Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng 6. OBWODY NOWE PĄD SNSODANEGO 6.. SYGNAŁY HAMONNE W grp przbgów krswych szczgóln znaczn aą sygnały harnczn, zn. csnsdaln snsdaln. Pnważ dnak sn ( ω + π ) cs ω, nazwy góln snsdalny (snsdaln-znny). Sygnała harnczny nazyway sygnały, kórych przbg s snsdalną fnkcą czas ałóży, ż rzpary sygnał snsdalny w psac napęca: () ( ω + Ψ ) sn (6.) Ψ () T T/ 0 π π ω W czas dpwadaący dn krsw faza napęca zna sę π, zn. ωt π. Na rys. na s dcęych znaczn skalę czas skalę kąwą. gdz: () - warść chwlwa napęca; - warść aksyalna napęca (nazywana apldą); Ψ - pcząkwy ką fazwy, faza pcząkwa napęca w chwl 0; ω + Ψ - ką fazwy, faza napęca w chwl ; ω π f - plsaca (częslwść kąwa) rzna w rad/s; f /T - częslwść rzna w Hz, będąca dwrnścą krs. -al: szl@wa.d.pl /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng Warść śrdna półkrswa napęca snsdalng wyns zgdn z wzr (.6) T / T / śr () d sn d 0, 637 T T ω (6.) π 0 0 Warść skczna napęca snsdalng s równa wg. (.8) T T 707 T T () d sn ω d 0, (6.3) 0 0 Oznacza, ż równan psąc napęc harnczn ży przdsawć ak () ( ω + Ψ ) sn( ω + Ψ ) sn (6.4) -al: szl@wa.d.pl /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng 6.. SYGNAŁ WYKŁADNY Fnkca wykładncza płn wyąkwą rlę, pnważ każdy sygnał wysępący w prakyc ż być zawsz wyrażny w psac sy fnkc wykładnczych; w przypadk bwdów lnwych dpwdź bwd na wyszn wykładncz s akż wykładncza. Przyy, ż sygnał wykładnczy a psać: s ( + ) x( ) A dla, (6.5) Współczynnk s wysępący w wykładnk s zsplny s σ + ω (6.6) a za ( σ + ω ) σ ω x( ) A A (6.7) zparzy szczgóln przypadk w zalżnśc d warśc s.. Jżl s s lczbą rzczywsą (zn. ω 0) wdy σ x( ) A a charakr zalżny d warśc σ a) gdy σ < 0, sygnał x() a charakr nnczn aląc fnkc czas; b) gdy σ 0, sygnał x() s sygnał sały warśc A; c) gdy σ > 0, sygnał x() a charakr nnczn rsnąc fnkc czas. x() A 0 σ > 0 σ 0 σ < 0 -al: szl@wa.d.pl 3 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng. Jżl s s lczbą rną (zn. σ 0) wdy ω x( ) A sygnał x() ż być nrprwany na płaszczyźn znn zspln za pcą zw. wkra wrącg bracaącg sę z prędkścą kąwą ω w krnk przcwny d rch wskazówk zgara. Płżn g wkra na płaszczyźn w dan chwl krśln s za pcą kąa ω. zynnk ω spłna rlę prara br, naas A s dł wkra. względnaąc wzór Elra A ω ω 0 0 A ω ω cs ω + snω (6.8) żna wkr wrący wyrazć za pcą dwóch składwych x ω () A Acs ω + Asn ω (6.9) zęść rzczywsa wkra wrącg przdsawa sygnał charakrz csnsdalny ω [ A ] Acs ω (6.0) zęść rna wkra wrącg przdsawa sygnał charakrz snsdalny ω [ A ] Asn ω (6.) Wynka sąd, ż naczęśc spykan przbg wlkśc lkrycznych sanwą szczgóln przypadk sygnał charakrz wykładnczy. -al: szl@wa.d.pl 4 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng 6.3. OPS SYMBONY SYGNAŁ HAMONNEGO zparzy pnwn sygnał snsdalny w psac napęca (6.): () sn ( ω + Ψ ) wązk pędzy wkr wrący na płaszczyźn znn zspln a rzparywany sygnał snsdalny żna nasępąc nrprwać grafczn ω () (0) (0) Ψ 0 Ψ 0 ω T Warść chwlwa napęca w chwl 0 wyns ( ) snψ 0 (6.) W chwl wkr wrący apldz s nachylny względ s lczb rzczywsych pd ką Ψ. z g wkra na ś lczb rnych wyns (0), czyl warść chwlwa sygnał snsdalng s równa rzw wkra wrącg na ś lczb rnych. Analyczn żna ąć, zgdn z zalżnścą (6.), nasępąc: dla każd chwl [ ] () () ( ) ( ω +Ψ + Ψ ) [ ] sn ω (6.3) -al: szl@wa.d.pl 5 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng Sygnał snsdalny: () sn ( ω + Ψ ) sn( ω + Ψ ) (rzczywsa) warść chwlwa aplda (warść ax.) warść skczna psada nasępącą POSTAĆ SYMBONĄ (syblczną warść chwlwą) ( ω+ Ψ ) Ψ ω Ψ ω ( ) 443 3 (6.4) syblczna aplda /psać zsplna apldy/ /wskaz apldy/ syblczna warść skczna /wskaz warśc skczn/ zyl: ( ω + Ψ ) ω ω ( ) (6.5) WAG: n zachdz równść ( ) ( ) ylk dpwdnść ( ) ( ) * ( ) ( ) naas: () [ () ] (6.6) Mda syblczna zaps przbgów snsdalnych pzwala rakwać ak przbg wykładncz. ˆ -al: szl@wa.d.pl 6 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng PYKŁAD 6. Dla (EYWSTEJ) warśc chwlw napęca ( ) 8 sn( 34 + 30 )V Aplda: 8V Warść skczna: 8 00V,4 Plsaca rad ω 34 s pnważ ω π f ω 34 π 3,4 Jśl f za krs [] s T T 0, f 50 0 sąd częslwść f 50 [ Hz] Faza pcząkwa Ψ 30 π nacz Ψ 30 0, 54 rad 80 J SYMBONA warść chwlwa wyns: ( ) ( ω + Ψ ) ( 34 + 30 8 ) V Syblczna aplda: Ψ 8 30 V Syblczna warść skczna: Ψ Ψ 30 00 V -al: szl@wa.d.pl 7 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng 6.4. WĄK POMĘDY NAPĘEM PĄDEM DA EEMENTÓW,, EYSTO Przy wysępwan prąd harnczng () ( ω + Ψ ) sn (6.7) w rzysrz rzysanc, na g zacskach paw sę napęc () () ( ω + Ψ ) sn( ω + Ψ ) przy czy aplda przbg napęca sn (6.8) a faza pcząkwa (6.9) Ψ Ψ (6.0) zyl przsnęc fazw ϕ ędzy przbga () () wyns zr. ϕ Ψ Ψ 0 (6.) (), () Napęc na zacskach dalng rzysra s w faz z prąd Ψ Ψ 0 ω -al: szl@wa.d.pl 8 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng napęca W POSTA SYMBONEJ Syblczna warść chwlwa prąd ω Ψ ( ) gdz (6.) ω ω ( ) ( ) (6.3) a (6.4) c znacza, ż zgdn z (6.5) G (6.5) Przdsawaąc syblczn warśc skczn w psac wykładncz, rzyy Ψ Ψ (6.6) przyrównana dłów w wyrażn (6.6) znady G (6.7) a z przyrównana argnów Ψ Ψ (6.8) Pnżn wskaz przz pwd wydłżn/skrócn g wskaz razy. Wbc g wskaz napęca znad sę na sa prs c wskaz Ψ Ψ -al: szl@wa.d.pl 9 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng EWKA NDKYJNA Przy przpływ prąd w cwc daln ndkcynśc napęc na zacskach wyraża zalżnść (.7) d () ( ) d Przyąc, ż w cwc wysęp prąd harnczny napęc na cwc wyns () ( ω + Ψ ) sn (6.9) () ω ω + Ψ + sn( ω + Ψ ) π sn (6.30) pwyższ zalżnśc wynka, ż aplda przbg napęca ω (6.3) π naas faza pcząkwa Ψ Ψ + (6.3) zyl przsnęc fazw ϕ ędzy przbga () () cwk ndkcyn wyns: π ϕ Ψ Ψ (6.33) Ψ Ψ 0 (), () ω Napęc na zacskach daln cwk wyprzdza prąd 90 π/ -al: szl@wa.d.pl 0 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng Dla cwk ndkcyn - syblczna warść chwlwa prąd napęca a c znacza, ż ω ( ) gdz (6.34) () Ψ () ω ω d ω (6.35) d ω (6.36) ω lb (6.37) ω Przdsawaąc syblczn warśc skczn w psac wykładncz, rzyy Ψ π Ψ + ω (6.38) przyrównana dłów w wyrażn (6.38) znady ω X B ω (6.39) rakanca ndkcyna sscpanca ndkcyna a z przyrównana argnów π Ψ Ψ + (6.40) Pnżn wskaz przz ω pwd wydłżn/skrócn wskaz g bró 90 w przód π ϕ Ψ Ψ Ψ ϕ π/ Ψ -al: szl@wa.d.pl /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng PYKŁAD 6. Oblczyć rzczywsą warść chwlwą prąd płynącg przz cwkę ndkcynśc 0,H, gdy () 4 sn( 00 + 40 )V ( ) () Syblczna aplda napęca: 4 40 40 Syblczna warść skczna napęca: 00 [ V ] 4 akanca ndkcyna: ω 00 0, 0[ Ω ] Sscpanca ndkcyna: B 0, [ S] gdn z (6.37) X 40 V X 0 05 ω ω ( 40 90 ) 50 40 40 00 00 00 5 X 0 90 0 0 nacz ω 0,05 00 ω 40 B 0,05 90 00 40 5 ( 90 + 40 ) 50 5 50 zyl syblczna aplda prąd: 5 [ A] Sąd rzczywsa warść chwlwą prąd ( ) 5 sn( 00 ) A 50 -al: szl@wa.d.pl /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng KONDENSATO Gdy sn napęc () na zacskach dalng kndnsara pnśc, prąd płynący przz kndnsar ps zalżnść (.3) d () ( ) d Przyąc, ż na zacskach kndnsara wysęp napęc () ( ω + Ψ ) prąd płynący przz kndnsar wyns sn (6.4) () ω ω + Ψ + sn( ω + Ψ ) π sn (6.4) pwyższ zalżnśc wynka, ż aplda przbg prąd ω (6.43) π naas faza pcząkwa Ψ Ψ + (6.44) a przsnęc fazw ϕ ędzy przbga () () kndnsara wyns: π ϕ Ψ Ψ (6.45) (), () Prąd płynący przz dalny kndnsar wyprzdza napęc 90 Ψ Ψ 0 ω π/ -al: szl@wa.d.pl 3 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng Dla kndnsara - syblczna warść chwlwa napęca prąd a c znacza, ż ω ( ) gdz (6.46) () Ψ () ω ω d ω (6.47) d ω (6.48) ω lb (6.49) ω Przdsawaąc syblczn warśc skczn w psac wykładncz, rzyy Ψ π Ψ + ω (6.50) przyrównana dłów, znady ω B X ω (6.5) sscpanca pnścwa rakanca pnścwa a z przyrównana argnów π Ψ Ψ + (6.5) Pnżn wskaz przz /ω pwd wydłżn/skrócn wskaz g bró 90 wscz π ϕ Ψ Ψ Ψ ϕ- π/ Ψ -al: szl@wa.d.pl 4 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng 6.5. PODSTAWOWE PAWA W POSTA ESPOONEJ Praw Oha Syblczna warść skczna napęca dwónka równa sę lczynw pdanc dwónka warśc skczn prąd w n płynącg: (6.53) pdanca (pór zsplny) charakryz przwdncw lkryczn dwónka przy przpływ prąd snsdalng. Pdsawaąc w (6.53) syblczn warśc skczn w psac wykładncz, rzyy Ψ ( Ψ Ψ ) (6.54) Ψ, arg Ψ (6.55) czyl: ( Ψ ) ϕ a ϕ + X (6.56) rzysanca