Biologia Zadania przygotowawcze do egzaminu z matematyki

Transkrypt

1 Biologia Zadania przygotowawcze do egzaminu z matematyki Zagadnienia wstępne 1. Oblicz:, 5 + ( , 8) : ( 1 3 ), b) ( ) 8, c) (0, 76 : ) + ( : 1, 6), d) , e) Uprość wyrażenie (8/7) 1 3 (3/) 1 (3/) 1, f) x x 1 x x(x 1) x+1 b) 1 x 1 x+x + 1+x 1+x+x 1+x 1+x+x 1 x. 1 x+x 3. Oblicz wartość wyrażenia dla a = / i b = 1/ 3. [a 3/ b(ab ) 1/ (a 1 ) /3 ] 3 4. Dla zbiorów A i B znajdź A B, A B, A \ B, B \ A oraz A B. Podaj moce tak otrzymanych zbiorów. Czy zachodzi zawieranie A B lub B A? Czy zbiory A i B są rozłączne? A = {1,, 3, 4} i B = {0, 1}, b) A = {7} i B = {5, 7, 9} 5. Wyznacz zbiory A B, A B, A \ B i B \ A dla: A = {x N : x < 15} B = {x Z : 5 x}, b) A = {x Z : x 5} B = {x Z : 1 x < 10}. 6. Dla zbiorów A i B znajdź A B, A B, A \ B, B \ A oraz A B. Podaj moce tak otrzymanych zbiorów. Czy zachodzi zawieranie A B lub B A? Czy zbiory A i B są rozłączne? A = {1,, 3, 4} i B = {0, 1}, b) A = {7} i B = {5, 7, 9}, c) A = {3, 5, 9} i B = {, 4, 6}, d) A = {1, 4, 9} i B = {1, 4}, e) A = {, 1, 0} i B = {0, 1, }, f) A = { 3, 3} i B = { 3, 3}. 7. Dla danych zbiorów A i B znajdź A B i A B oraz przedstaw je w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: A = ( 3; 3) {7} 8; 15) i B = ( 5; 1 0; 5) {7} (10; 1 0; + ), b) A = ( ; 1 1; 8) {11} i B = 5; ) (5; 1) 15; + ), c) A = ( ; 5) { 1} ( 1; 3 5; + ) i B = ( ; 1 (; 6) 10; + ), d) A = ( ; 3) { } ( 1; 3 5; + ) i B = ( ; (; 6) 10; + ), e) A = ( ; 0) {1} (1; 3 4; + ) i B = ( ; 1 (1; 4) 10; + ). 8. Poniższe zbiory przedstaw w postaci przedziału lub sumy rozłącznych przedziałów: {x R : (x 0) (x > 3)}, b) {x R : (x < 8) (x 4)}, c) {x R : (x > 3) (x < 5) (x 0)}, d) {x R : ((x 5) (x 3)) ((x 0) (x > 1))}, e) {x R : ((x < ) (x )) ((x < 3) (x 0))}, f) {x R : ((x < 0) (x 3)) ((x < 3) (x 7))},

2 g) {x R : ((x < ) (x 3)) ((x < ) (x 3))}, h) ( 3; \ ( 3; 0), i) 1; 6) \ (; 3, j) ( 3; 1) \ ; 1, k) ( 4; 3 \ 3; 4), l) ( 1 ; 1 + ) \ { }. 9. Oblicz 16 % liczby Wyznacz liczbę, której 1% jest równe Liczba 16, ile to procent liczby 5? 1. Komputer kosztował 3000zł, a oprogramowanie do niego 000 zł. W ciągu roku komputer staniał o 0%, a oprogramowanie podrożało o 15%. Ile obecnie kosztuje zestaw komputer z oprogramowaniem? 13. Pewien towar kosztuje 44zł, z czego % to podatek VAT. Oblicz cenę netto tego towaru. 14. Bilet kolejowy na pewnej trasie kosztuje ze zniżką 48% 57 zł 0 gr. Ile kosztuje bilet na tej samej trasie ze zniżką 37%? 15. Towar taniał czterokrotnie o 5 %. Obecna cena, ile to procent pierwotnej ceny towaru? 16. Towar z opakowaniem waży 86 kg. Waga opakowania to 4% tego ciężaru. Ile waży sam towar? 17. Uprość wyrażenia: (a 3) 3 (a )(a +4)(a+), b) (a 3) 3 4a(a+3)(a 3)+( Rozłóż poniższe wyrażenia na czynniki: 9a 1, b)(1 + x) (x + ), c)x + y + xy z, d)a 3 b 3 +ab(a b), e)0, 07a b3, f)15(p+q) p 3 q Uprość wyrażenie: (3 n k ) (3 n + k ) (3 n+1 + k+1 ). 0. Oblicz wartość wyrażenia dla podanej wartości x: (x + 5) + (x 4) (3 + x)(3 x) + 6x, dla x = 1, b) (3x + ) + (x + 1)(1 x), dla x =, c) (x + 1) + (x + 1)(1 x) (1 x) 1, dla x = Usuń niewymierność z mianownika liczb: 1 3, b) , 4 c) , d)

