STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa 04
Nierówności dla początkujących olimpijczyków Autorzy: Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk Skład systemem TEX/M E X): Tomasz Szymczyk Projekt okładki: Adam Klemens Publikacja przygotowana w ramach projektu Opracowanie i wdrożenie kompleksowego systemu pracy z uczniem zdolnym finansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ISBN 978-8-688-08- Nakład: 5 000 Komitet Główny Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Instytut Matematyczny PAN ul Śniadeckich 8 00-656 Warszawa wwwomgedupl EGZEMPLARZ BEZPŁATNY
Wstęp Dowodzenie nierówności nie jest rzeczą łatwą W niniejszej broszurze chcemy pokazać kilka najprostszych sposobów dowodzenia nierówności Kierujemy ją do tych uczniów, dla których przygoda z olimpiadą matematyczną dopiero się rozpoczyna Zadania przedstawione w niniejszym opracowaniu wykorzystywane były między innymi na zajęciach kół matematycznych dla gimnazjalistów oraz podczas seminariów olimpijskich z matematyki, kierowanych do nauczycieli Wybrane przez nas zadania pochodzą z różnych źródeł Na końcu załączamy spis literatury, z której czerpaliśmy zadania Niektóre z przedstawionych w tej broszurze zadań są oryginalne W literaturze matematycznej istnieją publikacje, w których można znaleźć wiele metod dowodzenia nierówności Sposoby tam przedstawione są na ogół bardziej zaawansowane, a naszym celem było pokazanie kilku najprostszych metod Wszystkim, którzy pragną pogłębić wiedzę na temat dowodzenia nierówności, szczególnie polecamy [] i []
Badanie znaku różnicy Aby wykazać, że prawdziwa jest nierówność LP, wystarczy udowodnić prawdziwość nierówności L P 0 Pamiętać należy, że suma i iloczyn liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną Przykład Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność Rozwiązanie Zauważmy, że a +b +c ab+bc+ca a +b +c ab+bc+ca) a ab+b +b bc+c +c ca+a ) [ a b) +b c) +c a) ] 0 Stąd, dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c, prawdziwa jest nierówność Przykład a +b +c ab+bc+ca Wykazać, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność a b + b c + c a a+b+c Rozwiązanie Zbadajmy znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności Mamy: a b + b c + c a a+b+c) a b a+b+ b c b+c+ c a c+a ab b b) + c c) + c a a) 0 Wynika stąd, że dana nierówność jest prawdziwa dla dowolnych dodatnich liczb a, b i c Zauważmy, że równość zachodzi tylko dla a b c 4
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 5 Ćwiczenia Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwe są nierówności: a) a +b +c ) a+b+c), b) a +b +c + 4 a+b+c Udowodnić, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są nierówności: a) a +b a b+ab, b) a 4 +b 4 a b+ab, c) a n+ +b n+ a n b+ab n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą Wykazać, że jeżeli a +b > 0, to a ab+b a +ab+b 4 Liczby a, b, c, d są takimi liczbami nieujemnymi, że a+c i b+d Wykazać, że a+b+cd 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c prawdziwa jest nierówność a +b +c a +b +c a+b+c Zależności między średnimi W dowodach wielu nierówności wykorzystywane są zależności zachodzące między średnimi Średnie te definiuje się następująco: średnią arytmetyczną liczb rzeczywistych a, a,, a n nazywamy liczbę A n a +a + +a n, n średnią geometryczną liczb nieujemnych a, a,, a n nazywamy liczbę G n n a a a n, średnią harmoniczną liczb dodatnich a, a,, a n nazywamy liczbę n H n + + +, a a a n średnią kwadratową liczb rzeczywistych a, a,, a n nazywamy liczbę a K n +a + +a n n
6 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk Dla dodatnich liczb rzeczywistych a, a,, a n zachodzą następujące zależności H n G n A n K n, czyli: n n + + + a a a n a +a + +a n a +a + +a n n n a a a n Na przykład dla n otrzymujemy a dla n mamy Przykład a + a + + a a a a a a +a a +a, a a a a +a +a a +a +a Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b, c prawdziwa jest nierówność a b+ b c+ c a a+b+c Rozwiązanie Korzystając z zależności między średnią geometryczną i artymetyczną dla trzech liczb nieujemnych, otrzymujemy a b a a b a+a+b Analogicznie uzyskujemy nierówności b c b+c a+b oraz c a c+a Dodając otrzymane trzy nierówności stronami, dostajemy a b+ b c+ c a a+b a to właśnie mieliśmy wykazać Przykład 4 + b+c + c+a a+b+c, Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b zachodzi nierówność a+ b a+b) Rozwiązanie Wykorzystamy nierówność pomiędzy średnią artymetyczną i średnią kwadratową dla liczb nieujemnych a i b Mamy stąd: a+ b a) + b) a+b i mnożąc obustronnie przez, dostajemy a+ b a+b)
