Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 1 Wykład 9 WARIANT ROBOCZY Względność. Teoria względności składa się właściwie z dwóch różnych teorii: szczególnej teorii względności i ogólnej teorii względności. Szczególna teoria względności przedstawiona przez Einsteina i innych w 1905 roku dotyczy porównania pomiarów wykonanych w dwóch różnych układach inercjalnych poruszających się ze stałą prędkością względem siebie. Wnioski z niej wynikające, wyprowadzone na bazie prostych przekształceń matematycznych mają zastosowanie w szeregu sytuacji w fizyce i inżynierii. Z drugiej strony ogólna teoria względności przedstawiona około 1916 roku przez Einsteina dotyczy układów podlegających przyspieszeniu i grawitacji. Dokładne zrozumienie tej teorii wymaga znajomości zaawansowanej matematyki, a jej zastosowania dotyczą głównie dziedzin związanych z grawitacją. Ma ona ogromne znaczenie w kosmologii, jednak rzadko spotykana jest w innych dziedzinach fizyki i inżynierii. W wykładzie tym głównie zajmiemy się szczególną teorią względności. 9.1 Zasada względności Galileusza. Pierwsza zasada dynamiki Newtona mówi, że nie ma różnicy między cząstką znajdującą się w spoczynku i poruszającą się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Jeżeli nie działają zewnętrzne siły, to cząstka pozostanie w swoim pierwotnym stanie albo w spoczynku, albo poruszając się ze stałą prędkością. Cząstka pozostająca w spoczynku względem ciebie, porusza się względem obserwatora, który porusza się względem ciebie. Jak można określić czy cząstka i ty znajdujecie się w spoczynku, a drugi obserwator porusza się, lub odwrotnie; drugi obserwator pozostaje w spoczynku, a ty i cząstka poruszacie się? Rozważmy prosty eksperyment. Załóżmy, że mamy wagon kolejowy poruszający się po prostych torach kolejowych ze stałą prędkością V. Pamiętamy, że jeżeli piłka znajduje się w spoczynku względem wagonu to pozostaje w spoczynku. Jeżeli puścimy piłkę, to spadnie ona pionowo podlegając przyspieszeniu ziemskiemu g. Oczywiście jeżeli patrzymy z układu związanego z torami, to piłka będzie poruszać się po paraboli, ponieważ ma prędkość początkową V w kierunku poziomym. Żaden eksperyment mechaniczny na przykład mierzenie okresu wahadła, obserwowanie zderzenia dwóch ciał, itp., nie odpowie nam, czy wagon się porusza, a tory są w spoczynku, czy tory się poruszają, a wagon jest w spoczynku. Jeżeli mamy jeden układ współrzędnych związany z wagonem, i drugi związany z torami, to zasady dynamiki Newtona będą spełnione w obu układach.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz Układy współrzędnych związane z danymi ciałami (wagon, tory) nazywamy układami odniesienia. Układ odniesienia, w którym spełnione są zasady dynamiki Newtona nazywamy układem inercjalnym odniesienia. Wszystkie układy odniesienia poruszające się względem układu inercjalnego ze stałą prędkością (oczywiście pamiętamy, że prędkość jest wektorem) są również inercjalne. Jeżeli mamy dwa układy inercjalne poruszające się względem siebie ze stałą prędkością, to nie istnieje żaden mechaniczny eksperyment, który byłby w stanie stwierdzić, który z dwu układów spoczywa, a który się porusza lub czy oba się poruszają. Ten wniosek zwany jest jako zasada względności Galileusza: Nie można zaobserwować ruchu absolutnego. Zasada względności Galileusza. Zasada ta była znana już w siedemnastym wieku. Pod koniec dziewiętnastego wieku pogląd ten uległ jednak zmianie. Zaczęto wtedy sądzić, że zasada względności Galileusza nie jest słuszna i ruch absolutny może być zmierzony poprzez pomiar prędkości światła. Eter i prędkość światła. Z wcześniejszych wykładów wiemy, że prędkość fali zależy od własności ośrodka, w którym rozchodzi się fala, a nie od prędkości źródła fali. Na przykład prędkość dźwięku względem nieruchomego powietrza zależy od temperatury powietrza. Światło i inne fale elektromagnetyczne (fale radiowe, promieniowanie rentgena, itp.) poruszają się w próżni z prędkością c 3 10 8 m/s, zostało to przewidziane przez teorię elektromagnetyzmu Maxwella. Ale względem czego jest to prędkość? Co jest ekwiwalentem nieruchomego powietrza w próżni? Zaproponowany ośrodek dla propagacji fal nazwano eterem; sądzono, że wypełnia całą przestrzeń. Prędkość światła względem eteru przyjmowano jako równą c, tak jak to przewidywały równania Maxwella. Prędkość dowolnego obiektu względem eteru przyjmowano jako prędkość absolutną. W 1887 Albert Michelson i Edward Morley przedstawili pomiar prędkości Ziemi względem eteru za pomocą genialnego eksperymentu, w którym prędkość światła względem Ziemi była porównywana z dwoma promieniami ; jeden w kierunku ruchu Ziemi względem Słońca i drugi w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu Ziemi. Pomimo wyjątkowo dokładnych pomiarów nie zaobserwowali żadnych różnic. Ich eksperyment był wielokrotnie powtarzany wiele razy w różnych warunkach i przez różnych ludzi i mimo tego nigdy nie zarejestrowano najmniejszych różnic. Absolutnego ruchu Ziemi względem eteru nie można było zarejestrować. 9. Postulaty Einsteina. W 1905 roku Albert Einstein opublikował artykuł na temat elektrodynamiki poruszających się ciał. W artykule tym wysunął postulat, że ruch absolutny nie może być zaobserwowany za pomocą
