KOMISJA BUDOWY MASZYN PAN ODDZIAŁ W POZNANIU ol. 7 nr Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji 007 LESZEK SKOCZYLAS PRĘDKOŚĆ POŚLIZGU W ZAZĘBIENIU PRZEKŁADNI ŚLIMAKOWEJ W artykule przedstawiono sposób obliczenia prędkości poślizgu międzyzębnego przekładni ślimakowych w dowolnym punkcie na boku zęba. Obliczenia są oparte na współrzędnych linii styku zębów przekładni. Artykuł zawiera również przykładowe rozkłady prędkości poślizgu na boku zwoju w przekroju czołowym ślimaka dla wybranych parametrów przekładni ślimakowej. Słowa kluczowe: przekładnie ślimakowe, zazębienie, prędkość poślizgu 1. WSTĘP Poślizg pomiędzy współpracującymi zębami kół jest zjawiskiem nieodłącznym w przekładniach zębatych. W decydujący sposób wpływa na warunki smarowania zębów kół, sprawność i obciążalność przekładni. W odniesieniu do przekładni ślimakowych jest zjawiskiem niekorzystnym, a jego minimalizacji sprzyja prostopadłe ułożenie kierunku prędkości poślizgu i linii styku zębów. W przekładniach ślimakowych, z uwagi na ich specyficzną budowę, zjawisko poślizgu odgrywa istotną rolę. Powszechnie przyjmuje się, że poślizg pomiędzy zębami przekładni ślimakowej wynika tylko z obrotu ślimaka. Pomijany jest poślizg pochodzący od wzajemnego odtaczania ślimaka i ślimacznicy jako bardzo mały. W literaturze można znaleźć zależności opisujące rzeczywistą wartość poślizgu międzyzębnego w przekładni ślimakowej. Brak jest jednakże przykładów pokazujących rzeczywiste wartości poślizgu i jego kierunek na boku zęba. Nie są przedstawiane relacje prędkości poślizgu pochodzącej od obrotu ślimaka do prędkości poślizgu pochodzącej od odtaczania ślimacznicy i ślimaka. W szczegółowej analizie zazębienia przekładni tego typu informacje mogą być jednak przydatne. Ich znajomość może być pomocna w doborze parametrów Dr inż. Katedra Technologii Maszyn i Organizacji Produkcji Politechniki Rzeszowskiej.
144 L. Skoczylas przekładni ślimakowej oraz zarysu zwojów ślimaka, od których zależy wzajemne ustawienie linii styku zębów i kierunek wektora prędkości poślizgu.. OBLICZENIA PRĘDKOŚCI POŚLIZGU Prędkość poślizgu w przekładniach ślimakowych należy rozpatrywać jako sumę prędkości pochodzącej od obrotu ślimaka oraz prędkości wzajemnego odtaczania ślimaka i ślimacznicy. W literaturze prędkość poślizgu najczęściej rozpatrywana jest w takich przekrojach, jak styczny i normalny do linii styku zębów przekładni czy styczny do linii zwoju ślimaka oraz podłużny ślimaka [1, ]. Przekrojem często wykorzystywanym do prezentacji linii styku zębów przekładni ślimakowej jest przekrój czołowy ślimaka. Z tego względu w niniejszym opracowaniu zarówno wartości, jak i kierunek poślizgu międzyzębnego będą obliczone w tym przekroju oraz w przekroju podłużnym ślimaka. Takie podejście pozwoli zarazem na określenie składowych wektora prędkości poślizgu w trzech kierunkach układu kartezjańskiego. Obliczenia prędkości poślizgu będą się odnosić do współrzędnych linii styku zębów przekładni, które są określone w układzie stałym (x 0 y 0 z 0 ) przedstawionym na rys. 1. Rys. 1. Układ kinematyczny zazębienia ślimaka i ślimacznicy Fig. 1. Kinematic system of worm and wormwheel gearing Rys.. Składowe poślizgu w przekroju czołowym ślimaka Fig.. Rubbing components in worm frontal section
