5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu

5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie różniczkowe postaci F (x, y, y ) = 0. y = f(x, y), ( ) gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D R 2, nazywamy równaniem różniczkowym rzędu pierwszego w postaci normalnej. Definicja 5.2. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania ( ) nazywamy każdą funkcję ϕ : I R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką, że x I ϕ (x) = f(x, ϕ(x)). Wykres funkcji ϕ nazywamy krzywą całkową równania ( ). Rozwiązaniem ogólnym równania ( ) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( ). Definicja 5.3. Niech (x 0, y 0 ) D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania ( ), które spełnia tzw. warunek początkowy ϕ(x 0 ) = y 0. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania ( ): Twierdzenie 5.4 (Peano). Niech D R 2 będzie obszarem oraz f : D R. Jeśli funkcja f jest ciągła, to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) D istnieje rozwiązanie ϕ równania ( ) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0 (tzn. przez każdy punkt obszaru D przechodzi przynajmniej jedna krzywa całkowa równania ( )). Twierdzenie 5.5 (Cauchy ego-piccard). Niech D R 2 będzie obszarem oraz f : D R. Jeśli funkcje f i f y są ciągłe na D, to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) D istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania ( ) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0. 24

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 25 Uwaga 5.6. Jednoznaczność istnienia rozwiązania zagadnienia Cauchy ego rozumiemy następująco: jeśli funkcje ϕ : I R oraz ψ : J R (gdzie I, J są przedziałami otwartymi takimi, że x 0 I J) są rozwiązaniami równania ( ) spełniającymi warunek ϕ(x 0 ) = ψ(x 0 ) = y 0, to ϕ(x) = ψ(x). x I J Interpretacja gemetryczna równania ( ): 5.2. Równanie o zmiennych rozdzielonych i równanie jednorodne względem x i y. Definicja 5.7. Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie postaci gdzie h : (a, b) R oraz g : (c, d) R. y = h(x)g(y), (ZR) Lemat 5.8. Jeśli y 0 (c, d) oraz g(y 0 ) = 0, to funkcja stała ϕ : (a, b) R określona wzorem ϕ(x) = y 0 dla x (a, b), jest rozwiązaniem równania (ZR). Jeśli h(x) 0 dla pewnego x (a, b), to zachodzi również stwierdzenie odwrotne. Twierdzenie 5.9. Jeżeli h : (a, b) R, g : (c, d) R są funkcjami ciągłymi oraz g(y) 0 dla każdego y (c, d), to dla dowolnego punktu (x 0, y 0 ) (a, b) (c, d) istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (ZR) spełniające warunek ϕ(x 0 ) = y 0. Rozwiązanie to określone jest wzorem ϕ(x) = G 1 (H(x) H(x 0 ) + G(y 0 )) dla x I (a, b), gdzie H i G są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi odpowiednio funkcji h i 1 g. Definicja 5.10. Równaniem jednorodnym względem x i y nazywamy równanie postaci gdzie f : (c, d) R. y = f( y x ), Uwaga 5.11. Równanie jednorodne (J) poprzez zamianę zmiennych y = xt, sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych t = f(t) t. x (J)

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 26 5.3. Równanie liniowe i równanie Bernouliego. Definicja 5.12. Niech p, q : (a, b) R. Równanie postaci y + p(x)y = q(x) (L) nazywamy równaniem równaniem liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q(x) = 0 dla x (a, b), to równanie (L) przyjmuje postać y + p(x)y = 0. (LJ) Równanie (LJ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. Równanie liniowe, które nie jest równaniem jednorodnym nazywamy równaniem liniowym niejednorodnym. Twierdzenie 5.13. Jeśli p, q : (a, b) R są funkcjami ciągłymi oraz (x 0, y 0 ) (a, b) R, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ równania (L) określone na przedziale (a, b) i spełniające warunek początkowy ϕ(x 0 ) = y 0. Lemat 5.14. Rozwiązanie ogólne równania (LJ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = Ce P (x), C R, gdzie P jest dowolnie ustaloną funkcją pierwotną funkcji p. Twierdzenie 5.15. Niech p, q : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi oraz niech ϕ s będzie rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem równania liniowego (L) istnieje rozwiązanie ϕ 0 równania jednorodnego (LJ) takie, że ϕ = ϕ 0 + ϕ s. Metody wyznaczania rozwiązania szczególnego równania liniowego (L): metoda uzmienniania stałej (w oparciu o twierdzenie 5.16), metoda przewidywania (w oparciu o twierdzenia 5.17 i 5.18). Twierdzenie 5.16. Niech p, q : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi. Jeśli P i C są dowolnie ustalonymi funkcjami pierwotnymi, odpowiednio funkcji p i qe P, to funkcja postaci P (x) ϕ s (x) = C(x)e jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L).