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 3 żadnego eksperymentu. Oznacza to, że nie ma żadnego eteru. Ziemia mogłaby być nieruchoma, a i tak prędkość światła byłaby taka sama we wszystkich kierunkach. Jego postulaty można sformułować w prosty sposób: Postulat 1. Nie można zarejestrować prędkości absolutnej. Postulat. Prędkość światła jest niezależna od prędkości źródła. Postulaty Einsteina. Postulat 1. Jest po prostu rozszerzeniem zasady względności Galileusza uwzględniającym wszystkie typy pomiarów fizycznych (nie tylko mechaniczne). Postulat. Opisuje dobrze znaną własność wszystkich fal. Na przykład prędkość dźwięku nie zależy od ruchu źródła dźwięków. Mimo, iż oba postulaty wyglądają na całkiem sensowne, to wiele wniosków z nich wynikających jest całkiem zaskakująca i przeciwstawia się temu co nazywamy zdrowym rozsądkiem. Na przykład, jedną z ważnych implikacji tych postulatów jest Rysunek 9.1 fakt, że każdy z obserwatorów zawsze zmierzy taką samą wartość prędkości w próżni, bez względu czy się porusza czy znajduje w spoczynku. Weźmy pod uwagę źródło światła S i obserwatora R 1 nieruchomego względem S i obserwatora R poruszającego się w kierunku S z prędkością v jak pokazuje to rysunek 9.1a. Prędkość zmierzona przez obserwatora R 1 wynosi c = 3 10 8 m/s. Jaka jest prędkość zmierzona przez obserwatora R? Odpowiedzią nie jest c+v. Na podstawie postulatu 1. rysunek 9.1a musi być ekwiwalentny rysunkowi 9.1b, na którym R znajduje się w spoczynku, a źródło S i R 1 poruszają się z prędkością v. Jest tak ponieważ prędkość absolutna nie może wykryta, nie jest możliwe stwierdzenie, który z obserwatorów porusza się, a który spoczywa. Na podstawie postulatu. Wynika, że prędkość światła jest niezależna od tego, czy źródło porusza się czy nie. Tak więc patrząc na rysunek 9.1b, widzimy, że R zmierzy taką samą prędkość światła c, taką zmierzy obserwator R 1. Wniosek ten często używany jest jako alternatywne sformułowanie drugiego postulatu: Postulat : We wszystkich układach inercjalnych prędkość światła ma tę samą wartość c. Postulat ten stoi w sprzeczności z naszym intuicyjnym pojęciem względności ruchu. Jeżeli samochód oddala się z prędkością 50km/h, a drugi porusza się w tym samym kierunku z prędkością 80km/h, to prędkość drugiego samochodu względem pierwszego wynosi 30km/h. Jednak, zgodnie z postulatami Einsteina, jeżeli promień światła porusza się w kierunku ruchu samochodów, to obserwatorzy w obu
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 4 samochodach zmierzą te same prędkości promienia świetlnego. Nasze intuicyjne pojęcie na temat tego jak zachowują się prędkości jest usprawiedliwione tylko gdy prędkości są małe w porównaniu z prędkością światła. 9.3. Transformacja Lorentza. Z postulatów Einsteina wynikają ważne wnioski dotyczące pomiaru odstępów czasu, odcinków przestrzeni i względnych prędkości. Zajmiemy się porównaniem pomiarów położeń i czasów zdarzeń (takich jak błysk światła) wykonanych przez obserwatorów poruszających się względem siebie. Będziemy używać prostokątnego układu współrzędnych xyz z początkiem w O zwanego układem odniesienia S i układu x y z z początkiem w O zwanego układem odniesienia S, który porusza się względem układu S z prędkością V. Względem układu S układ S porusza się ze stałą prędkością -V. Dla uproszczenia będziemy zakładać, że układ S porusza się wzdłuż dodatniego kierunku x względem S. Będziemy również zakładać, że Rysunek 9. w każdym układzie znajduje się nieodzowna ilość obserwatorów potrzebnych do dokonania odpowiednich pomiarów i każdy z nich wyposażony jest takie przyrządy jak zegary i linijka, które są identyczne, jeżeli porównać je w stanie spoczynku (Rysunek 9.). Zastosujemy postulaty Einsteina w celu znalezienia ogólnego związku między współrzędnymi x, y, z i czasem t zdarzenia widzianego w układzie S, a współrzędnymi x, y, z i czasem t tego samego zdarzenia widzianym w układzie S, który porusza się ze stałą prędkością względem S. Zakładamy, że w chwili początkowej t = t = 0. Klasyczny związek między tymi współrzędnymi dany jest transformacją Galileusza: x = x + Vt, y = y, z = z, t = t 9.1a. Trasformacja odwrotna ma postać : x = x - Vt, y = y, z = z, t = t 9.1b. Równania te są zgodne z danymi doświadczalnymi, jeżeli V jest dużo mniejsza niż c. Otrzymujemy z nich dobrze znaną klasyczną zależność łączącą prędkości. Jeżeli cząstka ma prędkość u x = dx/dt w układzie S, to jej prędkość w układzie S wynosi:
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 5 dx' dx' dx u' x V ux V 9.. dt' dt dt Po zróżniczkowaniu otrzymujemy, że przyspieszenia w obu układach są takie same: a x du dt x du' a' dt x Widać, że transformacja Galileusza nie zgadza się z postulatami Einsteina. Jeżeli światło porusza się wzdłuż osi x z prędkością u x = c w układzie S, to z równań tych otrzymujemy, że prędkość światła w układzie S wynosi u x = c + V, a nie u x = c, co zgadza się z postulatem Einsteina i doświadczeniem. Zatem transformację Galileusza należy tak zmodyfikować, aby była zgodna z postulatem Einsteina. Zastanówmy się jak to zrobić. Załóżmy, że transformacja dla x w szczególnej teorii względności jest taka sama jak klasyczna (równanie 1a.) oprócz stałego mnożnika po prawej stronie: x = γ(x + Vt ) 9.3. gdzie γ jest stałą zależną od V i c ale nie zależy od współrzędnych. Transformacja odwrotna będzie miała postać: x = γ(x - Vt) 9.4. Rozważmy błysk światła, który ma miejsce w początku układu współrzędnych S w chwili t = 0. Ponieważ zakładamy, że układy pokrywają się w chwili początkowej t = t = 0, to błysk również ma miejsce w początku układu S w t = 0. Postulaty Einsteina wymagają, aby równanie dla współrzędnej x frontu fali pochodzącego od błysku światła wynosiło x = ct w układzie S i x = ct w układzie S. Podstawiając za x ct i za x ct do równań 9.3. i 9.4. otrzymujemy: ct = γ(ct +Vt ) = γ(c + V)t 9.5. I ct = γ(ct -Vt) = γ(c - V)t 9.6. Po pozbyciu się t i t otrzymujemy wyrażenie na γ: 1 9.7. 1 V / c Zwróćmy uwagę, że γ jest zawsze większe od 1 i kiedy V jest dużo mniejsze od c, to 1. W rezultacie w szczególnej teorii względności transformacja współrzędnych dana jest równaniami 9.3. i 9.4., gdzie γ dane jest równaniem 9.7. Możemy otrzymać równania na t i t podstawiając x = γ(x + Vt ) do równania 9.4. otrzymujemy:
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 6 x = γ[γ(x + Vt ) - Vt], 9.8. z czego możemy wyliczyć t. Ostateczna postać transformacji w szczególnej teorii względności ma postać: x x' Vt ', y = y, z = z 9.9 t Vx t' c 9.10 Transformacja Lorentza. Transformacja odwrotna ma postać: x' x Vt, y = y, z = z 9.11 t' Vx t c 9.1 Powyższe transformacje noszą nazwę transformacji Lorentza. Podają one związek między współrzędnymi przestrzennymi x, y, z i czasem t zdarzenia w układzie S, a współrzędnymi przestrzennymi x, y, z i czasem t zdarzenia w układzie S, który porusza się z prędkością V względem S. Przyjrzymy się zastosowaniom transformacji Lorentza. Dylatacja czasu. Rozważmy dwa zdarzenia zachodzące w punkcie x 0 w chwilach t 1 i t w układzie S. Z równania 9.10. możemy znaleźć chwile t 1 i t dla tych wydarzeń w układzie S: i W rezultacie: t Vx t' 1 c 0 1 t Vx t' c 0 ' ' t t 1 = γ(t t 1 ) Czas między dwoma wydarzeniami, które miały miejsce w tym samym miejscu układu współrzędnych nazywa się czasem własnym t p. W tym konkretnym przypadku czasem własnym jest przedział czasu
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 7 t t 1 zmierzony w układzie S. Przedział czasu Δt zmierzony w każdym innym układzie współrzędnych jest zawsze dłuższy niż czas własny. To wydłużenie czasu nazywa się dylatacją czasu: t t p t 1V / c 9.13 Dylatacja czasu. Przykład 1. Dwa zdarzenia zachodzą w tym samym punkcie x 0 w chwilach t 1 i t w układzie S, który porusza się z prędkością V względem S. Jaka jest odległość przestrzenna między tymi wydarzeniami w układzie S? Rozwiązanie. Odległość tę x x 1 w układzie S znajdziemy podstawiając równanie 9. 1. Położenie x 1 w układzie S w chwili t 1 dane jest równaniem x 1 = γ(x 0 + Vt 1 ). Analogicznie, w chwili t x = γ(x 0 + Vt ) 3. Odejmując stronami otrzymujemy x x 1 = γv(t t 1 ) = V(t t 1 ) Uwaga. Odległość przestrzenna tych dwóch wydarzeń w układzie S jest równa odległości, jaką pokonuje pojedynczy punkt, taki jak x 0 w układzie S, poruszający się w układzie S w ciągu przedziału czasu między tymi zdarzeniami. Dylatację czasu możemy zrozumieć bezpośrednio z postulatów Einsteina, bez odwoływania się do transformacji Lorentza. Rysunek 9.3a. przedstawia obserwatora A w odległości D od zwierciadła. Obserwator i zwierciadło znajdują się w statku kosmicznym, który znajduje się w spoczynku w układzie S. Obserwator wywołuje błysk światła i mierzy odstęp czasu Δt między jego powstaniem a powrotem po odbiciu od zwierciadła. Ponieważ światło porusza się z prędkością c, to czas ten wynosi: t' D c Rozpatrzmy teraz te same dwa wydarzenia obserwowane w układzie S, w którym obserwator A i zwierciadło poruszają się z prędkością V jak pokazano na rysunku 9.3b. Zdarzenia te wydarzą się w dwóch różnych miejscach x 1 i x w układzie S. W ciągu przedziału czasu Δt (mierzonego w S) między powstaniem błysku, a jego powrotem, obserwator A i jego statek przebędą w kierunku poziomym
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 8 drogę V Δt. Widzimy, że droga przebyta przez światło w układzie S jest większa niż w układzie S. zwierciadło zwierciadło Rysunek 9.3 Jednak, zgodnie z postulatem Einsteina światło porusza się z taką samą prędkością c zarówno w układzie S, jak i Układzie S. Ponieważ w układzie S przebywa dłuższą drogę poruszając się z tą samą prędkością, to więcej czasu upłynie aż osiągnie zwierciadło i powróci do obserwatora. Przedział czasu w układzie S jest zatem dłuższy niż w układzie S. Z trójkąta na rysunku 9.3c. mamy: lub ct t c D D V Podstawiając Δt = D/c otrzymamy: t t' 1 V Vt / c D c t' 1 1 V / c Skrócenie długości. Zjawiskiem ściśle powiązanym z dylatacją czasu jest zjawisko relatywistycznego skrócenia długości. Długość obiektu mierzonego w układzie odniesienia, w którym obiekt znajduje się w spoczynku nazywa się długością własną L w. W układzie odniesienia, w którym obiekt porusza się zmierzona długość jest mniejsza niż długość własna. Rozpatrzmy pręt znajdujący się w spoczynku w układzie S, którego współrzędne końców wynoszą x i x 1. Długość własna pręta w tym układzie wynosi L w = x x 1. Należy uważnie podejść do zagadnienia badając długość pręta w układzie S. W tym układzie pręt porusza się z prędkością układu S V. Długość pręta w układzie S zdefiniowana jest jako L = x x 1, gdzie x jest położeniem jednego końca w pewnym momencie t, a x 1 jest położeniem drugiego końca w tej samej chwili t 1 = t zmierzonej w układzie S. Wygodnie jest użyć równanie 9.11, aby obliczyć x x 1 dla tej samej chwili: i x = γ x Vt
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 9 x 1 = γ x 1 Vt Ponieważ t 1 = t, to otrzymamy: x x 1 = γ x x 1 lub x x 1 = 1 γ x x 1 = 1 V /c x x 1 L = 1 L γ P = 1 V /c L P 9.4 Skrócenie długości. Tak więc, długość pręta jest mniejsza kiedy jest mierzony w układzie, w którym się porusza. Przed publikacją artykułu Einsteina Lorenz i Fitzgerald próbowali zerowy wynik doświadczenia Michelsona Morleya poprzez założenie, że odległości w kierunku ruchu ulegają skróceniu zgodnie z zależnością 9.14. To skrócenie nazywa się obecnie skróceniem Lorentza Fitzgeralda. Ciekawym przykładem dylatacji czasu lub skrócenia długości jest obecność mionów w promieniowaniu kosmicznym. Miony zanikają zgonie ze statystycznym prawem zaniku: N t = N 0 e t/τ 9.5 gdzie N 0 jest początkową liczbą mionów w chwili t = 0, N(t) jest ich ilością pozostającą po czasie t, a τ jest średnim czasem życia, który wynosi około dla mionów w spoczynku. Ponieważ miony powstają (z rozpadu pionów) wysoko w atmosferze, zwykle kilka tysięcy metrów powyżej poziomu morza, to bardzo mała ich ilość powinna osiągnąć poziom morza. Typowy mion poruszający się z prędkością 0,9978c powinien przebyć jedynie 600m w ciągu μs. Jednak ich średni czas mierzony w układzie odniesienia związanym z Ziemią ulega zwiększeniu razy czynnik 1/ 1 V /c, który jest równy w przypadku tej prędkości. Dlatego też średni czas życia mierzony w układzie związanym z Ziemią wynosi 30μs i w związku z tym mion poruszający się z prędkością 0,9978c przebędzie w tym czasie około 9000m. Z punktu widzenia mionu, żyje on tylko μs, jednak względem nich atmosfera porusza się do tyłu z prędkością 0,9978c. Odległość 9000m w układzie związanym z Ziemią ulega skróceniu do 600m w układzie związanym z mionem. Pokazuje to rysunek 9.4. Mion Mion Rysunek 9.4 Łatwo policzyć ze wzoru 9.5, że po czasie t potrzebnym do dotarcia mionów do powierzchni Ziemi, gdyby nie było efektu relatywistycznego powinna przetrwać ich około 31 z początkowej ich ilości 100 milionów. Tymczasem obserwuje się ich około 37 milionów docierających do poziomu morza. Ta liczba dobrze zgadza się teorią, jeżeli uwzględnić efekty relatywistyczne opisane wyżej.