Matematyka kompendium 2

Matematyka kompendium 2 Spis treści Trygonometria Funkcje trygonometryczne Kąt skierowany Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Związki między funkcjami trygonometrycznymi Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta Podstawowe tożsamości trygonometryczne Funkcje trygonometryczne kątów 30 0, 45 0, 60 0 wartości na wykresach Wzory redukcyjne Wzory trygonometryczne Podstawowe wzory: Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego Funkcje trygonometryczne połowy kąta Sumy funkcji trygonometrycznych Różnice funkcji trygonometrycznych Parzystość i nieparzystość funkcji Miara łukowa kata Zamiana katów z miary stopniowej na łukową i odwrotnie Kąt jako miara obrotu Wykresy funkcji trygonometrycznych: sin(x), cos(x), tg(x), cos(x) Zależności między funkcjami trygonometrycznymi Pole trójkąta gdy dane 2 boki i kąt między nimi Rodzaje kątów, miara łukowa Obliczenie długości łuku Miara łukowa kąta Zamiana katów z miary stopniowej na łukową i odwrotnie Kąt jako miara obrotu Wyznaczenie współrzędnych punktu i narysowanie końcowego ramienia kata Znaki wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Parzystość funkcji trygonometrycznych Wzory redukcyjne Okresowość funkcji trygonometrycznych Przekształcanie funkcji trygonometrycznych Równania trygonometryczne Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego Sinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przeciwprostokątnej: sin α = a : c = a/c Cosinus kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej: cos α = b : c = b / c Tangens kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta: tg α = a : b = a / b = tan α Cotangens kąta ostrego α stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α: ctg α = b : a = b / a b / a = ctg α = 1 : (a/b) = 1 : tg α = 1 / tg α Kąt skierowany Kąt skierowany kąt płaski z ustalonym uporządkowaniem ramion. Pierwsze ramię kąta nazywamy ramieniem początkowym, drugie ramieniem końcowym. Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką, wskazującą ramię końcowe.

Kąt skierowany umieszczony w układzie współrzędnych

Kąt skierowany jest umieszczony w układzie współrzędnych, jeśli jego wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych Kąt skierowany zerowy kąt 0 o Kąt skierowany pełny 360 o Kąt α o dowolnej mierze stopniowej można przedstawić w postaci: γ = k*360 o + α, gdzie 0 α < 360 o oraz k C Wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o Kąt α [ o ] 30 o 45 o 60 o sin α ½ 2 / 2 3 / 2 cos α 3 / 2 2 / 2 ½ tg α 3 / 3 1 3 ctg α 3 1 3 / 3 Związki między funkcjami trygonometrycznymi sin 2 α + cos 2 α = 1 (jedynka trygonometryczna) 1/tg α = ctg α sin α / cos α = tg α cos α / sin α = ctg α sin α = cos (90 o α) cos α = sin (90 o α) tg α = 1 / (tg 90 o α) tg α = sin α / cos α sin (180 o α ) = sin α cos (180 o α) = -cos α tg (180 o α) = -tg α ctg (180 o α) = -ctg α sin α = (1 cos 2 α) = tg α / ( (1 + tg 2 α) = 1/ ( (1 +ctg 2 α) cos α = (1 sin 2 α) = 1 / ( (1 + tg 2 α) = ctg/ ( (1 +ctg 2 α) tg α = sin α / (1 sin 2 α) = (1 sin 2 α) / cos α = 1 / ctg α) ctg α = (1 sin 2 α)/ sin α = cos α / (1 cos 2 α) = 1 / tg α) Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

