Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c) f(x) = 5 x 3 x 3 + 11 x 5 + 9, d) f(x) = (x + 1 x ) x, e) f(x) = (x + 4)(x 2 + 5x + 7), f) f(x) = (1 + x)(2 x), g) f(x) = (x 3 + 3x + 7)(x 2 + 1 x + 15), h) f(x) = (x 11 6x 5 + 2 x)(x + 6), i) f(x) = ( 3 x 8 x 2 + 4 x 6 + 9)(3x + 8), j) f(x) = x x 3, k) f(x) = 1 3x 2x+7, l) f(x) = 3x 8 2x 2 +9, m) f(x) = x2 +3x 5x+1, n) f(x) = 2x2 +5x 3x 2 +5, o) f(x) = x 5x+2. 2. Oblicz pochodną funkcji h, gdy: a) h(x) = (3x + 7) 3, b) h(x) = (2x 2 + 4x + 1) 5, c) h(x) = x 2 + 2x + 3, d) h(x) = 3x + 1 x + x, e) h(x) = ( 2x+5 3x+5 )4, f) h(x) = ( x(5x + 2)) 1/3, g) h(x) = e x2 +3x+7, h) h(x) = 2 x2 +3x 1, i) h(x) = ln(x 2 + 4x + 5), j) h(x) = ln(x 2 + 3) + 5x ln(2x + 1), k) h(x) = e x ln x + 3x ln x, l) h(x) = ln(e x + 3x + 5), m) h(x) = ln x + 1 ln x + (ln x)3, n) h(x) = ln( ln x x ). 3. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (tzn. kiedy jest ona rosnąca lub malejąca) oraz ekstrema funkcji f: a) f(x) = x 3 3x 2, b) f(x) = x 3 5x 2 8x + 11, c) f(x) = x 3 2x 2 + x 5, d) f(x) = 4x 3 + 6x 2 + 12 10, e) f(x) = x 3 + 6x 2 + 20x 5, f) f(x) = e x (x + 3), g) f(x) = ex x+1, h) f(x) = e x (x 2 2x + 1), i) f(x) = ex x 2 +1. 4. Wyznacz drugą pochodną funkcji f: a) f(x) = x 2 5x + 6,
b) f(x) = 1 x, c) f(x) = x, d) f(x) = x x. 5. Korzystając z drugiej pochodnej wyznacz ekstrema funkcji f: a) f(x) = x 3 x 2, b) f(x) = (2x 2 5) 2 c) f(x) = x2 1 x 2 +1, d) f(x) = x2 2x+1 x 2 +1, e) f(x) = e x (x 1), f) f(x) = e x (x 2 3). 6. Zbadaj wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia funkcji f: a) f(x) = 1 1+x 2, b) f(x) = x 2 (x 3), c) f(x) = x 3 1, d) f(x) = 1 x, e) f(x) = x 3 6x 2 + 9x + 3, f) f(x) = e x (x 2), g) f(x) = 2x 1+x 2. Całki nieoznaczone i oznaczone 1. Oblicz całki nieoznaczone: a) (x 2 4x + 6) dx, b) ( 5 x ) dx, c) 18x 8 dx, d) 2e x dx, e) ( ex 5 + x2 ) dx f) 4 x dx 3 g) 1 2x dx h) 2 5 x 3 dx i) (x + 3)(x 2) dx. 2. Znajdź funkcję pierwotną F funkcji f spełniającą warunek F (1) = 0: a) f(x) = 1 x, b) f(x) = x + 3, c) f(x) = 4, d) f(x) = x, e) f(x) = x 2 (x 2 1). 3. Oblicz całki oznaczone: a) (5x + 3) dx, b) 0 0 1 2x dx, c) (x 2 + x + 1) dx, d) (1 x) dx, e) g) 4 1 3 1 e x 2 dx, 2 x dx. 0 f) (2 + 7x x 2 ) dx, 4. Wyznacz pole figury P ograniczonej odcinkami prostych x = 1, x = 2, y = 0 oraz wykresem funkcji f, gdzie: 3 2
a) f(x) = x 3, c) f(x) = x, b) f(x) = 1, d) f(x) = x x, e) f(x) = 4x 2 + x 1, f) f(x) = e x + x. 5. Oblicz pole obszaru D ograniczonego: a) wykresami funkcji y = x 2, y = 2x + 3, b) parabolami y = x 2, y = 2x 2 oraz prostą y = 8 (x 0), c) łukami parabol y = 4 x 2, y = x 2 2x, d) krzywymi x = y 2, x + y = 2. Kombinatoryka 1. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy dzień tygodnia w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać? 2. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy miesiąc w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać? 3. Ile jest wszystkich rozmieszczeń sześciu ponumerowanych kul w trzech ponumerowanych komórkach? 4. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1, 2,..., 9}, jeżeli cyfry mogą się powtarzać? 5. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1, 2,..., 9}, jeżeli cyfry nie mogą się powtarzać? 6. Na zebraniu zarządu, w skład którego wchodzi 12 osób, należy wybrać: prezesa, wiceprezesa i sekretarza. Ile jest wszystkich różnych wyników wyborów? 