.02 mikrofaradów, M oznacza tu tolerancję 20%, a 1kV oznacza, że kondensator wytrzymuje naładowanie do napięcia 1000V.
16 Napis: 560M 1kV oznacza 560pF o tolerancji 20% i napięcie 1kV. Napis: 101k 200V oznacza 100pF i kondensator na 200V. Kody tolerancji: Z - +80%,-20%, M - ±20%, K - ±10%, J - ±5%, G - ±2%, F - ±1%, D - ±0.5%, C - ±0.25%, B - ±0.1%, A - ±0.05%, N - ±0.02%. Spotykamy i stosujemy kondensatory o różnej budowie. Np. kondensatory Mylarowe (mailarowe) występują w postaci długich, zwiniętych folii metalowych oddzielonych folią z mylaru. Znak paska oznacza końcówkę folii zewnętrznej. Kondensatory te nie nadają się do pracy w układach wysokiej częstotliwości, gdyż długie zwinięte folie stanowią zbyt dużą indukcyjność dla napięć w. cz.. Kondensatory ceramiczne wyglądają jak płaskie kostki lub dyski ( lizaki ) i w przeciwieństwie do kondensatorów mylarowych dobrze pracują w układach wysokiej częstotliwości. Kondensatory ferroelektryczne: tanie i o dużej pojemności, są nieprecyzyjne i stosowane do odsprzęgania i filtracji. Ogólnie produkowane są kondensatory o pojemnościach od 0,1pF do około 5F w szeregach E6 i E12. Największe dostępne obecnie pojemności to kondensatory UltraCap do 3000F.
17 Ładunek i napięcie na idealnym kondensatorze spełniają następujący związek: Q = CU. Różniczkując obie strony po czasie otrzymujemy dq/dt = CdU/dt. dq/dt jest oczywiście prądem ładowania I.
18 Z równości I = CdU/dt widać, że stały prąd (ładowania) oznacza stałe tempo zmian napięcia na kondensatorze. Prąd jest wprost proporcjonalny nie do napięcia, jak dla opornika, lecz do szybkości zmian napięcia! Brak proporcjonalności między wartościami chwilowymi napięcia i prądu wyklucza zastosowanie prawa Ohma w dziedzinie liczb rzeczywistych. Zobaczymy też, że: Dla amplitud lub wartości skutecznych jednak prawo Ohma obowiązuje, a prawa Kirchhoffa NIE!!! Okazuje się, że dla wartości chwilowych pochodną można zastąpić mnożeniem w sytuacji, gdy mamy do czynienia z przebiegami sinusoidalnymi i ich zapisem zespolonym.
19 Zobaczmy to dokładniej. Z definicji pojemności mamy: Q = CU Przy zmianach ładunku: dq/dt = CdU/dt I = CdU/dt Mając napięcie sinusoidalne U = U max cos(ωt+φ) uzyskamy: I = CdU/dt = CU max d(cos(ωt+φ))/dt = ωcu max (-sin(ωt+φ)) = ωcu max (cos(ωt+φ +90 o )) Czyli prąd w kondensatorze uzyskaliśmy mnożąc przez ωc napięcie, któremu zmieniliśmy fazę o 90 o. To oznacza, że mając prąd wystarczy podzielić go przez ωc i przesunąć (cofnąć) jego fazę o -90 o i otrzymamy napięcie. Widać, że nie ma tu współczynnika proporcjonalności między chwilowymi!wartościami prądu i napięcia
20 Jeżeli jednak funkcję U = U max cos(ωt+φ) potraktujemy jako część rzeczywistą wielkości zespolonej U max e j(ωt+φ) to: U = Re(U max e j(ωt+φ) ) I = Cd(U max e j(ωt+φ) )dt = jωcu max e j(ωt+φ) I = jωcu = B C U gdzie B C = jωc albo U = I/jωC = X C I gdzie X C = 1/jωC Zatem w zapisie zespolonym dla wartości chwilowych jest współczynnik! Jest prawo Ohma dla pojemności! B C taka przewodność to susceptancja
21 Ilustracja. Jeżeli przez kondensator płynie jakiś prąd zmienny to na tym kondensatorze mamy też zmienne napięcie. Prawo Ohma dla kondensatora, którego reaktancją jest X C = 1/jωC = -j/ωc = [1/ωC] e -jπ/2, i w którym mamy prąd I = I max e j(ωt+φ) wyrażamy tak: U = I X C = I max e j(ωt+φ) 1/ωCe -jπ/2 = I max /ωc e j(ωt+φ-π/2) ; widzimy tu iloczyn modułów I max i 1/ωC jako moduł napięcia a w wykładniku do aktualnego kąta prądu dodany kąt ujemny: π/2 Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o π/2 względem fazy prądu. Wniosek: Pomnożenie prądu przez impedancję Xc daje napięcie opóźnione o ćwierć kąta pełnego (koresponduje to z prostym stwierdzeniem, że ładując kondensator na początku ładowania mamy duży prąd i zerowe napięcie, a po naładowaniu zerowy prąd i maksymalne napięcie).
22 Cewki indukcyjne. Modelem indukcyjności jest cewka, czyli też element z dwoma zaciskami dwójnik. Ze względu na rodzaj rdzenia wyróżniamy cewki: ferrytowe, metalowe, powietrzne. Cewka realizuje ideę magazynowania energii kinetycznej prądu elektrycznego, który wytwarza pole magnetyczne. Schemat zastępczy
23 Indukcyjność ma taką własność, że prędkość zmian jej prądu jest proporcjonalna do panującego na niej napięcia. Tu stałe napięcie wymusza stały wzrost prądu. L jest indukcyjnością cewki. Z takiej relacji między prądem a napięciem wynika, że dla wartości chwilowych prądu i napięcia na cewce też nie działa prawo Ohma.