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 7 Ćwiczenia 6 Wykazać, że jeżeli a, a,, a n są liczbami dodatnimi, których iloczyn jest równy, to prawdziwa jest nierówność +a )+a )+a n ) n 7 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b i c zachodzi nierówność a+ b+ c a+b+c) 8 Wykazać, że dla dowolnych liczb a, b należących do przedziału 0; prawdziwa jest nierówność ab a) b) 6 9 Wykazać, że jeżeli a, b, c, x są liczbami dodatnimi i a+b+c, to x+a)x+b)x+c) x+) 0 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c zachodzi nierówność a+b+c) a + b + ) 9 c Przyjmując, że zależności między średnimi są prawdziwe dla n, wykazać, że są prawdziwe dla n 4 Przekształcenia równoważne Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli jednocześnie obie są prawdziwe lub jednocześnie obie są fałszywe Jeżeli w nierówności L P obie strony są nieujemne, to nierówność ta jest równoważna nierówności L n P n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą Przekształceniem równoważnym jest też dodawanie do obu stron nierówności tego samego wyrażenia, mnożenie obu stron nierówności przez tę samą liczbę różną od zera, przy czym przy mnożeniu przez liczbę dodatnią zachowujemy odpowiedni znak nierówności, a przy mnożeniu przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności na przeciwny Należy pamiętać, że dodawanie nierówności, o jednakowym zwrocie, stronami jest dopuszczalne, ale nie jest to przekształcenie równoważne Jeżeli a b i c d, to na pewno a+c b+d, ale jeżeli a+c b+d, to nie musi być a b i c d Przykład 5 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b prawdziwa jest nierówność a+ b a+b) Rozwiązanie Obie strony tej nierówności są nieujemne, więc jest ona równoważna następującej nierówności a+ b ) a+b),
8 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk która z kolei jest równoważna nierówności ab a+b, czyli ) a b 0 Ostania nierówność jest prawdziwa i jest ona równoważna nierówności z zadania, więc kończy to dowód zobacz też rozwiązanie przykładu 4) Przykład 6 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c, d prawdziwa jest nierówność a+c)b+d) ab+ cd Rozwiązanie Obie strony danej nierówności są dodatnie, więc podnosząc do kwadratu obie jej strony, otrzymujemy nierówność równoważną Wystarczy zatem wykazać, że prawdziwa jest nierówność a+c)b+d) ab+ abcd+cd, albo równoważnie ad+bc abcd Ostatnia nierówność jest prawdziwa na podstawie zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich Kończy to dowód nierówności danej w zadaniu Ćwiczenia Wykazać, że dla dodatnich liczb a i b prawdziwa jest nierówność a + b 4 a+b Wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej a zachodzi nierówność a +a 4 4 Wykazać, że dla nieujemnych liczb całkowitych n zachodzi nierówność n+ n+ n+4 n+ 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c, d prawdziwa jest nierówność ac+bd a +b c +d 6 Udowodnić nierówności między średnimi dla n
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 9 Podstawienia Dowody wielu nierówności upraszczają się lub sprowadzają się do nierówności znanych, jeżeli zastosujemy różne podstawienia Nie ma jednej reguły na podstawienia Wiele różnych podstawień, wraz z komentarzem, prezentowanych jest w [] oraz [] Przykład 7 Wykazać, że dla nieujemnych liczb rzeczywistych x prawdziwa jest nierówność x++ x+ x+ Rozwiązanie Przyjmijmy x+ a i x+ b Wtedy nasza nierówność przyjmuje postać lub równoważnie a+ b a+b a+ b a+b) A ta nierówność jest prawdziwa i łatwa do udowodnienia patrz przykład 4) Przykład 8 Liczby a, b, c są długościami boków trójkąta Wykazać, że zachodzi nierówność a+b c+ b+c a+ c+a b a+b+c) Rozwiązanie Ponieważ liczby a, b, c są długościami boków trójkąta, więc wyrażenia podpierwiastkowe są dodatnie Przyjmijmy teraz: a + b c x, b + c a y, c + a b z Nasza nierówność jest więc równoważna nierówności x+ y + z x+y +z), która jest łatwa do udowodnienia patrz ćwiczenie 7) Ćwiczenia 7 Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi, to zachodzi nierówność a+b) +b+c) +c+a) 4 a+b+c) 8 Wykazać, że jeżeli liczby a, b, c są długościami boków trójkąta, to a+b c)b+c a)c+a b) abc 9 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b i c zachodzi nierówność a+ b+c+ + b+ c+a+ + c+ a+b+
