Stanisław KOWALIK TEORIA GIER Z ZASTOSOWANIAMI GÓRNICZYMI

Stanisław KOWALIK TEORIA GIER Z ZASTOSOWANIAMI GÓRNICZYMI WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ GLIWICE 2007

Opiniodawcy Prof. dr hab. inż. Zbigniew BANASZAK, Politechnika Koszalińska, Prof. dr hab. Władysław KULPA, Uniwersytet Śląski Kolegium redakcyjne REDAKTOR NACZELNY - Prof. dr hab. inż. Andrzej BUCHACZ REDAKTOR DZIAŁU - Dr hab. inż. Piotr STRZAŁKOWSKI Prof. nzw. w Politechnice Śląskiej SEKRETARZ REDAKCJI - Mgr Elżbieta LEŚKO Projekt okładki Tomasz LAMORSKI Wydano za zgodą Rektora Politechniki Śląskiej ISBN 978-83-7335-419-7 Copyright by Wydawnictwo Politechniki Śląskiej Gliwice 2007

SPIS TREŚCI 1. WSTĘP... 7 2. GRY O SUMIE ZEROWEJ TYPU 2 N... 11 2.1. Rodzaje gier... 11 2.2. Gry o sumie zerowej... 12 2.3. Punkt siodłowy i zasada maksyminu (minimaksu)... 15 2.4. Punkt siodłowy dla wypłat jakościowych... 18 2.5. Zasada dominacji... 19 2.6. Strategie mieszane... 22 2.7. Graficzne rozwiązywanie gier typu 2 n... 29 3. GRY TYPU 3 N... 33 3.1. Gry typu 3 3 z trzema strategiami aktywnymi... 33 3.2. Gry typu 3 3 z dominowaniem ukrytym... 37 3.2.1. Poszukiwanie strategii zdominowanej przez kombinację dwóch pozostałych... 37 3.2.2. Metoda eliminowania kolejnych strategii... 39 3.3. Rozwiązywanie gier typu 3 n... 41 3.4. Graficzne rozwiązywanie gier typu 3 n... 57 4. GRY TYPU M N... 63 4.1. Punkty siodłowe w grze m n oraz dominowanie... 63 4.1.1. Występowanie większej liczby punktów siodłowych... 63 4.1.2. Dominowanie macierzowe... 64 4.1.3. Rozwiązania proste... 68 4.2. Gry typu n n ze wszystkimi strategiami aktywnymi... 70 4.3. Iteracyjne przybliżone rozwiązywanie gier typu m n... 74 4.4. Symetryzacja gry... 79 5. ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO DO ROZWIĄZYWANIA GIER... 81 5.1. Wprowadzenie do programowania liniowego... 81 5.2. Sprowadzenie gry typu m n do postaci wymaganej przez programowanie liniowe... 83 5.3. Wykorzystanie procedury obliczeniowej Matlaba do programowania liniowego... 84