24 Mamy związek: U = LdI/dt, załóżmy że wymuszamy prąd sinusoidalny w cewce: I = I max cos(ωt+φ) U = LdI/dt = LI max d(cos(ωt+φ))/dt = ωli max (-sin(ωt+φ)) = ωli max (cos(ωt+φ+90 o )) Czyli napięcie na cewce uzyskaliśmy mnożąc przez ωl prąd, któremu jeszcze zmieniliśmy fazę o 90 o. To oznacza, że mając prąd wystarczy pomnożyć go przez ωl i przesunąć jego fazę o 90 o i otrzymamy napięcie. Widać, że nie ma tu współczynnika proporcjonalności między prądem a napięciem!
25 Jeżeli jednak funkcję I = I max cos(ωt+φ) potraktujemy jako część rzeczywistą wielkości zespolonej I max e j(ωt+φ) to: I = Re(I e j(ωt+φ) ) max U = Ld(I e j(ωt+φ) )dt = jωli e j(ωt+φ) max max U = jωli = X I gdzie X = jωl albo I = L L (1/jωL)U = B U gdzie B = 1/jωL L L Zatem w zapisie zespolonym: Jest współczynnik! Jest prawo Ohma dla indukcyjności! X L reaktancja cewki B L susceptancja cewki
26 Ilustracja. Jeżeli przez cewkę płynie jakiś prąd zmienny to na jej zaciskach mamy też zmienne napięcie. Prawo Ohma dla indukcyjności, której impedancją jest X L = jωl = ωle jπ/2 i w której mamy prąd I = I max e j(ωt+φ) wyrażamy następująco: U = I X L = I max e j(ωt+φ) ωle jπ/2 = I max ωle j(ωt+φ+π/2) ; widzimy tu iloczyn modułów I max i ωl jako moduł napięcia a w wykładniku do aktualnego kąta prądu dodany kąt dodatni: π/2 Zatem napięcie U ma tu w każdej chwili fazę przesuniętą o π/2 względem fazy prądu. Wniosek: Pomnożenie prądu przez impedancję X L daje napięcie wyprzedzające o ćwierć kąta pełnego prąd. Koresponduje to z prostym stwierdzeniem, że na początku rozpędzania ładunku mamy jeszcze zerowy prąd a maksymalne napięcie. Gdy prąd osiągnie maksymalną wartość to napięcie odpowiedzialne za jego zerowe zmiany jest zerowe!
27 Chociaż i tu nie występuje proporcjonalność między chwilowymi wartościami napięcia i prądu. Zachodzi jednak proporcjonalność między wartościami skutecznymi lub amplitudami (tj. modułami czyli wartościami maksymalnymi, ale pojawiającymi się niejednocześnie - występuje przesunięcie fazowe). Jak widać dla indukcyjności i pojemności współczynniki X L i X C są czysto urojone zatem wektory prądu z wektorami napięcia tworzą kąty proste. To oznacza, że iloczyn skalarny U I - moc tracona w idealnym kondensatorze lub indukcyjności jest zerem?! Ten efekt odróżnia kondensatory i cewki od rezystorów. W rzeczywistości mamy do czynienia z pewnymi stratami mocy w dielektryku kondensatora i rdzeniu cewki. W obwodach LC dominujące są jednak straty mocy na rezystancji uzwojenia cewki. Zachowanie się cewek i kondensatorów zależy od częstotliwości sygnału elektrycznego bo impedancje X L i X C zależą od ω. Dławik to solenoid o dużej indukcyjności pełniący rolę dużej impedancji dla prądów zmiennych.
28 Szeregowy obwód RLC. Stosując napięciowe prawo Kirchhoffa do pojedynczego oczka na rysunku obok, możemy napisać równanie: u(t) = u R (t) + u L (t) + u C (t) Przykładając sinusoidalne napięcie: u(t) = U m e j(ωt+φ) musimy otrzymać prąd: i(t) = I m e j(ωt+ψ) (periodyczna przyczyna to i periodyczny skutek). Wstawmy zatem do równania obwodu wyrażenie: i(t) = I m e j(ωt+ψ). Otrzymamy: U m e j(ωt+φ) = RI m e j(ωt+ψ) + (1/C) I m e j(ωt+ψ) dt + Ld(I m e j(ωt+ψ) )/dt. U m e j(ωt+φ) = RI m e j(ωt+ψ) + (1/jωC)I m e j(ωt+ψ) + jωli m e j(ωt+ψ) U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R+ 1/jωC + jωl) U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R+ j(ωl 1/ωC)) U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R 2 + (ωl 1/ωC) 2 ) 0,5 e j arctg((ωl 1/ωC)/R) -> U = I Z czyli: U Zespolone napięcie = I Zespolony prąd Z Impedancja zespolona.
29 U m e j(ωt+φ) = I m e j(ωt+ψ) (R 2 + (ωl 1/ωC) 2 ) 0,5 j arctg((ωl 1/ωC)/R) e U = I Z czyli: U Zespolone napięcie = I Zespolony prąd Z Impedancja zespolona. Zespolona impedancja szeregowo połączonych R, L i C ma zatem postać: Z = R+ j(ωl 1/ωC) = R + j(x L X C ) = R +X = Ze j θ, możemy też zapisać: Z = R + X L + X C, Z = Z 1 + Z 2 + Z 3. Ponadto U = I Z po rozpisaniu: U = IZ 1 + IZ 2 + IZ 3 opisuje dzielnik napięcia zależny od ω.
30 Dzielniki napięcia zawierające elementy typu C lub L - mogą dzielić napięcie zależnie od częstotliwości. Zatem mogą zmieniać kształt sygnału, sygnał wyjściowy jest inny od wejściowego, chociaż są to elementy liniowe! Podobnie działają dzielniki prądu zawierające elementy typu C lub L dzielą prąd zależnie od częstotliwości. Dla układów R L C obowiązuje uogólnione prawo Ohma: U = I Z, I = Y U, gdzie Y = 1/Z, Z - impedancja, Y admitancja, i wszystkie wielkości są wyrażane w postaci zespolonej. Obliczanie wypadkowej impedancji Z w dla układu złożonego z elementów Z 1, Z 2,...Z n, odbywa się podobnie jak obliczanie wypadkowej rezystancji układu złożonego z elementów R 1, R 2,... R n. Różnicę daje tylko samo zastosowanie liczb zespolonych.