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 10 9.4 Synchronizacja zegarów i jednoczesność. Jak było wcześniej wspomniane czas własny, to czas między dwoma zdarzeniami, które zachodzą w tym samym punkcie układu odniesienia. Dlatego może być on zmierzony za pomocą pojedynczego zegara. Jednak w innym układzie odniesienia poruszającym się względem pierwszego te same zdarzenia zachodzą w różnych miejscach, dlatego potrzebne są dwa zegary do zapisu czasów. Czas każdego zdarzenia jest mierzony na innym zdarzeniu i przedział czasu znajduje się poprzez odjęcie czasów wskazanych przez oba zegary. Taka procedura wymaga aby zegary były zsynchronizowane. Pokażemy, że: Dwa zegary, które są zsynchronizowane w jednym układzie odniesienia, nie są zsynchronizowane w żadnym innym układzie poruszającym się względem pierwszego układu. Wnioskiem z tego jest: Dwa zdarzenia, które są jednoczesne w jednym układzie odniesienia, nie są jednoczesne w innym układzie poruszającym się względem pierwszego. Zrozumienie tych faktów zwykle rozwiązuje wszystkie paradoksy szczególnej teorii względności. Niestety, intuicyjna (i nieprawidłowa) wiara, że jednoczesność jest absolutnym związkiem jest trudna do przezwyciężenia. Załóżmy, że mamy dwa zegary w spoczynku w punkcie A i B w odległości L od siebie w układzie S. W jaki sposób możemy zsynchronizować te dwa zegary? Jeżeli obserwator przy zegarze A patrzy na zegar B i ustawi swój zegar, tak aby wskazywał ten sam czas co B, to zegary nie będą zsynchronizowane, z powodu czasu L/c jaki upłynie zanim światło dotrze z jednego zegara do drugiego. Aby zsynchronizować zegary obserwator A musi ustawić swój zegar do przodu o czas L/c. Wtedy będzie on widział, że zegar B wskazuje czas, który późni się w stosunku do jego zegara o L/c, jednak obliczy, że oba zegary są zsynchronizowane po uwzględnieniu czasu L/c, który jest potrzebny aby światło dotarło do niego. Każdy inny obserwator, oprócz równooddalonych od tych zegarów, stwierdzą, że oba zegary wskazują różne czasy, jednak również mogą obliczyć, że oba zegary są zsynchronizowane, jeżeli uwzględnią czas jaki upłynie zanim światło dotrze do nich. Równoważnym sposobem synchronizacji dwóch zegarów może być taki, że obserwator znajduje się w punkcie C pośrodku między tymi zegarami i wysyła jednocześnie sygnał świetlny do obserwatorów przy zegarach A i B. Gdy sygnał dociera do obserwatorów oba zegary są ustawiane na z góry zaplanowaną godzinę.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 11 Zbadajmy teraz problem jednoczesności. Załóżmy, że A i B uzgodnili, iż wystrzelą z pistoletu sygnalizacyjnego w chwili t 0 (mając wcześniej zsynchronizowane swoje zegary). Obserwator C zobaczy światło z obu wystrzałów i ponieważ jest on równoodległy od A i B i stwierdzi, że oba błyski są równoczesne. Inni obserwatorzy w układzie S będą widzieć najpierw błysk z A lub B, w zależności od ich położenia, jednak po uwzględnieniu poprawek na czas jaki światło potrzebuje na dotarcie do nich, również stwierdzą, że oba błyski były równoczesne. Możemy w związku z tym zdefiniować jednoczesność jako: Dwa zdarzenia w danym układzie odniesienia są jednoczesne, jeżeli sygnały świetlne z tych zdarzeń osiągają obserwatora równoodległego od nich w tym samym czasie. Definicja jednoczesności. W celu pokazania, że dwa zdarzenia, które są jednoczesne w układzie S nie są jednoczesne w układzie S poruszającym się względem układu S posłużymy się przykładem przedstawionym przez Einsteina. Pociąg porusza się z prędkością V względem peronu. Załóżmy, że pociąg jest w S S Pociąg B C A V spoczynku w S i peron jest w spoczynku w S. B C A L P Rysunek 9.5 Rysunek 9.6 Mamy obserwatorów A, B i C na początku końcu i pośrodku pociągu. Załóżmy teraz, że pociąg i peron zostają uderzone przez piorun z przodu i tyłu pociągu i, że oba błyski są jednoczesne w układzie związanym z peronem S (Rysunek 9.5). Oznacza to, że obserwator stojący po środku peronu widzi między punktami A i B, w które uderzają oba pioruny, widzi oba błyski jednocześnie. Wygodnie jest założyć, że oba pioruny nadpalają i pociąg i peron, dzięki czemu oba zdarzenia można łatwo zlokalizować. Ponieważ C jest w połowie drogi między miejscami w pociągu, gdzie zostały wypalone znaki, to te zdarzenia są jednoczesne w S, tylko w tym wypadku,
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 1 jeżeli C widzi te zdarzenia jednocześnie. Jednak błysk na początku pociągu jest obserwowany przez C przed błyskiem na końcu pociągu Można to zrozumieć analizując ruch C obserwowany z układu S (Rysunek 9.6). Zanim światło z przedniego błysku osiągnie C, C zdąży przebyć pewną odległość w kierunku przedniego błysku i oddali się o pewną odległość od tylnego błysku. Tak więc, światło z tylnego błysku nie zdąży dotrzeć do C tak jak to widać na rysunku. Dlatego też obserwator C musi w związku z tym wywnioskować, że zdarzenia te nie są jednoczesne i, że w początek pociągu piorun uderzył wcześniej niż w tył. Co więcej, wszyscy obserwatorzy w S w pociągu zgodzą się z C kiedy uwzględnią poprawkę na czas potrzebny, aby światło dotarło do nich. Rysunek 9.7 przedstawia sytuację uderzeń piorunów widzianą w układzie odniesienia pociągu (S ). W układzie tym peron porusza się, w rezultacie czego odległość między uderzeniami piorunów w peron ulega skróceniu. Peron jest krótszy niż układzie S i ponieważ pociąg znajduje się w spoczynku, pociąg jest dłuższy niż jego skrócona długość w układzie S. Kiedy piorun uderza w początek pociągu w A, początek pociągu jest w punkcie A, a tył pociągu nie dotarł jeszcze do B. Rysunek 9.7 Później, kiedy piorun uderza w tył pociągu w B, jego tył osiąga punkt B na peronie. Niezgodność dwóch zegarów zsynchronizowanych w układzie S, a obserwowane w układzie S można policzyć wykorzystując równania transformacji Lorentza. Załóżmy, że mamy dwa zegary w punkcie x 1 i x, które są zsynchronizowane w S. Jaki jest czas t 1 i t wskazywany przez te zegary, jeżeli są one obserwowane w układzie S w chwili t 1? Z równania 9.1 otrzymujemy: i Wtedy t 0 = γ t 1 Vx 1 c t 0 = γ t Vx c t t 1 = V c x x 1 Zwróćmy uwagę, że spieszący się zegar (w x ) wyprzedza pierwszy (w x 1 ) o wielkość, która jest proporcjonalna do długości własnej L p = x x 1.