D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [] CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (Parametry statystycze) PARAMETRY STATYSTYCZNE - lczby słuŝące do sytetyczego opsu strutury zborowośc statystyczej. PARAMETRY DZIELIMY NA 4 GRUPY:. mary połoŝea. mary zmeośc (dyspersj, rozproszea) 3. mary asymetr (sośośc) 4. mary ocetracj MIARY POŁOśENIA Mary przecęte charateryzują śred lub typowy pozom wartośc cechy. Mary połoŝea dzelą sę a mary przecęte watyle. Podzał mar połoŝea jest astępujący:. mary lasycze (średa: arytmetycza, harmocza, geometrycza) oraz. mary pozycyje (modala, watyle) Wśród watyl ajczęścej mów sę o:. wartylach (perwszy, drug zway medaą, trzec) - podzał zborowośc a 4 częśc,. decylach - podzał zborowośc a 0 częśc, 3. cetylach (percetylach) - podzał zborowośc a 00 częśc.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [] ŚREDNIA arytmetycza Średą arytmetyczą defuje sę jao sumę wartośc cechy merzalej przez lczebość populacj. Średa jest weloścą maowaą ta samo ja badaa cecha. Dla szeregów szczegółowych Tutaj wylczamy tzw. średą arytmetyczą prostą (ewaŝoą), tóra ma postać: L PRZYKŁAD Weźmy dae z przyładu (wyład ) o lczbe braów: 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 4, 4 0 L 0 L L 3 L 3 4 4 50 40 50 0,8 Średa lczba braów przypadająca a wyrób wyos w tym przyładze 0,8 [bra/szt.].
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [3] Dla szeregów rozdzelczych putowych Tutaj wylczamy tzw. średą arytmetyczą waŝoą, tóra ma postać: lub L w w L w W przyładze z lczbą braów oblczea według perwszego wzoru (z lczeboścam ) przedstawa poŝsza tabela. umer lasy lczba braów lczba wyrobów (lczebość) w oblczea do średej 0 30 0 8 8 3 6 4 3 4 5 4 8 razem 50 40 40 50 0,8
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [4] Oblczea średej lczby braów z wyorzystaem drugego wzoru (ze wsaźam strutury w )) poazuje oleja tabela. umer lasy lczba braów wsaź strutury oblczea do średej w w 0 0,60 0,00 0,6 0,6 3 0, 0,4 4 3 0,08 0,4 5 4 0,04 0,6 razem,00 0,80 0,80
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [5] Dla szeregów rozdzelczych przedzałowych Tutaj wylczamy tzw. średą arytmetyczą waŝoą, tóra ma postać: lub & & L gdze & w & w L & & w & & jest środem przedzału lasowego wylczaym & 0 astępująco: & w NaleŜy pamętać, Ŝe przy pogrupowau daych źródłowych w szereg rozdzelczy przedzałowy astępuje pewa utrata formacj. JeŜel polczymy średą dla szeregu szczegółowego lub szeregu rozdzelczego putowego, to wy będze dołady ta sam. Dla daych w postac szeregu rozdzelczego przedzałowego średa będze juŝ przyblŝeem. Tym węszym, m szersze są przedzały lasowe, m jest ch mej, td. Np. dla daych źródłowych o czasach dojazdu pracowów frmy ZAUR otrzymamy: 8080 00 40,44 muty.