sin α = y/r, cos α = x/r, gdzie r = (x 2 + y 2 ) tg α = y/x, gdy x 0 ctg α = x/y, gdy y 0 Podstawowe tożsamości trygonometryczne sin α = cos (90 o α) cos α = sin (90 o α) tg α = ctg (90 o α) ctg α = tg (90 o α) tg α = 1 / tg(90 o α) ctg α = 1/ tg (90 o α) sin 2 α + cos 2 α = 1 tg α = sin α / cos α sin (90º + α) = cos α tg (90 + α) = - 1/tg α sin (180 α) = sin α tg (180 α) = - tg α jedynka trygonometryczna tg (90 o α) = cos α / sin α cos (90 + α ) = - sin α cos (180 α) = - cos α ctg (180 α) = - ctg α sin (α + 360 o ) = sin α cos (α + 360 o ) = cos (α + 360 o ) tg (α + 360 o ) = tg α ctg (α + 360 o ) = ctg α sin(-α) = -sin α cos (-α) = cos α tg(-α) = -tg α ctg (-α) = -ctg α Funkcje trygonometryczne kątów 30 0, 45 0, 60 0 wartości na wykresach Funkcje sinus i cosinus kątów 30 o i 60 o - bezpośrednio z wykresu sin 30 o = ½ : 1 = ½ cos 30 o = 3/2 sin 60 o = 3/2 cos 60 o = ½ : 1 = ½ Funkcje tangens i cotangens kątów 30 o i 60 o z obliczeń tg 30 o = ½ : 3/2 = 1/ 3 = 3/3 ctg 30 o = 3/2 : ½ = 3 tg 60 o = 3/2 : ½ = 3 ctg 60 o = ½ : 3/2 = 1/ 3 = 3/3 Wartości funkcji tg 30 o i ctg 60 o - bezpośrednio z wykresu tg 30 o = 3/3/1 = 3/3 ctg 60 o = 3/3/1 = 3/3 o o

Przeliczenie wartości funkcji trygonometrycznych kąta 0-90 o podana wartość jednej funkcji, obliczenie pozostałych Obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych, gdy dana wartość jednej funkcji

Dana wartość jednej funkcji w postaci ilorazu lub jednej liczby zastąpienie ilorazem liczby przez 1 Znaki funkcji trygonometrycznych Ćwiartka układu sin α cos α tg α ctg α I (0 o - 90 o ) + + + + II (90 o -180 o ) + - - - III (180 o -270 o ) - - + + IV (270 o -360 o ) - + - - Wierszyk dotyczący znaków funkcji trygonometrycznych: W pierwszej wszystkie są dodatnie w drugiej tylko sinus

w trzeciej a w czwartej tangens i cotangens cosinus Wartości funkcji trygonometrycznych dla wielokrotności kata 90 o 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o sin α 0 1 0-1 0 cos α 1 0-1 0 1 tg α 0 - ( ) 0 - ( ) 0 ctg α - ( ) 0 - ( ) 0 - ( ) Wzory redukcyjne φ 90 o - α 90 + α 180 - α 180 + α 270 - α 270 + α 360 - α sin φ cos α cos α sin α -sin α -cos α -cos α -sin α cos φ sin α -sin α -cos α -cos α -sin α sin α cos α tg φ ctg α -ctg α -tg α tg α ctg α -ctg α -tg α ctg φ tg α -tg α -ctg α ctg α tg α -tg α -ctg α Wzory trygonometryczne Podstawowe wzory sin 2 α + cos 2 α =1 tg α = sin α / cos α ctg α = cos α / sin α jedynka trygonometryczna dla α π/2 + kπ i k C dla α kπ i k C tg α = 1/ ctg α dla α kπ/2 i k C ctg α = 1/ tg α dla α kπ/2 i k C tg α * ctg α = 1 Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β cos (α + β) = cos α *cos β sinα * sin β tg (α + β) = (tg α + tgβ) / (1 tgα * tgβ) ctg (α + β) = ( ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β) sin (α - β) = sin α * cos β cos α * sin β cos (α - β) = cos α * cos β + sin α * sin β tg (α - β) = (tg α tg β) / (1 + tg α * tg β) ctg(α-β) = (ctg α * ctgβ + 1) / (ctg β ctg α)

Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego sin2α = 2* sin α * cosα = 2*tgα / (1+tg 2 α) cos2α = cos 2 α - sin 2 α = 1-2*sin 2 α = (1-tg 2 α)/(1+tg 2 α) tg2α = 2* tgα / (1 - tg 2 α) = 2/(ctgα tgα) ctg2α = (ctg 2 α -1/(2*ctgα) = (ctgα tgα).2 Funkcje trygonometryczne połowy kąta sin(α/2) = ± ((1-cosα)/2) cos(α/2) = ± ((1+cosα)/2) α/2) tg(α/2) = ±(1-cosα)/sinα = sinα/(1+cosα) = (1-cosα)/sinα ctg(α/2) =± (1+cosα)/sinα = (1+cosα)/sinα = sinα/(1-cosα) (bierzemy znak + lub - w zależności od tego, do której ćwiartki należy Sumy funkcji trygonometrycznych sinα+sinβ = 2 * sin((α+β)/2) * cos(α-β)/2) cosα+cosβ = 2*cos((α+β)/2) * cos(α-β)/2) tgα+tgβ = sin(α+β) / (cosα*cosβ) ctgα+ctgβ = sin(α+β) / (sinα*sinβ) Różnice funkcji trygonometrycznych sinα - sinβ = 2 * sin((α-β)/2) * cos(α+β)/2) cosα - cosβ = -2*sin((α-β)/2) * sin(α+β)/2) tgα - tgβ = sin(α-β) / (cosα*cosβ) ctgα - ctgβ = sin(β-α) / (sinα*sinβ) Parzystość i nieparzystość funkcji cos(-x) = cos(x) sin(-x) = -sin(x) tg(-x) = -tg(x) ctg(-x) = -ct(x) Miara łukowa kata długość łuku wyciętego przez kąt o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta

Miarą łukową kąta środkowego nazywamy liczbę α, równą stosunkowi długości łuku L okręgu, na którym jest oparty ten kąt, do długości promienia r tego okręgu, czyli α = l / r Jeśli r = 1 to α = L / 1 = L Miara łukowa kąta miara kąta wyrażona przez stosunek długości łuku okręgu opartego na tym kącie do długości promienia okręgu Gdzie α rozpatrywany kąt,

l długość łuku, r promień okręgu, którego wycinkiem jest łuk. Jednostką miary łukowej kąta jest radian (1 rad). Radian miara kata środkowego opartego na łuku równym promieniowi r okręgu Wymiarem radiana jest jedność [rad] = 1 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 Zamiana kątów α = α [rad] = α [ o ] * π / 180 o α [ o ] = α * 180 o / π Wykresy funkcji trygonometrycznych: sin(x), cos(x), tg(x), cos(x) Sinusoida Dziedzina : D f = R Zbiór wartości: Y f = [-1; 1] Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = k* π, k C Funkcja nieparzysta: cos(-x) = cos(x) Funkcja okresowa o okresie T=2π = 360 o Funkcja rośnie w przedziałach (-π/2 + 2kπ, 3/2*π + 2kπ), k C Punkt O = (0, 0) jest środkiem symetrii sinusoidy sin(-x) = - sin(x) Liczba 2π jest okresem podstawowym funkcji sinus, czyli sin (x + 2kπ) = sin(x), gdy x <0, 2π ) i k C

Cosinusoida Dziedzina : D f = R Zbiór wartości: Y f = [-1; 1] Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = π/2 + k* π, k C Funkcja parzysta: cos(-x) = cos(x) Funkcja okresowa o okresie podstawowym T=2π = 360 o Funkcja rośnie w przedziałach (π + 2k π, 2π + 2kπ), k C Funkcja maleje w przedziałach (2k π, π + 2kπ), k C Oś y jest osią symetrii cosinusoidy, czyli cos(-x) = cos (x) Liczba 2π jest okresem podstawowym funkcji cosinus, czyli cos (x + 2kπ) = cos(x), gdy x <0, 2π ) i k C Tangensoida Dziedzina : D f = R \ {x: x = π/2 + k* π, k C}