3 . Oblicz 3. Oblicz wartość sumy: 8 log 4, b) log 7 3 log 3 49, c) log 3 log, (log d) 6 3) + log 6 16 log 6 3 log (log 6 4). log 8+log 16+log 3+log 64+log 18+log 56+log 51+log 104, b) log log log log log Wykaż, że: 1 log + log 3 + log log = 10, b) 1 + log 3 7 log 7 5 log 5 4 = log 3 1, c) log 1 18 log (log 1 18 log 4 54) = Oblicz wartość wyrażenia: 4 +log 7, b) log 3 log 5 9, c) log 6 + log 36 9, log d) log (log ), e) 409 Funkcje, funkcje liniowe i kwadratowe 3 log 3 6 (( log 7) log 5 6 ). 1. Dla danej funkcji f znajdź jej dziedzinę, zbiór wartości i miejsca zerowe. Czy funkcja ta jest różnowartościowa, stała, rosnąca, malejąca, niemalejąca, nierosnąca, parzysta, nieparzysta? Naszkicuj wykres tej funkcji: f(x) = x 1; b) f(x) = x 5; c) f(x) = x + 1; d) f(x) = 1; e) f(x) = x ; { x dla x 0 f) f(x) = 0 dla x > 0 ; { 1 dla x 1 g) f(x) = x dla x > 1.. Znajdź funkcję liniową, która przyjmuje następujące wartości: f() = 5, f(3) = 7; b) f(1) = 1, f() = ; c) f( ) = 7, f(3) = Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu: y = x + x 3, b) y = x + 4x + 6, c) y = x 6x Wyznacz zbiór wartości funkcji kwadratowej f, gdy: f(x) = x + x + 1, b) f(x) = 3x + x 5, c) f(x) = x + x

4 5. Przedstaw poniższe trójmiany kwadratowe w postaci iloczynowej: x 9x + 14, b) x 8x 33, c) x + x 1, d) 6x x. 6. Rozwiąż równania: x 1 = 0, b) x + x = 0, c) x + 5x = 0, d) x 3x + = 0, e) x + 3x + = 0, f) x 8x + 7 = 0, g) x + 3x 1 = 0, h) x x 6 x 5 = 0, i) x 6x+7 x x 4 =, j) x 5 x +x 1 = 3, k) 4 x x 3x+5 = Rozwiąż nierówności: x 4 > 0, b) 6 5x + x 0, c) 5 + 4x + x 0, d)x 8x + 7 0, e) x + x + 1 > 0, f) x 7x + 4 < 0, g) x x 6 0, h) x 6x Rozwiąż nierówności: x 3 x 4 0, b) x 1 0, c) 4 d) x 3 x 3 > 3, 5, e) x x 1 3, f) Wielomiany, funkcje wymierne x Następujące wielomiany rozłożyć na czynniki nierozkładalne: (x + x + 1)(x + x + ) 1 b) (x + 4x + 8) + 3x((x + 4x + 8) + x. Wykonać dzielenie z resztą wielomianu P (x) przez wielomian Q(x): P (x) = x 4 3x 3 + 4x 5x + 6, Q(x) = x 3x + 1 b) P (x) = x 4 x 3 + 4x 6x + 8, Q(x) = x 1 3. Wykonaj dzielenie wielomianów: (x 3 8x + 15x 8) : (x 1), b) (x x + x 15) : (x + 5), c) (0x 3 +7x 19x+) : (5x ), d) (8x 3 41x +63x 36) : (4x 3), e) (x 4 x 3 5x + 16x ) : (x + 4x ), f) (x 4 x x 11x + 33) : (x x + 3). 4. Wykazać, że x 0 jest pierwiastkiem wielomianu W (x) dla: W (x) = x 4 3x 3 + 4x 3, x 0 = 1 b) W (x) = x 3 + 3x x, x 0 = 5. Wykazać, że x 0 jest podwójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x 3 5x + 7x 3, x 0 = 1 6. Nie wykonując dzielenia, oblicz resztę z dzielenia wielomianu W przez wielomian V : W (x) = x 3 + 5x 7x + 9, V (x) = x 1 b) W (x) = x 5 + 3x 3 x + x, V (x) = x Nie wykonując dzielenia, wykaż, że W jest podzielny przez V : W (x) = x 3 + x 13x + 10, V (x) = x 3x + b) W (x) = x 3 + 0x x 0, V (x) = x 1 4