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej 145 Układy współrzędnych (x 1 y 1 z 1 ) i (x y z ) to układy ruchome, odpowiednio, ślimacznicy i ślimaka. Zgodnie z rysunkiem, układ ślimaka jest odsunięty od układu stałego i od ślimacznicy o odległość osi przekładni oraz skręcony o kąt 90 o. Sposób obliczeń linii styku zębów takiej przekładni został przedstawiony w pracach [4, 5]. Prędkość dowolnego punktu A(xyz) wzdłuż zwoju ślimaka jest opisana zależnością: ω r A S A =. (1) cosγ A Prędkość ta jest zależna od prędkości kątowej ω ślimaka, promienia wodzącego r A oraz kąta wzniosu linii śrubowej ślimaka γ A. Po wyrażeniu promienia r A we współrzędnych układu stałego x 0 i z 0 (zgodnie z rys. ), w którym są podawane współrzędne linii styku, otrzymuje się: ( a x 0 ) z. r A = + () W równaniu tym a oznacza odległość osi przekładni. Składowe prędkości poślizgu w poszczególnych osiach układu stałego (x 0 y 0 z 0 ), obliczone na podstawie rys., są wyrażone równaniami: p Ax p Ay p Az = ω ra sinϕ = ωratgγ A. = ω r cosϕ A Kąt ϕ można obliczyć na podstawie współrzędnych punktu styku (rys. ) z zależności: 0 (3) z0 ϕ = arctg. (4) a x0 Lepszy obraz prędkości poślizgu otrzyma się, wyrażając ją w wartościach względnych. Za prędkość odniesienia przyjęto obwodową prędkość ślimaka w biegunie zazębienia, którą przedstawia równanie: ( a ) = ω. (5) r1 Odnosząc składowe prędkości poślizgu do obwodowej prędkości ślimaka, otrzymuje się składowe względne prędkości poślizgu postaci:
146 L. Skoczylas wp Ax wp Ay wp Az ra sinϕ = a r1 ratgγ A =. (6) a r1 ra cosϕ = a r 1 Prędkość poślizgu wynikająca z odtaczania ślimaka i ślimacznicy p1a należy rozpatrywać w przekroju podłużnym ślimaka. Przekrój taki, odpowiadający wybranemu punktowi styku A(xyz), przedstawiono na rys. 3. Kierunek prędkości poślizgu jest styczny do zarysu zęba, a jej wartość to różnica chwilowych prędkości ślimaka t1a i ślimacznicy ta. Wobec tego =. (7) p1a t1a t A Rys. 3. Składowe poślizgu w przekroju osiowym ślimaka Fig. 3. Rubbing components in worm axial section Chwilową prędkość ślimacznicy względem ślimaka w kierunku stycznym do zarysu zęba t1a można wyznaczyć w oparciu o prędkość kątową ślimacznicy oraz chwilową odległość stycznej do zarysu od osi obrotu O p (rys. 3). Oś obrotu O p jest wyznaczona przez prostopadłe przecięcie linii przyporu zębów z prostą przechodzącą przez oś obrotu ślimacznicy. W związku z tym chwilową prędkość ślimacznicy względem ślimaka, styczną do zarysu zęba w punkcie A, opisuje zależność: t 1 A = ω 1 ρ. (8)
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej 147 Odległość stycznej do zarysu od osi obrotu ρ (rys. 3), obliczoną dla punktu A(xyz) z wykorzystaniem współrzędnych linii styku, przedstawia równanie: ( x r ). ρ = r1 sinα1a ± 0 1 + y0 (9) W powyższym wzorze znak plus odnosi się do głowy zęba ślimacznicy, a minus do jego stopy. Kąt przyporu, obliczony również z wykorzystaniem współrzędnych linii styku: x0 r1 α = 1A arctg. (10) y0 Prędkość ślimaka względem ślimacznicy w kierunku stycznym do zarysu zęba ta została określona przy założeniu zazębienia koła zębatego z zębatką [3]. Opierając się na wzdłużnym przekroju ślimaka przedstawionym na rys. 3, można założyć, że obrotowi ślimacznicy odpowiada poosiowy przesuw ślimaka. Prędkość przesuwu ślimaka jest stała i odpowiada prędkości obwodowej ślimacznicy na średnicy tocznej 1. Wobec tego prędkość ślimaka względem ślimacznicy w kierunku stycznym do zarysu zęba można zapisać w następujący sposób: t A 1 sinα 1A = ω1r1 sinα1a =. (11) Ujęta zależnością (7) prędkość poślizgu wynikająca z odtaczania ślimaka i ślimacznicy po przekształceniach będzie miała postać: ( x r ). p 1 A ± 1 0 1 + y0 = ω (1) Korzystając z zależności (5) oraz uwzględniając przełożenie przekładni, prędkość poślizgu p1a można zapisać następująco: wp 1 A ( x0 r1 ) i( a r ) 1 0 ± + y =. (13) Celem obliczenia całkowitej wartości poślizgu prędkość wp1a należy rozłożyć na składowe odpowiadające osiom układu współrzędnych. W tym przypadku prędkość poślizgu ma tylko dwie składowe. Brak jest składowej odpowiadającej osi ślimacznicy. Składowe wzdłuż poszczególnych osi są opisane zależnościami:
148 L. Skoczylas wp1ax wp1ay ± = ± = ( x0 r1 ) i( a r1 ) ( x0 r1 ) i( a r ) wp1az 1 = 0 + y 0 + y 0 cosα sinα 1A. (14) Składowe całkowitej prędkości poślizgu są sumą obliczonych składowych prędkości wp1a oraz wpa wzdłuż poszczególnych osi. Na podstawie wartości wynikających z przedstawionych równań można również wyliczyć kąty nachylenia wektora całkowitej prędkości poślizgu względem każdej osi układu współrzędnych. Dla zobrazowania powyższych rozważań opracowano kilka przykładów rozkładu prędkości poślizgu na boku zwoju ślimaka. Prędkość ta była określana w wybranych punktach linii styku zębów przekładni ślimakowych o zarysach Archimedesa, ewolwentowym oraz kołowo-łukowym ślimaka. Parametry przekładni, dla których prowadzono obliczenia, przedstawiono w tablicy 1. Parametrem podlegającym zmianom była liczba zwojów ślimaka. Promień zarysu zwoju dla ślimaka kołowo-łukowego wynosił 30 mm. Wartość oraz kierunek czołowej prędkości poślizgu dla wybranych przekładni ślimakowych w wybranych punktach linii styku przedstawiono na rys. 4. W celu porównania kąt obrotu ślimaka tak ustawiono, aby w każdym przypadku linie styku zębów w przekroju osiowym ślimaka przebiegały przez biegun zazębienia oraz symetrycznie względem niego w odległości 3 mm. Analizując rysunki, można zauważyć, że dla jednozwojnego ślimaka bez względu na jego zarys występuje duże podobieństwo w rozkładzie czołowej prędkości poślizgu. Różnice można dostrzec dopiero przy większej liczbie zwojów ślimaka, tutaj kierunek poślizgu odbiega od stycznej do obwodowej prędkości ślimaka. Szczególnie jest to widoczne dla dużej liczby zwojów ślimaka (z = 0). Podobna sytuacja będzie występować w nietypowych rozwiązaniach przekładni ślimakowych [6]. Jest to spowodowane wpływem prędkości poślizgu pochodzącej od odtaczania ślimaka i ślimacznicy, której wartość wzrasta wraz z odległością punktu styku od bieguna zazębienia. W tablicy zestawiono wartościowo prędkość poślizgu dla przypadków z rys. 4. Prędkość poślizgu wyrażono względem prędkości obwodowej ślimaka w biegunie zazębienia. Wyrazem tego jest wartość 1 dla linii środkowej w przekroju osiowym ślimaka dla każdego przypadku przekładni. Dla każdej linii styku podano wartość maksymalną, minimalną oraz wartość w przekroju osiowym. Wartości w tablicy potwierdzają podobieństwo prędkości poślizgu dla ślimaków jednozwojnych. Występująca rozbieżność wynika głównie z odległości punktu styku od osi obrotu ślimaka. Wpływ prędkości poślizgu pochodzącej od odtaczania jest znikomy. Obliczona maksymalna wartość tej prędkości dla przedstawionych linii styku ślimaków jednozwojnych wynosi 1A
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej 149 około 0,017. Dla ślimaków o sześciu zwojach czołowa prędkość poślizgu nieznacznie się zwiększa. Największy wzrost można zauważyć dla ślimaka ewolwentowego. Dla tego ślimaka również największa jest składowa poślizgu pochodząca od odtaczania, która wynosi 0,5. Dla dużej liczby zwojów ślimaka (10 i 0) wartość czołowej prędkości poślizgu nie odbiega zasadniczo od pozostałych. Znacząco jednak zmienia się jej kierunek, widoczny na rys. 4. Jest to wpływ składowej poślizgu pochodzącej od odtaczania, która w tym przypadku osiąga wartość 0,7. Wyniki w tablicy pokazują również większe rozbieżności prędkości poślizgu na stopie zęba ślimaka