Matematyka 2 Metoda operatorowa Transformata Laplace a
Literatura M.Gewert, Z.Skoczylas; Równania różniczkowe zwyczajne; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 1999 D.Mozyrska, E.Pawłuszewicz, R.Stasiewicz; Równania różniczkowe zwyczajne; Dział Wydawnictw i Poligrafii PB, Białystok, 2001 W.Żakowski, W.Leksiński; Matematyka cz IV; WNT, Warszawa, 1984 W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiów esperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981 W.Stankiewicz, J.Wojtowicz; Zadanie z matematyki dla wyższych uczelni technicznych cz II; PWN, Warszawa, 1983
Oryginał Definicja 1. Oryginałem nazywamy funkcję zespoloną f zmiennej rzeczywistej t taką, że: 1)f(t) 0 dla dowolnego t < 0, 2)W każdym skonczonym przedziale [0, T] funkcja f ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości, przy czym są to punkty nieciągłości I-go rodzaju, 3)Istnieją stałe M>0 i 0 takie, że dla każdego t R spełniona jest nierówność f(t) Me t.
Oryginał Czy jest oryginałem funkcja: f(t) = c c stała niezerowa.
Oryginał Czy jest oryginałem funkcja: 1( t) 0 1 gdy gdy t t 0 0
Oryginał Czy jest oryginałem funkcja: f(t) = 1(t)(sint+cost)
Oryginał Narysować wykres funkcji: f(t) = 1(t-c)
Oryginał Narysować wykres funkcji: f(t) = t 1(t-c)
Oryginał Narysować wykres funkcji: f(t) = e t-1 1(t-1)
Oryginał Narysować wykres funkcji: f(t) = 1(t)-1(t-c)
Oryginał Definicja 2. Transformatą Laplace a funkcji f zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcję F(s) zmiennej zespolonej s określoną w następujący sposób: F s 0 f t e st dt
Oryginał Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji Heaviside a.
Transformata Laplace a jest funkcją liniową, tzn. jeśli a i b są dowolnymi stałymi, to: L[af(t)+bg(t)] = a L[f(t)] + b L[g(t)]
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = t 2 + 3t + 5
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = cosht
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = sint
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = sin 2 ωt
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = cosht sint
Twierdzenie 1. (o podobieństwie) Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz a R +, to L[f(at)] = 1/a F(s/a)
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = cos3t
Twierdzenie 2. (o przesunięciu w argumencie oryginału; o przesunięciu rzeczywistym) Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz t 0 R +, to L[f(t-t 0 ) 1(t-t 0 )] = e -t0s F(s)
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = e t-1 1(t-1)
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = cos3(t-2) 1(t-2)
Twierdzenie 3. (o przesunięciu w argumencie obrazu; o przesunięciu zespolonym) Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz jest liczbą zespoloną, to L[e - t f(t)] = F(s+ )
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = e -2t cos3t
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = e -t sin 2 t
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji f(t) = cosht sint
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji danej na rysunku b 0 2a t t
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji danej na rysunku b-a 0 2a a+b 2b t t
Twierdzenie 4. (o transformacie funkcji okresowej) Jeżeli funkcja f jest oryginałem oraz istnieje liczba T>0, taka że dla każdego t>0 spełniona jest równość f(t)=f(t+t), to gdzie F T s T 0 F( s) f t s FT 1 e st dt s st
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji danej na rysunku b 0 /2 3 /2 2 t
Wyznaczyć transformatę Laplace a funkcji danej na rysunku b 2 3 t
Twierdzenie 5. Jeżeli L[f(t)]=F(s), to lim f ( t) lim t 0 s ) Jeżeli istnieje f ( t, to lim t s F( s) lim t f ( t) lim s 0 s F( s)
Twierdzenie 6. Jeżeli F jest transformatą oryginału, to lim Re( s) F( s) 0
Twierdzenie 6. Jeżeli F jest transformatą oryginału, to lim Re( s) F( s) 0 Transformata oryginału nie może być: F(s) = s 5 + s 2 + 1
Metoda operatorowa Transformata Laplace a KONIEC