31 Należy pamiętać, że rzeczywistą wartością chwilową napięcia jest: U(t) = Re(U(t)). Rzeczywistą wartością chwilową prądu jest I(t) = Re(I(t)). Impedancję wyrażamy jako: Z = R + X, zawada = oporność czynna + oporność bierna = rezystancja + reaktancja, gdzie: X = X L + X C, X L = jωl i X C = 1/jωC. R jest rezystancją, a jωl i 1/jωC nazywamy reaktancjami, impedancjami biernymi. Admitancje to (odwrotności impedancji = drożności ) Y = 1/Z = G+jB, G = 1/R - konduktancja, B = 1/X - susceptancja, Y C = jωc, Y L = 1/jωL. Jednostką admitancji jest Simens 1S = 1/Ω.
32 Przykład 3.1. Wiedząc, że w układzie obok jest prąd zmienny o natężeniu I = 5cosωt A, ω = 2π50 rad/s = 314 rad/s, R = 0,5 Ω, L = 1 mh, C = 4 mf, obliczyć wszystkie napięcia. Rozw. U R = IR = (5cosωt A)(0,5 Ω) = 2,5cosωt V, lub U R = [5(cosωt +jsinωt) A](0,5 Ω) = 2,5(cosωt +jsinωt) V, albo: U R = (5e jωt A)(0,5 Ω) = 2,5e jωt V = 2,5 0 V U L = IX L = I (jωl) = [5(cosωt + jsinωt) A](j0,314 Ω) = 1,57(- sinωt + jcosωt) V = 1,57[cos(ωt + π/2) + jsin(ωt + π/2)] V, albo U L = 5e jωt 0,314e jπ/2 AΩ = 1,57e j(ωt+π/2) V = 1,57 π/2 V. U C = IX C = I(1/jωC) = I(-j/ωC) = (5e jωt A)(-j/1,26 Ω) = 5e jωt 0,796e -jπ/2 = 3,98e j(ωt-π/2) V = 3,98 -π/2 V. U = U R + U L + U C, dla t = 0: U = 2,5 V + 1,57[jsin(0 + π/2)] V + 3,98[jsin (0 - π/2)] V =[2,5 + j1,57 - j3,98] V = 2,5 V j 2,41 V. Arctan(-2,41/2,5) = -0,767rad. (2, ,41 2 ) 0,5 =3,47 -> U = 3,47e j(ωt - 0,767) V= 3,47-0,767 V.
33 U = 3,47e j(ωt - 0,767) V graficzna ilustracja tego wyniku : -> Wykresy wskazowe Wskaz, fazor (ang. phasor) jest liczbą zespoloną Ae jφ i wektorem na płaszczyźnie zespolonej reprezentującym sinusoidalny przebieg Acos(ωt +Φ). Np. u(t) = U max cos(ωt +Φ) = Re[U max e j(ωt +Φ) ] = Re[U max e jφ e jωt ]. Wskazem napięcia jest tu U max e jφ (taki wskaz bywa zapisywany jako: U max Φ) czyli jest to zespolona postać napięcia U w pewnej dogodnej chwili t (zwykle t = 0). Zatem wykres wskazowy do poprzedniego przykładu można przedstawić jak obok:
34 Podkreślmy, że fazorem (wskazem) F = F m e jφ nazywamy wielkość zespoloną, która reprezentuje funkcję sinusoidalnie zmieniającą się w czasie. Zbiorem wartości F = F m e j(ωt+φ) jest okrąg o promieniu F m ze środkiem w początku układu płaszczyzny zespolonej (Re, Im). Wykresem wskazowym nazywamy graficzną prezentację napięć i prądów sinusoidalnych w danym układzie prądu zmiennego o zadanej częstotliwości. Wykres ilustruje wielkości amplitud prądów i napięć oraz ich relacje fazowe w układzie w stanie stacjonarnym (tj. po czasie od włączenia źródeł znacznie dłuższym od okresu oscylacji T). Pojedynczy wykres dotyczy jednej wybranej częstotliwości. Wykresy wskazowe są też graficzną ilustracją równań jakie dają nam prawa Kirchhoffa oczywiście zapisane w postaci zespolonej. Dlatego początkujący często wykreślają wskazy na płaszczyźnie zespolonej z zaznaczonymi osiami Im i Re. W rzeczywistości na takiej płaszczyźnie wszystkie wektory powinny wirować zgodnie z pulsacją ω, natomiast wykres jest uchwyceniem ułożenia wektorów w określonej, dogodnej chwili (np. gdy jakiś prąd lub napięcie przechodzi przez swoje maksimum). Z wykresu znajdujemy relacje między długościami wektorów (tj. amplitudami) napięć i prądów oraz ich względne przesunięcia fazowe. Wykresy wskazowe są szeroko stosowane w elektrotechnice (tu zamiast amplitud można spotkać wartości skuteczne przy analizie przekazu mocy). Przy analizie filtrów mogą stanowić dogodną ilustrację relacji między sygnałem wejściowym i wyjściowym danego filtra dla wybranej częstotliwości.
35 Ważne! W przykładach, w których zastosujemy zapis wielkości w postaci zespolonej należy zauważyć, że: 1) Do zapisu równań będących prawami Kirchhoffa wstawiamy wszystkie napięcia, prądy i impedancje w postaci zespolonej. Prawa Kirchhoffa nie obowiązują dla wartości skutecznych i dla modułów czyli amplitud. Oczywiście po napisaniu równania możemy wziąć moduły obu stron (całych stron!). 2) Gdy prawo Ohma jest treścią równania (jedna wielkość = iloczyn lub iloraz dwu innych) to możemy go zapisać nie tylko dla wielkości zespolonych ale również dla modułów i dla wartości skutecznych.