0 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 0 Wykazać, że dla dowolnych liczb a, b i c zachodzi nierówność 5 a +b +c ) +4ab+bc+ca) a+b+c) Wykazać, że jeżeli a, b i c są długościami boków trójkąta, to a b+c)a+b c) a+b+c + a+b c) a+b+c) a b+c + + a+b+c)a b+c) a+b c a+b+c Zadania Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi i a+b+c, to a b c b+ + c+ + a+ ) a+ b+ c Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b zachodzą nierówności a 4 +b 4 a +b a +b a+b a+b 4 Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami nieujemnymi, to a +b +c +a+b+c) a+b) +b+c) +c+a) 5 Wykazać, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdzie są nierówności < < + x+ x+ x+ x x+ x+ x+ 6 Wykazać, że jeżeli a, b są takimi liczbami dodatnimi, że a+b ab, to a+b 4 7 Wykazać, że jeżeli a, b, c są liczbami rzeczywistymi, to a 4 +b 4 +c 4 +a+b+c) 4 a +b +c )a+b+c) 8 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c prawdziwa jest nierówność a +b +c +a+b+c) +4 6a+8b+0c 9 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzi nierówność a +b + ab+a+b 0 Udowodnić, że dowolne nieujemne liczby x, y i z spełniają nierówność x+ + y + + z + > xy + + yz + + zx+
Nierówności dla początkujących olimpijczyków Liczby a, b, c są dodatnie i abc Wykazać, że a+b) +b+c) +c+a) ) 4 a+ b+ c Udowodnić zależności między średnimi dla n Wykazać, że jeżeli a b c 0, to a b+c) a b +c 4 Wykazać, że jeżeli a, b, c, x są liczbami dodatnimi i abc, to x+a)x+b)x+c) x+) 5 Wykazać, że dla dowolnych liczb a, b zachodzi nierówność a 4 +b 4 aba+b) 6 Liczby a, b, c są dodatnie i abc Wykazać, że +ab +a + +bc +b + +ca +c 7 Wykazać, że jeżeli a, b są liczbami różnymi od zera, to 8 Niech 0 < a b Wykazać, że a 4 +b 4 a6 b + b6 a b a) a+b 8b ab b a) 8a 9 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność 9a+b)b+c)c+a) 8a+b+c)ab+bc+ca) 40 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c zachodzi nierówność a+b+c) a +b +c ) 9abc 4 Wykazać, że jeżeli x, x,, x n są liczbami dodatnimi, to zachodzi nierówność x +x + +x n ) + + + ) n x x x n 4 Wykazać, że jeżeli x i y, to prawdziwa jest nierówność +x + +y +xy 4 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność ) a+b a+b+c ab ) abc
Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 44 Wykazać, że dla dodatnich liczb a i b takich, że ab4 prawdziwa jest nierówność a+) b+ + b+) a+ 8 45 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c takich, że a+b+c prawdziwa jest nierówność +6a + +6b + +6c 46 Wykazać, że dla nieujemnych liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność a+b+c) +a b+c) +a+b c) abc 47 Liczby a, b, c należące do przedziału 0;) są takie, że ab + bc + ca 4abc Wykazać, że spełniona jest nierówność a b) c)+ b c) a)+ c a) b) abc 48 Wykazać, że jeżeli m, n są liczbami całkowitymi, to n + m+ m n+ > 49 Wykazać, że jeżeli n jest dodatnią liczbą całkowitą, to prawdziwe są nierówności 6n n+)n+) + + + + n n 50 Wykazać, że jeżeli liczby a, b i c są długościami boków trójkąta, to a+b+c + a b+c + a+b c a+ b+ c 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b i c prawdziwa jest nierówność bc b+a)c+a) + ca c+b)a+b) + ab a+c)b+c) 5 Wykazać, że dla dodatnich liczb a, b, c, d i e zachodzi nierówność a + b + 4 c + 6 d + 64 e 56 a+b+c+d+e 5 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x i y prawdziwa jest nierówność 4x +)4y +) 6x+y) 54 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c, d takich, że a + b > 0 i c+d > 0 zachodzi nierówność ab+bc+cd+da ab a+b+c+d a+b + cd c+d
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 55 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, a,, a n należących do przedziału ; spełniona jest nierówność a ) ++a ) + a ) ++a ) + + a n ) ++a n ) + a n ) ++a ) n 56 Liczby a, b, c, d są takimi liczbami dodatnimi, że abcd Wykazać, że 4 a+b cd + b+c da + c+d ab + d+a bc a +b +c +d 57 Wykazać, że jeżeli a i b, to zachodzi nierówność a + ) a+b b 58 Liczby x, x,, x n są takimi liczbami dodatnimi, że x + x + + x n n Wykazać, że + + + n +x x +x x +x n x 59 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c spełniona jest nierówność ab+bc+ca a +b +c ) 5 60 Wykazać, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi nierówność x+y +z + x + y + z + x++ y ++ z +) 6 Dodatnie liczby rzeczywiste a, b, c, d spełniają nierówności Wykazać, że zachodzi nierówność a b c d i a+b+c+d a +b +5c +7d 6 Wykazać, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c należących do przedziału 0; prawdziwa jest nierówność a+b+c+abc ab+bc+ac+ abc