6. PRZYKŁADY PROSTYCH GIER O SUMIE ZEROWEJ NA PODSTAWIE LITERATURY... 95 7. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ TEORII GIER O SUMIE ZEROWEJ W GÓRNICTWIE... 107 8. GRY Z NATURĄ... 135 8.1. Konflikt między decydentem a naturą... 135 8.2. Zasada minimalnego ryzyka... 136 8.3. Wskaźnik pesymizmu-optymizmu... 139 8.4. Zasada równych prawdopodobieństw... 143 9. GRY NIEKOOPERACYJNE O SUMIE NIEZEROWEJ... 147 9.1. Gry niekooperacyjne... 147 9.2. Punkt równowagi w grze niezerowej... 148 9.3. Poszukiwanie rozwiązania w grach niekooperacyjnych o sumie niezerowej... 151 10. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ TEORII GIER O SUMIE NIEZEROWEJ... 154 10.1. Przykłady prostych gier na podstawie literatury... 154 10.2. Przykłady zastosowania teorii gier o sumie niezerowej w górnictwie... 157 11. GRY KOOPERACYJNE... 168 11.1. Wprowadzenie do gier kooperacyjnych... 168 11.2. Wybór strategii maksymalizujących sumę zysków z podziałem proporcjonalnym do wartości gry... 170 11.3. Obszar negocjacji gry... 171 11.4. Rozwiązanie gry wykorzystujące poziomy bezpieczeństwa wynikające z wartości gry... 173 11.5. Wykorzystanie strategii gróźb jako status quo... 175 11.6. Wybór metody postępowania... 177 12. GRY DECYZYJNE WIELOETAPOWE... 178 12.1. Gry wieloetapowe jako procesy decyzyjne... 178 12.2. Gra w formie wieloetapowego procesu podejmowania decyzji... 179 12.3. Podejmowanie decyzji kolejno przez decydentów na podstawie znajomości poprzednich decyzji... 181 12.3.1. Przedsiębiorstwo P 1 jako pierwsze podejmuje decyzję... 181 12.3.2. Przedsiębiorstwo P 2 jako pierwsze podejmuje decyzję... 182 12.4. Podejmowanie decyzji równocześnie przez przedsiębiorstwa na poszczególnych etapach... 182

12.4.1. Wykorzystanie zasady dominacji i strategii maksyminowych przy wyborze decyzji... 182 12.4.2. Wykorzystanie strategii Nasha przy wyborze decyzji... 188 12.4.3. Wykorzystanie strategii optymalnych w sensie Pareto... 190 12.5. Stosowanie różnych sposobów znajdywania strategii optymalnych... 192 13. GRY N-OSOBOWE... 194 13.1. Gry o sumie zerowej i o sumie stałej... 194 13.2. Punkty równowagi w grach niekooperacyjnych... 196 13.3. Koalicje w grach n-osobowych kooperacyjnych... 201 14. FUNKCJE CHARAKTERYSTYCZNE... 206 14.1. Funkcja charakterystyczna gry... 206 14.2. Równoważność gier w sensie S... 210 14.3. Normalizacja funkcji charakterystycznych... 213 15. ROZWIĄZANIA GRY... 219 15.1. Imputacje... 219 15.2. Jądro gry... 222 15.3. Dominowanie... 228 15.4. Rozwiązanie z podziałem równomiernym... 230 15.5. Wartość gry Shapley a... 232 15.6. -rozwiązanie gry... 234 15.7. Rozwiązanie K... 236 15.8. Rozwiązanie K1... 238 16. ZAKOŃCZENIE... 241 LITERATURA... 243

