PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

Metody kolejnych przybli e

Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b) < 0, to mi dzy punktami a i b znajduje si co najmniej jeden pierwiastek równania F(x) = 0. Twierdzenie. Je eli w przedziale [a, b] spe nione s za o enia twierdzenia. i dodatkowo sgn F (x) = const dla x [a,b], to przedzia ten jest przedzia em izolacji pierwiastka równania F(x) = 0. 3

Metody kolejnych przybli e Przebieg funkcji mi dzy punktami a i b 4

Metody kolejnych przybli e Przyk ad Sprawdzi czy podany przedzia jest przedzia em izolacji jednego pierwiastka równania F(x) = 0. F x x x x 3 ( ) = 3 + 5 [ ab, ] = [1,] 5

Metody kolejnych przybli e Fa ( ) = F(1) Fb ( ) = F() 3 = 1 3 1 1+ 5 = 1 3 = 3 + 5 = 3 Poniewa : F(1) F() < 0 to wiadomo, e pomi dzy punktami a i b znajduje si co najmniej jeden pierwiastek równania F(x) = 0. 6

F ( x) = d F( x) d x F ( a) = F (1) = 3x 6x = 31 61 = 5 Metody kolejnych przybli e F ( b) = F () = 3 6 = Poniewa : sgn F ( x) = const dla x [ a, b] czyli funkcja ma sta y znak w przedziale [a,b], to przedzia [a, b] jest przedzia em izolacji jednego pierwiastka równania F(x) = 0. 7

Metoda bisekcji

Metoda bisekcji Niech [a,b] b dzie przedzia em izolacji pierwiastka równania F(x) = 0. Jako pierwsze dwa wyrazy ci gu przybli e przyjmuje si : x1 = a x = b Kolejne przybli enia wynikaj ze wzoru: xi 1 + xk xi =, k [1,( i )], i> 9

Metoda bisekcji k dobierane jest tak, aby: x x x x i i 1 i k F( x ) ( ) 0 i 1 F xi < 10

Metoda bisekcji 11

Metoda bisekcji Poniewa kolejne przybli enia znajduj si ka dorazowo w przedzia ach izolacji, oraz x x < x x i+ 1 i i i 1 Metoda jest zbie na 1

Metoda bisekcji Zaleta metody: prostota Wada metody: wolna zbie no procesu iteracyjnego 13

Metoda bisekcji Algorytm x1 x = = a b i= 1,,..., m x1+ x x = y = F( x) y1 = F( x1) je eli y y1 > 0 to x1 = x w przeciwnym wypadku x = x 14

Przyk ad Metoda bisekcji Dla funkcji i przedzia u izolacji z poprzedniego przyk adu obliczy metod bisekcji pierwiastek równania F(x) = 0 z dok adno ci ε. 3 F( x) = x 3x x+ 5 [ ab, ] = [1,] x = a= 1 x = b= 1 ε=0.1 F( x i ) <ε 15

. iteracja x x = 1 x = 1 = x + x 1 1+ = = 1.5 y = F( x) = F(1.5) = 1.375 Metoda bisekcji F( x ) >ε y = F( x ) = F(1) = 1 1 1 y y 1 = 1.375 < 0 x = x = 1.5 16

. iteracja x x = 1 x = 1.5 1 = x + x 1 1+ 1.5 = = 1.5 y = F( x) = F(1.5) = 0.34 Metoda bisekcji F( x ) >ε y = F( x ) = F(1) = 1 1 1 y y 1 = 0.34 < 0 x = x = 1.5 17

3. iteracja x x = 1 x = 1.5 1 = x + x 1 1+ 1.5 = = 1.15 y = F( x) = F(1.15) = 0.376 Metoda bisekcji F( x ) >ε y = F( x ) = F(1) = 1 1 1 y y 1 = 0.376 > 0 x1 = x = 1.15 18

4. iteracja x x = 1.15 x = 1.5 1 = x + x 1 1.15 + 1.5 = = 1.1875 y = F( x) = F(1.1875) = 0.069 Metoda bisekcji F( x ) <ε Pierwiastek: x = 1.1875 19

Metoda ci ciw

Metoda ci ciw Rozwi zanie równania F(x)=0 jest przybli one ci giem miejsc zerowych ci ciw poprowadzonych mi dzy punktami stanowi cymi ko ce kolejnych przedzia ów izolacji. 1

Metoda ci ciw

Metoda ci ciw Równanie ci ciw, mo na zapisa w postaci: y F( x ) x x = F( x ) F( x ) x x i 1 i 1 k i 1 k i 1 x k drugi kraniec przedzia u izolacji [x i 1,x k ] Czyli pierwsz ci ciw prowadzimy miedzy punktami: ( afa, ( )) ( bfb, ( )) 3

Metoda ci ciw Dla y = 0: x = x F( x ) i i 1 i 1 xk xi 1 F( x ) F( x ) k i 1 4

Metoda ci ciw Za o enie: W przedziale [a,b], lub w kolejnym przedziale izolacji znak drugiej pochodnej funkcji F(x) nie zmienia si. Wyrazy ci gu daj przybli enie pierwiastka z niedomiarem lub nadmiarem. 5

Metoda ci ciw Przybli enie z niedomiarem: F ( x) > 0 F ( x) > 0 lub F ( x) < 0 F ( x) < 0 wtedy: xi < xi+ 1 < xi+ <... < x * 6