5 8. Rozwiąż równania: x 3 6x + 11x 6 = 0, b) x 3 + 3x 4 = 0, c) x 3 3x + = 0, d) 3x 3 3x + 4x 4 = 0, e) x 3 + x + x + 1 = 0, f) x 3 + x 7x + 4 = 0, g) x 4 + x 3 7x x + 6 = 0, h) x 4 + 6x 3 8x 6x + 7 = 0, i) x 3 + x 4x = 0, j) 3x 5 19x 4 + 9x x 84x + 0 = Rozwiązać nierówności: (x 1)(x )(x 3) > 0 b) (x 9)(x 5x + 4) < 0 c) x 3 + x 13x d) x 4 + x 3 x < 0 e) x 13 x 1 x 7 + x 6 < Rozwiąż równania: 4x 1 x+1 3 x x Rozwiąż nierówności: x 1 = 5 x +5 x 1, b) 4 1 4x = 1 x 1+x + 1+x 1 x, c) x+3 x+ + x 3 x = 3x 1 10x+8 x+ 1, b) x+ > 5x 17 x 3, c) x +4x+6 x+4 3, d) x3 x +x+7 x+8 1, e) x+ x+3 x x 3, f) 1 x+1 x x+1 1 x x Ciągi, granice ciągów 1. Sprawdź, czy ciąg (a n ) jest monotoniczny: a n = n n, b) a n = 3 n, c) a n = ( 1 )n, d) a n = n+7 e) a n = 7 n n, f) a n = 1 n, g) a n = 1 n 19.. Sprawdź, czy dany ciąg (a n ) jest arytmetyczny: a n = n 3 + 5, b) a n = n, c) a n = 1 n, d) a n = 15n. 3. Wyznacz a n oraz S n w ciągu arytmetycznym (a n ), jeśli: a 1 = 1, r = 5, n = 11; b) a 1 = 3, r =, n = 13; c) a 1 = 3, r = 8, n = 9; d) a 1 = 1, r = 1 4, n = Wyznacz ciąg arytmetyczny (a n ), gdy: n+11, a = 3, a 4 = 9; b) a 3 = 0, a 10 = 7; c) a 5 + a 7 = 0, a 4 + a 11 = 6; d) a 6 a 4 = 1, a 5 + a 13 = Rozwiąż równanie, przyjmując, że lewa strona jest sumą pewnej liczby kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: x = 78, b) x = 81, c) x = 153, d) x = Sprawdź, czy dany ciąg (a n ) jest geometryczny: a n = 3 ( 1) n, b) a n = 7n, c) a n = n n, d) a n = n!, e) a n = ( )n, f) a n = 1 n. 7. Wyznacz 5 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a n ), jeśli: a 1 = 1 3, q = 3; b) a 1 = 4, q = 1 ; c) a 1 = 1 5, a = 1; d) a 1 = 1, a 3 = 4. 5

