Pierwszym przypadkiem zastosowania teorii gier dwuosobowych do ilościowego rozwiązania problemu antropologicznego był artykuł Davenporta (1960) o rybołówstwie na Jamajce. Davenport prowadził badania w położonej na południowym wybrzeżu Jamajki wiosce, której dwustu mieszkańców eksploatowało łowiska rozciągające się na odległość około 35 km od brzegów wyspy.
Dwadzieścia sześć załóg w żaglowych kanoe łowiło ryby za pomocą specjalnych koszy, ustawianych i wybieranych, jeśli morze i pogoda pozwalały, trzykrotnie w ciągu tygodnia [ ] Łowiska dzieliły się na leżące wewnątrz i na zewnątrz laguny. Łowiska wewnętrzne leżały w odległości 8-24 km od brzegu; wszystkie zewnętrzne znajdowały się dalej. Ze względu na ukształtowanie dna morza oraz przebieg linii brzegowej, w wodach zewnętrznych łowisk regularnie wzbudzały się bardzo silne prądy, tak w kierunku zachodnim, jak i wschodnim. Pojawianie się prądów [ ] nie było w żaden widoczny sposób powiązane z pogodą lub stanem morza w okolicy. Na łowiskach wewnętrznych prądy te były w zasadzie nieodczuwalne. [Davenport, 1960]
Zewnętrzna: ustawić wszystkie kosze na łowiskach zewnętrznych Pośrednia: ustawić część koszy na łowiskach wewnętrznych, a pozostałe na zewnętrznych Wewnętrzna: ustawić wszystkie kosze na łowiskach wewnętrznych
dopłynięcie do łowisk zewnętrznych było czasochłonne, więc załogi stosujące strategię zewnętrzną i pośrednią ustawiały mniejszą liczbę koszy; aktywność prądów przynosiła rybakom działającym na łowiskach zewnętrznych wiele szkód (np. złowione ryby mogły zginąć z powodu zmian temperatury); połowy na łowiskach zewnętrznych dawały lepsze ryby ze względu na ich wielkość, jak i różnorodność gatunków; do wypływania na łowiska zewnętrzne potrzebne są lepsze łodzie;
Davenport zebrał dane pozwalające wyznaczyć wartości wypłat związanych z poszczególnymi strategiami w sytuacji, gdy prądy są aktywne, jak i nieaktywne. Wypłaty odpowiadają średniemu dochodowi w funtach szterlingach, uzyskiwanemu przez dowódcę łodzi w ciągu miesiąca. Davenport dokonywał powyższych oszacowań, kiedy jeszcze nie wiedział nic o teorii gier.
Znając teorię gier, możemy opisać tę sytuację jako grę 3 x 2, znaleźć optymalną strategię rybaków i porównać ją z rzeczywistym postępowaniem mieszkańców wioski. Gra nie ma punktu siodłowego ani strategii zdominowanych. Jej graficzne rozwiązanie przedstawione jest poniżej:
Najniższy punkt górnej łamanej leży na przecięciu strategii wewnętrznej i pośredniej. Rozwiązując właściwą grę 2 x 2, znajdujemy optymalną strategię rybaków: w 67% przypadków powinni stosować strategię wewnętrzną, a w 33% pośrednią. Optymalną strategią dla prądów jest być aktywnym przez 31% czasu i być nieaktywnym przez 69% czasu. Wartość gry wynosi 13,3.
Zgodność wyniku otrzymanego z teorii gier z rzeczywistym zachowaniem rybaków jest uderzająca: 1. Dowódcy łodzi nigdy nie decydują się na stawianie koszy wyłącznie na łowiskach zewnętrznych- strategia zewnętrzna jest uważana za zbyt ryzykowną. 2. W okresie, w którym Davenport prowadził swoje obserwacje, 69% rybaków stosowało strategię wewnętrzną, a 31% pośrednią. 3. Nawet prądy wydawały się stosować swoją strategię optymalną. W okresie dwóch lat obserwacji były aktywne przez 25% czasu. Społeczność wioski skutecznie zaadaptowała się do lokalnych warunków naturalnych i ekonomicznych.
