Blok IV: Wektory i geometria IV. Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzhołkami równoległooku ABCD. Ile różnyh, niezerowyh wektorów wyznazają te punkty? IV. Każda para spośród punktow A, B, C, D kwadratu ABCD o oku określa pewien wektor. Wypisz wektory, które: a) są zerowe ) są przeiwne do wektora CD IV.3 W sześiokąie foremnym ABCDEF wyznaz wektory: a) o tym samym kierunku, o wektor AE ) o tej samej dlugośi, o wektor AE ) o tym samym zwroie, o wektor AE ) mają tę samą dlugość, o wektor CD d) mają długość. d) równe wektorowi AE e) przeiwne do wektora AE. IV.4 W ośmiokąie foremnym ABCDEFGH każda para punktów określa pewien wektor. Podaj wszystkie wektory: a) o tym samym kierunku, o wektor AD ) o tej samej długośi, o wektor AD ) o tym samym zwroie, o wektor AD d) równe wektorowi AD e) przeiwne do wektora AD f) prostopadłe do wektora AD IV.5 W dowolnym zworokąie ABCD (nie prostokąie) zaznaz wektor równy: a) AD + AB ) AD + DC ) BC + AD d) AC + BD e) AB DC IV.6 Narysuj dwa dowolne, niezerowe wektory u, w. Grafiznie znajdź wektor z równy odpowiednio: a) u + w ) u w ) u + w d) u w IV.7 Narysuj dwa jakiekolwiek wektory u i v. Znajdź wektor w (grafiznie), gdy: a) w = u ) w = 3 v ) w = u v d) w =, 5 u e) w = 4 v f) w =.5 u 3.5 v IV.8 Punkty A, B, C, D, E są kolejnymi wierzhołkami pięiokąta ABCDE. Znajdź wektory: a) ( AB + BC) + CD ) AC EC ) AD CD d) [( AB + BC) + ( CD + DE)] + EA IV.9 Punkty A, B, C, D są kolejnymi wierzhołkami równoległooku ABCD. Wykaż, że: a) AC + BD = BC ) AC BD = DC IV.0 Narysuj wektor a mają dane wektory i, jeśli: = a (przypadki a), ), ), Rys. ). IV. Znajdź sumę wektorów leżąyh w tej samej płaszzyźnie (Rys. ):
a) ) ) Rysunek : Znajdź wektor a, jesli = a a a Rysunek : Znajdź sumę wektorów d
a) a + + ) a + + + d IV. Sprawdź analityznie i geometryznie tożsamośi: a) a + a = a + ) a + + a IV.3 Wektory a, i są okami trójkąta. Wyznaz środkowe tego trójkąta w zależnosi od wektorów a, i. IV.4 Nieh ABC ędzie dowolnym trójkątem, punkt D środkiem oku AB. Wyznaz wektor CD w zależnośi od wektorów CA i CB. IV.5 Wyznaz wektor AC w zależnośi od wektora AB, gdy: a) dane są wektory wspołliniowe AB i BC takie, dla któryh AB 3 BC = 0 ) dane są wektory wspołliniowe AB i BC takie, dla któryh AB + 3 BC = 0 IV.6 Dany jest prostokąt ABCD, przy zym wektor AB = 3 p oraz AD = 4 q. Wyznaz wektory AM, AN i MN w zależnośi od wektorow p i q, jeżeli M i N sa odpowiednio środkami okow CD i BC. IV.7 Na prostej k dane są punkty A i B. Dla jakiego punktu C zahodzi równość AC + BC = 0? IV.8* Mają dany sześiokąt foremny ABCDEF przedstaw wektory BD, AD, BE, F C w postai kominaji liniowej wektorow AB i BC. IV.9 Mamy trzy wektory odpowiadająe wysokośi, dlugośi i szerokośi sali zazepione w danym rogu sali. Wskaż wektor wypadkowy. IV.0 Jaki warunek muszą spełniać niezerowe wektory u i v, ay zahodziła równość: = a) u + v = u + v ) u v = u v ) u v = u v d) u + v = u v IV.* Narysuj dwa nierównoległe wektory u i v oraz trzei wektor w. Przedstaw w w postai sumy dwóh wektorów, z któryh jeden jest równoległy do u, a drugi do v. Czy dla każdego niezerowego wektora w zadanie ma rozwiązanie? Jaki stąd wniosek? IV. Pokazać, że wektory a i leżąe na płaszzyźnie są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są współliniowe. IV.3* Pokazać, że wektory a,, leżąe w przestrzeni są liniowo niezależnie wtedy i tylko wtedy gdy nie są współpłaszzyznowe. IV.4 Wektory f i f są liniowo niezależne na płaszzyźnie. Uzasadnić, że następująe wektory są również liniowo niezależne. a) f i f ) f f i f + f ) f f i f f d) f + f i f IV.5 Wektory f, f, f 3 są liniowo niezależne w przestrzeni. Uzasadnić, że następująe wektory są również liniowo niezależne. a) f, f, f3 ) f f, f + f, f3 ) f f + f 3, f f f 3, f f f 3 d) f + f, f, f 3 3