36 Przykład 3.2. Obliczyć zawadę układu oraz natężenie prądu po przyłożeniu Napięcia U = 240cos(314t). Rozw. Z = X L + R + X C = R + jωl j/ωc = 1Ω + j(ω /ω10-6 )Ω = 1Ω + j(3, /(3, ))Ω =1Ω + j3183ω = ,98 Ω. I = U/Z = / ,98 A = 75,4mV -89,98 A. Przykład 3.3. Obliczyć zależność zawady od ω. Rozw. Z = X L + X C R/(R + X C ) = jωl j(r/ωc)/(r j/ωc) = jω j(10 12 /ω)/(10 6 j10 6 /ω) = jω j10 6 /(ω j) = 10 6 /(ω 2 + 1) + jω( /(ω 2 + 1)).
37 Przykład 3.4. Znajdź zastępczy układ Thevenina podanego układu. Rozw. Z punktu widzenia zacisków: Z 1 II Z 2, Jeżeli Z 1 i Z 2 są równoległe to Z T obliczymy ze wzoru na zastępczą impedancję połączenia równoległego:
38
39
40 czyli: Im(I ) = - Im(I ). Równoległy obwód RLC. Aby wyznaczyć częstotliwość rezonansową tego układu pomożemy sobie wykresem wskazowym, na którym umieścimy prądy i niektóre napięcia w tym obwodzie. Wymuszenie: u = U 0 e j(ωt + 0), I C = u/(-j/ωc) = juωc, I RL = u/(r + jωl) = u(r - jωl)/(r 2 + ω 2 L 2 ) Wybierając moment gdy u jest czysto rzeczywiste czyli wektor u leży na osi Re narysujemy: u = u = U 0, I RL = u(r - jωl)/(r 2 + ω 2 L 2 ) I C = juωc, Re(I RL ) = ur/(r 2 + ω 2 L 2 ) Im(I RL ) = -uωl/(r 2 + ω 2 L 2 ). Z wykresu wskazowego widać, że dla uzyskania zgodności fazy wypadkowego prądu (czyli sumy I C i I RL ) z fazą napięcia wymuszającego Im(I C ) + Im(I RL ) = 0
41 Równoległy obwód RLC. I RL = u(r - jωl)/(r 2 + ω 2 L 2 ) I C = juωc, Re(I RL ) = ur/(r 2 + ω 2 L 2 ) Im(I RL ) = -uωl/(r 2 + ω 2 L 2 ). Im(I C ) = Im(I RL ) Im(I C ) = -Im(I RL ) uωc = uωl/(r 2 + ω 2 L 2 ); C = L/(R 2 + ω 2 L 2 ); R 2 + ω 2 L 2 = L/C ω 2 L 2 = L/C R 2 ω 2 = 1/LC R 2 /L 2 ω r = (1/LC R 2 /L 2 ) 1/2
42 6. Narysuj wykres wskazowy i obliczyć wartości przepięcia w rezonansie układu dla R = 1 Ω, i R = 0,1 Ω przy zasilaniu napięciem o amplitudzie 1 V. 7. Znajdź częstotliwość rezonansową dla układu. E-E-M. Lista Mając dwie liczby zespolone A = 3 + j3, B = 1 + j 3, oblicz AB oraz A/B. 2. Narysować wykres wskazowy dla szeregowo połączonych rezystora 10Ω i kondensatora 1mF, przez które płynie prąd I = 2sin(2π50t) A. Oblicz całkowite napięcie przyłożone do układu RC oraz różnice faz między prądem i wszystkimi napięciami. 3. Do indukcyjności L = 1 mh o rezystancji uzwojenia 1Ω należy dołączyć szeregowo kondensator tak aby uzyskać rezonans dla częstotliwości 1MHz. Narysować wykres wskazowy dla zasilania napięciem U = 1Vsin(2π10 6 t). 4. Obliczyć zawadę układu dla częstotliwości kątowej (pulsacji) 1rad/s i 1Mrad/s. Obliczyć różnicę faz między przyłożonym napięciem a prądem w tym układzie. 5. Oblicz zawadę układu dla pulsacji 1rad/s i 1Mrad/s. Oblicz różnicę faz między napięciem i prądem w tym układzie.
43 Dodatek dla opornych. Co znaczą następujące zapisy? 1) I = Icos(ωt +β) = I amplituda cos(ω pulsacja t czas + β kąt początkowy dla t = 0s ) jest to zapis kosinusoidalnego (sinusoidalnego) przebiegu natężenia prądu. 2) I = Icos(ωt +β) + jisin(ωt +β) = Ie j(ωt +β) oznacza ten sam prąd co w punkcie poprzednim ale zapisanym w postaci zespolonej pozwalającej łatwo czynić poprawne obliczenia! Jeżeli zamiast informacji, że I = 5cos(ωt + π/2) otrzymamy informacje że w pewnej chwili t = 0 s prąd miął natężenie I = 0 A to nie wiemy czy w następnych chwilach prąd będzie niezerowy. Gdy jednak informacją będzie, że danej chwili I = 0 + j5 [A] = j5 A to wiemy, że chociaż teraz I = 0 A to po chwili już I 0 A, a w pewnej chwili będzie 5 A!!!