7. Ile można wytypować wszystkich różnych czwórek (cztery pierwsze konie w kolejności na mecie) w gonitwie, w której startuje 10 koni? 8. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i 2 dziewczynki tak, aby najpierw stały dziewczynki, a następnie chłopcy? 9. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i 2 dziewczynki tak, aby pierwsza stała dziewczynka? 10. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,2,3,5,7,9, jeżeli każda cyfra może występować dokładnie jeden raz? 11. W klasie jest 30 uczniów. Na ile wszystkich różnych sposobów można spośród uczniów tej klasy wybrać delegację złożoną z trzech osób? 12. Na płaszczyźnie zaznaczono 8 różnych punktów. Ile różnych odcinków o końcach w tych punktach można narysować? 13. Ile nastąpi powitań (uścisków dłoni), gdy spotka się 10 osób? 14. W rozgrywkach ligi piłkarskiej (18 drużyn) drużyny grają każda z każdą mecz i rewanż. Ile spotkań zostanie rozegranych? 3
15. W następujących doświadczeniach losowych określ zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych: a) trzykrotny rzut monetą; b) rzut kostką do gry i monetą; c) jednoczesne losowanie dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; d) losowanie po kolei, ze zwracaniem, dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; e) losowe ustawienie w szeregu czterech osób: A, B, C, D. 16. Rzucamy dwa razy monetą. Niech A 1 oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie otrzymamy orła, A 2 w drugim rzucie otrzymamy orła. Za pomocą zdarzeń A 1, A 2, A 1, A 2 i odpowiednich działań zapisz zdarzenia: B 1 otrzymamy dwa razy orła, B 2 otrzymamy dwa razy reszkę, B 3 otrzymamy co najmniej jednego orła, B 4 otrzymamy dokładnie jednego orła. Rachunek prawdopodobieństwa 1. Z talii 52 kart wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: a) karty koloru pikowego, b) asa, c) karty koloru pikowego lub asa. 2. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i pięć kul czerwonych losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli: a) ze zwracaniem b) bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A otrzymamy dwie kule białe, B otrzymamy kule tego samego koloru, C za drugim razem otrzymamy kulę białą. 3. Z urny zawierającej 4 kul białych i 3 czarnych wyciągnięto bez oglądania 6 kul Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie została kula biała? 4. Rzucamy na raz 4 sześcienne kostki. Oblicz prawdopodobieństwo, że na wszystkich kostkach pojawi się ta sama liczba oczek. 5. W pudle znajdują się dwa szare i trzy białe szczury. Chcesz kupić dwa zwierzątka. Sprzedawca wyjmuje je z pudła za różowe, bezwłose ogony, tak że nie widzisz koloru futerka. Oblicz prawdopodobieństwo, że oba Twoje szczury będą białe. 6. Z talii 52 kart wylosowano 1 kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tą kartą będzie pik lub figura? 7. Rzucamy raz kostką do gry. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy: a) A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy. b) A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. c) A otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. 4