5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU 27 Twierdzenie 5.17. Jeśli W n, V m są wielomianami, odpowiednio stopnia n i m, zaś a, α, β R, to równanie liniowe ma rozwiązanie szczególne postaci y + ay = [W n (x) cos βx + V m (x) sin βx]e αx ϕ s (x) = x k [P l (x) cos βx + Q l (x) sin βx]e αx, gdzie P l, Q l są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz { 1, gdy α = a i β = 0, k = 0 w przeciwnym wypadku. jest rozwiązaniem szczegól- Twierdzenie 5.18. Niech q 1, q 2 : (a, b) R oraz a R. Jeśli ϕ 1 nym równania zaś ϕ 2 y + ay = q 1 (x), jest rozwiązaniem szczególnym równania y + ay = q 2 (x), to funkcja ϕ 1 + ϕ 2 jest rozwiązaniem szczególnym równania y + ay = q 1 (x) + q 2 (x). Definicja 5.19. Niech p, q : (a, b) R oraz α R \ {0, 1}. Równanie postaci nazywamy równaniem Bernouliego. Uwaga 5.20. y + p(x)y = q(x)y α 1. Gdy w równaniu (B) α {0, 1}, to otrzymujemy równanie liniowe. 2. Jeśli α > 0, to funkcja ϕ(x) = 0 dla x (a, b), (LS) jest rozwiązaniem szczególnym równania (B). 3. Równanie Bernouliego (B) sprowadzamy do równania liniowego stosując podstawienie y = t α 1. (B)

6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 28 6. Równania różniczkowe zwyczajne n-tego rzędu. 6.1. Wstęp Definicja 6.1. Niech n N, V R n+2 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci Równanie różniczkowe postaci F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0. y (n) = f(x, y, y, y,..., y (n 1) ), ( n ) gdzie f jest funkcją określoną na pewnym obszarze D R n+1, nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu w postaci normalnej. Definicja 6.2. Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną lub krótko rozwiązaniem) równania ( n ) nazywamy każdą funkcję ϕ : I R określoną na pewnym przedziale otwartym I taką, że x I ϕ (n) (x) = f(x, ϕ(x), ϕ (x), ϕ (x),..., ϕ (n 1) (x)). Rozwiązaniem ogólnym równania ( n ) nazywamy rodzinę wszystkich rozwiązań równania ( n ). Definicja 6.3. Niech (x 0, y 0, y 1,..., y n 1 ) D. Zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem początkowym) nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania ( n ), które spełnia tzw. warunki początkowe: ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1. Definicja 6.4. Zagadnieniem brzegowym nazywamy zadanie polegające na znalezieniu rozwiązania ϕ równania y = f(x, y, y ), ( 2 ) które spełnia tzw. warunki brzegowe: ϕ(x 1 ) = y 1, ϕ(x 2 ) = y 2, x 1 x 2.