1. WSTĘP Niniejszy podręcznik przeznaczony jest dla studentów wyższych lat, w szczególności dla studentów Wydziału Górnictwa i geologii oraz dla młodszych pracowników naukowych. Mogą z niego korzystać również studenci studiów doktoranckich. Elementy teorii gier były wykładane wcześniej w ramach przedmiotu Metody matematyczne w zarządzaniu w górnictwie na Wydziale Górnictwa i Geologii Politechniki Śląskiej, a obecnie w ramach przedmiotów Modelowanie matematyczne i gry decyzyjne oraz Badania operacyjne. Podręcznik ten ma na celu poszerzenie wiadomości z zakresu teorii gier. Teoria gier jest mało znana i mało wykorzystywana w górnictwie. Liczne przykłady o tematyce górniczej zawarte w tym podręczniku świadczą jednak o tym, że można tę teorię wykorzystać do podejmowania decyzji w górnictwie. Przykłady te mają zaznajomić czytelnika z metodami obliczeniowymi stosowanymi w teorii gier. W przypadku gdy czytelnik spotka się z innym problemem, rozwiązania proponowane w tym podręczniku mogą pomóc w jego rozwiązaniu. Nowoczesne zarządzanie i kierowanie przedsiębiorstwem wymagają stosowania nowoczesnych metod. Naukowe podejście do spraw kierowania i zarządzania przedsiębiorstwem narzuca metody matematyczne w dużym stopniu wykorzystujące technikę komputerową. Przedsiębiorstwo traktuje się jako system złożony, a w takim systemie można wyodrębnić pewne podsystemy jako składowe części przedsiębiorstwa. Podsystemy z kolei można podzielić na mniejsze fragmenty, aż do ustalenia pojedynczych elementów. Aby taki system złożony mógł sprawnie pracować, muszą być podejmowane właściwe decyzje na różnych szczeblach zarządzania. Decyzje mogą być podejmowane przez pojedynczych ludzi lub przez zespoły do tego powołane. Decyzje te nie tylko mają być podjęte, ale także powinny być wykonane. Zarządzanie przedsiębiorstwem traktuje się jako proces składający się z ciągu podejmowanych kolejno decyzji. Decyzja polega na wyborze jednego z możliwych kierunków działania, który przy uwzględnieniu określonych kryteriów jest suboptymalny lub optymalny. Ze względu na złożoność, wielkość i poziom skomplikowania danego systemu, wybór najlepszej decyzji może być trudny. W górnictwie ważnym zagadnieniem jest bezpieczeństwo pracy górników pracujących na dole w kopalni. Górnicy narażeni są na występowanie wielu zjawisk niebezpiecznych, takich jak: wstrząsy podziemne, tąpania, zalanie wodą, wyrzuty gazów, zagrożenia metanowe oraz pożary. Zjawiska te nie zawsze można przewidzieć i trudno je jak na razie opisać za pomocą ścisłych związków

matematycznych. Metodami wykorzystywanymi w takich sytuacjach mogą być metody teorii gier. W górnictwie węglowym metody teorii gier odgrywają szczególną rolę, gdyż górnictwo jako takie prowadzi grę z naturą (z górotworem) i gra ta może przybierać formy gry konkurencyjnej gra z naturą lub gry kooperacyjnej, jeśli umiejętnie wykorzystuje się rozpoznane prawa natury (gry z naturą). Przemysł wydobywczy, a szczególnie górnictwo węgla kamiennego, w którym dominują (przynajmniej w Polsce) kopalnie głębinowe, ma to do siebie, że każda praca górnicza narusza istniejący, ustalony stan w górotworze. Naruszenie tego stanu stanowi źródło zagrożeń, z czego wynika, że roboty należy prowadzić tak, aby te zagrożenia były możliwie najmniejsze. Sztuka górnicza polega między innymi na tym, aby prowadzić grę z naturą, a nie grę przeciw naturze. Doświadczenia wielu pokoleń górników, a także wyniki badań naukowych, potwierdzają, że można i to z zyskiem, wykorzystywać prawa natury przez odpowiednie prowadzenie robót górniczych. Klasycznym przykładem tego jest wykorzystanie ciśnienia eksploatacyjnego do urabiania węgla o tych elementach traktują modele gry z naturą. Gospodarka rynkowa (nadwyżka podaży węgla nad popytem) sprawia, że Spółki Węglowe obligowane są do konkurowania na rynku węglowym oraz, co równie ważne, na rynku surowców energetycznych. Konkurencja dotyczy węgla oferowanego przez różne spółki, ale również rywalizacji węgla z innymi nośnikami energii ropą naftową. Za uzasadnione uznano zaprezentowanie takich metod, które w pierwszej kolejności wykazują, czy bardziej zasadna jest kooperacja czy konkurencja, a przy wyborze konkurencji wskazują, jak można uzyskać przewagę konkurencyjną. Podstawowym celem każdego podmiotu gospodarczego jest kreowanie odbiorcy. W słowie kreowanie zawierają się również pozyskanie i utrzymanie odbiorcy. W gospodarce rynkowej, w której występują nadprodukcja i konkurencja, utrata odbiorcy oznacza stratę przychodów i wzrost kosztów (zapasy, niewykorzystane zdolności produkcyjne itp.), pozyskanie odbiorcy natomiast wzrost przychodów i obniżenie kosztów z tytułu skali produkcji. Te sytuacje dobrze opisują modele gier niekooperacyjnych o sumie niezerowej. Doświadczenia płynące z konkurencji wyniszczających, bankructwa i upadłości wielu dużych i małych przedsiębiorstw stanowiły o potrzebie poszukiwania takich rozwiązań, które nie eliminują konkurencji, ale wprowadzają do niej cechy humanitarne.