Metoda ci ciw Przybli enie z nadmiarem: F ( x) > 0 F ( x) < 0 lub F ( x) < 0 F ( x) > 0 wtedy: xi > xi+ 1 > xi+ >... > x * Przy czym dwie s siednie warto ci ci gu przybli e zwi zane s wzorem 7

F ( x) > 0 F ( x) > 0 F ( x) < 0 F ( x) < 0 Metoda ci ciw Oszacowanie pierwiastka z niedomiarem 8

F ( x) > 0 F ( x) < 0 F ( x) < 0 F ( x) > 0 Metoda ci ciw Oszacowanie pierwiastka z nadmiarem 9

Metoda ci ciw Ci g {x i } jest monotoniczny i ograniczony, posiada wi c granic : lim x i i = g czyli: lim{ x } i st d wynika: i xk g = g F( g) F ( x ) F ( g ) k = g F( g ) = 0 g = x * co dowodzi zbie no ci metody. 30

Metoda ci ciw x k punkt sta y p ku ci ciw Lewy lub prawy kraniec przedzia u [a,b], czyli x k = a lub x k = b. x [ ab, ], F ( x) F ( x) > 0 xk x [ ab, ], F ( x) F ( x) < 0 xk = = b a 31

Przyk ad Metoda ci ciw Dla funkcji i przedzia u izolacji z poprzedniego przyk adu obliczy metod ci ciw pierwiastek równania F(x) = 0 z dok adno ci ε. F x x x x 3 ( ) = 3 + 5 [ ab, ] = [1,] ε=0.1 ( ) = 3 6 F ( x) = 6x 6 F x x x 3

Metoda ci ciw Okre lenie punktu p ku ci ciw x k : z = a + b 1+ = = 1.5 F ( z) = F (1.5) = 4.5 F ( z) = F (1.5) = 6 F ( z) F ( z) < 0 x = a = 1 k x 1 = b = F( x k ) = 1 F( x 1) = 3 33

Metoda ci ciw. iteracja x x ( ) ( ) k 1 x = x1 F( x1) F x k F x 1 =1.5 F( x ) = F(1.5) = 0.34 F( x ) >ε 34

Metoda ci ciw. iteracja x = x F( x ) 3 xk x F( x ) F( x ) k =1.0 F( x ) = F(1.0) = 0.0017576 3 F( x ) <ε Pierwiastek: x = 1.0 35

Metoda stycznych (Newtona)

Metoda stycznych Rozwi zanie równania F(x) =0 w przedziale [a,b] jest przybli one ci giem miejsc zerowych stycznych do funkcji F(x). 37

Metoda stycznych 38

Metoda stycznych Równanie stycznej w punkcie x i 1 : y F( x ) = F ( x )( x x ) i 1 i 1 i 1 Dla y = 0: F x xi = xi 1 i> F ( x ) ( i 1), 1 i 1 39

Metoda stycznych Wybór pierwszego przybli enia x 1 = a lub x 1 = b: F ( x) F ( x) > 0 x1 F ( x) F ( x) < 0 x1 = = b a Je eli druga pochodna w przedziale izolacji nie ma sta ego znaku, to proces iteracyjny mo e by rozbie ny 40

F ( x) > 0 F ( x) < 0 Metoda stycznych F ( x) < 0 F ( x) > 0 Wybór pierwszego przybli enia w metodzie stycznych 41

F ( x) > 0 F ( x) > 0 Metoda stycznych F ( x) < 0 F ( x) < 0 Wybór pierwszego przybli enia w metodzie stycznych c. d. 4

Przyk ad Metoda stycznych Dla funkcji i przedzia u izolacji z poprzedniego przyk adu obliczy metod stycznych pierwiastek równania F(x) = 0 z dok adno ci ε. F x x x x 3 ( ) = 3 + 5 [ ab, ] = [1,] ε=0.1 ( ) = 3 6 F ( x) = 6x 6 F x x x 43

Metoda stycznych z = a + b 1+ = = 1.5 F ( z) F ( z) < 0 x1 = a = 1 F( x 1) = 1 F ( x ) = 5 1 44

. iteracja Metoda stycznych x F( x ) 1 = x1 = 1. F ( x1) F( x ) = 0.008 F( x ) <ε Mo na przerwa obliczenia! F ( x ) = 4.88 45

. iteracja Metoda stycznych x F( x ) 3 = x = 1.0 F ( x) F( x 3) = 0.00176 F( x ) <ε 46

Metoda stycznych - inny wariant

Metoda stycznych inny wariant 48

Metoda stycznych inny wariant F( x ) x = x, x = a lub x = b, i> 1 i i 1 i 1 1 1 F ( x1 ) 49

Przyk ad Metoda stycznych inny wariant Dla funkcji i przedzia u izolacji z poprzedniego przyk adu obliczy metod stycznych pierwiastek równania F(x) = 0 z dok adno ci ε. F x x x x 3 ( ) = 3 + 5 [ ab, ] = [1,] ε=0.1 ( ) = 3 6 F ( x) = 6x 6 F x x x 50

Metoda stycznych inny wariant z = a + b 1+ = = 1.5 F ( z) F ( z) < 0 x1 = a = 1 F( x 1) = 1 F ( x ) = 5 1 51

. iteracja Metoda stycznych inny wariant x F( x ) 1 = x1 = 1. F ( x1) F( x ) = 0.008 F( x ) <ε Mo na przerwa obliczenia!. iteracja x F( x ) 3 = x = 1.0 F 3 ( x1) F( x ) = 0.0001935 5