6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 29 6.2. Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego. Pewne typy równań rzędu drugiego można sprowadzić do równań rzędu pierwszego stosując odpowiednie podstawienia: r. r. rzędu 2 podstawienie r. r. rzędu 1 F (x, y, y ) = 0 y = u(x) F (x, u, u ) = 0 F (y, y, y ) = 0 y = u(y) F (y, u, u du dy ) = 0 6.3. Równanie liniowe n-tego rzędu. Definicja 6.5. Niech p n 1, p n 2,..., p 1, p 0, q : (a, b) R. Równanie postaci y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + p n 2 (x)y (n 2) +... + p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (L n ) nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu. Jeśli q(x) = 0 dla x (a, b), to równanie (L n ) przyjmuje postać y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + p n 2 (x)y (n 2) +... + p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (LJ n ) Równanie (LJ n ) nazywamy równaniem liniowym jednorodnym n-tego rzędu. Twierdzenie 6.6. Jeśli p n 1, p n 2,..., p 1, p 0, q : (a, b) R są funkcjami ciągłymi oraz (x 0, y 0, y 1,..., y n 1 ) (a, b) R n, to istnieje dokładnie jedno rozwiązanie ϕ (określone na (a, b)) równania liniowego (L n ) takie, że ϕ(x 0 ) = y 0, ϕ (x 0 ) = y 1,..., ϕ (n 1) (x 0 ) = y n 1. Dalej zakładamy, że funkcje p n 1, p n 2,..., p 1, p 0 oraz q są ciągłe na (a, b). Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJ n ) : Niech V 0 oznacza rodzinę wszystkich funkcji określonych na przedziale (a, b) i będących rozwiązaniami równania (LJ n ). Wówczas 1. V 0 C (n) (a, b), 2. kϕ V 0, ϕ V 0 k R 3. ϕ + ψ V 0, ϕ, ψ V 0 co oznacza, że V 0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni C (n) (a, b). Twierdzenie 6.7. dim V 0 = n.

6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 30 Definicja 6.8. Każdą bazę przestrzeni V 0 nazywamy fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJ n ). Uwaga 6.9. Na mocy powyższego twierdzenia, fundamentalnym układem rozwiązań równania (LJ n ) jest każdy układ funkcji ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n V 0, który jest liniowo niezależny (lnz) a więc taki, że [(α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 + + α n ϕ n = 0) α 1 = α 2 =... = α n = 0]. α 1,α 2,...,α n R Definicja 6.10. Niech ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n C (n) (a, b) oraz x (a, b). Wyznacznik ϕ 1 (x) ϕ 2 (x)... ϕ n (x) W (ϕ1,ϕ 2,...,ϕ n)(x) def ϕ = 1(x) ϕ 2(x)... ϕ n(x)............ ϕ (n 1) 1 (x) ϕ (n 1) 2 (x)... ϕ (n 1) (x) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem) układu funkcji (ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ) w punkcie x. Twierdzenie 6.11. Niech ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n V 0. Układ (ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n ) jest lnz istnieje x 0 (a, b) taki, że W (ϕ1,ϕ 2,...,ϕ n)(x 0 ) 0. Twierdzenie 6.12. Jeśli funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiazań równania (LJ n ), to rozwiązanie ogólne równania (LJ n ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = C 1 ϕ 1 (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x), C 1, C 2,..., C n R. Twierdzenie 6.13. Jeśli ϕ 1 : I R jest rozwiązaniem równania (LJ 2 ) takim, że ϕ 1 (x) 0 dla x I, zaś P 1 jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p 1, to funkcja określona wzorem ϕ 2 (x) = ϕ 1 (x) e P 1 (x) ϕ 2 1(x) dx jest również rozwiązaniem równania (LJ 2 ). Ponadto funkcje ϕ 1, ϕ 2 są lnz. n Rozwiązanie ogólne równania liniowego (L n ): Twierdzenie 6.14. Niech ϕ s będzie rozwiązaniem szczególnym równania (L n ). Wówczas ϕ jest rozwiązaniem równania liniowego (L n ) istnieje rozwiązanie ϕ 0 równania (LJ n ) takie, że ϕ = ϕ 0 + ϕ s. Wniosek 6.15. Jeśli funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania (LJ n ) oraz ϕ s jest rozwiązaniem szczególnym równania (L n ), to rozwiązanie ogólne równania (L n ) tworzą funkcje postaci ϕ(x) = C 1 ϕ 1 (x) + C 2 ϕ 2 (x) + + C n ϕ n (x) + ϕ s (x), C 1, C 2,..., C n R.

