Bolesław Mokrski Józef Siwy Tomasz Szymczyk. Matematyczny sezam. 15 lat Śląskiego Konkursu Matematycznego
|
|
- Filip Zalewski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Bolesław Mokrski Józef Siwy Tomasz Szymczyk Matematyczny sezam 15 lat Śląskiego Konkursu Matematycznego Wydawnictwo Szkolne OMEGA Kraków 018
2 Matematyczny sezam wydanie drugie uzupełnione 15 lat Śląskiego Konkursu Matematycznego Autorzy Bolesław Mokrski Józef Siwy Tomasz Szymczyk Rysunki i skład (systemem TEX/M E X) Tomasz Szymczyk Projekt okładki Jacek Kawa Konsultacja językowa Urszula Zajączek ISBN Copyright c 018 by Wydawnictwo Szkolne OMEGA Grafika na stronach 8, 36: Copyright c by Senoldo/shutterstock.com Wydawca Wydawnictwo Szkolne OMEGA ul. Wielicka 44c Kraków tel.: , kom.: biuro@ws-omega.com.pl
3 Spis treści Przedmowa do wydania drugiego Wstęp Treści zadań Zadania zawodów rejonowych Zadania zawodów finałowych Zadania do pracy samodzielnej Rozwiązania zadań Zadania zawodów rejonowych Zadania zawodów finałowych Zadania do pracy samodzielnej Wybrane oznaczenia stosowane w książce Wybrane pozycje polecanej literatury
4 Przedmowa do wydania drugiego Po pięciu latach od pierwszego wydania nakładem FHU»Miła«z Mikołowa oddajemy w ręce czytelnika drugie, uzupełnione wydanie. Tym razem wydane przez Wydawnictwo Szkolne OMEGA z Krakowa. Do poprzedniej wersji dodaliśmy zadania konkursowe z ostatnich pięciu lat. Ponadto zadania do pracy samodzielnej z poprzedniego wydania, które wykorzystaliśmy w konkursie zostały zastąpione nowymi. Usunęliśmy też zauważone oraz zgłoszone nam błędy i pomyłki. Bardzo dziękujemy Panu Witoldowi Stachnikowi i Wydawnictwu Szkolnemu OMEGA za wydanie tej publikacji. Autorzy 6
5 Wstęp Matematyczny sezam to zbiór zadań przeznaczonych dla uczniów młodszych klas szkół ponadgimnazjalnych (średnich) zainteresowanych matematyką. W pierwszej części publikacji zebraliśmy zadania pochodzące z zawodów Śląskiego Konkursu Matematycznego. W drugiej umieściliśmy kilkadziesiąt zadań do pracy samodzielnej, które można traktować jako materiał treningowy przed zawodami matematycznymi. W zbiorze zamieszczone są rozwiązania wszystkich zadań, niektóre nawet kilkoma sposobami. Książkę tę pisaliśmy z myślą o nauczycielach, którzy chcieliby przygotować swoich uczniów do udziału w konkursach matematycznych. Niniejszy zbiór jest przeznaczony przede wszystkim do pracy na zajęciach z młodzieżą uzdolnioną matematycznie. Liczymy, że sięgną po niego również sami uczniowie i znajdą w nim inspirację do rozwijania swoich zainteresowań. Warto spróbować. Wybrane przez nas zadania pochodzą z różnych źródeł. W zbiorze Czytelnik znajdzie oryginalne zadania naszego autorstwa jak i zadania, z którymi się niegdyś spotkaliśmy, znane z wcześniejszych opracowań. Rozwiązywanie zadań konkursowych jest sztuką. Wymaga wytężonej pracy zarówno uczniów jak i ich opiekunów. Chcielibyśmy, aby nasza publikacja wspierała osiąganie wysokiego poziomu tej sztuki, a wzorowanie się na podanych przez nas propozycjach było poprzedzone próbami znalezienia własnej drogi do prawidłowego rozwiązania postawionych problemów. Wiele z zamieszczonych w książce zadań ma zapewne również inne, prostsze, bądź bardziej oryginalne rozwiązania, od tych przedstawionych przez nas. Zachęcamy do ich poszukiwań. Z wdzięcznością przyjmiemy za pośrednictwem Wydawcy wszelkie uwagi Czytelników dotyczące tej publikacji, jak i informacje o zauważonych błędach. Mamy nadzieję, że każdy, kto weźmie tę książkę do ręki, znajdzie w niej dla siebie przynajmniej kilkanaście interesujących zadań. Życzymy powodzenia w ich rozwiązywaniu. Autorzy 7