IV.6 Wektory f i f są liniowo niezależne oraz f 3 = 3 f f. Czy układ wektorów f, f, f 3 stanowi azę w przestrzeni? Odpowiedź uzasadnić. IV.7 Oliz współrzędne wektorów AB i BA, jeśli: a) A(, ), B( 3, 5) ) A(, ), B(6, 6) e) A(, 3, 0), B(0,, 3) ) A(0, 0), B(5, ) d) A(, 0, ), B(,, 6) IV.8 Oliz współrzędne punktu A, jeśli AB = [ 5, 4], a B(, 3). f) A(, 0, ), B(,, 3) IV.9 Dane są punkt A = (, 3) i wektor a = [3, 4]. Znajdź współrzędne takiego punktu B, dla którego: a) AB = a ) AB = a ) AB = a d) AB = a IV.30 Dane są punkty A = (, ), B = (3, 6). Znajdź punkt C taki, dla którego: a) AB = BC ) AB = BC ) AB = BC IV.3 Znajdź długość wektora: d) AB = BC e) AC = CB f) AC = CB g) AC = BC a) a = (, 4, ). ) a = (, 0, ). ) a = (,, 5 ). d) a = ( 3, 3, ). e) a = ( 3,, ). f) a = (0,, 3 ). g) a = ( 3,, ). h) a = (, 0, ). i) a = (, 3, 3 ). j) a = (, 0, 4 ). k) a = (3,, 4). % l) a = (, 3, 3). IV.3 Wyznaz sumę wektorów a i. Oliz ih długośi oraz długość ih sumy. a) a = [4, 3], = [ 3, ] ) a = [3, ], = [6, ] d) a = [, 0, ], = [, 3, ] e) a = [,, ], = [, 0, ] ) a = [,, ], = [, 4, ] IV.33 Zaznaz na płaszzyźnie wektor u o pozątku w dowolnym punkie i oliz jego długość, gdy: a) u = [, ] ) u = [ 4, 3] e) u = [, 0] ) u = [ 3, ] d) u = [0, 5] IV.34 Dane są trzy punkty A, B, C. Przedstaw wektor OA = a jako kominaję liniową wektorów OB = i OC =, gdzie O jest pozątkiem układu współrzędnyh, jeśli a) A = (5, ), B = (, 4), C = (, ) ) A = (, ), B = (, ), C = (0, ) d) A = (, ), B = (, 3), C = (3, ). e) A = (, ), B = (3, ), C = (, 4). ) A = (0, ), B = (, ), C = (3, ) IV.35 Sprawdź, zy podane wektory są liniowo niezależne 4
a) a = [, ], = [, ] ) a = [, ], = [, ] ) a = [, ], = [, 0] e) a = [0,, ], = [,, ], = [ 3, 5, 5] f) a = [,, 0], = [0,, ], = [,, 0] g) a = [, 0, 3], = [,, ], = [ 3,, 7] d) a = [,, ], = [,, ], = [0, 0, ] IV.36 Dla jakih wartośi parametru m wektory a, i są liniowo niezależne? a) a = [, 3, 4], = [0,, ], = [,, m] ) a = [,, ], = [3, m, 3], = [ 4,, ] ) a = [ 3,, ], = [, m, ], = [3,, 3] d) a = [,, m], = [,, ], = [m,, ] IV.37 Rozłożyć wektor w na składowe wzdłuż wektorów a i. Rozkład zilustrować grafiznie. a) w = [5, 5], a = [0, ], = [, ] ) w = [, ], a = [, ], = [, ] ) w = [, 0], a = [, ], = [0, ] d) w = [3, 3], a = [, ], = [, 4] IV.38 Rozłożyć wektor w na składowe wzdłuż wektorów a, i. a) w = [0,, 6], a = [,, ], = [,, ], = [,, ] ) w = [,, 0], a = [,, ], = [,, ], = [,, ] ) w = [,, 3], a = [3,, ], = [, 3, 3], = [0, 3, 4] d) w = [, 0, 0], a = [,, ], = [0,, ], = [,, 0] IV.39 Dane są punkty A = (3, 3), B = (5, 9). Znajdź AC, jeżeli punkt C jest środkiem odinka AB. IV.40 Dane są trzy wektory: a = [, 0, ], = [,, 3] i = [,, ]. Znajdź wektor x = 3 a + 4. IV.4 Dany jest wektor a = [6, ]. Wyznaz wektory a, a, 4 a, 3 a. Podaj też rozwiązanie grafizne dla wektora a o pozątku w punkie (0, 0). IV.4 Oliz owód trójkąta ABC o wierzhołkah A = (0, ), B = (, 4), C = (5, ). Sprawdź, zy trójkąt ABC jest prostokątny. IV.43 Sprawdź, zy trójkąt o podanyh wierzhołkah jest prostokątny: a) A = (, ), B = (3, ), C = ( 3, ) ) A = (5, 0), B = (, 8), C = ( 5, 5) ) A = (, ), B = (, 5), C = ( 7, 3) IV.44 Sprawdź, zy trójkąt ABC jest podony do trójkąta MP N, gdy: A = (, 0), B = (3, 3), C = (, 4), M = (3, ), P = ( 5, 4), N = (, 6). IV.45 Oliz owód zworokąta ABCD o wierzholkah: A = (, ), B = ( 3, 4), C = (, ), D = (4, 3). IV.46* Podane są trzy punkty w ukladzie kartezjańskim: A(, ), B(3, 4), C( 4, ). Wyznaz wspolrzedne punktow P, R, S, które dzielą kolejne odinki AB, BC, CA tak, że: a) AP = P B, BR = RC, CS = SA ) AP = 3 P B, BR = 3 RC, CS = 3 SA IV.47 Punkty A, B, C sa wierzhołkami trójkąta równooznego o oku dlugośi a. Punkt D jest środkiem oku AB. Wyznaz: 5
a) AB AC ) AB BC ) AC CD IV.48 Znaleźć długość wektora a = 3 m 4 n wiedzą, ze m n i są to wektory jednostkowe. IV.49 Wektory a i tworzą kat 0, przy zym = a. Znajdź taką lizę x, dla której wektory a + x i a są ortogonalne. IV.50 Oliz ilozyn skalarny wektorów a i, jeżeli: a) a = 5, = 6, ( a, ) = π 6 ) a =, = 5, ( a, ) = π ) a =, = 4, ( a, ) = π 3 IV.5 Oliz ilozyn skalarny wektorów: a) 3 p q i p 5 q, jeżeli p i q są jednostkowymi wektorami ortogonalnymi ) 4 a i a + 3, jeżeli a =, = 3 oraz ( a, ) = 0 ) 6 a + i a, jeżeli a = = oraz ( a, ) = 60 IV.5 Oliz ( a + ), jeżeli: a) a =, = 5, ( a, ) = 60 ) a = 3, =, ( a, ) = 50 IV.53 Kąt między wektorami a i jest równy 0 oraz a = 3 i =. Znajdź: a) a ) ( a + ) ) ( a ) d) ( a + ) ( a ) IV.54 Wektor a tworzy z osiami OX i OY kąty 60 i 0. Oliz jego współrzędne, jeżeli a =. IV.55 Motorówka płynie po rzee z prędkośią v. Prędkość własna motorówki v jest większa, niż prędkość prądu rzeki v, tzn. v > v. Podaj ilustraję grafizną wektora prędkośi v, gdy motorówka płynie w górę rzeki i gdy płynie w dół rzeki ( oddzielne rysunki). IV.56 Jaki jest kąt między wektorami a i, jeśli wiadomo, że a + = 0 oraz a = 0. IV.57 Dla jakiej wartośi parametru m zahodzi = m a, jeśli = a (przy zym a = 0). IV.58 Dwie siły zazepione w tym samym punkie działają w kierunkah prostopadłyh. Każda z nih ma wartos 0 N. Narysuj wektor siły wypadkowej oraz oliz jego wartość. IV.59 Oliz ilozyn skalarny wektorów a i, jeśli: a) a = [,, ], = [,, ] ) a = [, 3, 5], = [4,, ] ) a = [, 0, ], = [3,, ] d) a = [, 3, 4], = [, 6, 8] e) a = [0, 3, ], = [,, 6] f) a = [0,, 0], = [4, 0, 9] IV.60 Znajdź ilozyn skalarny następująyh wektorów: a) a = (,, 0), = (, 0, ). d) a = ( 3,, ), = (0, 3, ). ) a = (,, 3), = ( 3,, 3 ). e) a = (, 3, 5 ), = ( 4 3, 3, 0). ) a = (0, 4, ), = (,, 3). f) a = (,, 3), = (0, 3, ). 6
g) a = (5, 4, ), = ( 5, 4, ). h) a = ( 3,, ), = (, 7 3, ). i) a = (,, 5 3 ), = ( 3 7,, ). j) a = (0,, 3 4 ), = ( 3, 3, 5). k) a = ( 3, 3 5, ), = (,, ). l) a = ( 3, 5, 3 ), = ( 3 5, 5, 3). IV.6 Znajdź współrzędne wektora współliniowego z wektorem a, gdy: a) a = [, 3], a = 6 ) a = [,, ], a = IV.6 Wektor AB o pozątku w punkie A = (,, ) i długośi 5 3 tworzy z osiami jednakowe kąty ostre. Znajdź współrzędne punktu B. IV.63 Dane są wektory a = [, 3] i = [, ]. Znajdź wektor x prostopadły do wektora a i taki, że x = 7. IV.64 Oliz kąt φ zawarty między: a) wektorami a = [, 3, ] i = [3, 6, 8] ) wektorami = 4 a + i d = 4 a + 7 4, jeśli a = [, ] i = [, 3] ) przekątnymi równoległooku zudowanego na wektorah a = i + j k, = i + j + k IV.65 Dane są wektory a = [5, 6, ], = [ 4, 3, ] i = [,, 3]. Znajdź wartość wyrażenia 3 a a +. IV.66 Dane są wektory a = [5, 6, ], = [ 4, 3, ] i = [,, 3]. Oliz ilozyn skalarny wektorów a i a +. IV.67 Dane są trzy punkty A = (, ), B = (, 4) i C = (0, 3). Znajdź osinus kąta zawartego między środkowymi trójkąta ABC poprowadzonymi z wierzhołków A i C. IV.68 Znajdź długość wektora a, jeśli: a) a = 6 p 8 q oraz p i q są wektorami jednostkowymi i ortogonalnymi ) a = 5 p 4 q oraz p =, q = 5 oraz ( p, q) = 0 IV.69 Dane są wektory a i, przy zym a =, = oraz ( a, ) = π 3. Znajdź długość wektora = 3 a. IV.70 Znajdź długość przekątnyh równoległooku zudowanego na wektorah: a) a = p + q i = p q, gdzie p i q są wektorami jednostkowymi tworząymi kąt 60. ) a = 5 m + n i = m 3 n, jezeli m =, n = 3 i ( m, n) = 45. IV.7 Oliz wartość wyrażenia a + 3 a +, jeśli a = 4 p q, = p + q, = p 3 q, p = q = oraz ( p, q) = 90. IV.7 W pewnym punkie przyłożono dwie siły P i Q działająe pod kątem 0 względem sieie, przy zym P = 7 i Q = 4. Znaleźć wartość sily wypadkowej R. IV.73 Oliz ilozyny skalarne a jeśli: a) a = 3 i + 4 j, = i + j, i i j są jednostkowe i prostopadłe do sieie. ) a = p + 3 r, = p r, kąt ( p, r) = 45, p i r są jednostkowe. ) a = i + j + k, = i j k, i j, i k, j k, i = j = k = 7