44 Na elementach obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego występują napięcia dające się zapisać jako U = U max cos(ωt+φ). Funkcje takie możemy traktować jako części rzeczywiste periodycznych funkcji zespolonych U = U max e j(ωt+φ) czyli U = Re(U = U max e j(ωt+φ) ). Gdy tak zapisane napięcie pojawi się na kondensatorze to z relacji między prądem i napięciem dla kondensatora: I = CdU/dt wynika, że dla prądów zmiennych impedancja kondensatora czyli współczynnik ( proporcjonalności ) między prądem i napięciem wyraża się funkcją zespoloną: Z C = X C = 1/jωC. bo podstawiając zespoloną postać napięcia: U = U m e j(ωt+φ) do wyrażenia I = CdU/dt otrzymujemy: I = CjωU, mamy mnożenie zamiast pochodnej! Z tego, że I = CjωU mamy: U = I/jωC, U = (1/jωC)I, albo krócej: U = X C I, X C = 1/jωC
45 U = X C I jest prawem Ohma dla kondensatora zapisanym przy pomocy funkcji zespolonych! Mamy to dzięki temu, że operator różniczkowania działając na e jωt daje tyle co proste pomnożenie przez stałą jω (tj. współczynnik przy t wykładnika w e jωt ) *. W dziedzinie liczb zespolonych mnożenie daje, oprócz zmiany modułu, również obrót wektora! Wielkość 1/jωC nazywamy reaktancją (lub impedancją) kondensatora. Zespolony spadek napięcia na idealnym kondensatorze jest iloczynem zespolonego natężenia prądu i impedancji X C (czysto urojonej). Istotną wadą rzeczywistych kondensatorów jest ich upływność i tzw. straty w dielektryku a dla prądów o wysokiej częstotliwości dodatkowy problem stanowi indukcyjność doprowadzeń i okładek. * Do zamiany równań różniczkowo-całkowych na równania algebraiczne w wielu dziedzinach techniki stosowana jest transformata Laplace a. W bieżącym wykładzie ograniczamy się do stosowania liczb zespolonych.
Elektrotechnika i elektronika (konspekt) Franciszek Gołek Wykład 3. Obwody prądu sinusoidalnego
Elektrotechnika i elektronika (konspekt) Franciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl) www.pe.ifd.uni.wroc.pl Wykład 3. Obwody prądu sinusoidalnego Obecnie powszechnie dostępna energia elektryczna jest produkowana
Bardziej szczegółowoElektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek Wykład 3. Obwody prądu sinusoidalnego
Elektrotechnika elektronika miernictwo Franciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl) www.pe.ifd.uni.wroc.pl Wykład 3. Obwody prądu sinusoidalnego Obecnie powszechnie dostępna energia elektryczna jest produkowana
Bardziej szczegółowoElektronika (konspekt)
Elektronika (konspekt) Franciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl) www.pe.ifd.uni.wroc.pl Wykład 03 Elementy obwodów prądu zmiennego Rezystory są istotnymi elementami obwodów prądu zarówno zmiennego jak i
Bardziej szczegółowoObwody prądu zmiennego
Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoInduktor i kondensator. Warunki początkowe. oraz ciągłość warunków początkowych
Termin AREK73C Induktor i kondensator. Warunki początkowe Przyjmujemy t, u C oraz ciągłość warunków początkowych ( ) u ( ) i ( ) i ( ) C L L Prąd stały i(t) R u(t) u( t) Ri( t) I R RI i(t) L u(t) u() t
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółoworezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym
Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie
Bardziej szczegółowoWielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny
prąd stały (DC) prąd elektryczny zmienny okresowo prąd zmienny (AC) zmienny bezokresowo Wielkości opisujące sygnały okresowe Wartość chwilowa wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t) Wartość
Bardziej szczegółowoSystemy liniowe i stacjonarne
Systemy liniowe i stacjonarne Układ (np.: dwójnik) jest liniowy wtedy i tylko wtedy gdy: Spełnia własność skalowania (jednorodność): T [a x (t )]=a T [ x (t)]=a y (t ) Jeśli wymuszenie zostanie przeskalowane
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8
Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8 Analiza właściwości zmiennoprądowych materiałów i elementów elektronicznych I. Zagadnienia do przygotowania:. Wykonanie i przedstawienie
Bardziej szczegółowoCharakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych
Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych Parametry elementów pasywnych; reaktancji indukcyjnej (XLωL) oraz pojemnościowej (XC1/ωC) zależą od częstotliwości. Ma to istotne znaczenie w wielu
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC
Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Układ RC
Bardziej szczegółowoWykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód
Bardziej szczegółowoLaboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych
ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na
Bardziej szczegółowoĆw. 27. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu
7 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 7. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony z połączonych: kondensatora C cewki L i opornika R
Bardziej szczegółowoWartość średnia półokresowa prądu sinusoidalnego I śr : Analogicznie określa się wartość skuteczną i średnią napięcia sinusoidalnego:
Ćwiczenie 27 Temat: Prąd przemienny jednofazowy Cel ćwiczenia: Rozróżnić parametry charakteryzujące przebieg prądu przemiennego, oszacować oraz obliczyć wartości wielkości elektrycznych w obwodach prądu
Bardziej szczegółowoDr inż. Agnieszka Wardzińska 105 Polanka Konsultacje: Poniedziałek : Czwartek:
Dr inż. Agnieszka Wardzińska 105 Polanka agnieszka.wardzinska@put.poznan.pl cygnus.et.put.poznan.pl/~award Konsultacje: Poniedziałek : 8.00-9.30 Czwartek: 8.00-9.30 Impedancja elementów dla prądów przemiennych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM OBWODÓW I SYGNAŁÓW
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Radioelektroniki Zakład Radiokomunikacji WIECZOROWE STUDIA ZAWODOWE LABORATORIUM OBWODÓW I SYGNAŁÓW Ćwiczenie Temat: OBWODY PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO Opracował: mgr
Bardziej szczegółowo2.Rezonans w obwodach elektrycznych
2.Rezonans w obwodach elektrycznych Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie podstawowych właściwości szeregowych i równoległych rezonansowych obwodów elektrycznych. 2.1. Wiadomości ogólne 2.1.1
Bardziej szczegółowoPOMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C
ĆWICZENIE 4EMC POMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C Cel ćwiczenia Pomiar parametrów elementów R, L i C stosowanych w urządzeniach elektronicznych w obwodach prądu zmiennego.
Bardziej szczegółowo13 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
3 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 3. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoWykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO
Wykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Symbol rezystora: Idealny rezystor w obwodzie prądu przemiennego:
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1) Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDLNEGO
Bardziej szczegółowo) I = dq. Obwody RC. I II prawo Kirchhoffa: t = RC (stała czasowa) IR V C. ! E d! l = 0 IR +V C. R dq dt + Q C V 0 = 0. C 1 e dt = V 0.