6 Zadania zawodów rejonowych I konkurs matematyczny 1. Narysuj figurę { } F = (x,y) : x R i y R, i x 1 + y 1 = 1.. Wyznacz wszystkie pary (x, y) liczb całkowitych, które spełniają równanie (x +003)(y +003) = 003(x+y). 3. Środkami boków AB i CD czworokąta wypukłego ABCD są odpowiednio punkty K i L. Wykaż, że pole trójkąta ALB jest równe sumie pól trójkątów AKD i BKC. 4. Wykaż, że jeżeli x, y są liczbami dodatnimi, to prawdziwe są nierówności x y +max{x,y} + y x 1 x+max{x,y} y +min{x,y} + y x+min{x,y}. II konkurs matematyczny 5. Z wierzchołka C kąta prostego w trójkącie prostokątnym ABC poprowadzono wysokość CD. Udowodnij, że długość wysokości CD jest równa sumie długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty: ABC, ACD, BCD. 6. Wyznacz sumę całkowitych rozwiązań równania x 3 x 4 + x 4 x 4 = Rozstrzygnij, czy istnieje taka całkowita dodatnia liczba n, że n 3 jest iloczynem trzech kolejnych dodatnich liczb całkowitych. Odpowiedź uzasadnij. Zadania zawodów rejonowych 9
7 8. W czworokącie wypukłym ABCD dwusieczne kątów A i B przecinają się w punkcie K; dwusieczne kątów B i C przecinają się w punkcie L; dwusieczne kątów C i D przecinają się w punkcie M, a dwusieczne kątów D i A przecinają się w punkcie N. Wykaż, że jeśli punkty K, L, M, N są wierzchołkami czworokąta, to można na nim opisać okrąg. Zadanie zilustruj rysunkiem. III konkurs matematyczny 9. Niech a, b, c będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że a+b+c + a b+c + a+b c 3(a+b+c). 10. Rozwiąż równanie x x 1 + x+ x 1 = 1 x W trapez równoramienny o podstawach długości a i b można wpisać koło. Oblicz pole tego koła. 1. Dany jest ciąg liczbowy (a n ) określony wzorem a n = 1 4n + 4n + 3 4n, gdzie n N. Wyznacz zbiór reszt z dzielenia wyrazów ciągu (a n ) przez 5. IV konkurs matematyczny 13. Wykaż, że jeżeli p jest liczbą pierwszą oraz p>3, to liczba p 1 dzieli się przez Oblicz pole trapezu prostokątnego, wiedząc, że odległości środka okręgu wpisanego w ten trapez od końców ramienia nieprostopadłego do podstaw są równe a i a. 15. Liczbę 007 przedstaw w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych. Ile rozwiązań ma to zadanie? Odpowiedź uzasadnij. 16. Wykaż, że jeśli a i b są takimi liczbami dodatnimi, że a b a+b, to a+b Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD są styczne zewnętrznie. Wykaż, że istnieje okrąg styczny do każdego boku czworokąta ABCD. 10 Treści zadań