Szkice rozwiązań ćwiczeń i zadań a) Badając znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy a +b +c ) a+b+c) a +b +c ) a +b +c +ab+bc+ca) a +b +c ab bc ca a ab+b +b bc+c +c ca+a a b) +b c) +c a) 0 Stąd dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c mamy a +b +c ) a+b+c) Z rozwiązania wynika, że równość w tej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy a b c b) Podobnie jak w rozwiązaniu ćwiczenia a) zbadamy znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności Zatem a +b +c + 4 a b c a a+ 4 +b b+ 4 +c c+ 4 a ) + b ) + c ) 0, skąd otrzymujemy, że a +b +c + 4 a+b+c dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c Równość zachodzi tylko wtedy, gdy a b c Rozwiążemy od razu przykład c) Przykłady a) i b) rozwiązuje się tak samo W rozwiązaniu wykorzystamy wzór a n b n a b) a n +a n b+ +ab n a +b n ), który jest prawdziwy dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz dodatnich liczb całkowitych n Zauważmy, że: a n+ +b n+ a n b ab n a n a b)+b n b a) a n a b) b n a b) a b)a n b n ) a b) a n +a n b+ +ab n +b n ) 0, skąd wynika teza zadania 4
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 5 Warunek a +b > 0 zapewnia, że co najmniej jedna z liczb a, b jest różna od zera Ponieważ a +ab+b a+ b ) + 4 b, oraz co najmniej jedna z liczb a, b jest różna od zera, więc a +ab+b >0 Zbadajmy teraz znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności: a ab+b a +ab+b a ab+b a ab b a +ab+b ) a 4ab+b a +ab+b ) a b) a +ab+b ) 0, gdyż licznik tego ułamka jest nieujemny, a mianownik to liczba dodatnia Stąd już wynika teza zadania 4 Przekształcając dane równości, otrzymujemy c a oraz d b Przenosząc wszystkie wyrazy na jedną stronę, jak również wykorzystując powyższe spostrzeżenie i uwzględniając, że liczby a i b są nieujemne, dostajemy: a+b+cd a+b+ a) b) a+b+ a b+ab ab 0, co kończy rozwiązanie zadania 5 Nietrudno zauważyć, że a +b +c a +b +c a +b +c ) a+b+c) a +b +c ) a+b+c a+b+c a +b +c +a b+a c+b a+b c+c a+c b a +b +c ) a+b+c a b+a c+b a+b c+c a+c b 0, a+b+c gdyż licznik i mianownik ostaniego ułamka są liczbami dodatnimi 6 Liczby a, a,, a n są liczbami dodatnimi Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną dla dwóch liczb, otrzymujemy ciąg nierówności +a a, +a a,, +a n a n Obie strony każdej z tych nierówności są dodatnie Mnożąc je stronami i korzystając z założenia, otrzymujemy +a )+a )+a n ) n a a a n n 7 Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną a kwadratową dla trzech nieujemnych liczb a, b i c, otrzymujemy ) a) a+ b+ c + b) + c) a+b+c, a stąd, po pomnożeniu obu stron nierówności przez, tezę zadania Porównaj rozwiązanie przykładu 4)
6 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 8 Ponieważ liczby a i b należą do przedziału 0;, więc liczby a, b, a, b są nieujemne Stosując do tych czterech liczb nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną otrzymujemy 4 ab a) b) a+b+ a+ b 4, skąd, po podniesieniu obu stron nierówności do czwartej potęgi, tezę zadania 9 Z zależności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla trzech liczb dodatnich x+a, x+b, x+c otrzymujemy x+a)x+b)x+c) x+a+x+b+x+c x+a+b+c Po skorzystaniu z założenia i podniesieniu obu stron nierówności do trzeciej potęgi, otrzymujemy x+a)x+b)x+c) x+), a to właśnie mieliśmy wykazać 0 Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch trójek liczb dodatnich: a, b, c oraz a, b,, otrzymujemy nierówności c a+b+c abc oraz a + b + c abc Mnożąc te nierówności stronami, otrzymujemy tezę zadania Pokażemy dowód nierówności między średnią arytmetyczną i kwadratową Pozostałe nierówności pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania a +b c +d a+b+c+d 4 a+b + c+d + a +b + c +d a +b +c +d 4 Ponieważ liczby a i b są dodatnie, więc dana nierówność jest równoważna kolejno następującym nierównościom a+b) 4ab; a +ab+b 4ab; a ab+b 0; a b) 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa Nierówność, którą mamy wykazać, jest równoważna kolejno następującym nierównościom a +a 4 ; a 4 a + 0; a ) 0
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 7 Ponieważ ostatnia z tych nierówności jest zawsze prawdziwa, więc i nierówność dana w zadaniu jest zawsze prawdziwa 4 Obie strony danej nierówności są dodatnie Podnosząc tę nierówność obustronnie do kwadratu, otrzymujemy nierówność n+) n+4) n+) n+) 4, równoważną nierówności, którą mamy wykazać Przkształcając dalej równoważnie, otrzymujemy kolejno 4n +4n+)n+4) 4n +n+)n+) n +8n +9n+4 n +8n +0n+4 0 n Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa 5 Obie strony danej nierówności są dodatnie Podnosząc ją obustronnie do kwadratu otrzymujemy nierówność ac+bd) a +b ) c +d ), równoważną wyjściowej Nierówność ta z kolei jest równoważna następującym nierównościom a c +abcd+b d a c +a d +b c +b d a d abcd+b c 0 abcd a d +b c ad bc) 0 Stąd nierówność dana w zadaniu, równoważna ostatniej z tych nierówności, również jest