Przeciwnikiem rybaków w grze jest prąd morski. Nie jest on zbyt zdolny do racjonalnego podejmowania decyzji, a jego zachowanie pozostaje całkowicie niezależne od postępowania rybaków. W szczególności, jeżeli rybacy nie będą stosowali swojej strategii optymalnej, przyroda nie zmieni swojej strategii, aby to przeciwko nim wykorzystać. W tej sytuacji rybacy powinni posługiwać się kryterium wartości oczekiwanej. Znając strategię prądu: aktywność przez 25% czasu, nieaktywność przez 75% czasu, powinni wybrać strategię charakteryzującą się największą wartością oczekiwaną wypłaty. Wartości te są następujące: strategia wewnętrzna : 0,25 x 17,3 + 0,75 x 11,5 = 12,95 strategia zewnętrzna : 0,25 x (-4,4) + 0,75 x 20,6 = 14,35 strategia pośrednia : 0,25 x 5,2 + 0,75 x 17,0 = 14,05
Wynika stąd, że wszyscy rybacy powinni łowić wyłącznie na łowiskach zewnętrznych, jednak strategia ta jest zbyt ryzykowna. Zachowania prądów morskich nie da się przewidzieć. Załóżmy, że w którymś roku prąd był aktywny przez 35% czasu. W tej sytuacji wartości oczekiwane wynoszą: strategia wewnętrzna : 0,35 x 17,3 + 0,65 x 11,5 = 13,53 strategia zewnętrzna : 0,35 x (-4,4) + 0,65 x 20,6 = 11,85 strategia pośrednia : 0,35 x 5,2 + 0,65 x 17,0 = 12,87
Załóżmy, że aby mieć pewność przetrwania, rybacy muszą uzyskiwać w okresie całego roku pewien minimalny dochód, powiedzmy 13 funtów od łodzi miesięcznie. Stosowanie strategii zewnętrznej mogłoby doprowadzić do poważnych trudności w przypadku większej niż przeciętna aktywności prądów. Zaletą stosowania strategii minimaksowej jest to, że gwarantuje ona przeciętną wypłatę co najmniej 13,3 funta na łódź miesięcznie niezależnie od zachowania prądów morskich.
Przy stosowaniu kryterium wartości oczekiwanej, jeżeli prądy są aktywne przez 25% czasu, to najlepszą strategią jest strategia zewnętrzna, natomiast, gdy prądy są aktywne przez 35% czasu, najlepsza jest strategia wewnętrzna. Przy jakiej aktywności prądów optymalną strategią jest strategia pośrednia?
Jakie konsekwencje dla rozwiązania gry miałaby zmiana wysokości wypłaty dla strategii pośredniej przy nieaktywnych prądach z 17,0 na 15,0? Jak zmieniłaby się wartość gry?
Gry o sumie zerowej opisują sytuacje konfliktu, a ich rozwiązania mają wskazywać racjonalne strategie postępowania jego uczestników, dlatego też jednym z pierwszych obszarów, w których stosowano teorię gier, była taktyka konfliktów zbrojnych. Zajmiemy się dwoma przykładami ulokowanymi w bliższym współczesności środowisku. Obie sytuacje będą opisane w sposób uproszczony, ale powinny dać wystarczające pojęcie o możliwościach zastosowania teorii gier do rozwiązywania problemów taktyki wojskowej.
Pierwszy przykład opisuje sytuację, która mogłaby mieć miejsce w wojnie partyzanckiej. Uczestnikami gry są: oddział liczący m partyzantów i jednostka n policjantów, chroniąca dwa magazyny broni. Partyzanci mogą zaatakować jeden lub oba magazyny. Magazyn zostanie zdobyty, jeżeli liczba atakujących partyzantów będzie większa od liczby broniących go policjantów. Grę wygrywają partyzanci, jeżeli zdobędą co najmniej jeden magazyn (uzyskując w ten sposób broń niezbędną im do prowadzenia dalszej walki); policja wygrywa tylko wtedy, gdy obroni oba magazyny.
jeżeli m > n, to zawsze mogą wygrać partyzanci atakując wszystkimi siłami dowolny magazyn; jeżeli n 2m, to policja może być pewna swojego zwycięstwa, ponieważ do ochrony każdego z magazynów można oddelegować co najmniej m policjantów; Interesujące jest to, co się dzieje, gdy m n < 2m. Aby przybliżyć sobie taką sytuację, załóżmy, że: m=2, n=3. Partyzanci muszą zdecydować, jakie siły skierować do ataku na poszczególne magazyny broni: można je podzielić albo 2-0, albo 1-1. Jeśli zdecydują się na podział 2-0, muszą jeszcze wybrać, który magazyn atakować (wybór losowy, np. rzut monetą). Policja musi zdecydować, czy dzielić siły 3-0, czy 2-1, po czym (np. rzutem monety) zadecydować, do którego magazynu wysłać większe siły.