IV.74 Dla jakiego parametru m R wektory a i są względem sieie prostopadłe? a) a = 3 i + j, = i m j, i j, i = j = ) a = (m ) i + 3 j, = (m + ) i + 4 j, i j, i = j = ) a = (m ) i j, = j, i j, i = j = d) a = i j k, = 3 i + m j 4 k, i j, i k, j k, i = j = k = e) a = i + j + 3 k, = m i + (m + ) j 4 k, i j, i k, j k, i = j = k = IV.75* Jaki kąt tworzą wektory jednostkowe s i t, gdy wektory p = s + t, q = 5 s 4 t są wzajemnie prostopadłe? IV.76 Położenia planet względem gwiazdy dane są przez wektory r oraz r. (Składowe wektorów wodząyh wyrażone są w jednostkah astronomiznyh.) Znajdź odległość pomiędzy planetami (w j.a.). a) r = (,, 3), r = (, 3, ). ) r = (0,, 3), r = (, 0, ). ) r = (,, 0), r = (4, 5, 0). d) r = (, 3, ), r = (4, 5, 0). e) r = (0,, 0), r = (6,, ). f) r = (, 0, ), r = (4,, ). g) r = (, 3, 0), r = (5, 6, ). h) r = (0,, ), r = (3,, ). IV.77 Oliz wysokos dęu Bartek, jeśli wiadomo, że jego ień ma długość 38,6 m wtedy, gdy promienie słonezne padają pod kątem 35. IV.78 Pod jakim kątem padają promienie słonezne, jeśli kij o długośi 6 m ustawiony prostopadle do powierzhni ziemi, rzua ień o długośi 00 m? IV.79 Jaką długość ma deska, która oparta pod kątem 30 do powierzhni ziemi, sięga wysokośi 3 m? IV.80 Na jaką wysokość wejdziemy, jeśli pokonany drogę km (w linii prostej) wznosząą się równomiermie pod kątem 5? IV.8* Oserwator o wzrośie 80 m dwukrotnie zmierzył kąt wzniesienia wieży: raz w punkie A, drugi raz w punkie B. Pierwszy pomiar wynosił 63, zaś drugi 49. Wiedzą, że punkt B oddalony jest od punktu A o 6 m i zakładają, że wieża znalazła się na prostej AB, oliz wysokość wieży. IV.8* Statek pasażerski płynie z prędkośią 0 węzłów w kierunku wshodnio-południowo-wshodnim (ESE), tzn. w kierunku, który oddhyla się od wshodu o 30 na południe. O godzinie 3:05 dostrzegł w odległośi mil morskih na swoim kursie ziornikowie płynąy na wshód z prędkośią 8 węzłów. O której godzinie statek pasażerski ędzie znajdował się dokładnie na południe od ziornikowa? IV.83 Jakim trójkątem jest trójkąt o długośiah oków 3 m, 4 m i 6 m. IV.84 Oliz pole trójkąta ABC wiedzą, że: AB =, kąt CAB= α i kąt CBA= β. IV.85 Korzystają z twierdzenia sinusów oliz pole: a) kwadratu, którego przekątna ma długość a. ) prostokąta, którego przekątna ma długość d, a kąt między przekątnymi ma miarę α. IV.86 Udowodnij twierdzenie kosinusów korzystają z własnośi ilozynu skalarnego IV.87 W trójkąie prostokątnym o przyprostokątnyh AC = 8 i BC = 6 orano na oku AC punkt D tak, ze CD : DA = 3 : 5. Znajdź osinus kąta zawartego między BD i DA. 8
IV.88 W trójkąie równoramiennym ABC, w którym AC = BC = 8 orano na oku AC punkt E tak, ay CE : AE = 3 :. Znajdź osinus kąta zawartego między wektorami BA i BE. IV.89 W trójkąie ABC dane są A = 80, B = 55 oraz AB = 0. Oliz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkąie. IV.90 Oliz długość promienia okręgu opisanego na trójkąie ABC, zakładają, że jeden z oków trójkąta ma długość a = 4 7 i os α = 3. IV.9 Z wierzhołka A trójkąta ABC, którego oki mają długośi a,, poprowadzono półprostą przeinająą ok BC w punkie D. Podzieliła ona trójkąt ABC na dwa trójkąty. Wykazać, że stosunek promieni okregów opisanyh na tyh trójkątah nie zależy od kąta, jaki tworzy półprosta z okiem BC. IV.9 W trójkąie dane są długośi oków a = 5, = 4 oraz kąt γ = 50. Olizyć długość trzeiego oku tego trójkąta i długość promienia opisanego na nim okręgu. IV.93* W równoległooku kąt ostry ma miarę 60, a stosunek kwadratu długośi krótszej przekątnej do kwadratu długośi dłuższej przekątnej wynosi 9 : 39. Olizyć stosunek długośi okow równoległooku. IV.94 W trójkąie ABC dane są A = 80, B = 40. Promień okręgu opisanego na tym trójkąie ma długość. Oliz długość oku AB. IV.95 W trójkąie ABC dane są sin α = 5, os β = 3 5 i BC = 8. Wyznaz długość oku