prawdziwa Równość w danej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy ad bc 6 Najpierw udowodnimy zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną, tj a+b ab Nierówność ta, po równoważnych przekształceniach, przyjmuje postać a b 0 i jest ona prawdziwa dla dowolnych nieujemnych liczb a i b, ) więc kończy to dowód Równość w tej nierówności zachodzi tylko dla a b Korzystając teraz z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną wykażemy zależność między średnia harmoniczną i geometryczną Weźmy liczby a i b Wtedy prawdziwa jest nierówność a + b ab, a stąd wynika, że a + b ab Równość w tej nierówności zachodzi tylko wtedy, gdy a b, czyli wtedy, gdy a b Dowód zależności między średnią arytmetyczną i kwadratową pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania
8 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 7 Przyjmijmy: a+bx, b+cy i c+az Nierówność dana w zadaniu przyjmuje teraz postać równoważną x +y +z 4 ) x+y +z Otrzymana nierówność jest z kolei równoważna nierówności x +y +z ) x+y +z), która jest prawdziwa patrz ćwiczenie a), więc nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa 8 Niech x a+b+c, y a b+c i z a+b c Liczby a, b i c są długościami boków trójkąta, więc x, y i z są liczbami dodatnimi i dana w zadaniu nierówność jest równoważna nierówności x+y)y +z)z +x) xyz 8 Nierówność tę możemy zapisać w sposób następujący x+y xy yz zx y +z z +x, a na podstawie zależności między między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich jest ona prawdziwa Tym samym dowód został zakończony 9 Przyjmijmy: b+c+ x, c+a+ y, a+b+ z Wtedy a+b+c+ x+y +z Skoro b+c+ x, więc a+ x+y +z b c x+y +z b+c+) x+y +z Analogicznie otrzymujemy b+ x y +z i c+ x+y z Stąd nasza nierówność przyjmuje postać x+y +z x y +z x+y z + + albo y x y z x + z x + x y + z y + x z + y z 6 Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dodatnich x, y i z na podstawie zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną kończy to dowód nierówności danej w zadaniu 0 Zapiszmy naszą nierówność następująco a +4ab+4b +b +4bc+4c +c +4ca+4a a+b+c) Przyjmując: a+b x, b+c y i c+a z, można tę nierówność zapisać w postaci ) x+y +z x +y +z albo równoważnie x +y +z ) x+y +z) Ostatnia nierówność jest prawdziwa patrz ćwiczenie a), stąd nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 9 Ponieważ liczby a, b, c są długościami boków trójkąta, więc liczby x a+b+c, y a b+c, z a+b c są dodatnie i nasza nierówność jest równoważna nierówności yz x + zx y + xy x+y +z z Prawdziwość tej nierówności dla dodatnich x, y i z wynika z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną: yz x + zx y + xy z yz x + zx ) + zx y y + xy ) + xy z z + yz ) x z + x + y x+y +z To kończy dowód danej nierówności Liczby a, b i c są nieujemne oraz a+b+c, stąd a 0, b 0 i c 0 Wyznaczając różnicę lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy a b c b+ + c+ + a+ a b c a b+ ) + b c+ ) + c a+ ) a b) b c) c a) b+) + c+) + a+) 0 Stąd wynika prawdziwość nierówności danej w zadaniu Udowodnimy lewą z tych nierówności prawą pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania) Badając znak różnicy lewej i prawej strony nierówności, dostajemy a 4 +b 4 a +b a +b a+b a4 +b 4 )a+b) a +b )a +b ) a+b)a +b ) aba +b a b ab ) a+b)a +b ) co kończy dowód lewej nierówności aba a b) b a b)) a+b)a +b ) aba b) a+b) a+b)a +b ) 0, 4 Po podniesieniu wyrażeń w nawiasach do trzeciej potęgi i obliczeniu różnicy lewej i prawej strony, otrzymujemy a +b +c +a+b+c) a+b) +b+c) +c+a) ) 6abc 0, gdyż z założenia liczby a, b i c są nieujemne Tym samym dana w zadaniu nierówność została wykazana
0 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 5 Wykażemy nierówność prawą lewą dowodzi się analogicznie i pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania) Wyznaczmy różnicę prawej i lewej strony Po przeniesieniu wyrazów na jedną stronę i sprowadzeniu do wspólnego mianownika, dostajemy + x+ x+ x+ x x+ x x++ x x+ x x+ x x x+ x+ x+ ) x x+ x x+ x+ x+ ) > 0, ponieważ z założenia x Stąd wynika, że prawa nierówność jest prawdziwa 6 Korzystając z założenia oraz zależności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla dwóch liczb dodatnich, otrzymujemy kolejno ) x+y x+y xy ; x+y) 4x+y); x+y 4, a to właśnie mieliśmy wykazać 7 Z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb nieujemnych otrzymujemy a 4 + a+b+c)4 a4 a+b+c) 4 a a+b+c) Analogicznie b 4 + a+b+c)4 b4 a+b+c) 4 b a+b+c) c 4 + a+b+c)4 c4 a+b+c) 4 c a+b+c) Dodając stronami otrzymane trzy nierówności, dostajemy tezę zadania 8 W rozwiązaniu wykorzystamy wzór x+y +z) x +y +z +xy +yz +zx na kwadrat sumy trzech wyrażeń Badając znak różnicy lewej i prawej strony, dostajemy a +b +c +a+b+c) +4 6a 8b 0c a +b +c +a +b +c +ab+bc+ca)+4 6a 8b 0c a +b ++ab a b)+ +a +c +4+ac 4a 4c)+ +b +c +9+bc 6b 6c)