Obwody RC t = 0, V C = 0 V 0 IR 0 V C C I II prawo Kirchhoffa: " po całym obwodzie zamkniętym E d l = 0 IR +V C V 0 = 0 R dq dt + Q C V 0 = 0 V 0 R t = RC (stała czasowa) Czas, po którym prąd spadnie do
Bardziej szczegółowoPrzyrządy pomiarowe w elektronice multimetr
Przyrządy pomiarowe w elektronice multimetr Miernik uniwersalny służy do pomiaru istotnych parametrów elementów elektronicznych: rezystancji pojemności napięć, prądów stałych i zmiennych (50Hz) na elementach
Bardziej szczegółowoElektronika (konspekt)
Elektronika (konspekt) Franciszek Gołek (golek@ifd.uni.wroc.pl) www.pe.ifd.uni.wroc.pl Wykład 04 Filtry RLC Filtrem nazywamy urządzenie, które przepuszczając (transmitując) sygnał wejściowy może zmieniać
Bardziej szczegółowoFormalizm liczb zespolonych
Część III Elementy bierne: rezystor, kondesator, cewka Wymuszenie, odpowiedź układu Systemy liniowe i stacjonarne Prądy sinusoidalne, impedancja Dwójniki bierne: rezystancja, pojemność, indukcyjność Rezonans
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2 Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego
Pracownia Wstępna - - WYKŁAD 2 Pojęcia podstawowe obwodów prądu zmiennego Układy złożone z elementów biernych Bierne elementy elektroniczne to : opór R: u ( = Ri( indukcyjność L: di( u( = L i pojemność
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTONIKI Część II Podstawowe elementy elektroniczne dwójniki bierne LC Formalizm zespolony opisu napięć i prądów harmonicznie zmiennych w czasie impedancja Źródła napięcia i prądu Przekazywanie
Bardziej szczegółowoLICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE, ELEKTRYCZNY WEKTOR ZESPOLONY, METODA SYMBOLICZNA,
Wykład VIII LICZBY ZESPOLONE W ELEKTROTECHNICE, ELEKTRYCZNY WEKTOR ZESPOLONY, METODA SYMBOLICZNA, ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW ROZGAŁĘZIONYCH PRĄDU PRZEMIENNEGO POSTACI LICZB ZESPOLONYCH Wskazy prądu i napięcia:
Bardziej szczegółowo07 K AT E D R A FIZYKI STOSOWA N E J
07 K AT E D R A FIZYKI STOSOWA N E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 7a. Pomiary w układzie szeregowym RLC Wprowadzenie Prąd zmienny płynący w
Bardziej szczegółowoREZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY. I. Rezonans napięć
REZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY I. Rezonans napięć Zjawisko rezonansu napięć występuje w gałęzi szeregowej RLC i polega na tym, Ŝe przy określonej częstotliwości sygnałów w obwodzie, zwanej częstotliwością
Bardziej szczegółowoWykład 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. PEiE
Parametry sygnału sinusoidalnego Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego) : Wielkości występujące
Bardziej szczegółowoĆwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego"
Ćwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego" Opracowane w ramach projektu: "Informatyka mój sposób na poznanie i opisanie świata realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowo1) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć rezystancję R AB i konduktancję G AB zastępczą układu. R 1 R 2 R 3 R 6 R 4
1) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć rezystancję B i konduktancję G B zastępczą układu. 1 2 3 6 B 4 2) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć impedancję (Z, Z) i admitancję (Y, Y) obwodu. Narysować wykres
Bardziej szczegółowoPracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej
UNIWERSYTET RZESZOWSKI Pracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej Ćw. 5. Badanie rezonansu napięć w obwodach szeregowych RLC. Rzeszów 206/207 Imię i nazwisko Grupa Rok studiów Data wykonania
Bardziej szczegółowo29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2
Włodzimierz Wolczyński 29 PRĄD PRZEMIENNY. CZĘŚĆ 2 Opory bierne Indukcyjny L - indukcyjność = Szeregowy obwód RLC Pojemnościowy C pojemność = = ( + ) = = = = Z X L Impedancja (zawada) = + ( ) φ R X C =
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład lutego Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 4 lutego 4 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoTeoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, Spis treści
Teoria obwodów / Stanisław Osowski, Krzysztof Siwek, Michał Śmiałek. wyd. 2. Warszawa, 2013 Spis treści Słowo wstępne 8 Wymagania egzaminacyjne 9 Wykaz symboli graficznych 10 Lekcja 1. Podstawowe prawa
Bardziej szczegółowoX L = jωl. Impedancja Z cewki przy danej częstotliwości jest wartością zespoloną
Cewki Wstęp. Urządzenie elektryczne charakteryzujące się indukcyjnością własną i służące do uzyskiwania silnych pól magnetycznych. Szybkość zmian prądu płynącego przez cewkę indukcyjną zależy od panującego
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 1 Podstawowe prawa obwodów elektrycznych Prąd elektryczny definicja fizyczna Prąd elektryczny powstaje jako uporządkowany ruch
Bardziej szczegółowoPrąd d zmienny. prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie.
Prąd d zmienny prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie. 1 Oś wartości natężenia prądu Oś czasu 2 Definicja natężenia prądu zmiennego i dq =
Bardziej szczegółowoElektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki
UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY Wydział Matematyczno-Fizyczno-Techniczny Instytut Techniki Edukacja Techniczno-Informatyczna Elektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki Kraków 2015 Marcin Kapłan 1 Spis treści:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ
Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..