6 8. Wyznacz ciąg geometryczny (a n ), jeśli: a = 6, a 3 = 18; b) a 3 = 9, a 5 = 81; c) a 5 = 1, a 9 = 4; d) a 4 =, a 8 = Oblicz granice ciągów: 8 5n 7 b) 9( 1)n 1 4n 3 + 3n c) ( 5 ) 4 d) n n 4n n + 1 e) f) ( n n n) g) 9 n 7 + n h) n n 5 i) 3n + 8 n 5n n j) + 3n 7 n+1 k) 7 3n 6 4 n 3n 3 4 n n l) n n + 5 n + 7 n m) n ( 1 3 )n + ( 1 4 )n n) n o) n 3n n 3 + 4n + 5n + 6 p) n 3 n n r) n ( 1) n n w) n n Oblicz granice ciągów: + n s) n 3n + sin n t) n 1 3 n u) n + n n 4 + 5n 11 x) n 100n + n y) n4 + ( 1) n 5 n 1 z) ( 1)n + n 3 n n n n 3 n + n 3 n + n + n b) 3 n+1 + n 004 c) 3n + n n 3 + n d) n + 5n 7 n 4 cos(n+6) 1 e) n n 1 sin( n n + 1 ) f) (1+ n )n+ g) (1 3 n + )n+1 h) (1 4 n ) n+4 i) ( n + 5 n )n j) ( n + n + 1 )n k) ( n 1 n ) n l) ( n + 6 n ) n m) n n + 1 n) o) ( n + 8 n) p) 7 3n 6 4 n n 9 n 3 4 n n r) n n + 5 n + 7 n s) n ( 1 3 )n + ( 1 4 )n t) n u) n 3n n 3 + 4n + 5n + 6. Macierze, układy równań 1. Oblicz wyznacznik macierzy [ 1 0 ] b) [ ]. Oblicz wyznacznik macierzy stosując schemat Sarrusa b) 3. Oblicz wyznacznik macierzy A = B = c) C =

7 4. Oblicz wyznacznik macierzy stosując rozwinięcie Laplace a względem dowolnej kolumny lub dowolnego wiersza. A = B = 5. Rozwiąż poniższe układy Cramera c) { x y = 3 3x + y = { x + 7y = x y = b) d) C = x y + 3z = 7 3x + y + 4z = 5 x + 5y + z = 18 x + y + z = 5 x + y + z = 3 3x + y + z = Rozwiąż poniższe układy równań stosując wzory Cramera x x + y + z = x 3 3x 4 = 1 3x x y z = 3 b) 1 x 3 = 4 x 4x 5y 3z = 7 1 x + x 4 = x + x 3 = 7. Rozwiąż poniższe układy równań stosując wzory Cramera x 3y + z = x y + 3z = 4 b) x + y z = 1 c) x 1 + x + x 3 x 4 = 1 x 1 x + x 4 = 3 x + x 3 x 4 = x x 4 = 1 8. Wyznacz rząd poniższych macierzy b) d) x + 4y + z = 8 x y + z = 3 3x + y z = 14 x 1 x + x 3 3x 4 = 3 4x 1 + x 3 + x 4 = 4 x + 4x 3 + 3x 4 = x x 3 + x 4 = c) d) Określ liczbę rozwiązań równania i, jeśli rozwiązania istnieją, rozwiąż układ równań x 3y = 0 x y + z + t = 1 x + y = 1 { x + y z + t = 1 3x + y + z t = b) 5x y = c) x y z + 3t = 5x y + 5z + t = 4 x 10y = 1 x + y = 1 d) y + z = x + y = 3 y + z = 3 x + y + z = 3 e) x + y + z + t = 1 y + 3z 3t = 1 x + y + z t = 1 { f), x + y + z + t = 1 x + 4y + z + t = 1 7

8 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne 1. Rozwiąż równania: x+3 = 4 x 1, b) (0, 5) x 4 = 16 5x 4, c) ( 7) 3x = 9 5x 3, d) x = 4 3x+7, e) x+ 5 x+ = 3x 5 3x, f) (0, 5) x+4 = 7 4 x+5, g) 5 7 x = 81 x+8, h) π 3x+ = 4 6x, i) 17 3 x = 4x 1, j) ( 3 7 )1 x = ( ) 6x 3.. Rozwiąż poniższe nierówności: 8 x < 4 x b)( )x+ ( 1 ) x 1 c) 5 8 3x 1 > 4 x d)8( 8) x 3 > 3. Oblicz dziedzinę funkcji f określonej wzorem: f(x) = log 5 (3x 7), b) f(x) = log 3 [log (x + 1)], c) f(x) = log(x 3) + log(8 x), d) f(x) = log x log(3x + 8), x e) f(x) = log 5 3x 7, f) f(x) = log (x+1)(3x + 5). 4. Rozwiąż równania: log (x + ) + log (x + 14) = 6, b) log 5 (1 x) = log 5 6 log 5 ( x), c) log 3 (x + 1) + log 3 ( x) = log 3 x, d) 1 log(x + 3) = 1 1 log(x + 4), e) log 6 (5 x) + log 6 3 x = Rozwiąż poniższe nierówności: 5 log (x 3) < b) log π 0x 1 > log 1 π 8 c) log 3 (x 1) 1 < log 3 (x ) 3x + d) log 0,5 x + 1 < 3 e) log 5(x ) < log 5 ( 3 x 1) Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: f(x) = 3x 8 + x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + x + 3 x, c) f(x) = 5 x 3 x x 5 + 9, d) f(x) = (x + 1 x ) x, e) f(x) = (x + 4)(x + 5x + 7), f) f(x) = (1 + x)( x), g) f(x) = (x 3 + 3x + 7)(x + 1 x + 15), h) f(x) = (x 11 6x 5 + x)(x + 6), i) f(x) = ( 3 x 8 x + 4 x 6 + 9)(3x + 8), j) f(x) = x x 3, k) f(x) = 1 3x x+7, l) f(x) = 3x 8 x +9, m) f(x) = x +3x 5x+1, n) f(x) = x +5x 3x +5, o) f(x) = x 5x+.. Oblicz pochodną funkcji h, gdy: h(x) = (3x + 7) 3, b) h(x) = (x + 4x + 1) 5, c) h(x) = x + x + 3, ( ) x+1 8 8