W warunkach konkurencji i nadprodukcji o wynikach decydują przede wszystkim potencjały (rzeczowe, intelektualne) konkurentów, a to z kolei przemawia za potrzebą poszukiwania nowych rozwiązań, które w praktyce przybierają różne postacie monopolizacji przez koncentrację kapitału, tworzenie holdingów, ale także tworzenie związków i więzi kooperacyjnych, które w znaczący sposób zwiększają potencjał konkurencyjny. O ile można negatywnie oceniać monopolizację, a świadczą o tym ustawy antymonopolowe, o tyle więzi kooperacyjne są nie tylko prawnie dopuszczalne, ale pozytywnie oceniane przez polityków i ekonomistów. Te i inne aspekty górnictwa oraz zarządzania nim powodują coraz większe zainteresowanie jakościowo nowymi metodami matematycznymi bardziej przydatnymi w podejmowaniu trafnych decyzji. W niniejszym podręczniku, biorąc pod uwagę praktyczne aspekty teorii gier w podejmowaniu decyzji w górnictwie, w formie zwartej, w piętnastu rozdziałach, przedstawiono metody i modele takich gier. W rozdziale 2. omówiono podstawy teorii gier o sumie zerowej. Zaprezentowano w nim pojęcie strategii, macierzy gry, punktu siodłowego, zasadę maksyminu (minimaksu), zasadę dominacji, strategie mieszane oraz graficzne rozwiązywanie gier typu 2 n. W rozdziale 3. rozważano gry typu 3 n, tj. jeden gracz posiada 3 strategie, a drugi może mieć ich wiele. Najpierw jednak omówiono gry typu 3 3. Rozważono przypadki z trzema aktywnymi strategiami oraz sytuację, gdy jedna strategia jest zdominowana przez kombinację dwóch pozostałych strategii. Przedstawiono sposób znalezienia tej ukrytej dominacji. Pewną nowością jest tutaj zaprezentowany graficzny sposób rozwiązywania gier typu 3 n. Rozdział 4. dotyczy gier typu m n, tj. obydwaj gracze mogą mieć wiele strategii. Zwrócono tu uwagę na możliwość występowania większej liczby punktów siodłowych. Omówiono nowe pojęcie dominowania macierzowego, które nie występowało w grach o mniejszych rozmiarach. Dla gier typu n n ze wszystkimi strategiami aktywnymi podano podobne wzory, jak w rozdziale 3.1, dotyczące określania względnych częstotliwości graczy, jako wartości bezwzględne wyznaczników pewnych minorów utworzonych z macierzy gry. W rozdziale 4. przedstawiono również sposób iteracyjnego przybliżonego rozwiązywania gier typu m n. Rozdział 5. dotyczy wykorzystania programowania liniowego do rozwiązywania gier typu m n. Pokazano w nim, jak sprowadzić grę typu m n do postaci wymaganej