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 13 Jeżeli dwa zegary są zsynchronizowane w układzie, w którym znajdują się w spoczynku, to nie będą zsynchronizowane w innym układzie. W układzie odniesienia, w którym zegary poruszają się spieszący się zegar spieszy się (pokazujący późniejszy czas) o V Δt S = L P c, 9.16 gdzie L P długością własną między zegarami. Przykład liczbowy pozwoli lepiej zrozumieć dylatację czasu, synchronizację czasu i wewnętrzną spójność otrzymanych wyników. Przykład 1. Obserwator w statku kosmicznym ma lampę błyskową i zwierciadło jak pokazane jest na rysunku 9.3. Odległość między lampą a zwierciadłem wynosi 15 minut świetlnych i statek porusza się w układzie S z prędkością V = 0,8c względem bardzo długiego peronu w układzie S, który posiada dwa zsynchronizowane zegary, jeden w położeniu x 1 statku, kiedy obserwator wytwarza błysk lampą i drugi w położeniu x statku, kiedy światło wraca do lampy odbite od lustra. Znajdź przedział czasu między tymi zdarzeniami (błyskiem i powrotem do lampy) (a) w układzie odniesienia statku i (b) w układzie platformy. (c) Znajdź odległość przebytą przez statek i (d) o ile zegary na peronie nie są zsynchronizowane z punktu widzenia statku. (a) 1. W statku kosmicznym światło porusza się z lampy do zwierciadła i z powrotem, całkowita odległość wynosi D = 30c min. Czas wynosi D/c t = D c = 30c min c = 30min. Ponieważ zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu, t P = 30min to otrzymany przedział czasu jest czasem własnym: (b) 1. W układzie S czas między zdarzeniami jest dłuższy: t = γ t = γ 30min. Oblicz γ γ = 3. Użyj wartości γ do obliczenia czasu między Zdarzeniami w układzie S (c) 1. Odległość przebyta przez statek w układzie S 1 = 1 = 5 1 V c 1 0,8 3 t = γ t P = 5 30min = 50min 3 Poruszający się z prędkością V w czasie Δt: D = V t = 0,8c 50min = 40c min. Odległość jest odległością własną między zegarami na peronie: L P = D = 40c min (d) Wartość czasu, o którą różnią się zegary na peronie od zegarów zsynchronizowanych,
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 14 a które znajdują się w odległości L P V 40c min 0,8c t S = L P = c c = 3min Uwagi. Obserwatorzy na peronie powiedzą, że zegar statku kosmicznego spóźnia się ponieważ wskazuje czas tylko 30min między zdarzeniami, podczas gdy czas zmierzony na peronie wynosi 50min. Rysunek 9.8 przedstawia sytuację widzianą ze statku kosmicznego w S. Peron porusza się w kierunku tyłu statku Z prędkością 0,8C. Jeden zegar znajduje się w punkcie x 1, który pokrywa się ze statkiem w momencie gdy lampa błyskowa błyska, a drugi znajduje się w x, który pokrywa się ze statkiem gdy światło wraca po odbiciu od zwierciadła. Załóżmy, że zegar w punkcie x 1 wskazuje 1:00 w momencie kiedy następuje błysk światła. Zegary w x 1 i x są zsynchronizowane w S ale nie są w S. W S zegar w x, który spieszy się, wyprzedza zegar w x 1 o 3min, czyli będzie wskazywać 1:3 odczytaną przez obserwatora w S. W momencie gdy statek pokrywa się z x, zegar Zwierciadło Rysunek 9.8 Zwierciadło wskaże 1:50. Dlatego też czas między zdarzeniami wynosi 50min w układzie S. Zwróć uwagę, że według obserwatora w S zegar ten odmierzy 50min 3min = 18min rejestrując drogę, która trwa w S 30min. W rezultacie obserwatorzy w S widzą zegary, które chodzą wolniej 30/18 = 5/3 razy. Każdy obserwator w jednym układzie widzi, że zegary w drugim układzie odniesienia chodzą wolniej. Według obserwatorów w S, którzy zmierzą 50-cio minutowy przedział czasu, przedział czasu w S (30min) jest zbyt mały, czyli widzą pojedynczy zegar w S, który spóźnia się 5/3 razy. Według obserwatorów w układzie S, obserwatorzy w S mierzą czas, który jest zbyt długi pomimo faktu, że ich zegary chodzą zbyt wolno ponieważ zegary w S nie są zsynchronizowane. Zegary odmierzą jedynie 18min, ale drugi wyprzedza pierwszy o 3min, czyli przedział czasu wynosi 50min. 9.5 Transformacja prędkości. Możemy znaleźć transformację prędkości z jednego układu do drugiego poprzez zróżniczkowanie równań transformacji Lorentza współrzędnych. Załóżmy, że cząstka ma prędkość u x = dx dt w układzie S, który porusza się w prawo z prędkością V względem układu S. Prędkość cząstki w układzie S wynosi: u x = dx dt Z równań 9.9 i 9.10 mamy:
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 15 i dx = γ(dx + Vdt ) ` dt = γ(dt + Vdx c ) Zatem prędkość w S jest równa: u x = dx = γ dx +Vdt = dt γ dt + Vdx c dx dt +V 1+ V c dx dt = u x +V 1+ Vu x c Jeżeli cząstka ma składowe wzdłuż osi y lub z, to podobnie możemy policzyć składowe prędkości: i u y = dy dt = u z = u z 1+ Vu x c dy γ dt + Vdx = c Ostatecznie transformacja prędkości ma postać: dy dt 1 + V c dx dt = u y 1 + Vu x c u x = u y = u y u y +V 1+ Vu x c 9.17a γ 1+ Vu x u z = u z γ 1+ Vu x c 9.17b c 9.17c Transformacja odwrotna prędkości: u x = u y = u z = u x V 1 Vu x c 9.17a u y γ 1 Vu x c 9.17b u z γ 1 Vu x c 9.17c Równania te różnią się od intuicyjnych klasycznych równań ponieważ mianowniki nie są równe 1. Jeżeli V i u x są małe w porównaniu z prędkością światła c, to γ 1 i Vu x /c 1. Wtedy relatywistyczne i klasyczne wyrażenia są takie same. Przykład.