8. Ze zbioru liczb {1, 2,..., 10} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez trzy, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę parzystą. 9. Za zbioru {1, 2,..., 12} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, jeśli wiadomo, że wylosowano liczbą pierwszą. 10. Rzucamy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby oczek, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę oczek podzielną przez 3. 11. Dane są dwa pojemniki. W pierwszym jest 6 kul białych i 5 czarnych, w drugim 4 białe i 5 czarnych. Z losowo wybranego pojemnika losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej. 12. Dwie babcie Staszka mieszkają na przeciwległych krańcach miasta. Codziennie po lekcjach Staszek jedzie do jednej z nich na obiad. Ponieważ autobusy w obu kierunkach odjeżdzają z tego samego przystanku, Staszek zawsze wsiada do tego, który przyjedzie pierwszy. Ponieważ Staszek przychodzi na przystanek w chwili losowej, więc wybór babci, u której je obiad jest również losowy. Przypuśćmy, że z prawdopodobieństwem 1 3 jeździ do babci Zosi, a z prawdopodobieństwem 2 3 do babci Kasi. Obie babcie wiedzą, że Staś uwielbia szarlotkę, więc pieką ją dość często. Babcia Kasia średnio co 3 dni, zaś babcia Zosia co cztery. Dziś Staszek jak zwykle jedzie na obiad. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zje na deser szarlotkę? 13. Na 100 mężczyzn 5, a na 10 000 kobiet 25 to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wylosowano jedną osobę i okazało się, że jest ona daltonistą. Jakie jest p-stwo, że był to mężczyzna? 14. Wiemy, że 95% produkcji jest dobrej jakości, a pozostałe 5% jest złej jakości. Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jakości z prawdopodobieństwem 0,98, a przedmioty złej jakości z prawdopodobieństwem 0,05. a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany przedmiot przejdzie przez kontrolę. b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przedmiot przepuszczony przez kontrolę będzie dobrej jakości. 15. Egzaminator, do którego zgłosił się student na egzamin, przedstawia mu dwa jednakowo liczne, ale różne co do składu zestawy pytań, informując jednocześnie, że za chwilę rzuci kostką do gry. Jeśli wypadnie parzysta liczba oczek, to zada mu pytanie z pierwszego zestawu, a jeśli wypadnie nieparzysta liczba oczek z drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że student odpowie na pytanie, jeżeli wiadomo, że oba zestawy zawierają po 30 pytań, a student zna odpowiedź na 20 pytań z pierwszego zestawu i na 12 pytań z drugiego. 16. Pewna choroba występuje u 0, 1% ludzi. Przygotowano test do jej wykrycia. Daje on wynik pozytywny dla 99% ludzi chorych i 5% osób zdrowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba mająca dodatni odczyt jest naprawdę chora. 17. Mamy dwa pojemniki z kulami. W pierwszym znajduje się 99 kul białych i 1 czarna, zaś w drugim - 99 kul czarnych i 1 biała. Wylosowaliśmy kulę biała z jednej z urn. Jakie jest prawdpodobieństwo, że losowaliśmuy z urny pierwszej? 18. Rzucamy osiem razy symetryczną monetą. Oblicz: a) prawdopodobieństwo otrzymania trzy razy orła, b) prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz orła, c) najbardziej prawdopodobną liczbę uzyskanych orłów w tym doświadczeniu. 5
19. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i dwie czarne, losujemy sześć razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz: a) prawdopodobieństwo uzyskania trzy razy kuli białej, b) prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej raz kuli białej, c) najbardziej prawdopodobną liczbę losowań, w których uzyskamy kulę białą. 20. Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0, 8. Strzelec ma strzelać pięć razy. Oblicz: a) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi pięć razy, b) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi cztery razy razy, c) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najmniej raz, d) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najwyżej raz, e) najbardziej prawdopodobną liczbę trafień w tym doświadczeniu. 21. Rzucamy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania trzeciego orła w siódmym rzucie i piątego orła w jedenastym rzucie. 22. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania drugiej szóstki w czwartym i czwartej szóstki w dziesiątym rzucie. Zmienne losowe 1. Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami. Zdarzeniu wypadły dwie reszki przypisujemy liczbę 5, zdarzeniu na każdej monecie jest inny wynik przypisujemy liczbę -3, a zdarzeniu wypadły dwa orły liczbę 1. Podaj rozkład zmiennej losowej i jej wartość oczekiwaną. 2. Pewna gra polega na rzucie trzema monetami i otrzymaniu wygranej 10 zł w przypadku wypadnięcia trzech orłów, a przegraniu 5 zł. (tzn. wygraniu -5 zł.), w pozostałych przypadkach. Traktując wygraną jako zmienną losową, podaj jej rozkład i wartość oczekiwaną. 3. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Zdarzeniu wypadło k oczek przypisujemy liczbę 2 k (k = 1,..., 6). Podaj rozkład zmiennej losowej i jej wartość oczekiwaną. 4. Rzucamy raz dwiema kostkami. Każdemu rzutowi przypisujemy iloczyn uzyskanych oczek. Podaj rozkład zmiennej losowej i jej wartość oczekiwaną. 5. W worku znajdują się 3 koty białe, 5 kotów szaro-burych oraz 2 czarne. Trzy razy siegamy do worka i wyciągamy jednego kota. Patrzymy, jaki ma kolor i wsadzamy spowrotem do worka. Zmienna losowa X liczy, ile razy wyciągnęliśmy kota szaro-burego. Podaj jej rozkład. 6. W worku znajdują się tym razem koty w różnym wieku: mogą mieć 1, 2, 3, 4 lub 5 lat. Stosunek liczby kotów w określonym wieku to odpowiednio 2 : 5 : 4 : 3 : 1. Wyciągamy z worka jednego kota. Zmienna losowa X to wiek wyciągniętego kota. Podaj jej rozkład. 7. Pan Michalski ma w ręku 4 lotki i rzuca nimi do momentu aż trafi w tarczę lub skończą mu się lotki. Zmienna losowa X to liczba wyrzuconych prze niego lotek. Podaj jej rozkład, wiedząc, że prawdopodobieństwo trafienia przy każdym rzucie jest równe 0, 6. 8. Na egzaminie studenci dostali test z pięcioma zadaniami. Do każdego zadania były 3 odpowiedzi, przy czym tylko jedna prawdziwa. Zmienna losowa X to liczba rozwiązanych dobrze zadań. Podaj jej rozkład. 6
9. Rzucamy dwiema kostkami. Zmienna losowa X liczy sumę wyrzuconych oczek. Oblicz wartość oczekiwaną X. 10. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa f, gdzie { 0, 2 dla x 1; 6 ; f(x) = 0 dla x / 1; 6 Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej. 11. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa f, gdzie { 1 f(x) = 2x dla x 0; 2 ; 0 dla x / 0; 2 Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej losowej. 12. Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X dany jest funkcją gęstości a prawdopodobieństwa { (1 x f(x) = 3 )/2 dla x 1; 1 ; 0 dla x / 1; 1 Oblicz prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartości w przedziale a)( 1, 0), b) (0, ) 13. Funkcja gęstości zmiennej losowej X dana jest wzorem 0 dla x / 0, 6 x 8 dla x 0, 2) g(x) = 1 4 dla x 2, 4) 6 x 8 dla x 4, 6. Oblicz prawdopodobieństwo: a) P(X 4), b) P(X 3), c) P(1 X 3), d) P( 1 X 5). 7