Nierówności dla początkujących olimpijczyków a+b ) +a+c ) +b+c ) 0, skąd wynika prawdziwość nierówności danej w zadaniu 9 Badając znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy a +b + ab a b ) a ab+b +a a++b b+ a b) +a ) +b ) ) 0, skąd wynika prawdziwość nierówności danej w zadaniu Równość w tej nierówności zachodzi tylko dla a b 0 Zauważmy, że Stąd x+ + y + y +)xy +)+x+)xy +) x+)y +) xy + x+)y +)xy +) xy +xy +y ++x y +xy +x+ xy x y x+)y +)xy +) xyx+y +)+ x+)y +)xy +) > 0 x+ + y + > xy + Analogicznie dostajemy y + + z + > yz + oraz z + + x+ > zx+ Dodając otrzymane nierówności stronami, uzyskujemy tezę zadania Przekształcając lewą stronę nierówności, korzystając z założenia oraz zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb, otrzymujemy a +b +c +ab+bc+ca a + a +b + b +c + c a a + b b + c c 4 a+ b+ c ) Udowodnimy najpierw zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną Biorąc cztery liczby: a, b, c oraz a+b+c i stosując do nich nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną dla czterech liczb zobacz ćwiczenie ), dostajemy 4 abc a+b+c a+b+c+ a+b+c 4
Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk Przekształcając równoważnie tę nierówność, otrzymujemy kolejno 4 abc a+b+c a+b+c+a+b+c a+b+c abc a+b+c ) a+b+c 4 ) a+b+c abc a+b+c abc Analogicznie dowodzi się zależność między średnią arytmetyczną i kwadratową: a +b +c a+b+c+ a +b +c + a +b +c 4 4 a +b +c a+b+c+ a +b +c + a +b +c 4 a +b +c 4 a stąd a +b +c a+b+c+ a +b +c 4 a +b +c a a+b+c+ 4 +b +c, a+b+c a +b +c Dowód zależności między średnią harmoniczną i geometryczną pozostawiamy jako ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania Zbadamy znak różnicy lewej i prawej strony danej nierówności a b+c) a b +c ) a b +c a b+ab +a c+ac +b c bc 6abc a +b c ) a b c)+ab c) +bcb c) b c) a +ab c) bc b c)a+b)a c) 0, ponieważ na podstawie założenia mamy b c oraz a c 4 Przekształcając lewą stronę nierówności, otrzymujemy x+a)x+b)x+c) x +a+b+c)x +ab+bc+ca)x+abc
Nierówności dla początkujących olimpijczyków Z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla trzech liczb dodatnich mamy a+b+c abc oraz ab+bc+ca abc) Stąd i z założenia dla dodatnich x jest a to mieliśmy wykazać x+a)x+b)x+c) x +x +x+ x+), 5 Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są nierówności a 4 +b 4 a b oraz a 4 +b 4 a b+ab Dodając te nierówności stronami, otrzymujemy a 4 +b 4 ) aba +ab+b ), a stąd a 4 +b 4 aba+b) 6 Korzystając z założenia abc oraz zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla trzech liczb dodatnich, otrzymujemy +ab +a + +bc +b + +ca +c abc+ab ab+c) +a + bc+a) +b + ca+b) +c +a + abc+bc +b + abc+ca +c ab bc ca +c) +a) +b) +c) +a) +b) abc) 7 Badając znak różnicy lewej i prawej strony nierówności, otrzymujemy a 6 b + b6 a a4 b 4 a8 +b 8 a 6 b a b 6 a b a6 a b ) b 6 a b ) a b a b ) a 6 b 6) a b a b) a+b) a 5 +a 4 b+a b +a b +ab 4 +b 5) a b a b) a+b) a 4 a+b)+a b a+b)+b 4 a+b) ) a b a b) a+b) a 4 +a b +b 4) a b 0 Stąd wynika prawdziwość naszej nierówności dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b 8 Wykażemy lewą nierówność prawą dowodzi się analogicznie Wyznaczając różnicę prawej i lewej strony danej nierówności, otrzymujemy a+b ab b a) 4ba+b) 8b ) )) ab b a b+ a 8b 8b 4b a ) ) ) ab+b b a b+ a 8b
4 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk ) b a [ ) ] 4b b+ a 8b ) b a b b ) a b+ b+ ) a 8b ) b a b+ ) a 0, 8b gdyż z założenia b a > 0 Zatem a+b ab b a) 8b 9 Wymnażając nawiasy po obu stronach nierówności, dostajemy 8abc+9a b+9a c+9b a+9b c+9c a+9c b 4abc+8a b+8a c+8b a+8b c+8c a+8c b Powyższa nierówność jest równoważna kolejno nierównościom a b+a c+b a+b c+c a+c b 6abc ) a b+a c+b a+b c+c a+c b abc, 6 a ostatnia nierówność jest prawdziwa na mocy nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną Stąd nierówność dana w zadaniu jest prawdziwa 40 Z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla trzech liczb nieujemnych mamy a+b+c abc oraz a +b +c abc) Mnożąc te nierówności stronami, otrzymujemy a+b+c)a +b +c ) 9 abc) 9abc 4 Wykorzystamy nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną dla n liczb dodatnich n x + + + +x + +x n n x x x n Przekształcając tę nierówność równoważnie otrzymujemy tezę zadania, czyli x +x + +x n ) + + + ) n x x x n 4 Przyjmijmy: L +x + +y oraz P Wyznaczmy różnicę +xy L P +x + +y +xy +y )+xy)++x )+xy) +x )+y ) +x )+y )+xy)