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 16 Jedna rakieta porusza się z prędkością V = 0,8c względem nas wzdłuż osi x, a druga rakieta porusza się wzdłuż osi x w tym samym kierunku co pierwsza z prędkością 0,8c względem pierwszej rakiety. Jak szybko porusza się druga rakieta względem nas? Należy użyć transformacji 9.17a: u x = u y +V 1+ V u x c = 1+ 0,8c+0,8c 0,8c (0,8c ) c = 0,98c Jak widać wynik ten jest zupełnie inny o intuicyjnego klasycznego rezultatu. Jak zobaczymy dalej, musi tak być, ponieważ do rozpędzenia ciała do prędkości światła potrzeba nieskończenie wielkiej energii. Przykład 3. Dwa statki kosmiczne każdy mający 100m długości zmierzonej kiedy znajdują się w spoczynku poruszają się naprzeciw siebie z prędkościami 0,85c względem Ziemi. (a) Ile wynosi długość każdego ze statków mierzona przez kogoś na Ziemi? (b) Jak szybko porusza się każdy ze statków względem obserwatora na jednym ze statków? (c) Jaka jest długość każdego ze statków jeżeli mierzona jest przez obserwatora na statku? (d) W chwili t = 0 na Ziemi początki statków pokrywają się zaczynają się wymijać. Po jakim czasie na Ziemi wyminą się. Analiza. (a) Długość statków zmierzona na Ziemi ulega skróceniu i wynosi L = 1 V /c L P. Aby rozwiązać (b) przyjmijmy, że Ziemia jest w układzie odniesienia S i statek po lewej stronie znajduje się w układzie S i porusza się z prędkością V = 0,85c względem Ziemi. Drugi statek po prawej stronie porusza się z prędkością u x = -0,85c względem Ziemi (Rysunek 9.9). (c) Długość każdego ze statków widziana z drugiego jest równa L = 1 V /c L P gdzie V jest prędkością jednego statku względem drugiego. Ziemia Rysunek 9.9 (a) Długość każdego ze statków widziana z układu L = 1 V /c L P = związanego z Ziemią jest równa długości własnej podzielonej = 1 (0,85c) /c 100m = przez γ: = 5,7m (b) Użyj transformacji prędkości, aby znaleźć u x = u x V = 1 V u x c prędkość u x statku po prawej zmierzonej w układzie S : = 0,987c 0,85c 0,85c = 0,85c ( 0,85c) 1 c (c) W układzie statku, prawy statek porusza się z L = 1 V c L P 1 (0,987c) c 100m
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 17 prędkością V = -0,987c. Użyj jej do obliczenia długości statku prawego: (d) Jeżeli początki statków pokrywają się w chwili t = 0 na Ziemi, to ich końce pokryją się po czasie jaki zajmie każdemu ze statków przebycie drogi równej długości statku jaki jest widziany z Ziemi: = 16,1m t = L V = 5,7m 0,85c =,07 10 7 s. 9.6 Relatywistyczny pęd. Jak widzieliśmy postulaty Einsteina wymagają istotnej modyfikacji pojęcia jednoczesności i pomiaru długości i czasu. Równie ważnej modyfikacji wymagają pojęcia masy, pędu, czy energii. W mechanice klasycznej pęd cząstki jest iloczynem masy i prędkości p = mu, gdzie u jest prędkością. W izolowanych układach, w których nie działają żadne siły pęd układu pozostaje stały. Za pomocą prostego myślowego eksperymentu możemy się przekonać, że p = mu nie jest zachowany. Rozważmy dwóch obserwatorów: obserwator A w układzie S i obserwator B w układzie S, który porusza się na prawo w kierunku x z prędkością V względem układu S. Każdy z nich ma piłkę o masie m. Piłki są jednakowe, jeżeli porównywać, je w spoczynku. Jeden obserwator rzuca swoją piłkę do góry z Rysunek 9.10 prędkością u 0 względem siebie, a drugi rzuca swoją piłkę do dołu z prędkością u 0 względem siebie. Obie piłki przebywają odległość L, następuje zderzenie sprężyste i powrót. Rysunek 9.10 pokazuje jak wygląda zderzenie w każdym z układów. Klasyczne każda piłka ma pęd o wartości mu 0. Ponieważ pionowe składowe pędów są równe i przeciwnie skierowane, to całkowity pęd w kierunku pionowym jest równy zero przed zderzeniem. Zderzenie jedynie zmieni pędy na przeciwne, a zatem całkowity pęd pozderzaniu również będzie równy zero. Relatywistycznie, jednak, pionowe składowe prędkości tych dwóch piłek widziane przez każdego obserwatora nie będą równe i przeciwne. Rozważmy zderzenie widziane przez A w układzie S. Prędkość jego piłki wynosi u Ay u 0. Ponieważ, prędkość piłki B w układzie S jest u Bx = 0, u By = = -u 0, to składowa pionowa prędkości piłki B w układzie S będzie równa u By = - u 0 /γ. W rezultacie jeżeli wziąć klasyczną definicję pędu p = mu, wtedy pionowe składowe pędu tych dwóch piłek nie będą jednakowe dla obserwatora A. Ponieważ po zderzeniu ruch piłek zostaje odwrócony, to pęd
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 18 układu nie zostanie zachowany. Oczywiście ten sam wynik uzyska obserwator B. Dla przypadku klasycznego, gdy u jest znacznie mniejsze od c, γ praktycznie równa się jeden i pęd w obu układach jest zachowany. Powód, dla którego całkowity pęd układu jest ważny w mechanice klasycznej, jest fakt, że jest zachowany, jeżeli nie działają siły zewnętrzne, jak to ma miejsce w przypadku zderzenia. Jednak widzieliśmy, że mu jest tylko zachowana, gdy u c. Zdefiniujemy pęd relatywistyczny p jako wielkość posiadającą następujące własności: 1. W zderzeniach, p jest zachowany.. Gdy u/c dąży do zera, top dąży mu do. Zobaczymy poniżej, że wielkość p = mu 1 u /c 9.18 Jest zachowana w zderzeniu sprężystym pokazanym na rysunku 9.10. Ponieważ ta wielkość również dąży do mu gdy u/c dąży do zera, to możemy przyjąć to wyrażenie jako definicją relatywistycznego pędu cząstki. Jedną