8 Zadania zawodów rejonowych 1. Aby wyznaczyć figurę f, rozpatrzymy cztery przypadki. Przypadek 1. x 0 i y 0. W tym przypadku równanie opisujące figurę f przyjmuje postać x 1 + y 1 =1. Dla y 1 otrzymujemy fragment wykresu funkcji y = x 1, a dla y < 1 fragment wykresu funkcji y = x 1. Łącząc te dwa fragmenty, otrzymujemy brzeg kwadratu o wierzchołkach: (1,0), (,1), (1,), (0,1). Przypadek. x 0 i y 0. W tym przypadku dostajemy brzeg kwadratu o wierzchołkach: (1, 0), (, 1), (1, ), (0, 1). Przypadek 3. x 0 i y 0. Postępując analogicznie jak w przypadku 1., otrzymujemy brzeg kwadratu o wierzchołkach: ( 1,0), (, 1), ( 1, ), (0, 1). Przypadek 4. x 0 i y 0. W tym przypadku dostajemy brzeg kwadratu o wierzchołkach: ( 1, 0), (,1), ( 1,), (0,1). Figurę f tworzy suma otrzymanych brzegów kwadratów (patrz rysunek powyżej). Uwaga. Figurę f można otrzymać w sposób następujący: znajdujemy brzeg kwadratu z przypadku 1., a następnie korzystając z faktu, że dana figura jest symetryczna względem osi układu, otrzymujemy kolejne części figury f. Zadania zawodów rejonowych 37
9 . Dane równanie możemy zapisać równoważnie (x +003)(y +003) = 003(x+y) x y +003x +003y +003 = 003x xy +003y (xy) 003 xy +003 = 0 (xy 003) = 0, a zatem xy = 003. Ponieważ liczba 003 jest liczbą pierwszą, więc a stąd 003 = = = 1 ( 003) = 003 ( 1), (x,y) {(1,003), (003,1), ( 1, 003), ( 003, 1)}. 3. Niech CM = h C, DN = h D, LP = h L będą odpowiednio wysokościami trójkątów KBC, AKD, ABL. Ponieważ L jest środkiem boku CD, więc h L = 1 (h C +h D ), bo LP jest linią środkową w trapezie NMCD. Punkt K jest środkiem boku AB, więc Stąd otrzymujemy AK = BK = 1 AB. [AKD]+[KBC] = 1 AK h D + 1 KB h C = = 1 1 AB(h C +h D ) = 1 AB h L = [ABL]. 4. Bez szkody dla ogólności rozwiązania możemy założyć, że x y. Stąd max{x,y} = y, min{x,y} = x i x xy y. Wtedy x y +max{x,y} + y y +max{x,y} = oraz x y +min{x,y} + 38 Rozwiązania zadań = x y + y x+y = x +xy +y y(x+y) y y +min{x,y} = = x y +x + y x = x +xy +y x(x+y) xy +y xy +y = 1 x +xy x +xy = 1.
10 5. W rozwiązaniu wykorzystamy związek r = 1 (a + b c), gdzie a, b są długościami przyprostokątnych, a c przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, w którym promień okręgu wpisanego ma długość r. Dowód tego związku pozostawiamy jako nietrudne ćwiczenie do samodzielnego rozwiązania. Niech r, r 1, r oznaczają długości promieni okręgów wpisanych w trójkąty prostokątne ABC, ACD, BCD. Korzystając z podanego powyżej związku, otrzymujemy r +r 1 +r = 1 (AC +BC AB)+ 1 (AD +CD AC)+ 1 (BD +CD BC) = = 1 (AC +BC AB +AD +CD AC +BD +CD BC) = = 1 CD = CD. 6. Dla x 4 przyjmijmy: x 4 = a, skąd x = a + 4. Wstawiając to do danego równania, dostajemy a +4 3 a + a +4 4a = 1, a stąd czyli (a 1) + (a ) = 1, a 1 + a = 1. Jeżeli a >, to równanie przyjmuje postać a 1+a = 1 i stąd a =, co jest sprzeczne z założeniem. Dla a < 1 mamy 1 a + a = 1, skąd a = 1 i też otrzymujemy sprzeczność z założeniem. Jeżeli natomiast 1 a, to równanie przyjmuje postać a 1+ a=1, które jest tożsamością i spełniają go wszystkie liczby z podanego przedziału, a stąd kolejno 1 a 4, 5 a +4 8, 5 x 8. Całkowitymi pierwiastkami danego w zadaniu równania są liczby: 5, 6, 7, 8, co łatwo sprawdzić przez bezpośrednie podstawienie, stąd ich suma jest równa Przypuśćmy, że istnieją takie dodatnie liczby całkowite n i k, że n 3 = k(k +1)(k +). Otrzymujemy stąd, że n 3 = k 3 +3k +k > k 3, czyli n > k. Zadania zawodów rejonowych 39