9 d) h(x) = 3x + 1 x + x, e) h(x) = ( x+5 3x+5 )4, f) h(x) = ( x(5x + )) 1/3, g) h(x) = e x +3x+7, h) h(x) = x + x3 x, i) h(x) = ln(x + 4x + 5), j) h(x) = ln(x + 3) + 5x ln(x + 1), k) h(x) = e x ln x + 3x ln x, l) h(x) = ln(e x + 3x + 5), m) h(x) = ln x + 1 ln x + (ln x)3, n) h(x) = ln( ln x x ). 3. Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f (tzn. kiedy jest ona rosnąca lub malejąc oraz ekstrema funkcji f: f(x) = x 3 3x, b) f(x) = x 3 5x 8x + 11, c) f(x) = x 3 x + x 5, d) f(x) = 4x 3 + 6x , e) f(x) = x 3 + 6x + 0x 5, f) f(x) = e x (x + 3), g) f(x) = ex x+1, h) f(x) = e x (x x + 1), i) f(x) = ex x Wyznacz drugą pochodną funkcji f: f(x) = x 5x + 6, b) f(x) = 1 x, c) f(x) = x, d) f(x) = x x, e) f(x) = 4x x Korzystając z drugiej pochodnej wyznacz ekstrema funkcji f: f(x) = x 3 x, b) f(x) = (x 5). 6. Zbadaj wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia funkcji f: f(x) = 1 1+x, 1 x b) f(x) = 1+x, c) f(x) = x 3 1, d) f(x) = 1 x, e) f(x) = x 3 6x + 9x + 3, f) f(x) = e x (x ). 7. Naszkicuj wykres funkcji f: f(x) = x (x 3), b) f(x) = x 1+x, c) f(x) = x 1 x +1, d) f(x) = x x+1 x +1, e) f(x) = e x (x 1), f) f(x) = e x (x 3). 9

10 Całki nieoznaczone i oznaczone 1. Oblicz całki nieoznaczone: (x 4x + 6) dx, b) ( 5 x ) dx, c) 18x 8 dx, d) e x dx, e) ( ex 5 + x ) dx f) 4 x dx 3 g) 1 x dx h) 5 x 3 dx i) (x + 3)(x ) dx.. Znajdź funkcję pierwotną F funkcji f spełniającą warunek F (1) = 0: f(x) = 1 x, b) f(x) = x + 3, c) f(x) = 4, d) f(x) = x, e) f(x) = x (x 1). 3. Oblicz całki oznaczone: 1 (5x + 3) dx, b) x dx, 1 1 c) (x + x + 1) dx, d) (1 x) dx, e) g) e x dx, x dx. 0 1 f) ( + 7x x ) dx, 4. Wyznacz pole figury P ograniczonej odcinkami prostych x = 1, x =, y = 0 oraz wykresem funkcji f, gdzie: f(x) = x 3, c) f(x) = x, b) f(x) = 1, d) f(x) = x x, e) f(x) = 4x + x 1, f) f(x) = e x + x Oblicz pole obszaru D ograniczonego: wykresami funkcji y = x, y = x + 3, b) parabolami y = x, y = x oraz prostą y = 8 (x 0), c) łukami parabol y = 4 x, y = x x, d) krzywymi x = y, x + y =. Kombinatoryka 1. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy dzień tygodnia w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać?. Każdej z pięciu osób przyporządkowujemy miesiąc w którym się urodziła. Ile różnych wyników możemy otrzymać? 3. Ile jest wszystkich rozmieszczeń sześciu ponumerowanych kul w trzech ponumerowanych komórkach? 10