z interpretacji 9.18 jest to, że masa obiektu wzrasta wraz z prędkością. Wielkość m/ 1 u /c jest nazywana masą relatywistyczną. Masa cząstki kiedy znajduje się w spoczynku w danym układzie odniesienia nazywa się masą spoczynkową m 0. Masa spoczynkowa jest taka sama we wszystkich układach odniesienia. W rezultacie możemy zapisać wzór definicyjny dla pędu relatywistycznego w postaci: p = m 0u 9.19 1 u /c Ilustracja zasady zachowania pędu relatywistycznego. Policzmy składową y-ową relatywistycznego pędu każdej z cząstek w układzie S w zderzeniu z rysunku 9.10 pokażmy, że y-owa składowa całkowitego pędu relatywistycznego wynosi zero. Prędkość piłki A w S wynosi u 0, zatem jej składowa y-owa pędu: a p Ay = m 0u 0 1 u o /c. Prędkość piłki B w układzie S jest bardziej skomplikowana. Jej składowa x-owa jest równa V, składowa y-owa jest równa u 0 /γ. Czyli: u B = u Bx + u By = V + 1 V c = V + u 0 u 0 V c Wykorzystując ten wynik, aby obliczyć 1 u B /c, otrzymujemy:
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 19 i 1 u B c = 1 V u 0 + u 0 V c c c 4 = 1 V 1 u 0 c c 1 u B c = 1 V c 1 u 0 c = 1 γ 1 u 0 c Składowa y-owa relatywistycznego pędu piłki B widziana z układu S jest w rezultacie równa p By = mu By 1 u B c = mu 0 /γ 1 γ 1 u 0 c = mu 0 1 u 0 c Ponieważ p By = p Ay składowe y-owe całkowitego momentu pędu tych dwóch piłek jest równa zero. Jeżeli prędkość każdej z piłek zmieni się na przeciwną po zderzeniu, to całkowity pęd pozostanie zero i pęd ulegnie zachowaniu. 9.7 Energia relatywistyczna. W mechanice klasycznej praca wykonana przez niezrównoważoną siłę działająca na cząstkę jest równa zmianie energii kinetycznej cząstki. W mechanice relatywistycznej przyrównuje się niezrównoważoną siłę do szybkości zmian pędu relatywistycznego cząstki. Można wtedy obliczyć pracę wykonaną przez taką siłę i przyrównać ją do zmiany energii kinetycznej. Tak samo jak w mechanice klasycznej, zdefiniujemy energię kinetyczną jako pracę wykonaną przez niezrównoważoną siłę podczas przyspieszania cząstki od stanu spoczynku do pewnej prędkości. Rozpatrując zagadnienie tylko w jednym wymiarze otrzymujemy: K = u u=0 F ds u = dp o dt u 0 Gdzie u =ds./dt. Różniczkując mamy: u 0 ds = udp = ud m 0u 1 u c, 9.0 d m 0u 1 u c = m 0 1 u c 3/ du Jeżeli podstawimy to pod całkę w wyrażeniu 9.0, to otrzymamy u K = m 0 1 u 3/ c udu = m0 c 0 lub 1 1 u c 1 9.1 K = m 0c 1 u c m 0c 9. Relatywistyczna energia kinetyczna. Wyrażenie na energię kinetyczną składa się z dwu czynników. Pierwszy czynnik zależy od prędkości cząstki. Drugi, m 0 c jest niezależny od prędkości. Wielkość m 0 c nazywa się energią spoczynkową E 0 cząstki:
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 0 E 0 = m 0 c 9.3 Energia spoczynkowa. Całkowita energia relatywistyczna E jest zdefiniowana jako suma energii kinetycznej i energii spoczynkowej: E = K + m 0 c = m 0c 9.4 1 u c Energia relatywistyczna. Tak więc praca wykonana przez niezrównoważoną siłę zwiększa energię od energii spoczynkowej m 0 c do końcowej energii m o c / 1 u c = m r c, gdzie m r = m 0 / 1 u c jest masą relatywistyczną. Możemy otrzymać pożyteczne równanie na prędkość cząstki poprzez pomnożenie równania 9.19 na pęd relatywistyczny przez c i porównanie wyniku z 9.4. Otrzymujemy lub pc = u = pc c E m 0c u 1 u c = Eu 9.5 Energie w fizyce atomowej lub w jądrowej są wyrażane na ogół w jednostkach elektronowoltach (ev) lub megaelektronowoltach (MeV): Wygodną jednostką dla mas jest ev/c spoczynkowe dla kilku cząstek elementarnych. 1eV = 1,6 10 19 J Energia spoczynkowa cząstek elementarnych Cząstka Symbol Energia spoczynkowa, MeV Foton γ 0 Elektron e 0,5110 Mion μ + 105,7 Pion π 0 135 π + 139,6 Proton p 938,80 Neutron n 939,573 Deuteron Tryton Hel-3 Cząstka α H lub d 1875,68 3 H lub t 808,944 3 He 808,41 4 He lub α 377,409 lub MeV/c. W tabeli przedstawione są energie
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 1 Wyrażenie na energię kinetyczną dane równaniem 9. nie jest zbyt podobne do klasycznego równania 1 m 0u. Jednak kiedy u jest znacznie mniejsze od c możemy zapisać wartość przybliżoną 1/ 1 u c stosując rozłożenie w szereg: Wtedy 1 + x n = 1 + nx n n 1 x + + 1 + nx 9.6 1!! 1 1 u = 1 u 1/ 1 u c c 1 + c Tak więc, kiedy u jest dużo mniejsze od c wzór na relatywistyczną energię kinetyczną przybiera postać: m 0 c 1 u 1 m 0c 1 + 1 1 = 1 m 1 u c c 0u Widać, że dla małych prędkości wyrażenie relatywistyczne ma taką samą postać jak klasyczne. Zwróćmy uwagę, że jeżeli prędkość zbliża się do prędkości światła c, to wyrażenie na energię cząstki staje się bardzo duże (równanie 9.4). Dla u = c energia jest nieskończona. Prosta interpretacja tego, że potrzeba nieskończenie dużej energii do przyspieszenia cząstki do prędkości światła jest taka, że żadna cząstka, która jest zawsze w spoczynku w dowolnym inercyjnym układzie odniesienia nie może poruszać się tak szybko, lub E = (pc) + (m 0 c ) E pc m 0 c Rysunek 9.11 szybciej niż prędkość światła. Jak było pokazane w przykładzie, jeżeli prędkość cząstki jest mniejsza od c w jednym układzie odniesienia, to jest mniejsza we wszystkich układach odniesienia poruszających się względem danego z prędkością mniejszą niż c. W zastosowaniach praktycznych pęd lub energia cząstki jest częściej używana niż prędkość. Równanie 9.19 i równanie 9.4 mogą zostać do wyeliminowania u. W rezultacie otrzymamy: E = p c + m 0 c 9.7 Związek między pędem, całkowitą energią i energią spoczynkową. Ten pożyteczny związek łatwo zapamiętać jeżeli posłużyć się trójkątem prostokątnym jak na rysunku 9.11. Jeżeli drugi składnik jest znacznie większy od energii spoczynkowej m 0 c, otrzymamy użyteczny przybliżenie: E pc dla E m 0 c 9.8