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [6] PRZYKŁAD Oblczea dla średej w przyładze z czasem dojazdu w frme ZAUR (wyład ) według perwszego wzoru (z lczeboścam ) przedstawa poŝsza tabela. umer lasy czas dojazdu w ZAUR środe przedzału lczba pracowów oblczea do średej 0 & & 5 5 0 0 00 5 5 0 0 400 3 5 35 30 30 900 4 35 45 40 50 000 5 45 55 50 80 4000 6 55 65 60 0 600 razem 00 8000 8000 00 40 Oblczea dla średej według drugego wzoru (ze wsaźam strutury w ) przedstawa oleja tabela. umer lasy czas dojazdu środe przedzału wsaź strutury w ZAUR 0 & oblczea do średej w & w 5 5 0 0,05 0,5 5 5 0 0,0,0 3 5 35 30 0,5 4,5 4 35 45 40 0,5 0,0 5 45 55 50 0,40 0,0 6 55 65 60 0,05 3,0 razem,00 40,0 40
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [7] WaŜejsze własośc ŚREDNIEJ arytmetyczej. Suma wartośc cechy jest rówa loczyow średej arytmetyczej lczebośc populacj, tj. lub. Średa arytmetycza e moŝe być mejsza od ajmejszej wartośc cechy a teŝ węsza od ajwęszej jej wartośc m ma 3. Suma odchyleń poszczególych wartośc cechy od średej jest rówa zero ( ) 0 lub ( ) 0 4. Średą arytmetyczą oblcza sę w zasadze dla szeregów o zamętych lasach przedzałowych. MoŜa lasy sztucze domąć ( polczyć średą) tylo wtedy, gdy odsete jedoste w tych lasach jest ewel (do 5%). Gdy te odsete jest duŝy aleŝy stosować mary pozycyje zamast średej. 5. Średa arytmetycza jest czuła a sraje wartośc cechy. Są to wartośc cechy dla jedoste etypowych w badaej zborowośc przypadowo (epoprawe) włączoych do badaej populacj.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [8] ŚREDNIA harmocza Średą harmoczą stosujemy wtedy, gdy wartośc cechy są podae w przelczeu a stałą jedostę ej cechy, czyl w postac tzw. wsaźów atęŝea (a przyład: prędość pojazdu [m/godz.], cea jedostowa [zł/szt.], spoŝyce [g/osoba], tp.) H l m - wartość -tego waratu badaej cechy l - wartość -tego waratu lcza badaej cechy m - wartość -tego waratu maowa badaej cechy PRZYKŁAD 3 Kerowca przejechał trasę ze zmeą prędoścą. Odce A o długośc 30 m przejechał z prędoścą 50 m/godz. Odce B o długośc 8 m przejechał z prędoścą 90 m/godz. Z jaą średą prędoścą pooał trasę erowca? Badaą cechą X jest prędość wyraŝoa w [m/godz.]. trasa [m] prędość [m/godz.] l l czas [godz.] l m l / 30 50 0,6 8 90 0,9 Razem,5 H ( 30 8) /( 30/ 50 8/ 90) ( 0,6 0,9) /,5 / 74
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [9] PRZYKŁAD 4 Producet przetworów owocowych sprzedawał słoje z przetworam a targowsu. W godzach 6-0 sprzedawał słoje po 7 zł/słój utargował 840 zł. W godzach 0- sprzedawał słoje po 6 zł/słój utargował 360 zł. W godzach -6 sprzedawał słoje po 5 zł/słój utargował 00 zł. Jaa była średa cea słoja sprzedaego w tym du? Badaą cechą X jest cea słoja wyraŝoa w [zł/słój]. H utarg [zł] cea [zł/słój] lość [słój] l m l / 840 7 0 360 6 60 3 00 5 0 Razem 300 00 ( 840 360 00) /( 840/ 7 360/ 6 00/5) ( 0 60 0) 300/ 00 300/ 6,5
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [0] ŚREDNIA geometrycza Średą geometryczą oreśla sę wzorem: G L Średa ta zajduje szczególe zastosowaa w aalze dyam zjaws (poczeaj a stosowy wyład).