11 4. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1,,..., 9}, jeżeli cyfry mogą się powtarzać? 5. Ile wszystkich liczb czterocyfrowych można utworzyć z cyfr należących do zbioru {1,,..., 9}, jeżeli cyfry nie mogą się powtarzać? 6. Na zebraniu zarządu, w skład którego wchodzi 1 osób, należy wybrać: prezesa, wiceprezesa i sekretarza. Ile jest wszystkich różnych wyników wyborów? 7. Ile można wytypować wszystkich różnych czwórek (cztery pierwsze konie w kolejności na mecie) w gonitwie, w której startuje 10 koni? 8. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i dziewczynki tak, aby najpierw stały dziewczynki, a następnie chłopcy? 9. Na ile wszystkich różnych sposobów można ustawić w rzędzie 5 chłopców i dziewczynki tak, aby pierwsza stała dziewczynka? 10. Ile różnych liczb sześciocyfrowych można utworzyć z cyfr 1,,3,5,7,9, jeżeli każda cyfra może występować dokładnie jeden raz? 11. W klasie jest 30 uczniów. Na ile wszystkich różnych sposobów można spośród uczniów tej klasy wybrać delegację złożoną z trzech osób? 1. Na płaszczyźnie zaznaczono 8 różnych punktów. Ile różnych odcinków o końcach w tych punktach można narysować? 13. Ile nastąpi powitań (uścisków dłoni), gdy spotka się 10 osób? 14. W rozgrywkach ligi piłkarskiej (18 drużyn) drużyny grają każda z każdą mecz i rewanż. Ile spotkań zostanie rozegranych? 15. W następujących doświadczeniach losowych określ zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych: trzykrotny rzut monetą; b) rzut kostką do gry i monetą; c) jednoczesne losowanie dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; d) losowanie po kolei, ze zwracaniem, dwóch kul z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule: biała, czerwona, zielona; e) losowe ustawienie w szeregu czterech osób: A, B, C, D. 16. Rzucamy dwa razy monetą. Niech A 1 oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie otrzymamy orła, A w drugim rzucie otrzymamy orła. Za pomocą zdarzeń A 1, A, A 1, A i odpowiednich działań zapisz zdarzenia: B 1 otrzymamy dwa razy orła, B otrzymamy dwa razy reszkę, B 3 otrzymamy co najmniej jednego orła, B 4 otrzymamy dokładnie jednego orła. Rachunek prawdopodobieństwa 1. Z talii 5 kart wybieramy losowo jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: karty koloru pikowego, b) asa, c) karty koloru pikowego lub asa. 11