Zbiór wartości: R Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = k* π, k C Funkcja nieparzysta: tg(-x) = -tg(x) Funkcja okresowa o okresie T = π = 180 o Funkcja jest przedziałami mononiczna, rośnie przedziałami w (-π/2 + kπ, π/2 +kπ) k C Funkcja tangens nie jest określona gdy x = π/2 + k * π, gdzie k k C Funkcja nie jest różnowartościowa Liczba π jest okresem podstawowym funkcji tangens, czyli tg (x + kπ) = tg(x), gdy x (-π/2, π/2 ) i k C Cotangensoida Dziedzina : Df = R \ {x: x = k* π, k C} Zbiór wartości: R Miejsca zerowe: f(x) = 0 dla x = π/2 + k* π, k C Funkcja nieparzysta: ctg(-x) = -ctg(x) Funkcja okresowa o okresie podstawowym T = π = 180 o Funkcja maleje przedziałami w (kπ, π+kπ) k C Funkcja nieparzysta Funkcja nie jest różnowartościowa

Zależności między funkcjami trygonometrycznymi Pole trójkąta gdy dane 2 boki i kąt między nimi

Rodzaje kątów, miara łukowa Obliczenie długości łuku Ł/(2 πr) = α o /360 o Ł = πrα/180 o = α o / (180/π) * r = α o *(π / 180) * r = α ł * r

Miara łukowa kąta Miarą łukową kąta środkowego nazywamy liczbę α, równą stosunkowi długości łuku L okręgu, na którym jest oparty ten kąt, do długości promienia r tego okręgu, czyli α = l / r Jednostką miary łukowej kąta jest radian (1 rad). Radian miara kata środkowego opartego na łuku równym promieniowi r okręgu rad symbol radiana 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 = 200[grad]/ π = 63.6619772368 Kąt ma miarę 1 radiana (1 rad), jeśli łuk wyznaczony przez ten kąt na okręgu jednostkowym ma długość 1 Zamiana katów z miary stopniowej na łukową i odwrotnie α = α [rad] = α [ o ] * π / 180 o α [ o ] = α * 180 o / π Wyprowadzenie wzorów na zamianę kątów α o / 360º = α /(2* π) α o / 180º = α / π α o kąt w stopniach, α kat w mierze łukowej

α o = α * (180 o / π) = α * ρ o =~ α * 57,29577951 o α = α o * (π/180º) = α o / ρ o = α o / 57,29577951 o 1 rad = 180º / π =~ 57 o 17 44,81 1 o = π / 180 o 2π [rad] = 360º π [rad] = 180º π/2 [rad] = 90º π/3 [rad] = 60º π/4 [rad] = 45º π/6 [rad] = 30º α [grad] = α * 200/ π = α * 63.6619772368 α = α [grad]* π / 200 = α [grad]* 0.01570796326 Miara stopniowa 360 o 180 o 90 o 60 o 45 o 30 o Miara gradowa 400 g 200 g 100 g 66,(6) 50 g 33,(3) g Miara łukowa 2π π π/2 π/3 π /4 π/6 Kąt jako miara obrotu Jeśli określimy kolejność ramion kąta α, czyli wyróżnimy ramię początkowe i końcowe, to kąt taki nazywamy skierowanym. Kąt skierowany oznaczamy łukiem zakończonym strzałką. Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara nazywamy kątem skierowanym dodatnio. Kąt skierowany wskazany łukiem o zwrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara jest kątem skierowanym ujemnie.