Wypłata dla partyzantów: 1, gdy wygrają, 0, gdy przegrają. Wypłata ½ to wartość oczekiwana. Jeżeli partyzanci rozdzielą swoje siły w układzie 2-0, w połowie przypadków zaatakują magazyn chroniony przez liczniejsze od nich siły i przegrają, a w drugiej połowie przypadków zaatakują arsenał chroniony przez mniejszą liczbę policjantów i zdobędą go. Gra ma punkt siodłowy, a jej wartość wynosi ½.
Przy innej liczbie partyzantów i policjantów strategiami optymalnymi mogą być strategie mieszane:
Gry mają następujące rozwiązania: W grze 2 wszystkie strategie są aktywne, a w grze 3 strony mają po dwie aktywne strategie. Jedna z nich to rzucić wszystkie siły w jedno miejsce: podział sił partyzantów: 7-0, a policji: 7-2, druga to równy podział sił: 4-3 dla partyzantów, 5-4 dla policji. Pierwsza z nich powinna być stosowana dwukrotnie częściej niż druga.
Wartości gry partyzanci konta policjanci dla małych wartości m i n: wszystkie gry o wartości ½ mają punkty siodłowe, w których i policjanci, i partyzanci stosują strategie- rzucić wszystkie siły w jedno miejsce; wszystkie gry znajdujące się na przekątnej tabeli mają wszystkie strategie aktywne; wszystkie gry o wartości ⅔ mają dwie aktywne strategie; w wielu przypadkach zwiększenie liczby policjantów nie zmniejsza prawdopodobieństwa wygranej partyzantów, np. wartość gry pozostaje ½ dla dowolnej liczby policjantów z zakresu 3/2 m n < 2m.
Jako drugi przykład gry taktycznej posłuży nam problem ataku rakietowego, odnoszący się do funkcjonowania programów obrony przeciwrakietowej. W grze biorą udział dwa państwa: Czerwoni i Niebiescy. Załóżmy, że Czerwoni chcą zniszczyć bazę wojskową Niebieskich i w tym celu odpalają po kolei cztery rakiety, z których dwie uzbrojone są w głowice bojowe, a pozostałe to atrapy. Niebiescy dysponują dwoma pociskami antyrakietowymi- każdy z nich może namierzyć dwie rakiety Czerwonych i zniszczyć tę z nich, która jest uzbrojona w prawdziwą głowicę bojową.
Czerwoni muszą podjąć decyzję, w jakiej kolejności odpalać pociski. Oznaczmy: A- atrapa, G- rakieta z głowicą bojową. Zatem zapis: AGGA oznacza: najpierw atrapa, potem rakieta z głowicą bojową, potem druga rakieta z głowicą bojową, na koniec druga atrapa. Niebiescy z kolei muszą zdecydować, w którym momencie odpalać antyrakiety. Zapis 13 oznacza, że antyrakiety zostały odpalone po zauważeniu pierwszej i trzeciej rakiety Czerwonych. Niebiescy wygrywają (wypłata +1), gdy uda im się zniszczyć wszystkie rakiety Czerwonych, natomiast przegrywają (wypłata 0), jeżeli chociaż jedna rakieta Czerwonych osiągnie cel.
Dla zilustrowania zasad gry rozpatrzmy co się stanie, gdy Czerwoni zastosują strategię AGGA przeciwko strategii 12 Niebieskich. Pierwsza antyrakieta namierza rakiety 1 i 2, po czym niszczy uzbrojoną rakietę 2. Druga antyrakieta namierza rakiety 2 i 3, ponieważ jednak rakieta 2 zostaje zniszczona przez poprzednią antyrakietę, to niszczy rakietę 3. W efekcie Niebiescy, niszcząc obie uzbrojone rakiety Czerwonych, wygrywają, uzyskując wypłatę 1.
Zauważamy, że strategia Niebieskich 14 jest zdominowana przez strategię 13, natomiast 24 i 34 zdominowane są przez 23. Niebiescy nie powinni czekać z odpaleniem antyrakiety na pojawienie się czwartego pocisku Czerwonych- nie mieliby pożytku z możliwości jednoczesnego zaatakowania przez jedną antyrakietę dwóch potencjalnych celów. Po wykreśleniu strategii 14, 24 i 34, zdominowane stają się trzy strategie Czerwonych: GAGA, AGGA i AGAG. Możemy zredukować grę do postaci: Rozwiązaniem tej gry jest para strategii mieszanych (1/3,1/3, 1/3) zarówno dla Czerwonych, jak i dla Niebieskich, przy wartości gry wynoszącej 1/3. Strategia Czerwonych: atrapy należy wystrzelić bezpośrednio po sobie, by stworzyć sytuację, w której będzie szansa, że Niebiescy zmarnują na nie chociaż jedną antyrakietę. Zauważmy przy tym, że Niebiescy mają tylko jedną szansę na trzy, by obronić swoją bazę przed zniszczeniem.