11 Z drugiej strony n 3 = k 3 +3k +k < k 3 +3k +3k +1 = (k +1) 3, skąd n < k+1. Zatem dodatnie liczby całkowite n i k spełniają nierówności k < n < k +1. Uzyskana sprzeczność dowodzi, że nie istnieje taka dodatnia liczba całkowita n, dla której n 3 jest iloczynem trzech kolejnych dodatnich liczb całkowitych. 8. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku obok. Suma kątów wewnętrznych czworokąta jest równa 360, czyli a stąd α+β +γ +δ = 360, α+β +γ +δ = 180. Wyznaczając miary kątów przy wierzchołkach K i M w czworokącie KLMN, dostajemy <)NKL=<)AKB =180 (α+β) oraz <)LMN =<)CMD=180 (γ+δ), więc <)NKL+<)LMN = <)AKB +<)CMD = 180 (α+β)+180 (γ +δ) = = 360 (α+β +γ +δ) = 180, a zatem na czworokącie KLMN można opisać okrąg. 9. Przyjmijmy: a+b+c = x, a b+c = y, a+b c = z. Liczby a, b, c są długościami boków trójkąta, więc liczby x, y, z są dodatnie. Ponieważ x+y +z = ( a+b+c)+(a b+c)+(a+b c) = a+b+c, więc nierówność dana w zadaniu jest równoważna nierówności (1) x + y + z 3(x+y +z). Obie strony nierówności (1) są dodatnie. Podnosząc obustronnie do kwadratu, otrzymujemy nierówność równoważną ( x + y + z ) 3(x+y +z). Przekształcając dalej równoważnie, dostajemy x+y +z + xy + yz + zx 3x+3y +3z x xy +y +y yz +z +z zx +x 0 ( x y ) +( y z ) +( z x ) 0. Ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa, więc nierówność dana w zadaniu też jest prawdziwa. 40 Rozwiązania zadań
12 10. Aby dane równanie miało sens, muszą być spełnione warunki: skąd x > 1. Ponieważ oraz x 1 0, x x 1 0 i x 1, x x 1 = x 1 x 1 +1 = ( x 1 1) x+ x 1 = x 1+ x 1 +1 = ( x 1 +1), więc równanie można zapisać w postaci ( x 1 1) + ( x 1 +1) = 1 x 1 albo (1) x x 1 +1 = 1 x 1. Przyjmijmy: x 1 = a > 0, czyli x 1 = a. Równanie (1) możemy teraz zapisać () a 1 +a+1 = 1 a. Jeżeli a 1, to równanie () przyjmuje postać a 1+a+1 = 1 a, a stąd a 3 = 1. Jest to równanie sprzeczne dla a 1. Jeśli natomiast 0 < a < 1, to równanie () ma postać a+1+a+1 = 1 a, a stąd a = 1, czyli x 1 = 1. Rozwiązaniem równania jest liczba x = Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku obok. Ponieważ trapez jest równoramienny, więc AD = BC i AE = BF = x. Z twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu otrzymujemy AD = AD +BC = AB +CD = a+b. Zadania zawodów rejonowych 41
13 Jednocześnie AE = BF = x = a b. Trójkąt ADE, gdzie DE = r, jest prostokątny, więc AD = AE +DE, czyli ( ) a+b ( ) a b = (r) +, a stąd r = ab. Możemy teraz wyznaczyć pole P tego koła 4 P = πr = π 4 ab. 1. Ciąg (a n ) możemy zapisać a n = 1 4n + 4n +3 4n = 1+16 n +81 n. Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n oraz dowolnej liczby całkowitej a istnieje taka liczba całkowita b, że (5a+1) n = 5b+1. Wobec tego a n = 1+16 n +81 n = 1+(5 3+1) n +(5 16+1) n = 1+5A+1+5B +1 = 5(A+B)+3, gdzie A i B są pewnymi liczbami całkowitymi. Zatem, każdy wyraz ciągu (a n ) przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Rozwiązanie zadania łatwo możemy zapisać przy użyciu kongruencji. 