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [] MODALNA (Domata) Modala (Mo) zwaa teŝ domatą (D) jest to wartość cechy, tóra występuje ajczęścej w badaej zborowośc. ZALECENIA przy wyzaczau modalej. Modalą wyzaczamy sesowe terpretujemy tylo wtedy, gdy dae są pogrupowae w szereg rozdzelczy (putowy lub przedzałowy).. Lczebość populacj powa być dostatecze duŝa. 3. Dagram lub hstogram lczebośc (częstośc) ma wyraźe zazaczoe jedo masmum (rozład jedomodaly). 4. Dla daych pogrupowaych w szereg rozdzelczy przedzałowy modala e występuje w srajych przedzałach (perwszym lub ostatm) - przypade srajej asymetr. Ne da sę w tam przypadu aaltycze wyzaczyć modalej. 5. Dla daych pogrupowaych w szereg rozdzelczy przedzałowy przedzał modalej oraz dwa sąsede przedzały (poprzedzający astępujący po przedzale modalej) powy meć taą samą rozpętość.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [] Modala dla szeregów rozdzelczych putowych PRZYKŁAD 5 Badao czas obrób detalu [muta] przez pracowów frmy ZAUR. Otrzymae dae pogrupowao w szereg rozdzelczy putowy. umer lasy czas obrób [muta] lczba pracowów wsaź strutury (częstość) w 0 0 0,05 30 0,5 3 80 0,40 4 3 50 0,5 5 4 0 0,0 6 5 0 0,05 razem 00,00 Łatwo zauwaŝyć, Ŝe ajwęsza lczba pracowów (a zarazem ajwęsza częstość) zajduje sę w lase 3 (m3). Zatem modala wyos: M o m 3 WNIOSEK: ajczęścej występujący czas obrób detalu wśród pracowów frmy ZAUR to mut. W domu: polcz samodzele śred czas obrób porówaj z modalą.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [3] Modala dla szeregów rozdzelczych przedzałowych Modalą wylczamy tutaj wg astępującego wzoru: M o 0m h m m m m m m m m - umer lasy (przedzału) z modalą 0m - doly raec przedzału modalej h m - rozpętość przedzału modalej (h m m - 0m ) m - lczebość przedzału modalej m- ( m ) - lczebość dla przedzałów sąsadujących z przedzałem modalej PRZYKŁAD 6 M o Wyorzystamy badae czasu dojazdu w frme ZAUR (wyład ). umer lasy czas dojazdu w ZAUR lczba pracowów 0 5 5 0 5 5 0 3 5 35 30 4 35 45 50 5 45 55 80 6 55 65 0 razem 00 45 0 80 45 0 30 80 50 50 80 0 00 45 3 48 WNIOSEK: ajczęścej występującym czasem dojazdu wśród pracowów frmy ZAUR jest 48 mut.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [4] Z wyorzystaem częstośc(wsaź strutury) wzór a modalą jest astępujący: M h m m o 0m m wm wm wm wm w m - częstość (wsaź strutury) przedzału modalej w m- (w m ) - częstość dla przedzałów sąsadujących z przedzałem modalej M o umer lasy czas dojazdu w ZAUR w w wsaź strutury 0 w 5 5 0,05 5 5 0,0 3 5 35 0,5 4 35 45 0,5 5 45 55 0,40 6 55 65 0,05 razem,00 0,4 0,5 45 0 0,4 0,5 0,4 0,05 45 0 0,5 0,5 45 3 Modala moŝemy wyzaczyć grafcze ta ja to poazao a rysuu. 48
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [5] KWARTYLE Kwartyle to tae wartośc cechy X, tóre dzelą zborowość a cztery rówe częśc pod względem lczebośc (lub częstośc). Częśc te pozostają w oreśoych proporcjach do sebe. Aby dooywać taego podzału zborowość mus być uporządowaa według rosących wartośc cechy X. KaŜdy wartyl dzel zborowość a dwe częśc, tóre pozostają do sebe w astępujących proporcjach. I ta: wartyl (Q I ) - 5% z lewej 75% populacj z prawej stroy wartyla, wartyl (Q II ) - 50% z lewej 50% populacj z prawej stroy wartyla, wartyl 3 (Q III ) - 75% z lewej 5% populacj z prawej stroy wartyla. Medaa Medaa (M e ) - wartość środowa, aczej: wartyl (Q II ). Jest to taa wartość cechy X, tóra dzel zborowość a dwe rówe częśc, tj. połowa zborowośc charateryzuje sę wartoścą cechy X mejszą lub rówą medae, a druga połowa węszą lub rówą. Medaa dla szeregu szczegółowego Szereg mus być posortoway rosąco!!! Wartość meday wyzacza sę aczej gdy lczebość populacj () jest eparzysta, a aczej gdy jest parzysta. Dla eparzystego: Dla parzystego: M e M e