AC. IV.96 Oliz długość przekątnyh równoległooku, jeśli jego oki mają miarę a = 3, = 3, a kąt ostry ma miarę π 4. IV.97 Dane są wektory a i. Znajdź wektor = a. a) a = (,, 3), = (,, ). ) a = (0,, ), = (,, 3). ) a = (,, ), = (, 4, ). d) a = (,, ), = (0,, ). e) a = (, 0, 0), = (0,, 0). f) a = (, 3, ), = (0, 3, ). g) a = (,, 0), = (, 0, ). h) a = (0, 3, ), = (,, 0). IV.98 Oliz ilozyny wektorowe podanyh par wektorów: a) a = [, 3, ], = [,, 5] ) p = j + k, q = i j + 3 k ) a = [ 3,, 0], = [, 5, ] d) u = i 3 k, v = i + j 4 k e) a = [4, 0, ], = [,, ] f) x = i + j + k, y = i + 3 j + 4 k IV.99 Znajdź współrzędne wektora = a dla następująyh wektorów a i a) a = (,, 0), = (3,, 0). ) a = ( 5,, 3), = (,, ), ) a = (, 0, 3 ), = (, 4, ), d) a = ( 4,, ), = (0,, ). e) a = (,, 5 ), = (,, ), f) a = (, 4, 4 ), = ( 4,, 0), g) a = ( 5, 4, ), = ( 3, 3, 3 ), h) a = (, 0, 0), = (3,, ). IV.00 Dane są wektory a i. Znajdź wzór na wektor a, ędąy rzutem wektora a na kierunek wektora. IV.0 Dla podanyh wektorów a i, rozłóż wektor a na składowe równoległą a oraz prostopadłą a do wektora 9
a) a = [,, 0], = [3,, 0]. ) a = [,, 3], = [,, ]. ) a = [, 0, 3 ], = [,, ]. e) a = [,, ], =,,. f) a = [,, 0], = [,, ]. g) a = [0, 0, )] = [,, ]. h) a = [,, ], = [, 3, ]. d) a = [,, ], = [0,, ]. i) a = [,, ], = [,, ] IV.0 Dane są trzy punkty A = (,, ), B = (, 3, ) i C = (,, ). Znajdź rzut x wektora AD na oś o kierunku wektora AB, jeżeli D jest środkiem odinka BC. IV.03 Dany jest trójkąt o wierzhołkah A = (, 4), B = ( 4, 0) i C = (3, ). Znajdź kąt między wysokośią tego trójkąta poprowadzoną z wierzhołka A i okiem AC. IV.04 Olizyć a) pole trójkąta rozpiętego na wektorah a = [,, ], = [0, 3, ] ) pole równoległooku o wierzhołkah A = (, 0, ), B = (3,, 5) i C = (, 5, 0) ) ojętość równoległośianu rozpiętego na wektorah p, q, r, d) pole równoległooku rozpiętego na wektorah a = [,, 3], = [0,, 5] e) pole trójkąta o wierzhołkah A = (,, 3), B = (0,, 3) i C = (,, ) f) pole i ojętość zworośianu rozpiętego na wektorah u = [0,, 0], v = [0, 0, ], w = [, 0, 0] g) pole i ojętość zworośianu o wierzhołkah w punktah A = (0, 0, ), B = (0,, 0), C = (, 0, ), D = (,, 0) h) pole równoległooku zudowanego na wektorah a = i j i = i + j, i) pole równoległooku zudowanego na wektorah a = p q i = p + 4 q, gdzie p =, q = 3 i ( p, q) = π 3 j) wiedzą, że pole równoległooku zudowanego na wektorah p i q jest równe olizyć pole równoległooku zudowanego na wektorah a = p + 4 q i = p q k) pole równoległooku zudowanego na wektorah p i q wiedzą, że pole równoległooku zudowanego na wektorah a = p + 4 q i = p q jest równe IV.05 Dane są trzy punkty A = (,, ), B = (,, ) i C = (3,, ). Znaleźć współrzędne wektora AB AC. IV.06 Olizyć a ( ) oraz ( a ) ( a ) dla podanej trójki wektorów a) a = [,, 3], = [, 3, ] i = [ 3, ] ) a = [0,, ], = [,, 0] i = [,, ] ) a = [, 0, ], = [,, ] i = [0, ] IV.07* Pokazać, że dla dowolnej trójki wektorów a,, zahodzi a ( ) = ( a ) ( a ) IV.08 Uprość wyrażenia: 0
a) ( a + ) ( a ) ) p ( q r + p) + ( r + q) ( p r) ) ( 5 ) (3 + 4 ) d) ( a + 3 ) (3 + a) + ( 3 ) (3 a ) e) ( a ) ( d) f) ( a ) ( d) IV.09 Dane są wektory jednostkowe a i. Wiedzą, że = ( a, ) = π 3 olizyć: a) [( a + 3 ) ( a)] ) ( a ) + a ) a ( + a) IV.0* Wykazać prawdziwość następująyh relaji: (Oznazenie: [ a,, ] a ( )) a) a ( ) + ( a) + ( a ) = 0 ) ( a ) [( ) ( a)] = [ a,, ] IV.