rakanca pdancę żna przdsawć gryczn na płaszczyźn znn zspln za pcą rókąa pdanc. ϕ X -al: szl@wa.d.pl 5 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng Praw Oha żna akż przdsawć nasępąc: Syblczna warść skczna prąd płynącg przz dwónk równa sę lczynw adanc dwónka Y warśc skczn napęca na g zacskach: Y (6.57) Adanca (przwdnść zsplna dnską s sns S) dwónka równa sę dwrnśc g pdanc: c znacza, ż Y Y (6.58) ϕ ϕ (6.59) czyl: Y, argy ϕ (6.60) a Y ϕ Y Y G + B (6.6) kndkanca sscpanca Adancę Y żna przdsawć gryczn na płaszczyźn znn zspln za pcą rókąa adanc. Y -ϕ B G -al: szl@wa.d.pl 6 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng praw Krchhffa - prądw praw Krchhffa (PPK) Algbraczna sa syblcznych warśc chwlwych prądów n () w wszyskch gałęzach dłącznych d dng, dwln wybrang węzła bwd s w każd chwl czas równa zr: n Λ λ ( ) 0 (6.6) k k k gdz: λ k ± ( + śl prąd lkryczny a zwr d węzła; - śl zwr s przcwny, d węzła) Js n akż słszn dla syblcznych apld (6.6a) raz syblcznych warśc skcznych (6.6b) dpwdnch prądów: n k λ k k 0 (6.6a) n k λ 0 (6.6b) k k PYKŁAD 6.3 nan są syblczn warśc skczn prądów 3 0 3 90 45 4 3 Oblczyć prąd 4 gdn z (6.6b) : 0 3 4 za 4 3 0 3 90 45 ( ) 3 + 3 35 -al: szl@wa.d.pl 7 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng praw Krchhffa - napęcw praw Krchhffa (NPK) Algbraczna sa syblcznych warśc chwlwych napęć n () na wszyskch lnach, wrzących dwln wybran czk bwd s w każd chwl czas równa zr: n Λ ν ( ) 0 (6.63) k k k gdz: ν k ± ( + śl zwr napca s zgdny z przyęy za ddan krnk bg czka; - śl s przcwny) Js n akż słszn dla syblcznych apld (6.63a) raz syblcznych warśc skcznych (6.63b) dpwdnch napęć n k ν k k 0 (6.63a) ν k k 0 (6.63b) n k PYKŁAD 6.4 Dla (6.63) () () + ( ) + ( ) ( ) 0 3 4 5 Dla (6.63a) + + 0 3 4 5 Dla (6.63b) + + 0 3 4 5 -al: szl@wa.d.pl 8 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng 6.6. POŁĄENA DWÓJNKÓW Płączn SEEGOWE n dwónków + + K + n + + K+ n k (6.64) n k n k k (6.65) Płączn ÓWNOEGŁE n dwónków + + K + n Y + Y + K+ Y n Y k Y (6.66) Y n k Y k n k n k lb (6.67) k -al: szl@wa.d.pl 9 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng -al: szl@wa.d.pl 0 /7 6.7. POŁĄENA EEMENTÓW, Obwód SEEGOWY Warść pdanc ln napęca na lnc X ω X ω X ω X ω ω Pnważ ( ) [ ] ( ) X X X + + + ω ω (6.68) a: ( ) X X X + + + ω ω (6.69) X arcg X X arcg arcg ω ω ϕ arg (6.70)