Miarę każdego kąta skierowanego można przedstawić w postaci: k*360 0 + α, gdzie 0 0 <= α < 360 0 k jest pewną ustaloną liczbą całkowitą k*2π + α, gdzie 0 <= α < 2π czyli α < 0; 2π) i k jest ustaloną liczbą całkowitą Miara α jest nazywana miarą główną kąta skierowanego. Jeżeli ramiona kątów skierowanych się pokrywają, to ich miary główne są równe. Kąty przeciwne to kąty, których miary są liczbami przeciwnymi. Kąty w ćwiartkach układu współrzędnych Ćwiartka I II III IV Kąt w stopniach 0 o < α < 90 o 90 o < α < 180 o 180 o < α < 270 o 270 o < α < 360 o Kąt w radianach 0 < α < π/2 π/2 < α < π π < α < 3/2 *π 3/2*π < α < 2 *π Kąt w gradach 0 g < α < 100 g 100 g < α < 200 g 200 g < α < 300 g 300 g < α < 400 g Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta sin α = y/r cos α = x/r

tg α = y/x x 0 ctg α = x/y y 0 ctg α = 1/ (y/x) = 1/tg α x 0, y 0 Wyznaczenie współrzędnych punktu i narysowanie końcowego ramienia kata Jeśli punkt P leży na końcowym ramieniu kata α i jego promień wodzący jest równy 1 to P = (1*cos α, 1*sin α) = (cos α, sin α) Wyznaczenie punktu P i kąta α, gdy dany jest kąt α. - nanosimy wartości współrzędnych punktu P: x P = cos α oraz y P = sin α i kreślimy ramię kąta OP α = 30 o cos α = 3/2 ~= 0,8660 = x P sin α = 1/2 = y p Wyznaczenie ramienia kąta α, gdy dany jest tg α tg α = y/x = t/1 = 2t/2 = 3t/3 itd. Przyjmujemy za współrzędne punktu P wartości (t, 1) lub (2t, 2) itp. Wyznaczamy punkty na podstawie współrzędnych i rysujemy ramię kata OP Przykład: dany tg α = 4

tg α = -4 = y/x = -4/1 = -1/4 Przyjmujemy P1 = A = (1, -4) lub P2 = B = (-1, 4) α = 104,04 o lub α = 284.04 o Gdy dany jest tg α w postaci a/b to można przyjąć za x wartość b, a za y wartość a lub ich wielokrotności. Dany cos α Przykład: cos α = -2/3 Dany sin α

Przykład: sin α = -1/3 sin α = -1/3 = y/r y/r = -1/3 = -2/6 Przyjmujemy: y = -1, r = 3 α1 = 160.53 o α2 = 340,52 o Wartości funkcji trygonometrycznych wielokrotności kata π/2 0 o 90 o = π/2 180 o =π 270 o =3/2*π 360 0 =2 sin α 0 1 0-1 0 cos α 1 0-1 0 1 tg α 0 (nie istnieje) 0 (nie istnieje) 0 ctg α = 1/tg α (nie istnieje) 0 (nie istnieje) 0 (nie istnieje) Znaki wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Punkt P = (x, y) leży w ćwiartce: I gdy x >0 i y > 0 sin α > 0, cos α > 0, tg α > 0, ctg α > 0 II gdy x < 0 i y > 0 sin α > 0, cos α < 0, tg α < 0, ctg α < 0 III gdy x < 0 i y > 0 sin α < 0, cos α < 0, tg α > 0, ctg α > 0 IV gdy x > 0 i y < 0 sin α < 0, cos α > 0, tg α < 0, ctg α < 0 Parzystość funkcji trygonometrycznych Funkcje nieparzyste: sinus, tangens i cotangens Funkcja parzysta: cosinus sin (-α) = -sin α cos (-α) = cos α tg (-α) = -tg α ctg (-α) = -ctg α