12 . Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i pięć kul czerwonych losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli: ze zwracaniem b) bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: A otrzymamy dwie kule białe, B otrzymamy kule tego samego koloru, C za drugim razem otrzymamy kulę białą. 3. Z urny zawierającej 4 kul białych i 3 czarnych wyciągnięto bez oglądania 6 kul Jakie jest prawdopodobieństwo, że w urnie została kula biała? 4. Rzucamy na raz 4 sześcienne kostki. Oblicz prawdopodobieństwo, że na wszystkich kostkach pojawi się ta sama liczba oczek. 5. W pudle znajdują się dwa szare i trzy białe szczury. Chcesz kupić dwa zwierzątka. Sprzedawca wyjmuje je z pudła za różowe, bezwłose ogony, tak że nie widzisz koloru futerka. Oblicz prawdopodobieństwo, że oba Twoje szczury będą białe. 6. Z talii 5 kart wylosowano 1 kartę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tą kartą będzie pik lub figura? 7. Rzucamy raz kostką do gry. Sprawdź, czy zdarzenia A i B są niezależne, gdy: A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy. b) A otrzymamy parzystą liczbę oczek, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. c) A otrzymamy liczbę oczek podzielną przez trzy, B otrzymamy liczbę oczek większą od trzech. 8. Ze zbioru liczb {1,,..., 10} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez trzy, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę parzystą. 9. Za zbioru {1,,..., 1} losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby nieparzystej, jeśli wiadomo, że wylosowano liczbą pierwszą. 10. Rzucamy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby oczek, jeżeli wiadomo, że otrzymano liczbę oczek podzielną przez Dane są dwa pojemniki. W pierwszym jest 6 kul białych i 5 czarnych, w drugim 4 białe i 5 czarnych. Z losowo wybranego pojemnika losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kuli czarnej. 1. Dwie babcie Staszka mieszkają na przeciwległych krańcach miasta. Codziennie po lekcjach Staszek jedzie do jednej z nich na obiad. Ponieważ autobusy w obu kierunkach odjeżdzają z tego samego przystanku, Staszek zawsze wsiada do tego, który przyjedzie pierwszy. Ponieważ Staszek przychodzi na przystanek w chwili losowej, więc wybór babci, u której je obiad jest również losowy. Przypuśćmy, że z prawdopodobieństwem 1 3 jeździ do babci Zosi, a z prawdopodobieństwem 3 do babci Kasi. Obie babcie wiedzą, że Staś uwielbia szarlotkę, więc pieką ją dość często. Babcia Kasia średnio co 3 dni, zaś babcia Zosia co cztery. Dziś Staszek jak zwykle jedzie na obiad. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zje na deser szarlotkę? 13. Na 100 mężczyzn 5, a na kobiet 5 to daltoniści. Z grupy o jednakowej liczbie mężczyzn i kobiet wylosowano jedną osobę i okazało się, że jest ona daltonistą. Jakie jest p-stwo, że był to mężczyzna? 1

13 14. Wiemy, że 95% produkcji jest dobrej jakości, a pozostałe 5% jest złej jakości. Kontrola przepuszcza przedmioty dobrej jakości z prawdopodobieństwem 0,98, a przedmioty złej jakości z prawdopodobieństwem 0,05. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany przedmiot przejdzie przez kontrolę. b) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przedmiot przepuszczony przez kontrolę będzie dobrej jakości. 15. Egzaminator, do którego zgłosił się student na egzamin, przedstawia mu dwa jednakowo liczne, ale różne co do składu zestawy pytań, informując jednocześnie, że za chwilę rzuci kostką do gry. Jeśli wypadnie parzysta liczba oczek, to zada mu pytanie z pierwszego zestawu, a jeśli wypadnie nieparzysta liczba oczek z drugiego. Oblicz prawdopodobieństwo, że student odpowie na pytanie, jeżeli wiadomo, że oba zestawy zawierają po 30 pytań, a student zna odpowiedź na 0 pytań z pierwszego zestawu i na 1 pytań z drugiego. 16. Pewna choroba występuje u 0, 1% ludzi. Przygotowano test do jej wykrycia. Daje on wynik pozytywny dla 99% ludzi chorych i 5% osób zdrowych. Oblicz prawdopodobieństwo, że osoba mająca dodatni odczyt jest naprawdę chora. 17. Mamy dwa pojemniki z kulami. W pierwszym znajduje się 99 kul białych i 1 czarna, zaś w drugim - 99 kul czarnych i 1 biała. Wylosowaliśmy kulę biała z jednej z urn. Jakie jest prawdpodobieństwo, że losowaliśmuy z urny pierwszej? 18. Rzucamy osiem razy symetryczną monetą. Oblicz: prawdopodobieństwo otrzymania trzy razy orła, b) prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz orła, c) najbardziej prawdopodobną liczbę uzyskanych orłów w tym doświadczeniu. 19. Z pojemnika, w którym znajdują się trzy kule białe i dwie czarne, losujemy sześć razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz: prawdopodobieństwo uzyskania trzy razy kuli białej, b) prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej raz kuli białej, c) najbardziej prawdopodobną liczbę losowań, w których uzyskamy kulę białą. 0. Strzelec trafia do celu w pojedynczym strzale z prawdopodobieństwem 0, 8. Strzelec ma strzelać pięć razy. Oblicz: prawdopodobieństwo, że strzelec trafi pięć razy, b) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi cztery razy razy, c) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najmniej raz, d) prawdopodobieństwo, że strzelec trafi co najwyżej raz, e) najbardziej prawdopodobną liczbę trafień w tym doświadczeniu. 1. Rzucamy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania trzeciego orła w siódmym rzucie i piątego orła w jedenastym rzucie.. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo uzyskania drugiej szóstki w czwartym i czwartej szóstki w dziesiątym rzucie. 13