przez programowanie liniowe. Wykorzystując procedurę lp Matlaba do programowania liniowego, przedstawiono praktyczne przykłady obliczeniowe. W rozdziale 6. podano przykłady zastosowania teorii gier o sumie zerowej. Są to proste przykłady z literatury. W rozdziale 7. podano przykłady zastosowania teorii gier o sumie zerowej w działalności górniczej. W rozdziale 8. przedstawiono różnego rodzaju gry z naturą, górotworem, na którym operują górnicy. Omówiono tu zasadę minimalnego ryzyka, wskaźnik pesymizmu-optymizmu i zasadę równych prawdopodobieństw. Zagadnieniu podejmowania decyzji w warunkach konkurencji rynkowej poświęcono rozdział 9., dotyczący niekooperacyjnych gier o sumie niezerowej. Określono w nim punkt równowagi w grze niezerowej oraz przedstawiono poszukiwanie rozwiązania w grach niekooperacyjnych o sumie niezerowej. W rozdziale 10. podano przykłady zastosowania teorii gier o sumie niezerowej w górnictwie oraz kilka przykładów gier tego typu z literatury o tematyce niezwiązanej z górnictwem. Podejmowanie decyzji z wykorzystaniem kooperacji między przedsiębiorstwami, także w warunkach konkurencji rynkowej, przedstawiono w rozdziale 11., dotyczącym teorii gier kooperacyjnych. Rozważono w nim wybór strategii maksymalizujących sumę zysków z podziałem proporcjonalnym do wartości gry, obszar negocjacji gry, rozwiązanie gry wykorzystujące poziomy bezpieczeństwa wynikające z jej wartości oraz wykorzystanie strategii gróźb, jako status quo. Rozdział 12. dotyczy gier decyzyjnych wieloetapowych. Rozważania przeprowadzono na przykładzie dwóch przedsiębiorstw i rozpatrzono również różne warianty podejmowania decyzji. Rozdział 13. dotyczy gier n-osobowych. Omówiono punkty równowagi w grach niekooperacyjnych oraz rozważono możliwość tworzenia koalicji w grach kooperacyjnych. W rozdziale 14. omówiono funkcje charakterystyczne gier n-osobowych. Rozważono równoważność gier w sensie S oraz normalizację tych funkcji. W rozdziale 15. zaprezentowano różne propozycje rozwiązania gry. Przedstawiono jądro gry, rozwiązanie z podziałem równomiernym, wartość gry Shapley a, -rozwiązanie gry oraz rozwiązania K i K1 zaproponowane przez autora.

16. ZAKOŃCZENIE Teoria gier dotychczas mało była wykorzystywana w górnictwie. W tej pracy przedstawiono możliwości wykorzystania tej teorii do podejmowania decyzji w górnictwie. Kadra kierująca pracą kopalń spotyka się z różnymi problemami, które wymagają skutecznych i efektywnych rozwiązań, decyzji. Decyzje te podejmowane są w oparciu o wiedzę, doświadczenie i intuicję decydentów. Jeżeli decydenci dysponować będą odpowiednimi metodami opisującymi sytuację decyzyjną, odpowiednimi algorytmami i programami, technika komputerowa umożliwia w miarę szybkie przeszukiwanie możliwych i wybór najkorzystniejszych rozwiązań. Różnorodność i złożoność problemów, z którymi spotyka się kadra kierownicza kopalni skłoniły do zaprezentowania metod teorii gier wspomagających procesy decyzyjne. W pracy przedstawiono podstawowe formy opisu matematycznego sytuacji konfliktowych w kategoriach gier. Najpierw omówiono gry w postaci macierzowej. Były to gry o sumie zerowej typu 2 n, gry typu 3 n, gry typu m n. Dla gier typu n n ze wszystkimi strategiami aktywnymi pokazano sposób określania względnych częstotliwości graczy jako wartości bezwzględne wyznaczników pewnych minorów utworzonych z macierzy gry. Rozważono też sytuacje, gdy jedna strategia jest zdominowana przez kombinację dwóch pozostałych strategii. Bardzo dużym ułatwieniem w rozwiązywaniu gier jest wykorzystanie programowania liniowego. W pracy pokazano sposób sprowadzanie gry typu m n do postaci wymaganej przez programowanie liniowe oraz pokazano przykłady wykorzystania procedury obliczeniowej lp Matlaba do programowania liniowego. Zamieszczono też program komputerowy napisany w Matlabie do rozwiązywania dowolnych gier macierzowych typu m n. Omówiono też gry z Naturą, gry niekooperacyjne o sumie niezerowej i gry kooperacyjne dwu osobowe. Osobne rozdziały były poświęcone grą decyzyjnym wieloetapowym i grom n osobowym. Dla gier kooperacyjnych przedstawiono różne rozwiązania oparte na funkcji charakterystycznej. W pracy podano wiele przykładów gier oraz zastosowania teorii gier w różnych zagadnieniach związanych z górnictwem.