Bardziej szczegółowou (0) = 0 i(0) = 0 Obwód RLC Odpowiadający mu schemat operatorowy E s 1 sc t = 0 i(t) w u R (t) E u C (t) C
Obwód RLC t = 0 i(t) R L w u R (t) u L (t) E u C (t) C Odpowiadający mu schemat operatorowy R I Dla zerowych warunków początkowych na cewce i kondensatorze 1 sc sl u (0) = 0 C E s i(0) = 0 Prąd I w obwodzie
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PĄDU SINUSOIDLNEGO
Bardziej szczegółowoEUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015
EROELEKTR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 014/015 Zadania z elektrotechniki na zawody II stopnia (grupa elektryczna) Zadanie 1 W układzie jak na rysunku 1 dane są:,
Bardziej szczegółowoOBWODY JEDNOFAZOWE PRĄDU PRZEMIENNEGO
OBWODY JEDNOFAZOWE PRĄDU PRZEMIENNEGO mgr inż. Grzegorz Strzeszewski ZespółSzkółnrwWyszkowie 01 r. Nauka jest dla tych, którzy chcą być mądrzejsi, którzy chcą wykorzystywać swój umysł do poznawania otaczającego
Bardziej szczegółowoMAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY
Włodzimierz Wolczyński 47 POWTÓRKA 9 MAGNETYZM. PRĄD PRZEMIENNY Zadanie 1 W dwóch przewodnikach prostoliniowych nieskończenie długich umieszczonych w próżni, oddalonych od siebie o r = cm, płynie prąd.
Bardziej szczegółowoZad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.
Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz
Bardziej szczegółowoPomiar indukcyjności.
Pomiar indukcyjności.. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z metodami pomiaru indukcyjności, ich wadami i zaletami, wynikającymi z nich błędami pomiarowymi, oraz umiejętnością ich właściwego
Bardziej szczegółowoPrąd przemienny - wprowadzenie
Prąd przemienny - wprowadzenie Prądem zmiennym nazywa się wszelkie prądy elektryczne, dla których zależność natężenia prądu od czasu nie jest funkcją stałą. Zmienność ta może związana również ze zmianą
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Mechatronika (WM) Laboratorium Elektrotechniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Bardziej szczegółowo2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 2. Łączenie i pomiar pojemności i indukcyjności Wprowadzenie Pojemność
Bardziej szczegółowoCo było na ostatnim wykładzie?
Co było na ostatnim wykładzie? Rzeczywiste źródło napięcia: Demonstracja: u u s (t) R u= us R + RW Zależy od prądu i (czyli obciążenia) w.2, p.1 Podłączamy różne obciążenia (różne R). Co dzieje się z u?
Bardziej szczegółowoEfekt naskórkowy (skin effect)
Efekt naskórkowy (skin effect) Rozważmy cylindryczny przewód o promieniu a i o nieskończonej długości. Przez przewód płynie prąd I = I 0 cos ωt. Dla niezbyt dużych częstości ω możemy zaniedbać prąd przesunięcia,
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA II. 4. Indukcja elektromagnetyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA II 4. Indukcja elektromagnetyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ PRAWO INDUKCJI FARADAYA SYMETRIA W FIZYCE
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT I-21 LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2 Ćwiczenie nr 10. Dwójniki RLC, rezonans elektryczny
POTEHNKA WOŁAWSKA, WYDZAŁ PPT - ABOATOM Z PODSTAW EEKTOTEHNK EEKTONK Ćwiczenie nr. Dwójniki, rezonans elektryczny el ćwiczenia: Podstawowym celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów właściwościami elementów
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład 1. 9 marca Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 9 marca 5 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie wzorów na impedancję w dwójniku RLC. ( ) Przez dwójnik przepływa przemienny prąd elektryczny sinusoidalnie zmienny opisany równaniem:
Wyprowadzenie wzorów na impedancję w dwójniku RLC. Dwójnik zbudowany jest z rezystora, kondensatora i cewki. Do zacisków dwójnika przyłożone zostało napięcie sinusoidalnie zmienne. W wyniku przyłożonego
Bardziej szczegółowoPrądy wirowe (ang. eddy currents)
Prądy wirowe (ang. eddy currents) Prądy można indukować elektromagnetycznie nie tylko w przewodnikach liniowych, ale również w materiałach przewodzących o dowolnym kształcie i powierzchni, jeżeli tylko
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowoWzmacniacz jako generator. Warunki generacji
Generatory napięcia sinusoidalnego Drgania sinusoidalne można uzyskać Poprzez utworzenie wzmacniacza, który dla jednej częstotliwości miałby wzmocnienie równe nieskończoności. Poprzez odtłumienie rzeczywistego
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 25. Temat: Obwód prądu przemiennego RC i RL. Cel ćwiczenia
Temat: Obwód prądu przemiennego RC i RL. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 25 Poznanie własności obwodu szeregowego RC w układzie. Zrozumienie znaczenia reaktancji pojemnościowej, impedancji kąta fazowego. Poznanie
Bardziej szczegółowoII prawo Kirchhoffa Obwód RC Obwód RC Obwód RC
II prawo Kirchhoffa algebraiczna suma zmian potencjału napotykanych przy pełnym obejściu dowolnego oczka jest równa zeru klucz zwarty w punkcie a - ładowanie kondensatora równanie ładowania Fizyka ogólna
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 Obwody rezonansowe
Ćwiczenie 3 Obwody rezonansowe Opracowali dr inż. Krzysztof Świtkowski oraz mgr inż. Adam Czerwiński Pierwotne wersje ćwiczenia i instrukcji są dziełem mgr inż. Leszka Widomskiego Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoZespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu
Zespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu Przedmiot: Pomiary Elektryczne Materiały dydaktyczne: Pomiar i regulacja prądu i napięcia zmiennego Zebrał i opracował: mgr inż. Marcin Jabłoński
Bardziej szczegółowoELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii nstrukcja do zajęć laboratoryjnych ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄD SNSODALNE ZMENNEGO Numer ćwiczenia E0 Opracowanie:
Bardziej szczegółowoDANE: wartość skuteczna międzyprzewodowego napięcia zasilającego E S = 230 V; rezystancja odbiornika R d = 2,7 Ω; indukcyjność odbiornika.