1 1 (mod 5), 16 1 (mod 5) i 81 1 (mod 5). Korzystając z własności kongruencji, dostajemy 1 1 (mod 5), 16 n 1 n = 1 (mod 5) i 81 n 1 n = 1 (mod 5). Dodając ostatnie kongruencje stronami, otrzymujemy 1+16 n +81 n 3 (mod 5), czyli każdy wyraz ciągu (a n ) przy dzieleniu przez 5 daje resztę Jeżeli p = 5, to p 1 = 4 i teza zadania jest spełniona. Zauważmy, że każdą liczbę pierwszą większą od 5 możemy przedstawić w postaci p = 6t+1 lub p = 6t+5, gdzie t jest pewną dodatnią liczbą całkowitą. Liczby 6t, 6t +, 6t + 4 są podzielne przez, a liczba 6t + 3 jest podzielna przez 3, więc nie są to liczby pierwsze. Niech p = 6t+1. Wtedy p 1 = (6t+1) 1 = 36t +1t+1 1 = 1t(3t+1). Jeśli t = k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to p 1 = 4k(6k + 1) i teza zadania jest spełniona, a jeśli t = k +1, to p 1 = 1(k +1)(3(k +1)+1) = 1(k +1)(6k +4) = 4(k +1)(3k +) i teza też jest spełniona. 4 Rozwiązania zadań
14 Niech teraz p = 6t+5. Wtedy p 1 = (6t+5) 1 = 36t +60t+5 1 = 1(3t +5t)+4. Jeśli t = k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to p 1 = 1(1k +10k)+4 = 4(6k +5k)+4 i liczba ta dzieli się przez 4, a jeśli t = k +1, to p 1 = 1(3(k +1) +5(k +1))+4 = 4(6k +11k +4)+4 i teza znów jest spełniona. Kończy to rozwiązanie zadania. 14. Niech O będzie środkiem okręgu wpisanego w dany trapez. Ponieważ <)ABC +<)BCD = α+β = 180, więc α+β =90 i stąd trójkąt BOC jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku O. Zatem BC = OB +OC = (a) +a = 5a, skąd BC =a 5. Obliczając pole trójkąta BOC dwoma sposobami, wyznaczamy długość r promienia okręgu wpisanego w trapez, czyli skąd r = a 5. 1 OB OC = 1 BC OE 1 a a = 1 a 5 r, Ponieważ trapez ABCD jest opisany na okręgu, więc AB+CD =BC +AD, a ponadto AD = r, więc AB +CD = a 5 + 4a = 9a. 5 5 Teraz już możemy wyznaczyć pole trapezu: [ABCD] = 1 (AB +CD) r = 1 9a 5 4a 5 = 18 5 a. 15. Niech a i b (a>b) będą takimi liczbami naturalnymi, że a b =007. Dla liczb naturalnych a, b (a > b) prawdziwe są nierówności a+b > a b 0. Liczbę 007 możemy przedstawić w postaci iloczynu dwóch liczb naturalnych na trzy sposoby: 007 = = = 3 9. Zadania zawodów rejonowych 43
15 Otrzymujemy stąd alternatywę trzech układów równań { { { a+b = 007 a+b = 669 a+b = 3 a b = 1, a b = 3, a b = 9. Rozwiązując te układy równań, dostajemy rozwiązania: Łatwo sprawdzić, że (a,b) {(1004,1003), (336,333), (116,107)} = = = 007, więc to zadanie ma trzy rozwiązania. a+b 16. Skorzystamy z zależności ab między średnią arytmetyczną i geometryczną dla dwóch liczb dodatnich, skąd ( ) a+b ab (a+b) 4ab. Wykorzystując założenia, dostajemy (a+b) 4ab 4(a+b), czyli a+b Zauważmy, że jeżeli dwa okręgi styczne do prostej m, których środki leżą po obu stronach tej prostej, są styczne zewnętrznie w punkcie S, to punkt S leży na prostej m. Niech okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD będą styczne w punkcie S. Na podstawie powyższej uwagi są one również styczne w punkcie S do przekątnej AC czworokąta ABCD. Niech punkty M, N, P, Q będą punktami styczności tych okręgów z bokami czworokąta odpowiednio AB, BC, CD, DA. Ponieważ więc AM = AS = AQ, CN = CS = CP, BM = BN, DP = DQ, AB +CD = AM +MB +CP +P D = AQ+BN +CN +DQ = AD +BC, a to oznacza, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg. 18. W dowodzie wykorzystamy zależność między średnią arytmetyczną i kwadratową prawdziwą dla liczb rzeczywistych a i b: a+b a +b. 44 Rozwiązania zadań
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoTrójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.