LITERATURA 1. Ameljańczyk A.: Wieloosobowa gra kooperacyjna jako model matematyczny współpracy i wymiany gospodarczej. Badania Operacyjne, z. I, WAT, Warszawa 1975. 2. Ameljańczyk A.: Teoria gier. WAT, Warszawa 1978. 3. Ameljańczyk A.: Teoria gier i optymalizacja wektorowa. WAT, Warszawa 1980. 4. Barchański B.: Doświadczalno-teoretyczne podstawy doboru nowych obudów szybowych dla bardzo trudnych warunków górniczo hydrogeologicznych. Zeszyty Naukowe AGH Górnictwo Nr 149, Kraków 1989. 5. Carbogno A., Adamiecki D.: Badania współczynnik tarcia pomiędzy liną stalową a wykładziną koła pędnego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 269, Gliwice 2005. 6. Chudek M., Hycnar j.: Janiczek S., Plewa F.: Węgiel brunatny. Utylizacja surowców towarzyszących i odpadów elektrownianych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 1999. 7. Dresher M.: Games and applications. Prentice-Hall, INC., 1961. 8. Fudenberg D., Tirole J.: Game Theory. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England 1995. 9. Greń J.: Gry statystyczne i ich zastosowania. PWE, Warszawa 1972. 10. Hagemejer W., Hellwig Z., Przelaskowski W., Vielrose E.: Zagadnienia matematyki stosowanej w ekonomii. Zakład im. Ossolińskich, Wrocław 1966. 11. Hurwicz L.: Optimality Criteria for Decision Making Under Ignorance. Cowles Commission Discussion Paper, Statistics No 370, 1951. 12. Janiczek S., Boryczko J., Majchrzak R.: Mineralne kompozyty na osnowie aktywizowanych popiołów lotnych w technice górniczej. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 107, Gliwice 1981. 13. Jonak J.: Wpływ wybranych parametrów noży urabiających na efekty urabiania skał. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 218, Gliwice 1994. 14. Kalinowski K., Kaczmarzyk J.: Modele matematyczne flotacji cyklicznej węgla. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 231, Gliwice 1996. 15. Kałuski J.: Podstawy teorii gier. Wydawnictwo Pracownia Komputerowa J. Skalmierskiego. Gliwice 1996. 16. Kałuski J.: Teoria gier. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002. 17. Kantorowicz L., Gorstko A.: Optymalne decyzje ekonomiczne. PWE, Warszawa 1976. 18. Kaźmierczak J.: Teoria gier w cybernetyce. Wiedza Powszechna, Warszawa 1973. 19. Kofler E.: Wstęp do teorii gier. PZWS, Warszawa 1963. 20. Kowalik S.: Podejmowanie decyzji w górnictwie w warunkach niepewności. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 228, Gliwice 1996.