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng W zalżnśc d pararów raz częslwśc, rakanca X w wzrz (6.68) X X X ż być: a) X > 0 gdy X > X wówczas ϕ > 0 b) X 0 gdy X X wówczas ϕ 0 c) X < 0 gdy X < X wówczas ϕ < 0, napęc wyprzdza prąd bwód a charakr ndkcyny, napęc prąd są w faz bwód a charakr rzysancyny, napęc późna sę względ prąd bwód a charakr pnścwy a) b) c) ϕ>0 ϕ<0 ϕ>0 X ϕ<0 X -al: szl@wa.d.pl /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng Obwód ÓWNOEGŁY Warść adanc ln prąd w lnc Y G G Y B ω X ω ω B Y ω B ω B X Pnważ Y G + ω ω [ G + ( B B )] ( G B) + (6.7) a: Y G + ω G + ( B B ) G + B (6.7) ω ω ω B B B arg Y arcg arcg arcg (6.73) G G G -al: szl@wa.d.pl /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng W zalżnśc d pararów raz częslwśc, sscpanca B w wzrz (6.7) B B B ż być: a) B > 0 gdy B > B wówczas ϕ < 0 b) B 0 gdy B B wówczas ϕ 0 c) B < 0 gdy B < B wówczas ϕ > 0, prąd wyprzdza napęc bwód a charakr pnścwy, prąd napęc są w faz bwód a charakr rzysancyny, prąd późna sę względ napęca bwód a charakr ndkcyny a) b) c) ϕ<0 ϕ>0 Y G ϕ<0 B Y G ϕ>0 B -al: szl@wa.d.pl 3 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng PYKŁAD 6.5 Oblczyć syblczną warść skczną prąd napęca każdg ln bwd sprządzć wykrs wskazwy dan: ( ) 75 snω X Ω, X Ω. () 0) Napęc na zacskach bwd 75 V ) Aby blczyć prąd Wyznacza sę pdancę bwd 0 X [ ] Ω X 0,5 + 0,5 + X +,5,5 [ ] Ω [ ] Ω 75,5,5 raz krzysa z prawa Oha: 5 + 5[ A] ) Oblcza sę napęca na 0 a) rzysrz : 5 5[ V ] + b) kndnsarz: X 50 [ V ] 50 c) pdanc : ak + lb 75 5[ V ] 3) Oblcza sę napęc na pdanc : 5[ V ] -al: szl@wa.d.pl 4 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng () 4) Oblcza sę prądy w a) rzysrz : 5 [ A] X b) cwc: 5 [ A] 3 5) Wykrs wskazwy wrzy sę przyąc nasępącą klnść ryswana:.. (w faz z ) 3. 3 (późnny względ 90 ) 4. (równy + 3 ) 5. (w faz z ) 6. (późnn względ 90 ) 7. (równ + ) 8. (równ + ) -al: szl@wa.d.pl 5 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng 6.8. TWEDENA THEVENNA NOTONA W POSTA SYMBONEJ Twrdzn Thvnna ( zasępczy źródl/gnrarz napęcwy) Dwlny akywny dwónk klasy SS żna zasąpć bwd równważny, złżny z szrgwg płączna dalng źródła napęca napęc źródłwy 0 pdanc wwnęrzn W, przy czy: - napęc źródłw 0 s równ napęc na rzwarych zacskach dwónka (napęc san ałwg SJ ) - pdanca wwnęrzna W, s równa pdanc zasępcz (pdanc wścw AB ) dwónka pasywng (bzźródłwg) rzyang p wyzrwan w wwnęrzn srkrz dwónka akywng wszyskch ancznych źródł nrg. A Wyznaczn: DA raz A A DA B A B DP B B -al: szl@wa.d.pl 6 /7
Wykład 6 : Obwdy lnw prąd snsdalng Twrdzn Nrna ( zasępczy źródl/gnrarz prądwy) Dwlny akywny dwónk klasy SS żna zasąpć bwd równważny, złżny z równlgłg płączna dalng źródła prąd prądz źródłwy adanc wwnęrzn Y W, przy czy: - prąd źródłwy s równy prądw płynąc przz zwar zacsk dwónka (prądw san zwarca S ) - adanca wwnęrzna Y W, s równa adanc zasępcz (adanc wścw Y AB ) dwónka pasywng (bzźródłwg) rzyang p wyzrwan w wwnęrzn srkrz dwónka akywng wszyskch ancznych źródł nrg. A Wyznaczn: DA A raz A DA B A B DP B B -al: szl@wa.d.pl 7 /7