Sformułuj i rozwiąż grę odpowiadającą problemowi ataku rakietowego w sytuacji, gdy Czerwoni maja jedną głowicę bojową i trzy atrapy, a Niebiescy tylko jedną antyrakietę.
Sformułuj i rozwiąż grę partyzanci kontra policjanci dla sytuacji, gdy trzy magazyny broni i atakuje: a) 2 partyzantów i 4 policjantów b) 3 partyzantów i 4 policjantów
Załóżmy, że leżą przez tobą dwa czarne, nieprzezroczyste pudełka. W pudełku 1 znajduje się tysiąc dolarów, w drugim- albo milion dolarów, albo nie ma w nim nic. Możesz zrobić jedną z dwóch rzeczy: wziąć oba pudełka, wziąć tylko pudełko 2. Wczoraj Istota, co do której wierzysz, że ma umiejętność przewidywania twoich decyzji, dokonała przewidywania decyzji, które podejmiesz dzisiaj. Jeżeli Istota przewidziała, że weźmiesz oba pudełka, drugie jest puste. Jeżeli przewidziała, że weźmiesz tylko drugie pudełko, umieściła w nim milion dolarów. (Jeśli przewidzi, że decyzję podejmiesz przez losowanie, drugie pudełko będzie puste). Nie jest ważna natura Istoty, wystarczy że jej przewidywania sprawdzają się w 90%. Co należy zrobić? Wziąć oba pudełka, czy tylko to drugie?
Przedstawmy ten problem w postaci gry pomiędzy tobą, a Istotą: Istota wykonała już swój ruch- ty jednak nie wiesz jaki. Teraz twoja kolej- co zrobisz? Problem polega na tym, że można sformułować poważne argumenty za przyjęciem jednego z dwóch odmiennych sposobów dalszego postępowania.
Załóżmy, że wezmę oba pudełka. Wtedy Istota prawie na pewno przewidziała to i zostawiła pudełko 2 puste- prawie na pewno dostanę tysiąc dolarów. Z drugiej strony, jeśli wezmę tylko pudełko 2, Istota prawie na pewno wsadziła w nie milion dolarów. Wolę dostać milion dolarów niż tysiącpowinienem wziąć tylko pudełko 2. Argument I opiera się na kryterium wartości oczekiwanej. Jeżeli byłbyś przekonany, że przewidywania Istoty są w 90% prawidłowe, wartości oczekiwane wypłaty dla obu strategii wynoszą wtedy odpowiednio: wziąć oba pudełka: 0,9 x 1000 + 0,1 x 1 001 000 = 101 000 wziąć tylko pudełko 2: 0,1 x 0 + 0,9 x 1 000 000 = 900 000 Należy więc wziąć tylko pudełko 2. Generalnie należałoby tak postąpić wtedy, gdy prawdopodobieństwo, że Istota przewidzi twój ruch poprawnie, będzie wynosiło co najmniej 5,5005.
Istota dokonała swojego przewidywania wczoraj, teraz zaś w pudełku 2 albo jest milion dolarów, albo nie. Jeśli tak, to pieniądze nie znikną tylko dlatego, że wezmę oba pudełka, a uzyskam w ten sposób o tysiąc dolarów więcej. Nie jestem chciwy, ale tysiąc dolarów piechotą nie chodzi. Jeżeli natomiast pudełko 2 jest puste, to z pewnością lepiej wziąć oba pudełka i dostać chociaż tysiąc dolarów. W obu przypadkach lepiej jest wziąć oba pudełka. Argument II opiera się na kryterium dominacji. Strategia wziąć oba pudełka dominuje strategię wziąć tylko pudełko 2 - należy wybrać dominującą. W normalnych warunkach nigdy nie zachodzi konflikt tych dwóch podstawowych dla teorii gier kryteriów. Można oszacować prawdopodobieństwo p, że Istota przewidzi, iż weźmiesz oba pudelka i wyznaczyć wartości oczekiwane wypłaty: Wziąć oba pudełka: p x 1000p + (1-p) x 1 001 000 = 1 001 000 1 000 000 x p Wziąć tylko pudełko 2: p x 0 + (1-p) x 1 000 000 = 1 000 000 1 000 000 x p Wartość oczekiwana dla pierwszej strategii jest większa niż dla drugiej dla dowolnego p, nie zachodzi więc sprzeczność pomiędzy kryterium wartości oczekiwanej a kryterium dominacji.