C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoV Międzyszkolny Konkurs Matematyczny
V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 11 Zadania planimetria
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Wysokość rombu o boku długości 6 i kącie ostrym 60 o jest równa: A. 6 3 B. 6 C. 3 3 D. 3 2. (1p) W trójkącie równoramiennym długość ramienia wynosi 10 a podstawa 16. Wysokość opuszczona
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2003/2004
Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,
Bardziej szczegółowoKURS MATURA PODSTAWOWA Część 2
KURS MATURA PODSTAWOWA Część 2 LEKCJA 7 Planimetria ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Kąt na poniższym rysunku ma miarę:
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoZadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska
Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie
Bardziej szczegółowoTematy: zadania tematyczne
Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.
Bardziej szczegółowoWarmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie
Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoMiędzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy 0..005 rok Czas rozwiązywania zadań 50 minut Zadanie ( pkt) a b a Wiedząc, że dla b 0. Oblicz b a b Zadanie
Bardziej szczegółowoKlasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =
/9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowoKlasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:
Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015
EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoZadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1
Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie
Bardziej szczegółowoXVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne
XVI Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl grudniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne Zadanie. 4 Rozwiąż równanie 07 sin( ). Wiadomo, że: wyrażenie 4 przyjmuje wartości nieujemne dla każdego
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 016 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące w Warszawie
I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa VII Planimetria Teoria
Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania
Bardziej szczegółowoMiędzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut
Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź
Bardziej szczegółowoPlanimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów
Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2017 klasa 2 (pp)
Kod ucznia Nazwisko i imię ucznia M A T E M A T Y K A klasa -(pp) MAJ 07 Czas pracy: 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron (zadania -4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie
Bardziej szczegółowoWielkopolskie Mecze Matematyczne
Wielkopolskie Mecze Matematyczne edycja druga 3 kwietnia 2015r. W okresie renesansu we Włoszech matematycy stworzyli ciekawą formę rywalizacji intelektualnej. Wymieniali się zadaniami, a po kilku tygodniach
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A01 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Liczba log 1 3 3 27 jest równa:
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym. Zadanie 1. (0 1) Liczba A. 3. Zadanie 2. (0 1) Liczba log 24 jest równa
Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy 1. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym Zadanie 1. (0 1) Liczba 8 3 3 2 3 9 jest równa A. 3 3 B. 32 3 9 C. 3 D. 5 3 Zadanie 2.
Bardziej szczegółowoOCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY
Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) x = x. I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie wzoru funkcji w postaci sumy OCENIANIE
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM
PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
www.omg.edu.pl I Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2015 r. 12 października 2015 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. Wykaż, że istnieje
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2 poziom podstawowy
Kod ucznia lub Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A klasa - pp MAJA 018 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego
Bardziej szczegółowoWymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)
Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A03 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Dany jest ciąg arytmetyczny (a
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy
pieczątka WKK Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie
Bardziej szczegółowoBank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)
Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną) Zadania zamknięte (jedna poprawna odpowiedź) 1 punkt Wyrażenia algebraiczne Zadanie 1. Wartość wyrażenia 3 x 3x
Bardziej szczegółowoTwierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu.
Twierdzenia o czworokącie wpisanym w okrąg i o czworokącie opisanym na okręgu. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Klasyfikacja czworokątów (wypukłych): Trapez jest czworokątem, w którym
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoElżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym
Elżbieta Świda, Marcin Kurczab Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie (matura maj 009) Ciąg ( 3, + 3, 6 +, ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich.