niż na jego głowie. Parametry przekładni ślimakowej Worm gear parameters Nazwa parametru Wartość Moduł osiowy ślimaka 5 mm Wskaźnik średnicowy 10 Współczynnik grubości zęba ślimaka 0,5 Liczba zębów ślimacznicy 30 Współczynnik luzu wierzchołkowego 0, Współczynnik korekcji 0 Odległość osi przekładni 100 mm Kąt zarysu 0 o Tablica 1 Wartości prędkości poślizgu na boku zęba ślimaka The values of rubbing speed at worm flank Linia styku Czołowa prędkość poślizgu max min na osi X max min na osi X Ślimak Archimedesa z = 1 z = 6 Górna 1,01 1,118 1,10 1,06 1,067 1,13 Środkowa 1,198 0,999 1,000 1,45 0,989 1,000 Dolna 1,08 0,880 0,880 1,84 0,880 0,881 Ślimak ewolwentowy z = 1 z = 6 Górna 1,01 1,118 1,10 1,16 1,06 1,118 Środkowa 1,198 0,999 1,000 1,55 0,990 1,000 Dolna 1,05 0,880 0,880 1,358 0,836 0,89 Ślimak kołowo-wklęsły R = 30 mm z = 1 z = 6 Górna 1,06 1,118 1,10 1,5 1,065 1,15 Środkowa 1,193 0,999 1,00 1,10 0,989 1,00 Dolna 1,198 0,880 0,880 1,16 0,880 0,88 Ślimak Archimedesa z = 10 z = 0 Górna 1,17 1,037 1,19 1,8 1,010 1,138 Środkowa 1,1 0,984 1,000 1,43 0,98 1 Dolna 1,197 0,880 0,884 1,1 0,898 0,908 Tablica
150 L. Skoczylas a) Ślimak Archimedesa b) Ślimak ewolwentowy c) Ślimak kołowo-wklęsły R = 30 d) Ślimak Archimedesa Rys. 4. Czołowa prędkość poślizgu dla wybranych parametrów przekładni ślimakowej Fig. 4. Frontal rubbing speed for selected parameters of worm gear
Prędkość poślizgu w zazębieniu przekładni ślimakowej 151 3. PODSUMOWANIE Przedstawiony sposób obliczeń prędkości poślizgu, oparty na współrzędnych linii styku, pozwala na opracowanie szczegółowego rozkładu poślizgów na boku zwoju ślimaka. Uzyskane wartości potwierdzają poprawność stosowanego w praktyce utożsamienia prędkości poślizgu z prędkością pochodzącą od obrotu ślimaka, ale tylko dla małego kąta wzniosu linii śrubowej ślimaka. Wzrost kąta wzniosu linii śrubowej wprowadza odstępstwo od tej reguły. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można stwierdzić, że prędkość poślizgu w głównej mierze zależy od odległości punktu styku od bieguna zazębienia. Ze wzrostem odległości wzrasta udział prędkości poślizgu pochodzącej od odtaczania ślimaka i ślimacznicy, co z kolei wpływa na kierunek wypadkowej prędkości poślizgu. Wobec tego, modyfikując zarys zwoju ślimaka, można wpływać na położenie punktu styku, a przez to na wzajemne ułożenie linii styku i prędkości poślizgu. LITERATURA [1] Kornberger Z., Przekładnie ślimakowe, Warszawa, WNT 1973. [] Marciniak T., Przekładnie ślimakowe walcowe, Warszawa, PWN 001. [3] Müller L., Przekładnie zębate, Warszawa, WNT 1996. [4] Skoczylas L., Linia styku zębów przekładni ślimakowej o stożkopochodnym zarysie ślimaka, Archiwum Technologii Maszyn i Automatyzacji, 006, vol. 6, nr. [5] Skoczylas L., Geometria zazębienia przekładni ślimakowej przy zmodyfikowanym zarysie ślimaka Archimedesa, Mechanik, 007, nr. [6] Skoczylas L., Wpływ parametrów konstrukcyjnych na właściwości eksploatacyjne walcowo- -śrubowego mechanizmu różnicowego, rozprawa doktorska, Politechnika Rzeszowska 1998. Praca wpłynęła do Redakcji 16.03.007 Recenzent: prof. dr hab. inż. Ryszard Grajdek RUBBING SPEED IN WORM TRANSMISSION S u m m a r y The paper presents the method of calculation of inter-teeth worm gear rubbing speed in the arbitrary point of gear wheel tooth flank. The calculations are based on the coordinates of contact line of gear teeth. The paper contains also examples of tooth flank rubbing speed distributions in worm frontal intersection for selected parameters of worm gear. Key words: worm gears, meshing, rubbing speed
15 L. Skoczylas