Nie mamy jednak do czynienia z normalnymi warunkami. Konflikt obu kryteriów wynika z naszego przekonania, że istnieje związek pomiędzy naszym wyborem a przewidywaniem dokonanym przez Istotę. Skoro nasze przekonanie o szczególnej zdolności przewidywania Istoty prowadzi do paradoksu, warto się zastanowić nad potencjalnymi źródłami takiego przekonania. Jednym z nich mogłaby być wiara, drugimdoświadczenie. Wyobraź sobie, że przeprowadziłeś taki eksperyment dwustukrotnie, dopuszczając do jego udziału podobne do ciebie osoby, których uczciwości jesteś pewien. Otrzymałeś taki rezultat: Istota przewidywała prawidłowo w 90% przypadków. Zakładając się, że Istota przewidzi poprawnie wygrałbyś 9 na 10 razy. Teraz kolej na ciebie, nie różnisz się od pozostałych uczestników eksperymentu aż tak, byś nie miał sporych szans na wygraną, zakładając się, że i tym razem Istota przewidzi twoją decyzję. Nie ma sensu rezygnować z 90% szans na milion dolarów.
Przeciwko takiemu- bazującemu na doświadczeniu- rozumowaniu wzmacniającemu argument I, przeprowadzimy rozumowanie wzmacniające argument II. Wyobraźmy sobie, że: pudełko 1 jest przezroczyste- widzisz znajdujące się w nim tysiąc dolarów. pudełko 2 ma przezroczystą tylko tylną ściankę- sam nie widzisz jego zawartości, ale może znalazłbyś kogoś zaufanego, kto mógłby zobaczyć, co jest w środku i dał ci znać, co należy zrobić. Ale po co? Przecież i bez tego wiadomo co by ci doradził. Gdyby pudełko 2 było puste dawałby ci znak: weź oba. Gdyby w pudełku 2 był milion dolarów- też dostałbyś sygnał: weź oba. Czemu zatem miałbyś tego nie zrobić?
Istnieje związek pomiędzy kwestią wiary w wolną wolę a decyzjami podejmowanymi w kontekście rozważanego problemu. Im mocniej jesteśmy przekonani o wolności naszej woli, tym większy opór będzie w nas budziła idea, że Istota może przewidzieć naszą decyzję i w konsekwencji wzrasta nasza skłonność do wzięcia obu pudełek. Mocne przekonanie o istnieniu wolnej woli może prowadzić do uznania, że warunki problemu Newcomba są niemożliwe do spełnienia. Jeśli dokonywany przez człowieka wybór jest rzeczywiście wolny i wobec tego nieprzewidywalny, można by uznać, że Istota nie może istnieć, a zatem nie ma również problemu Newcomba. Bardziej skrajna możliwość: paradoks Newcomba dowodzi, że ludzka wola jest wolna lub przynajmniej, że ludzkie decyzje podjęte w sytuacji wolnego wyboru mogą zostać prawidłowo przewidziane jedynie przypadkiem. Zatem problem Newcomba jest nieakceptowalny z punktu widzenia logiki.
Levi (1975) proponuje rozpatrzenie zmodyfikowanego problemu Newcomba, w którym jeśli weźmiesz oba pudełka, a (na skutek pomyłki Istoty) w pudełku 2 jest milion dolarów, musisz zapłacić karę za pazerność : w wysokości 1500 dolarów. a) Sformułuj grę odpowiadającą tej sytuacji i wykaż, że nie stosuje się do niej kryterium dominacji b) Jakie argumenty za wzięciem obu pudełek można wskazać w tej grze?
Rozważ argument, według którego niemożliwe jest przekonanie się o możliwości dokonywania przez Istotę poprawnych przewidywań na drodze doświadczenia polegającego na obserwowaniu gry z udziałem graczy podobnych do ciebie. Argument ten opiera się na założeniu, że aby można ich było uznać za podobnych do ciebie, oni także powinni móc obserwować taką samą liczbę doświadczeń z osobami podobnymi do nich co prowadzi do konieczności przeprowadzania nieskończonej liczby prób. Czy taka argumentacja przekonuje cię o niemożliwości zrealizowania założeń problemu Newcomba? (co byłoby równoważne z jego rozwiązaniem)