* Czy dla dowolnyh wektorów a, i prawdziwe są równośi: a) ( a + ) ( a ) = a a ) ( a ± ) ( a ± ) = a a ± a + ) ( a ) = a d) a ( + ) + ( a + ) + ( a + ) = 0 IV. Olizyć sinus kąta zawartego między wektorami a = [0,, ] i = [,, ]. IV.3 Znaleźć tangens kąta zawartego między wektorami a = [0,, ] i = [,, 0]. IV.4* Dane są wierzhołki trójkąta A = ( 3,, ), B = (6,, 5) i C = (,, ). Olizyć długość wysokośi poprowadzonej z wierzhołka B. IV.5* Znajdź wektor prostopadły do płaszzyzny przehodząej przez punkty: a) P = (,, ), P = (, 0, ), P 3 = (5, 6, 7) ) P = (0,, 0), P = (,, 3), P 3 = (4,, ) ) P = (3,, ), P = (,, ), P 3 = (3, 5, ) IV.6 Olizyć ojętość oraz wysokość zworośianu ABCD poprowadzoną z wierzhołka D, gdy: a) A = (3,, ), B = (, 4, ), C = (,, 7), D = (3, 4, 9) ) A = (5,, 0), B = (, 5, 0), C = (,, 4), D = (0, 0, 0, ) IV.7* Wyprowadź wzór na współrzędne wektora jednostkowego n prostopadłego do płaszzyzny z = ax + y +. IV.8 Znajdź wzór na współrzędne ogniska paraoli y = αx. IV.9* Znajdź transformaję (a,, ) (x o, y o, y k ) pomiędzy parametrami a,, paraoli y = ax + x + oraz współrzędnymi ogniska (x o, y o ) i położeniem kierowniy y k IV.0* Znajdź transformaję odwrotną do tej z poprzedniego zadania: (x o, y o, y k ) (a,, ). IV.* Mają dane parametry A, B, C paraoli o postai y = A(x B) + C, znajdź wyrażenia na (x o, y o, y k ). IV.* Znajdź transformaję odwrotną do tej z poprzedniego zadania: (x o, y o, y k ) (A, B, C). IV.3 Dane jest równanie paraoli. Znajdź współrzędne ogniska oraz równanie kierowniy. Narysuj krzywą. a) y + 3y + x = 0, ) y = x + 3, ) (y ) 3y + x = 0, d) y x + x =, e) y + x = (x ), f) (x ) = y 3,
IV.4 Podaj współrzędne środka oraz promień okręgu danego równaniem. Narysuj okrąg. a) (x 3) + (y + ) = 6. ) x + y = x + y +. ) x + y = 4x 6y. d) x + y = 3x + y 4. e) x + y = x + 4y + 4. f) x + y = x + y +. g) 4x + 4y + 3x 4y + 36 = 0. h) x + y = x 3. i) x + y = 0 x 0y. j) x = y(y + ). IV.5* Znajdź wzór na prostą y = Ax + B styzną do okręgu (x a) + (y ) = r w punkie okręgu danym przez a) współrzędne punktu styznośi (x 0, y 0 ) ) kąt iegunowy punktu styznośi φ. IV.6 Wykorzystują wynik zadania IV.5 podaj wzór na prostą styzną do okręgu w zadanym punkie. Narysuj okrąg wraz ze styzną. a) (x ) + (y + ) = 5 w punkie x 0 = 4, y 0 = ) (x + ) + (y ) = 9 w punkie x 0 =, y 0 = ) (x ) + (y + ) = 5 w punkie o współrzędnej iegunowej φ = 30 d) x + (y ) = 6 w punkie o współrzędnej iegunowej φ = 45 IV.7 Narysuj elipsę o zadanym wzorze. Podaj współrzędne środka, wartośi półosi wielkiej (a jeśli półoś wielka jest równoległa do osi OX, jeśli półoś wielka jest równoległa do osi OY) oraz położenie ognisk. a) x 4 + y 6 =. ) 3(x + ) + y 6 = 0. e) 3(x ) +(y+3) 6 = 0. ) (x ) + y 5 =. d) x 5 + y 4 = 0. f) (x+) +5(y +.5) = 0. IV.8* Czy dane równania opisują elipsę? Uzasadnij odpowiedź. W przypadku odpowiedzi twierdząej, podaj parametry elipsy. a) 9x + 4y + 36x 4y + 08 = 0. ) 4x + 9y 4x + 36y + 36 = 0. IV.9* Jakie krzywe opisywane są przez następująe równania. Podaj podstawowe parametry krzywej (w zależnośi od rodzaju krzywej: współrzędne środka, ognisk, równania kierowni, promień, półosie) a następnie naszkiuj jej wykres: a) 6x(x 4) + 4y(y + ) 4 = 0. ) x(x + 6) 4y( y) = 3y. ) 4x(x ) = y(y + ). d) y + x = x +.
IV. 8 IV. a) AA, BB, CC, DD, IV.3 IV.4 ) BC, HE, GF, a) BD, DB, EA, ) DC, AB, a) BC, CB, DA, EH, HE, F G, GF, d) HE, Odpowiedzi ) DC, DA, AB, BC, AD, BA, CB, ) BD, DB, EA, CA, AC, DF, F D, EC, CE, e) DA, CB, EH, F G, ) BD, ) DA, EH, HE, CF, F C, BG, GB, d) AC, CA, BD, DB d) BD, f) AH, HA, BG, GB, CF, F C, DE, ED IV.5 ) AC IV.8 a) AD, ) AE, ) AC, d) 0 IV.9 a) AC = AB + BC i BD = BC + CD, ) AC = AD + DC i BD = BC + CD IV.0 a przedstawiony wektorem z linią przerywaną (Rys. 3) a) e) DB, EA ) ) Rysunek 3: IV. Suma wektorow przedstawiona wektorem z linią przerywaną (Rys. 4) IV.3 da = + a = a, db = a + =, dc = + = a IV.4 CD = ( CA + CB) IV.5 a) AC = 4 3AB, ) AC = 3AB IV.6 AM = 3 p + 4 q, AN = 3 p + q, MN = 3 p q IV.7 Jeśli C dzieli odinek AB na pół IV.8 BD = AB + BC, AD = BC, BE = AB + BC, F C = AB IV.9 Wektor przekątnej sali zazepiony w danym rogu IV.0 a) u i v równoległe i zgodne zwroty, ) u i v równoległe, zgodne zwroty i u v, ) u i v równoległe