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 5 4+y +xy +xy +4+x +xy +x y 8 4x 4y x y +x )+y )+xy) x y x y +xy x xy +y ) +x )+y )+xy) xyx y) x y) +x )+y )+xy) x y) xy ) +x )+y )+xy) Ponieważ x i y, więc xy 0 Stąd L P 0, a to wystarczyło wykazać 4 Po wykonaniu mnożenia po lewej i prawej stronie nierówności możemy ją zapisać równoważnie abc c+ ab Podstawiając: a x 6, b y 6, c z 6 nierówność przyjmuje postać x y z z 6 +x y albo równoważnie x y z z6 +x y +x y Ostatnia nierówność, na podstawie nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, jest prawdziwa, więc nierówność dana w zadaniu, równoważna ostatniej nierówności, też jest prawdziwa 44 Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną, dostajemy a+b ab 4 oraz a+) b+ + b+) a+ a+) b+ b+) a+ a+)b+) czyli to, co mieliśmy udowodnić ab+a+b+ 0+a+b) 0+ 4 8 45 Z zadania 4 wiemy, że dla dodatnich liczb x, x,, x n prawdziwa jest nierówność x +x + +x n ) + + + ) n x x x n Stosując tę nierówność do liczb x +6a, x +6b, x +6c, dostajemy +6a++6b++6c) +6a + +6b + ) +6c Zauważmy, że +6a++6b++6c +6a+b+c) 9 Wykorzystując ten fakt w powyższej nierówności, otrzymujemy 9 +6a + +6b + ) 9 czyli +6c +6a + +6b + +6c 46 Wykorzystując wzór x+y +z) x +y +z +x y +z)+y z +x)+z x+y)+6xyz
6 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk do wyrażeń w nawiasach po lewej stronie danej nierówności oraz redukując wyrazy podobne, otrzymujemy a+b+c) +a b+c) +a+b c) a +b +c +a b+b c+c a+ab +bc +ca 8abc Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną, mamy Stąd a +b +c abc a b+b c+c a 9abc ab +bc +ca 9abc a+b+c) +a b+c) +a+b c) abc+9abc+9abc 8abc abc 47 Zauważmy, że na podstawie zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dostajemy a) b) a ab a + b ) ac+bc abc b abc Analogicznie otrzymujemy zależności b) c) b bc b c) a) c ca c + c ) c ) + a a ba+ca abc ; abc cb+ab abc abc Dodając otrzymane nierówności stronami i wykorzystując założenie, dostajemy a) b) b) c) c) a) + + ab+bc+ca) 6abc ab bc ca abc Mnożąc powyższą nierówność stronami przez abc otrzymujemy tezę zadania 48 Zauważmy, że m + m + ) } {{ } Korzystając z nierówności między średnią geometryczną i arytmetyczną dla n liczb dodatnich, wśród których nie n jedynek wszystkie są równe, dostajemy Stąd n m+ > n m++++ +) m+ < m++n n n n m+n Analogicznie m n+ > nierówności stronami, otrzymujemy n + m+ m n+ > n m+n + m m+n m+n n m Dodając dwie ostatnie m+n
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 7 49 Wykażemy najpierw nierówność lewą Stosując nierówność x +x + +x n ) + + + ) n x x x n patrz zadanie 4) do liczb,,,, n, otrzymujemy + + + +n ) + + + + ) n n Wykorzystując wzór + + + +n nn+)n+) 6 na sumę kwadratów n początkowych dodatnich liczb całkowitych, dostajemy nn+)n+) + 6 + + + ) n n, a stąd, po prostych przekształceniach, lewą nierówność z treści zadania Aby wykazać prawą nierówność zauważmy, że n < nn ) n n dla n dla n nierówność dana w zadaniu staje się równością) Stąd + + + + n + + + + n n n 50 Zauważmy, że wszystkie wyrażenia podpierwiastkowe są dodatnie W rozwiązaniu wykorzystamy zależność między średnią arytmetyczną a kwadratową dla dwóch liczb x i x+ y x+y y, czyli nierówność Stosując tę nierówność, dostajemy a+b+c+ a b+c+ a+b c a+b+c+ a b+c a b+c+ a+b c + + a+b+c+ a+b c + c + a + b a+ b+ c, a to właśnie należało wykazać 5 Korzystając z zależności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich, dostajemy bc b+a)c+a) b b+a + c ) c+a Analogicznie ca c+b)a+b) c c+b + a ) a+b
8 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk oraz ab a+c)b+c) a a+c + b ) b+c Dodając powyższe nierówności stronami, otrzymujemy tezę zadania 5 W rozwiązaniu wykorzystamy nierówność a + b 4 zobacz ćwiczenie ) a+b Stosując tę nierówność kilkakrotnie, dostajemy a + b + 4 c + 6 d + 64 e 4 a+b + 4 c + 6 d + 64 e 6 a+b+c + 6 d + 64 e 64 a+b+c+d + 64 e 56 a+b+c+d+e 5 Przyjmijmy: x a+ i y b+ Wtedy 4x 4a +4a+, 4y 4b +4b+ i x+y a+b+ Wstawiając to do danej nierówności, otrzymujemy a +a+)b +b+) a+b+, która to nierówność jest równoważna nierówności danej w zadaniu Aby wykazać otrzymaną nierówność, obliczymy różnicę lewej i prawej strony tej nierówności Dostajemy wtedy a b +a b+a +ab +ab+a+b +b+ a b a b +a b+ab +a +b +ab a+b) +a b+) +b a+) ) 0, co kończy dowód nierówności danej w zadaniu 54 Obliczając różnicę lewej i prawej strony danej nierówności, otrzymujemy ab+bc+cd+da ab a+b+c+d a+b + cd ) c+d ab+bc+cd+da)a+b)c+d) a+b+c+d)abc+abd+acd+bcd) a+b+c+d)a+b)c+d) a d abcd+b c a+b+c+d)a+b)c+d) ad bc) a+b+c+d)a+b)c+d) 0, ponieważ zgodnie z założeniem mianownik jest dodatni Stąd wynika nierówność dana w zadaniu 55 Ponieważ wszystkie liczby a i, gdzie i,,,, n, są z przedziału ;, więc każda z liczb a i oraz + a i jest nieujemna Z zależności między średnią kwadratową i arytmetyczną dla dwóch liczb nieujemnych, dostajemy kolejno: +a ) + a ) +a + a +a ) + a ) +a + a