6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 31 Rozwiązanie szczególne równania liniowego (L n ): Twierdzenie 6.16. Załóżmy, że funkcje ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ n stanowią fundamentalny układ rozwiązań równania (LJ n ). Wówczas funkcja postaci ϕ s (x) = C 1 (x)ϕ 1 (x) + C 2 (x)ϕ 2 (x) + + C n (x)ϕ n (x) jest rozwiązaniem szczególnym równania liniowego (L n ), gdy funkcje C 1, C 2,..., C n : (a, b) R są rozwiązaniami układu równań C 1ϕ 1 +C 2ϕ 2 + + C nϕ n = 0, C 1ϕ 1 +C 2ϕ 2 + + C nϕ n = 0,... C 1ϕ (n 2) 1 +C 2ϕ (n 2) 2 + + C nϕ (n 2) n = 0, C 1ϕ (n 1) 1 +C 2ϕ (n 1) 2 + + C nϕ (n 1) n = q. 6.4. Równanie liniowe n-tego rzędu o stałych współczynnikach. Definicja 6.17. Równanie postaci y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q(x), (LS n ) gdzie a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 R, q : (a, b) R, nazywamy równaniem równaniem liniowym n-tego rzędu o stałych współczynnikach. Rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego (LJS n ): Definicja 6.18. Równanie r n + a n 1 r n 1 + a n 2 r n 2 + + a 1 r + a 0 = 0 nazywamy równaniem charakterystycznym równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = 0. (LJS n ) Fundamentalny układ rozwiązań równania (LJS n ) można wyznaczyć przy pomocy pierwiastków równania charakterystycznego, korzystając z następującego faktu: Twierdzenie 6.19. Niech r będzie rozwiązaniem równania charakterystycznego równania (LJS n ). Wówczas 1. jeśli r jest pierwiastkiem rzeczywistym o krotności k, to każda z funkcji jest rozwiązaniem równania (LJS n ); e rx, xe rx, x 2 e rx, x k 1 e rx

6. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE n-tego RZĘDU. 32 2. jeśli r = α + iβ jest pierwiastkiem zespolonym o krotności k, to każda z funkcji e αx cos βx, xe αx cos βx, x 2 e αx cos βx, x k 1 e αx cos βx, e αx sin βx, xe αx sin βx, x 2 e αx sin βx, x k 1 e αx sin βx, jest rozwiązaniem równania (LJS n ). Ponadto funkcje wybrane w ten sposób dla wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego równania (LJS n ) stanowią układ lnz. Rozwiązanie szczególne równania liniowego (LS n ): Twierdzenie 6.20. Jeśli W n, V m są wielomianami stopnia, odpowiednio n i m, oraz a n 1, a n 2,..., a 1, a 0, α, β R, to równanie liniowe y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = [W n (x) cos βx + V m (x) sin βx]e αx ma rozwiązanie szczególne postaci ϕ s (x) = x k [P l (x) cos βx + Q l (x) sin βx]e αx, gdzie P l, Q l są wielomianami stopnia l = max{n, m} oraz k = { kr, gdy r = α + βi jest pierwiastkiem równania charakterystycznego o krotności k r, 0 w przeciwnym wypadku. Uwaga 6.21. Stałą α + βi nazywamy stałą kontrolną równania rozważanego w tw. 6.20. Twierdzenie 6.22. Niech q 1, q 2 : (a, b) R będą funkcjami ciągłymi oraz a n 1, a n 2,..., a 1, a 0 R. Jeśli ϕ s1 jest rozwiązaniem równania zaś ϕ s2 y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 1 (x), jest rozwiązaniem równania to funkcja ϕ s1 + ϕ s2 y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 2 (x), jest rozwiązaniem szczególnym równania y (n) + a n 1 y (n 1) + a n 2 y (n 2) + + a 1 y + a 0 y = q 1 (x) + q 2 (x).