i zgodne zwroty, d) u i v równoległe, przeiwne zwroty i u v IV. Każdy wektor da się przedstawić jako kominaja liniowa dwóh niezerowyh i nierównoległyh wektorów IV. Każdy wektor na płaszzyźnie można przedstawić w postai kominaji liniowej dwóh danyh niezerowyh i nierównoległyh wektorów. IV.3 Liniowa niezależność: jeśli a i R i a f + a f +... + a nfn = 0, to a i = 0, tzn. istnieje tylko rozwiązanie trywialne. Zatem warunek niezależnośi: α a + β = 0 ma rozwiązanie trywialne, gdy a. Jesli a, to a = γ, zyli wektory sa zależne. IV.4 Analogiznie jak IV.3. IV.5 Z treśi zadania wynika, ze a f + a f = 0 jedynie dla a = a = 0, a) a f + a ( f ) = 0 też dla a = a = 0, ) a ( f f ) + a ( f + f ) = 0 po przekształeniah (a + a ) f + (a a ) f = 0 ędzie spełnione, gdy (a + a ) = (a a ) = 0, ), d) analogiznie 3
a a d Rysunek 4: IV.6 Analogiznie jak IV.5. IV.7 a) AB = [, 6], BA = [, 6], ) AB = [5, ], BA = [ 5, ], ) AB = [5, 5], BA = [ 5, 5], d) AB = [,, 8], BA = [,, 8], e) AB = [,, 3], BA = [,, 3], f) AB = [ 4,, ], BA = [4,, ] IV.8 A = (6, 7) IV.9 a) B = (, 7), ) B = ( 5, ), ) B = (4, ), d) B = ( 0.5, 5) IV.30 a) C = (5, 0), ) C = (, ), ) C = (, ), d) C = (4, 8), e) C = (, 4), f) C = ( 7 3, 4 3 ), g) IV.3 a), ) 7, ) 3 5, d) 409 6, e) 7 3, f) 0 3, g) 6 3, h) 5, i) 89 3, j) 7 4, k) 9, l) 4 IV.3 a) a + = [, 4], a = 5, = 0, a + = 7, ) a + = [9, 3], a = 0, = 0, a + = 3 0, ) a + = [3, 5, 3], a = 3, = 6, a + = 43, d) a + = [ 3, 3, ], a =, = 7, a + = 9, e) a + = [ 3,, 0], a = 3, = 5, a + = 0 IV.33 a) 5, ) 3, ) 5, d) 5, e) IV.34 a) a = 7 8 7, ) a =, ) a = 3 5 + 5, d) a = 5 8 + 8, e) a = 7 + 4 7 IV.35 a) niezależne, ) zależne, ) niezależne, d) niezależne, e) zależne, f) niezależne, g) niezależne IV.36 a) m, ) m = 3, ) m 3, d) m, m 0 4
IV.37 a) w = 0 a 5, ) w = 0 a, ) w = a, d) a i sa współliniowe IV.38 a) w = a + 3 +, ) a i sa współliniowe, ) w = a +, d) w = a + IV.39 AC = [, 3] IV.40 x = [5, 5, ] IV.4 a = [, 4], a = [3, ], 4 a = [ 4, 8], 3 a = [, 3 ] IV.4 5 + 6, tak IV.43 a) nie, ) tak, ) tak IV.44 nie IV.45 4 9 IV.46 a) P (, 3), R(, 3 ), S( 3, ), ) P (, 3 ), R( 4, 4 ), S( 4, 4 ) IV.47 a) a a a, ), ) 3 4 IV.48 a = 5 IV.49 x = 5 IV.50 a) 5 3, ) 4, ) 5 IV.5 a) 3, ) 5, IV.5 a) 3, ) 4 ) 3 IV.53 a) 3, ) 7, ) 9, d) IV.56 80 IV.57 m {, } IV.58 0 N IV.59 a) 3, ) 3, ), d) 5, e) 0, f) 0 IV.60 a), ) 6, ) 7, d) 5 6 3, e) 3, f) 3 0 IV.6 a) = [ 4, 6], ) = [,, 4] IV.6 B = (6, 6, 6) IV.63 x = [ 3, ] IV.64 a) 90, ) 45, ) 90 ( i, j, k tworzą azę ortonormalną) IV.65 3 IV.66 34 IV.67 4 5 IV.68 a) 0, ) 0 7 IV.69 a) 7 IV.70 a) e = 4, f =, ) e = 5, f = 593 IV.7 0 IV.7 37 IV.73 a) 5, ) 4, ) IV.74 a) m = 3, ) m, ) m =, d) m = 7, e) m = 3 IV.75 π 3 79, g) 0, h) 3, i), j) 7 07 4, k) 30, l) IV.76 a) 6, ) 3 5, ) 5 34, d), e) 37, f) 83, g), h) 6 IV.77 7 m IV.78 39 IV.79 6 m IV.80 57 m IV.8 Prosta wzdłuż której patrzymy, tworzy z płaszzyzna poziomą edąą na wysokośi ozu oserwatora kąt wzniesienia (jeśli patrzymy powyżej tejże płaszzyzny poziomej) lu kąt depresji (jeśli patrzymy poniżej). Z treśi zadania wynika, że x x+s h = tg α oraz h = tg β, zatem h 74 m. IV.8 węzeł = mila morska na godzinę. P, Z położenie statku pasażerskiego i ziornikowa o godzinie 3:05. P Z = mil morskih. P, Z położenie statku pasażerskiego i ziornikowa, w hwili, gdy statek pasażerski znajduje sie na południe od ziornikowa. t zas [h], jaki upłynął między pierwszym a drugim położeniem statków, x droga ziornikowa w zasie t. Z Z = x = 8t (prędkość x 8 wezłów). Z P = os o 30. Droga przeyta przez statek pasażerski w zasie t z prędkośią 0 węzłów: x + os 30 = 0t. Otrzymujemy: t, 058h = h3m9s, zyli ok. 4:08. IV.83 Rozwartokątnym (tw. kosinusów). IV.84 sin α sin β sin(α+β) (tw. sinusów) IV.85 a) a d, ) sin α 5