Zadanie 4. Prostownik mostkowy 6-pulsowy z tyrystorami idealnymi o komutacji natychmiastowej zasilany z sieci 3 400 V, 50 Hz pracuje z kątem opóźnienia załączenia tyrystorów α = 60º. Obciążenie prostownika
Bardziej szczegółowo(EL1A_U09) 4. Przy otwartym przełączniku, woltomierz idealny wskazał 0. Po zamknięciu wyłącznika woltomierz i amperomierz idealny wskażą:
Teoria obwodów (EL1A_U07) 1. Zdanie: skutek kilku przyczyn działających równocześnie jest sumą skutków tych przyczyn działających oddzielnie wyraża: a) zasadę wzajemności b) twierdzenie Thevenina c) zasadę
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: ELEKTROTECHNIKA 2. Kod przedmiotu: Eef 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Elektroautomatyka
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?
RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1
Bardziej szczegółowoCo było na ostatnim wykładzie?
Co było na ostatnim wykładzie? Elektronika używa wyidealizowanych obiektów, np.: idealne źródło napięcia, rezystor, kondenstor, cewka, wzmacniacz operacyjny, bramki logiczne etc. Dowolne urządzenie elektroniczne
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODZESPOŁÓW ELEKTRONICZNYCH. Ćwiczenie nr 2. Pomiar pojemności i indukcyjności. Szeregowy i równoległy obwód rezonansowy
LABORATORIUM PODZESPOŁÓW ELEKTRONICZNYCH Ćwiczenie nr 2 Pomiar pojemności i indukcyjności. Szeregowy i równoległy obwód rezonansowy Wykonując pomiary PRZESTRZEGAJ przepisów BHP związanych z obsługą urządzeń
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można
Bardziej szczegółowoINDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA
Wstęp INDKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Zajęcia wyrównawcze, Częstochowa, 009/00 Ewa Jakubczyk Michalel Faraday (79-867) odkrył w 83roku zjawisko indukcji elektromagnetycznej. Oto pierwsza prądnica -generator
Bardziej szczegółowoObliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego 311[08].O1.04
MINISTERSTWO EDKACJI i NAKI Teresa Birecka Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego 311[08].O1.04 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy
Bardziej szczegółowoElementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe
Elementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe Cel ćwiczenia. Nabycie umiejętności posługiwania się miernikami uniwersalnymi, oscyloskopem, generatorem, zasilaczem, itp. Nabycie umiejętności rozpoznawania
Bardziej szczegółowoDielektryki polaryzację dielektryka Dipole trwałe Dipole indukowane Polaryzacja kryształów jonowych
Dielektryki Dielektryk- ciało gazowe, ciekłe lub stałe niebędące przewodnikiem prądu elektrycznego (ładunki elektryczne wchodzące w skład każdego ciała są w dielektryku związane ze sobą) Jeżeli do dielektryka
Bardziej szczegółowoładunek pobrany ze źródła jest równy sumie ładunków na poszczególnych kondensatorach
Opracował: mgr inż. Marcin Wieczorek www.marwie.net.pl Połączenie równoległe kondensatorów na każdym kondensatorze jest takie samo napięcie napięcie źródła ładunek pobrany ze źródła jest równy sumie ładunków
Bardziej szczegółowo2. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
2. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 2.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód elektryczny,
Bardziej szczegółowoPrzyjmuje się umowę, że:
MODELE OPERATOROWE Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R, L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy
Bardziej szczegółowoIndukcja wzajemna. Transformator. dr inż. Romuald Kędzierski
Indukcja wzajemna Transformator dr inż. Romuald Kędzierski Do czego służy transformator? Jest to urządzenie (zwane też maszyną elektryczną), które wykorzystując zjawisko indukcji elektromagnetycznej pozwala
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE nr 5. Pomiary rezystancji, pojemności, indukcyjności, impedancji
Politechnika Łódzka Katedra Przyrządów Półprzewodnikowych i Optoelektronicznych WWW.DSOD.PL LABORATORIUM METROLOGII ELEKTRONICZNEJ ĆWICZENIE nr 5 Pomiary rezystancji, pojemności, indukcyjności, impedancji
Bardziej szczegółowoMiernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak
Miernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak ~ 1 ~ I. Właściwości elementów biernych A. Charakterystyki elementów biernych 1. Rezystor idealny (brak przesunięcia fazowego między napięciem a prądem) brak części
Bardziej szczegółowoMetodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4)
OBWODY JEDNOFAZOWE POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ. Obwody prądu stałego.. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych wyznaczanie rezystancji metodą techniczną. Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na określeniu
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWykład 14: Indukcja cz.2.
Wykład 14: Indukcja cz.. Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. -1, pok.31 szkla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szklarski/ 10.05.017 Wydział Informatyki, Elektroniki i 1 Przykład
Bardziej szczegółowoZaznacz właściwą odpowiedź
EUOEEKTA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej ok szkolny 200/20 Zadania dla grupy elektrycznej na zawody I stopnia Zaznacz właściwą odpowiedź Zadanie Kondensator o pojemności C =
Bardziej szczegółowo1 T. Sygnały. Sygnał okresowy f(t) Wartość średnia sygnału okresowego f(t) Sygnały f(t) Stałe. Zmienne f(t) const. Pulsujące Inne.
Sygnały Sygnały f(t) Stałe Zmienne f(t) const Pulsujące nne Zmieniające znak Zachowujące znak Oksowe Nieoksowe Odkształcone SNSODALNE nne Sygnał oksowy f(t) > t f ( t) f ( t + ) Wartość śdnia sygnału oksowego
Bardziej szczegółowoFIZYKA 2. Janusz Andrzejewski
FIZYKA wykład 7 Janusz Andrzejewski Niedoceniany geniusz Nikola Tesla Nikola Tesla wynalazł (lub znakomicie ulepszył) większość urządzeń, które spowodowały to, że prąd zmienny wyparł z naszych domów prąd
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 3 Zagadnienie mocy w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie sinusoidalnie
Bardziej szczegółowo