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz Przybliżenie 9.8 jest dokładną równością między energią, a pędem dla cząstek nie mających masy spoczynkowej takich jak fotony. Masa spoczynkowa i energia. Einstein traktował równanie 9.3 wiążące energię cząstki z jej masą jako najważniejszy wniosek szczególnej teorii względności. Energia i bezwładność, które wcześniej stanowiły dwie odrębne pojęcia, są powiązane przez to słynne równanie. Jak było już wspominane w wykładzie wcześniejszym, zamiana energii spoczynkowej w energię kinetyczną z towarzyszącym jej ubytkiem masy spoczynkowej jest typowym zjawiskiem w rozpadach promieniotwórczych i reakcjach jądrowych, włączając w to rozszczepienie i syntezą jądrową. Można to zilustrować na przykład rozpatrując deuteron, którego masa spoczynkowa wynosi,mev/c i jest mniejsza niż masa spoczynkowa jego składowych protonu i neutronu. Kiedy proton i neutron ulegają połączeniu, to energia jest uwalniana. Rozbicie deuteronu na proton i neutron wymaga użycia energii,mev. Czyli proton i neutron są związane z sobą energią wiązania,mev. Dowolna złożona cząstka, taka jak deuteron lub jądro helu, która jest zbudowana z innych cząstek ma masę spoczynkową i energię spoczynkową mniejszą niż suma mas spoczynkowych i energii spoczynkowych składników. Ta różnica mas spoczynkowych jest właśnie energią wiązania składowych cząstek./energie wiązania atomów i cząstek chemicznych są rzędu kilku elektronowoltów, co powoduje, że możemy zaniedbać różnicę między masą całości, a masą części składowych. Energie wiązania jąder atomowych są rzędu MeV, z czym wiąże się znaczna różnica mas. Niektóre bardzo ciężkie jądra mają, takie jak rad, są radioaktywne i rozpadają się na lżejsze jądra plus cząstka alfa. W takim przypadku pierwotne jądro ma energię spoczynkową większą niż energia spoczynkowa produktów rozpadu. Nadmiar energii przejawia się w energii kinetycznej produktów rozpadu. W celu dalszego zilustrowania związku między masą spoczynkową, a energią rozpatrzmy idealnie niesprężyste zderzenie. W podejściu klasycznym cała energia jest tracona w takim zderzeniu. Rysunek 9.1 Relatywistycznie strata energii kinetycznej przejawia się we wzroście energii spoczynkowej, czyli całkowita energia systemu jest zachowana. Weźmy cząstkę o masie spoczynkowej m 0,1 poruszającą się z prędkością u 1, która zderza się z cząstką o masie spoczynkowej m 0, poruszającą się z prędkością u. Cząstki zderzają się i ulegają zlepieniu tworząc cząstkę o masie spoczynkowej M 0, która porusza się z prędkością u f, tak jak widać to na rysunku 9.1. Początkowa energia całkowita cząstki 1wynosi
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 3 E 1 = K 1 + m 0,1 c gdzie K 1 jest początkową energią kinetyczną Podobnie energia całkowita drugiej cząstki: E = K + m 0, c Energia całkowita układu wynosi: E i = E 1 + E = K 1 + m 0,1 c + K + m 0, c = K i + m 0,1 + m 0, c Gdzie K i = K 1 + K jest całkowitą początkową energią kinetyczną układu. Całkowita energia końcowa układu wynosi: E f = K f + M 0 c Jeżeli E i = E f, to: K f + M 0 c = K i + m 0,1 + m 0, c W związku z tym zmiana energii kinetycznej wynosi: K f K i = M 0 m 0,1 + m 0, c = m 0 c Gdzie m 0 = M 0 m 0,1 + m 0, jest wzrostem masy spoczynkowej układu. Przykład 4. Cząstka o masie spoczynkowej MeV/c i energii kinetycznej 3MeV zderza się z cząstką w spoczynku o masie spoczynkowej MeV/c. Po zderzeniu obie cząstki sklejają się. Znajdź (a) początkowy pęd układu, (b) końcową prędkość układu i (c) masę spoczynkową układu dwu cząstek. Rozwiązanie. (a) 1. Pęd początkowy nadlatującej cząstki E = p c + m 0 c związany jest z energią: pc = E 1 m 0 c. Całkowita energia nadlatującej cząstki, to jej energia kinetyczna i energia spoczynkowa: E 1 = 3MeV + MeV = 5MeV 3. Użyj wzór powyżej do obliczenia pędu: pc = E 1 m 0 c = 5MeV MeV = = 1MeV (b) 1. Można znaleźć prędkość końcową układu korzystając z równania 9.5: p = 4,8MeV/c u = pc c E. Z zasady zachowania energii całkowitej, E f = E i = E 1 + E = 5MeV + 4MeV = 9MeV energia końcowa jest równa sumie energii całkowitych obu cząstek 3. Z zasady zachowania pędu pęd końcowy p = 4,8MeV/c
Wykład z fizyki Piotr Posmykiewicz 4 Układu równy jest pędowi początkowemu: 4. Możemy wyliczyć u z 1. : u = pc c E = 4,58MeV 9MeV = 0,509 (c) Możemy znaleźć masę spoczynkową układu 9MeV = 4,58MeV + M 0 c Obu cząstek z równania 9.7 podstawiając M 0 = 7,75MeV/c pc = 4,58MeV, E = 9MeV: Uwaga. Zwróć uwagę, że energia spoczynkowa wzrosła z 6MeV do 7,75MeV. Ten wzrost razy c jest równy stracie energii kinetycznej układu. Ćwiczenie. (a) Znajdź końcową energię kinetyczną układu sklejonych dwu cząstek z powyższego przykładu. (b) Znajdź stratę energii kinetycznej w zderzeniu. (c) Pokaż, że K strac = ΔMc, gdzie ΔM jest wzrostem masy układu. (Odpowiedzi: (a) K f = 1,5MeV, (b) K strac = 1,75MeV, (c) ΔMc = M 0 c M i c = 1,75MeV = K strac.