21. Kowalik S.: Wykorzystanie teorii gier do podejmowania decyzji w górnictwie. Skrypt Politechniki Śląskiej Nr 2077, Gliwice 1997. 22. Kowalik S.: Wykorzystanie teorii gier do określania bezpieczeństwa. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 210, Gliwice 1993. 23. Kowalik S.: Podejmowanie decyzji w oparciu o teorię gier wykorzystujące zasady gry z Naturą. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 219, Gliwice 1994. 24. Kowalik S.: Podejmowanie decyzji kompromisowych w oparciu o teorię gier kooperacyjnych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Automatyka Nr 113, Gliwice 1995. 25. Kowalik S.: Nowoczesne metody optymalizacyjne w zastosowaniach górniczych i ekonomicznych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2004. 26. Kozdrój M., Przybyła H.: Teoria organizacji i zarządzania. Część 3. Modele matematyczne w organizacji produkcji górniczej. Skrypt Politechniki Śląskiej Nr 1272, Gliwice 1986. 27. Krasucki F., Cholewa A.: Badania struktury doziemień w kopalnianych sieciach elektroenergetycznych 6kV. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 82, Gliwice 1994. 28. Kryński H., Badach A.: Zastosowanie matematyki do podejmowania decyzji ekonomicznych. PWE, Warszawa 1976. 29. Krzemień S.: Systemowo-informacyjne modele oceny stanu zagrożenia wstrząsami górniczymi w kopalniach węgla kamiennego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 198, Gliwice 1991. 30. Lesz M.: Ekonomiczne gry decyzyjne. PWE, Warszawa 1979. 31. Luce R.D., Raiffa H.: Gry i decyzje. PWE, Warszawa 1964. 32. Lutyński A., Golonka J.: Badania urządzenia do automatycznego pobierania prób w zakładach przeróbczych węgla kamiennego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 270. Gliwice 2005. 33. Mc Kinsey J.C.: Introduction to the Theory of Games. Mc Graw Hill, New York 1952. 34. Mendecki A.: Metody jednoczesnej lokalizacji ognisk grupy wstrząsów górotworu i wyznaczania parametrów anizotropii prędkości fal sejsmicznych. Praca doktorska, Politechnika Śląska, Wydział Górniczy, Gliwice 1981. 35. Nash J.F.: Noncooperative games. Annals of Mathematics. vol. 54, 1951. 36. Nash J.F.: Two-person cooperative games. Econometrica. vol. 21, 1953. 37. Osborne M.J., Rubinstein A.: A Course in Game Theory. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England 1995. 38. Owen G.: Teoria gier. PWN, Warszawa 1975. 39. Plewa F., Mysłek Z.: Wpływ zasolonych wód dołowych na własności podsadzki samozestalającej. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 222, Gliwice 1994.

40. Polkowski L.T.: Wstęp do teorii gier. WPW - Politechnika Warszawska, Warszawa 1987. 41. Potocki Cz., Przybyła H.: Badania operacyjne w górnictwie. Skrypt Politechniki Śląskiej, Nr 906, Gliwice 1980. 42. Przybyła H.: Modelowe ujęcia procesu decyzyjnego związanego z wyborem układu techniczno-organizacyjnego dla wyrobisk wybierkowych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 159. Gliwice 1987. 43. Radzikowski W.: Programowanie liniowe i nieliniowe dla ekonomistów. PWE, Warszawa 1971. 44. Rubin A.: Promieniotwórczość naturalna wybranych odpadów górniczych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 270. Gliwice 2005. 45. Sadowski W.: Teoria podejmowania decyzji. PWE, Warszawa 1976. 46. Savage E.J.: The theory of statistical decision. Journal of the Amercan Statistical Associoation No 46, 1951. 47. Szalek M.: Pojęcia i metody teorii gier. PAN, Warszawa 1963. 48. Świerniak A.: Podejmowanie decyzji w sytuacjach konfliktowych. Skrypt Politechniki Śląskiej Nr 1420, Gliwice 1988. 49. Tyszka T.: Konflikty i strategie. WNT, Warszawa 1978. 50. Vajda S.: Theory of Games and Linear Programming. New York 1956. 51. Wcisło M.: Studium doboru kadr kierowniczych w kopalni węgla kamiennego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Górnictwo Nr 170, Gliwice 1989. 52. Wilkas E.: Advances in game theory. M.P.H., Vilnius 1973. 53. Williams J.D.: Strateg doskonały. Wprowadzenie do teorii gier. PWN, Warszawa 1965.