Wzory redukcyjne sin (180 o α) = sin α sin (π α) = sin α II ćwiartka cos (180 o α) = -cos α cos (π α) = -sin α tg (180 o α) = -tg α tg (π α) = - sin α ctg (180 o α) = -ctg α ctg (π α) = tg α sin (180 o + α) = -sin α 180 0 = π III ćwiartka cos (180 o + α) = -cos α tg (180 o + α) = tg α ctg (180 o + α) = ctg α sin (360 o - α) = -sin α π = 180 0 IV ćwiartka cos (360 o - α) = cos α tg (360 o - α) = -tg α ctg (360 o - α) = -ctg α sin (90 o - α) = cos α 90 0 = π/2 cos (90 o - α) = sin α tg (90 o - α) = ctg α = 1/ (tg α) ctg (90 o - α) = tg α Analogicznie dla funkcji 90º + α oraz 270 0 +- α funkcje zmieniają się w kofunkcje (sin cos, tg ctg) W osi x (0, 180, 360) we wzorach redukcyjnych funkcje się nie zmieniają w kofunkcje, a ewentualnie zmieniają się znaki, w zależności od ćwiartek. W osy y (90 0, 270 0 ) we wzorach redukcyjnych funkcje zmieniają się w kofunkcje, z uwzględnieniem znaków w zależności od ćwiartki układu współrzędnych. Okresowość funkcji trygonometrycznych sin (k*360 o + α) = sin α cos (k*360 o + α) = cos α k C tg (k*180 o + α) = tg α ctg (k*180 o + α) = ctg α sin (k*2π + α) = sin α cos (k*2π + α) = cos α tg (k*π + α) = tg α ctg (k*π + α) = ctg α Liczbę 360 o = 2π dla funkcji sinus i cosinus nazywa się okresem podstawowym tych funkcji. Liczbę 180 o = π dla funkcji tangens i cotangens nazywa się okresem podstawowym tych funkcji. Okres podstawowy funkcji najmniejsza dodatnia liczba, która dodana do (odjęta od) argumentu funkcji nie zmienia jej wartości, np. sin 1000 o = sin 640 o = sin 280 0 = sin (-80 0 ) Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta sin 2 α + cos 2 α = 1 - jedynka trygonometryczna tg α = sin α / cos α, gdy cos α 0 ctg α = 1/(tg α = (cos α) / (sin α), gdy sin α 0

Tożsamość trygonometryczna każde równanie wyrażające zależności między funkcjami trygonometrycznymi zachodzące dla wszystkich katów, dla których wartości tych funkcji istnieją. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów sin (α + β) = sin α * cos β + cos α * sin β cos (α + β) = cos α * cos β sinα * sin β sin (α - β) = sin α * cos β cosα * sin β cos (α - β) = cos α * cos β + sinα * sin β tg (α + β) = (tg α + tg β) / (1 tg α * tg β) ctg (α + β) = (ctg α * ctg β - 1) / (ctg α + ctg β) tg (α - β) = (tg α tg β) / (1 + tg α * tg β) ctg (α - β) = (ctg α * ctg β + 1) / (ctg β ctg α) cos 2 α = cos 2 α sin 2 α cos 2 α = 2 cos 2 α 1 cos 2 α = 1 sin 2 α sin 2 α = 2 * sin α * cos α tg 2 α = 2*tg α / (1 tg 2 α), gdy cos α 0 i cos 2 α 0 Suma i różnica funkcji trygonometrycznych sin α + sin β = 2 * sin (α + β) /2 * cos (α β) /2 cos α + cos β = 2 * cos (α + β) /2 * cos (α β) /2 sin α - sin β = 2 * sin (α - β) /2 * cos (α + β) /2 cos α - cos β = 2 * sin (α + β) /2 * sin (α β) /2 Przekształcanie funkcji trygonometrycznych g(x) = - f(x) - symetria względem osi x Np. Wykres y = -sin(x) powstaje przez odbicie względem osi x wykresu funkcji y = sin(x)

y = f(x) + q przesunięcie o q jednostek w górę czyli o wektor [0, q] Np. Wykres y = sin(x) + 1 powstaje przez przesunięcie o 1 do góry wykresu y = sin(x) y = k*f(x) do wykresu funkcji należą punkty (x, k*f(x) - rozciągnięcie lub ściągnięcie funkcji y = f(x) w pionie, zgodnie ze współczynnikiem k Gdy k > 1 rozciągnięcie, k < 1 ściągnięcie Np. Wykres y = 2*cos(x) rozciągnięcie w pionie wykresu y = cos(x) o mnożnik 2 y = -2*sin(x)