IV.86 BC i podnieść oustronnie do kwadratu. IV.87 5 5 Zuduj trójkąt, którego oki tworzą wektory spełniająe równanie: AB + BC = AC. Wyznazyć IV.88 IV.89 dla AB = 6, os γ = 5 7 4 5 IV.90 6 IV.9 Z tw. sinusów dla ABD: R = sin δ, gdzie δ ADB, a R jest promieniem okręgu opisanego na ABD. Zauważmy, że ADC = 80 δ. Tw. sinusów dla ADC: R = sin(80 δ) = sin(δ), gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na ADC. Zatem R R =. IV.9 R = = 4 + 0 3 IV.93 5 IV.94 3 IV.95 3 IV.96 d = 30 + 3, d = 30 3 IV.97 a) = [, 7, 5], ) = [ 5,, 4], ) = 0, d) = [,, ], e) = [0, 0, ], f) = [ 3, 4, 6], g) = [ 4,, ], h) = [4,, 3] IV.98 a) [ 9, 7, ], ) [7,, ], ) [ 4, 6, 7], d) [3, 5, ], e) [ 4, 6, 8], f) [, 7, 5] IV.99 a) = [0, 0, ], ) = [ 7, 9 [ 49 0, 67 0, 4 ], f) = [ 5 8, 9 6, 05 6 IV.00 a = a 5, 5 ], ) = [ 7 8, 3, 4 ], d) = [ 5, 4, ], e) = 0 ], h) = [0, 3, ] ], g) = [ 4, 43 5, 3 IV.0 a) a = [ 3,, 0], a = [, 3, 0], ) a = [ 7, 6 7, 3 7 ], a = [ 7, 3 7, 8 7 ], ) a = [ 8 9, 6 9, 6 [ 9, 6 9, 3 8 ], d) a = 0, a = [,, ], e) a = [ 3, 3, 3 ], a = [ 3, 7 6, 5 3 ], f) a = [ 4 7, 7, 7 ], a = [ 4, 6 7, 7 ], g) a = [ 3, 3, 3 ], a = [ 3, 3, 3 ], h) a = [ 3 7, 9 7, 6 7 ], a = [ 7, 5 7, 3 7 ], i) a = [ 3, 3, 3 ], a = [ 5 3, 3, 4 3 ] 5 IV.0 8 [, 4, ] IV.03 45 IV.04 a) 4, ) 46, ) p ( q r), d) 85, e) 6, f) pole zworośianu lizymy jako sumę pól trójkątów: P = v w + w u + v u + v w u w = 6 + 3, V = 3 P podsth = w ( v u) 3 v u v u = 6 w ( v u) = 4 3, g) P = 4 + ( + 30), V = 4 3, h) 3, i) 4 3, j), k) IV.05 [6, 4, 6] IV.06 a) [ 7,, 9], ) [,, ], ) [,, ] IV.07 Olizyć ilozyn podstawiają współrzędne = [ x, y, z ], = [ x, y, z ], następnie wykonać mnożenie a ( ), gdzie a = [a x, a y, a z ] i pogrupować. IV.08 a) a, ) p q 3 p r q r, ) 6, d) a + 6 9 a, e) tożsamość Lagrange a a [ ( d)] = ( a )( d) ( )( a d), f) [( a ) d] [( a ) ] d IV.09 a) 75 4, ) 7 4, ) 3 IV. a) nie, ) nie, ) nie, d) tak IV. IV.3 6 IV.4 5 IV.5 a) [ 6,, 6], ) [ 8, 5 0], ) [,, 3] IV.6 patrz zadanie IV.04 f): V = 6 AD ( AB AC), V = AB AC hd. a) 3 P podsth D = 6 V = 4, h D = 4, ) V = 4, h D = 7 3 3 IV.7 Znajdujemy warunek na wektory równoległe do płaszzyzny, r = (r x, r y, ar x +r y ), v = (v x, v y, av x + v y ). Wyierają r x = v y = oraz r y = v x = 0 znajdujemy ilozyn wektorowy w = r v = (a,, ). Następnie normalizujemy wektor w otrzymują n = w w. IV.8 x o = 0, y o = 4α, równanie kierowniy y = y k = 4α. IV.9 Wykorzystuja wynik z poprzedniego zadania otrzymujemy: x o = x w = y o = y w + 4a = + 4a +, y k = y w 4a = 4a +. IV.0 a = (y o y k ), = xo y o y k, = yo+y k + x o y o y k. IV. x o = B, y o = C + 4A, y k = C 4A a, 9 ], a = 6
IV. A = (y o y k ), B = x o, C = y o+y k IV.3 a) x o =, y o = 3 4, x k = 9 4, ) x o = 0, y o = 3 4, y k = 4, ) x o = 3, y o = 5, x k = 7, d) x o =, y o =, y k = 5, e) x o =, y o = 7 4, y k = 9 4, f) x o =, y o = 3 4, y k = 4 IV.4 a) (3, ), r = 4, ) (, ), r =, ) (, 3), r = 3, d) nie jest to okrąg, e) (, ), r = 3, f) (, ), r = 3, g) ( 4, 3), r = 4, h) nie jest to okrąg, i) (, 5), r = 4, j) (0, ), r = IV.5 a) Wyznaz równanie prostej k przehodząej przez punkty (a, ) i (x 0, y 0 ). Następnie wyznaz równanie prostej prostopadłej do k przehodząej przez punkt styznośi (x 0, y 0 ): y y 0 = a x0 y (x x 0 0), ) A = tg φ, B = r s φ + a tg φ + IV.6 a) y = 3 4 x+5, ) punkt (x 0, y 0 ) nie leży na okręgu, ) y = 3x+8+ 3, d) y = x++ IV.7 a) (0, 0), = 6, ) (, 0), = 5, ) (, 0), = 3, d) (0, 0), a = 5, e) (, 3), = 3, f) (, ), a = 5 IV.8 a) (x+) 4 + (y 3) 9 = nie jest to równanie elipsy, ) (x 3) 9 + (y ) 4 = równanie elipsy o środku w punkie (3, ) oraz półosiah a = 3, = IV.9 a) elipsa o środku w punkie (, ) oraz półosiah a =, = 4, ) okrąg o środku w punkie ( 3, ) oraz promieniu r = 3, ) elipsa o środku w punkie (, ) oraz półosiah a =, =, d) paraola o wierzhołku w punkie ( 4, 9 8 ), ognisku w punkie ( 4, ) oraz kierowniy y k = 5 4 7