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [6] PRZYKŁAD 7 Zmerzoo czas wyoaa detal [muta/ szt.] przez wybraego pracowa frmy ALFA otrzymao astępujący szereg szczegółowy: 0, 0, 0,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5 Lczebość populacj jest eparzysta: 7 M e 7 8 9 3 WNIOSEK: Dla połowy detal czas wyoaa jedego detalu przez pracowa frmy ALFA był e dłuŝszy Ŝ ( ) 3 mut, a drugej połowy detal był e rótszy ( ) Ŝ 3 mut. PRZYKŁAD 8 Zmerzoo czas wyoaa detal [muta/ szt.] przez wybraego pracowa frmy BETA otrzymao astępujący szereg szczegółowy: 0, 0,,,,,,,, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6 Lczebość populacj jest parzysta: 8 M e ( ) ( 3), 5 8 8 9 0 WNIOSEK: Dla połowy detal czas wyoaa jedego detalu przez pracowa frmy BETA był e dłuŝszy Ŝ ( ),5 muty, a dla drugej połowy detal był e rótszy ( ) Ŝ,5 muty.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [7] Medaa dla szeregu rozdzelczego putowego. Ustalamy a począte tzw. umer meday (N Me ). Jest to połowa lczebośc populacj: N Me (albo ułame ½ dla częstośc).. Kumulujemy lczebośc (albo częstośc). 3. Zajdujemy lasę, w tórej po raz perwszy przeroczoy został umer meday. Klasa ta ma umer m. M. 4. Wartość cechy X w lase m jest medaą, t.j. e m PRZYKŁAD 9 Dae z przyładu 5 o czase obrób detalu [muta] przez pracowów frmy ZAUR. umer czas lasy obrób [muta] lczba pracowów sumulowaa lczebość sumulowaa częstość s w s 0 0 0 0,05 30 40 0,0 3 80 0 0,60 4 3 50 70 0,85 5 4 0 90 0,95 6 5 0 00,00 razem 00 Lczebość populacj: 00 Numer meday: Me 00 00 cz N (dla lczebośc) albo N Me (dla częstośc) Numer lasy z medaą: m3 Medaa: M e m 3 WNIOSEK: Połowa pracowów frmy ZAUR obraba detal e dłuŝej Ŝ ( ) mut, a druga połowa e rócej ( ) Ŝ mut.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [8] Medaa dla szeregu rozdzelczego przedzałowego Wzór a medaę (przy wyorzystau lczebośc): PRZYKŁAD 0 M e 0m h m N Me m m Dae z przyładu 6 (badae czasu dojazdu w frme ZAUR). umer lasy czas dojazdu sumul. lczebość w ZAUR lczba pracowów 0 s 5 5 0 0 5 5 0 30 3 5 35 30 60 4 35 45 50 0 5 45 55 80 90 6 55 65 0 00 razem 00 s Lczebość populacj: 00 Numer meday: N Me 00 00 Numer lasy z medaą: m4 M e 00 60 35 0 50 40 35 0 50 35 8 43 WNIOSEK: Połowa pracowów frmy ZAUR dojeŝdŝa do pracy w czase e dłuŝszym ( ) Ŝ 43 muty, a druga połowa w czase e rótszym ( ) Ŝ 43 muty.
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [9] Wzór a medaę (przy wyorzystau częstośc): cz N Me wm M e 0m hm wm PRZYKŁAD 0 (c.d.) umer lasy czas dojazdu w ZAUR wsaź strutury (częstość) s sumul. częstość 0 w w s 5 5 0,05 0,05 5 5 0,0 0,5 3 5 35 0,5 0,30 4 35 45 0,5 0,55 5 45 55 0,40 0,95 6 55 65 0,05,00 razem,00 cz Numer meday: N Me Numer lasy z medaą: m4 M e 0,50 0,30 35 0 0,5 0,0 35 0 0,5 35 8 43
D. Mszczyńsa, M.Mszczyńs, Materały do wyładu ze Statysty, 009/0 [0] Pozostałe wartyle Wszyste wartyle wyzaczamy podobe ja wartyl (czyl medaę) pamętając w jach proporcjach dzelą oe zborowość. Dla szeregów rozdzelczych pomocą moŝe być tabela, w tórej zestawoo umery wartyl. wartyl wartyl (Q I ) wartyl (Q II ) medaa wartyl 3 (Q III ) umer wartyla cz dla lczebośc ( N Q ) dla częstośc ( N Q ) cz NQ I N Q 0, 5 4 I 4 N Q II cz N Q 0, 50 4 II 3 cz 3 NQ III N Q 0, 75 4 III 4 Kwartyle moŝemy wyzaczyć grafcze ta ja to poazao a rysuu.