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 9 +a n ) + a ) +a n + a Dodając powyższe nierówności stronami, a następnie mnożąc otrzymaną nierówność przez, dostajemy tezę zadania 56 Aby wykazać nierówność prawą, wykorzystamy założenie oraz wynik ćwiczenia a Zauważmy, że a+b cd a+b aba+b) ab Analogicznie mamy a b+ab a +b b+c da b +c c+d ; ab c +d d+a ; bc d +a Dodając otrzymane cztery nierówności stronami, dostajemy a+b cd + b+c da + c+d ab + d+a bc a +b + b +c + c +d + d +a a +b +c +d, a to właśnie mieliśmy udowodnić Przejdźmy teraz do dowodu lewej nierówności Wykorzystując założenie oraz zależność między średnią arytmetyczną i geometryczną, otrzymujemy a+b cd + b+c da + c+d ab + d+a bc 4 4 a+b)b+c)c+d)d+a) 6abcd) 4 4 a+b)b+c)c+d)d+a) ab bc cd da 4 4 abcd) 4 57 Będziemy przekształcać daną nierówność równoważnie Ponieważ obie strony nierówności są nieujemne, więc możemy podnieść ją obustronnie do kwadratu i otrzymamy wtedy nierówność a + b + ) a a+b ) b 4 ; co po dalszych przekształceniach możemy zapisać w postaci a ) b ) ab W dalszym ciągu obie strony otrzymanej nierówności są nieujemne, więc jeszcze raz podnosimy ją obustronnie do kwadratu i dostajemy nierówność a b +a b ab+a b lub równoważnie a b) 0 Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc dana w zadaniu, równoważna ostatniej, też jest prawdziwa
0 Aleksander Kubica, Tomasz Szymczyk 58 Po raz kolejny w rozwiązaniu wykorzystamy zadanie 4 Na podstawie nierówności z tego zadania otrzymujemy n + + + +x x +x x +x n x n+x x +x x + +x n x Z oczywistej nierówności x x ) +x x ) + +x n x ) 0 wynika, że stąd x x +x x + +x n x x +x + +x n, n n+x x +x x + +x n x n n+x +x + +x n Wykorzystując założenie x +x + +x n n, otrzymujemy + + + n +x x +x x +x n x n n 59 Daną w zadaniu nierówność możemy zapisać w sposób równoważny ab+bc+ca 6 a +b +c ), 5 albo ) ) a + 5b b )+ + 5c c )+ + 5a ab+bc+ca 5 5 5 5 5 5 Zauważmy, że skąd a 5 + 5b 5 ab a 5ab+5b 5 a b 5) 5 0, a 5 + 5b 5 ab Analogicznie b 5 + 5c 5 bc oraz c 5 + 5a 5 ca Dodając stronami trzy powyższe nierówności, dostajemy nierówność ), która jest równoważna tezie z zadania a+b 60 Z zależności ab między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich dostajemy x+ x+ + x+ x x x+ Analogicznie y + y + + y + y + oraz z + z + + z + z + y y z z Dodając stronami trzy powyższe nierówności uzyskujemy tezę zadania
Nierówności dla początkujących olimpijczyków 6 Ze wzoru na kwadrat sumy wyrażeń dostajemy a+b+c+d) a +b +c +d +ab+ac+ad+bc+bd+cd Ponieważ liczby a, b, c, d są dodatnie, więc nierówność abcd jest równoważna nierówności a b c d Korzystając teraz z nierówności xy x +y, która jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, otrzymujemy ab a +b b ac a +c c bc b +c c ad a +d d bd b +d d cd c +d d Zatem a+b+c+d) a +b +c +d +ab+ac+ad+bc+bd+cd a +b +c +d +b +c +d +c +d +d a +b +5c +7d A ponieważ a+b+c+d, więc również a +b +5c +7d 6 Dla liczb z przedziału 0; prawdziwe są nierówności skąd a 0, a 0, b 0, b 0, c 0, c 0, a b)+b a) 0, albo równoważnie a+b ab Ponieważ również c 0, więc a+b) c) ab c) a+b ac bc ab abc a+b+abc ab+bc+ac+ab Dodając do obu stron tej nierówności c, dostajemy a+b+c+abc ab+bc+ac+ab+c Z nierówności pomiędzy średnią arytmetyczna i geometryczną dla liczb nieujemnych mamy ab+c abc, więc ostatecznie a+b+c+abc ab+bc+ac+ abc
Literatura [] Kourliandtchik L, Wędrówki po krainie nierówności, wydanie drugie Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 006 [] Kourliandtchik L, Matematyka elementarna w zadaniach, tom II Wydawnictwo Aksjomat, Toruń 005 [] Mitrinović D, Elementarne nierówności PWN, Warszawa 97 [4] Pawłowski H, Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 00 [5] Pawłowski H, Tomalczyk W, Zadania z matematyki dla olimpijczyków Index Books, Toruń 99 [6] Pawłowski H, Olimpiady i konkursy matematyczne Zadania dla uczniów szkół podstawowych i gimnazjów Oficyna Wydawnicza Tutor, Toruń 00 [7] Sprawozdania z olimpiad matematycznych wydawane przez Komitet Główny Olimpiady Matematycznej Spis treści Wstęp Badanie znaku różnicy 4 Zależności między średnimi 5 Przekształcenia równoważne 7 Podstawienia 9 Zadania 0 Szkice rozwiązań ćwiczeń i zadań 4 Literatura