y = g (k*x) Do wykresu funkcji y należą punkty (1/k *x, f(x) y = cos( ½ * x) - wykres rozszerzony po osi x 1 stosunku (1 : ½ = 2) y = sin(2*x) wykres ścieśniony w kierunku poziomym po osi x w stosunku 1:2 y = f(x-p) przesunięcie funkcji f(x) o wektor [p. 0] y = f(x+p) przesunięcie funkcji f(x) o wektor [-p. 0] Np. y = cos(x-π) - wykres przesunięty o π w prawo wektor [0, π]

Wykres funkcji y = 2*cos( x + π/2) - przesunięcie wykresu funkcji y = 2*cos(x) o π/2 w lewo (wektor [0, -π/2

y = 2*cos( x + π/2) - wykres cos(x), Wykres funkcji ½*tgx -2 - tgx, ½*tg x, ½*tg x - 2

Wykres funkcji 3*sin(x) -1 Równania trygonometryczne Równanie trygonometryczne równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie pod znakiem funkcji trygonometrycznych Przykłady równań trygonometrycznych: sin(x) = 0,5, sin(x) = 3 / 2 sin x + cos x = 1, sin(3x) = cos(5x) tg 2 x + cos x = 1 Natomiast równania typu: x + cos x = 0 2x - ctg x + sin x = 1 nie są równaniami trygonometrycznymi. Rozwiązując równania trygonometryczne, staramy się je doprowadzić do równań elementarnych (tzn. bardzo podstawowych) postaci, np. sin x = a

Rozwiązania równania sin x = a, gdy a <=1; 1> Rozwiązaniami podstawowymi są pierwiastki, które należą do dowolnego przedziału o długości 2π Jeśli x 0 jest jednym z rozwiązań podstawowych równania: sin x = a i x <0; 2 π>, to drugim rozwiązaniem jest π x 0 sin x 0 = sin (π x 0) = a Rozwiązaniami podstawowymi są więc: x 1 = x 0, x 2 = π x 1 Rozwiązania ogólne: x1 = x 1 + 2kπ; x2 = x 2 + 2kπ; Jeżeli a = 0, to sin x = a ma 3 rozwiązania: x 1 = 0, x 2 = π, x 3 = 2π Rozwiązanie ogólne: x = k*π Rozwiązania równania cos x = a, gdy a <=1; 1> Rozwiązaniami podstawowymi są pierwiastki, które należą do dowolnego przedziału o długości 2π Jeśli x 0 jest jednym z rozwiązań podstawowych równania: cos x = a i x <0; 2 π>, to drugim rozwiązaniem jest x 0 cos x 0 = sin ( x 0) = a Rozwiązaniami podstawowymi są więc: x 1 = x 0, x 2 = -x 1 Rozwiązania ogólne: x1 = x 1 + 2kπ; x2 = x 2 + 2kπ; Jeżeli a = 0, to cos x = a ma 2 podstawowe rozwiązania: x 1 = π/2, x 2 = 3/2 * π Rozwiązanie ogólne: x = π/2 + k*π sin α = sin β, gdy α = β + 2kπ lub α = π β + 2kπ; β = x 0, π β = π x 0 cos x 0 = cos (-x 0) cos α = cos β, gdy α = β + 2kπ lub α = - β + 2kπ; Rozwiązanie równania tg x = a, gdzie a R tg x = a, gdzie a R oraz x (-π/2; π/2) jest spełnione i ma rozwiązanie podstawowe, gdy x = x 0 tg x = a, gdzie a R oraz x R jest spełnione, gdy x = x 0 + k π, gdzie k C

Rozwiązanie ogólne: x = x 0 + k π, gdzie k C