Bardziej szczegółowoZadanie 9. ( 5 pkt. ) Niech r i R oznaczają odpowiednio długości promieni okręgów wpisanego i opisanego na ośmiokącie foremnym.
Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki Etap rejonowy 3..005 Czas rozwiązywania zadań - 50 minut. Zadanie. ( pkt. ) Ustal zbiór tych liczb naturalnych dodatnich,
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1
Bardziej szczegółowoWielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii. Trójkąty. Trójkąt dowolny. Wielokąty trygonometria 1.
Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąt wypukły miara każdego kąt wewnętrznego jest mniejsza od 180 o. Liczba przekątnych: n*(n-2) Suma kątów wewnętrznych wielokąta
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoZadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie
Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie Zadanie 1. Na bokach trójkąta równobocznego ABC tak wybrano punkty E, F oraz D, że AE = BF = CD = 1 AB (rysunek obok). a) Udowodnij, że trójkąt EFD jest
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.
1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do Regionalnego Konkursu Matematycznego dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 2015. Zestaw I.
dla klas pierwszych szkół ponadgimnazjalnych maj 05 Zestaw I Zad.. Dla jakich całkowitych liczb n, liczba postaci całkowitych? n n n również należy do zbioru liczb Zad.. Wyznacz wszystkie liczby całkowite
Bardziej szczegółowoTest kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 1 KWIETNIA 017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Suma sześciu kolejnych
Bardziej szczegółowoZadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10
Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 25 MARCA 2017 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Najmniejsza liczba całkowita
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie
Bardziej szczegółowoSTOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Obóz Naukowy OMJ Poziom OMJ 207 rok SZCZYRK 207 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana ze œrodków
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1
Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 3 4 6 7 8 9 0 3 4 6 7 8 9 0 D C D A A B D C C D B C A B B D B C A A Zadanie. (pkt) Rozwiąż
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2 poziom podstawowy
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa poziom podstawowy Kod ucznia lub Nazwisko i imię M A T E M A T Y K A klasa - pp MAJA 018 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron (zadania 1-4).
Bardziej szczegółowoKujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH B D C A B B A B A C D A
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KLUCZ PUNKTOWANIA ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zad Odp. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C A B B A B A C D A Nr zad Odp. 13 14 15
Bardziej szczegółowoWersja testu A 25 września 2011
1. Czy istnieje liczba całkowita dodatnia o sumie cyfr równej 399, podzielna przez a) 3 ; b) 5 ; c) 6 ; d) 9? 2. Czy równość (a+b) 5 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 jest prawdziwa dla a) a = 8/7, b = 1/7 ; b)
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 142395 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Które z podanych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
Bardziej szczegółowoMatura 2011 maj. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x D. x 1 3 3
Matura 2011 maj Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. x + 1 > 5 B. x 1 < 2 C. x + 2 3 4 D. x 1 3 3 Zadanie 2. (1 pkt) Pierwsza rata, która stanowi 9% ceny roweru, jest równa 189
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
MARZEC ROK 08 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania 34). Ewentualny brak zgłoś
Bardziej szczegółowoSPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o
SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych
Bardziej szczegółowokonkursowe zadania z matematyki dla gimnazjalistów
ukasz Drwiêga Tomasz Szymczyk 444 konkursowe zadania z matematyki dla gimnazjalistów 15 lat Konkursu Matematycznego o Puchar Dyrektora V Liceum Ogólnokszta³c¹cego w Bielsku-Bia³ej Wydawnictwo Szkolne OMEGA
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Matematyczne G i m n a z j a l i s t ó w Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 10 szkice rozwiazań zadań 1. Rozwiąż układ równań: (x+y)(x+y +z) = 72 (y +z)(x+y +z) = 120 (z +x)(x+y
Bardziej szczegółowoARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA
Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 017 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 19 stron
Bardziej szczegółowoSprawdzian 2. MATEMATYKA. Przed próbną maturą. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 26. Imię i nazwisko ...
MATEMATYKA Przed próbną maturą Sprawdzian. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 6 Imię i nazwisko... Liczba punktów Procent Przed próbną maturą. Sprawdzian. Zadanie 1. (0
Bardziej szczegółowo