Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej cos = a c. Tangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej leżącej przy kącie tg = b a. Cotangensem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ctg = a b c b sin = b c tg = b a a cos = a c ctg = a b Przykład. Oblicz wartości funkcji sin, cos, tg, ctg, dla kąta w trójkącie ABC. C c = 5 b = A B a = 4 Korzystając ze wzorów dostajemy: sin = b c = 5, cos = a c = 4 5 tg = b a = 4, ctg = a b = 4
Definicja. Miara łukowa kąta środkowego w okręgu, to liczba równa stosunkowi długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu O r r l miara łukowa kąta wynosi l r. Kąt o mierze łukowej nazywamy radianem. radian (w skrócie rad), to miara kąta środkowego, który wycina z okręgu koła łuk o długości równej długości promienia okręgu. Zauważmy, że rad 57, oraz 0, 07 rad O r rad r r Definicja. Liczba to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą niezależną od promienia okręgu. miara w stopniach 0 45 60 90 80 60 miara łukowa 6 4 Uwaga. Wybrane wartości funkcji trygonometrycznych. 0 6 4 sin 0 cos 0 tg 0 brak ctg brak 0 Uwaga. Poniżej podane są wartości liczby, jakie pojawiały się w pracach uczonych świata. Babilończycy (ok. 000 r. p.n.e.):
Egipcjanie (ok. 000 r. p.n.e.): ( ) 6 9, 6049... Archimedes (III w. p.n.e.): 7, 4, 555... hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): 754 40, 46666... włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): 864 75, 4599 niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): 4 = + 5 7 + 9 + Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 4 45 Uwaga. Warto pamiętać, że miara łukowa małych kątów jest dobrym przybliżeniem wartości funkcji trygonometrycznych sin i tg, tzn. sin x x oraz tg x x dla dostatecznie małych x. Przykład. Zamień miarę stopniową na miarę łukową dla kąta 40. Zanim zamienimy żądany kąt na radiany zastanówmy się, jak możemy to zrobić dla dowolnego kąta. W tym celu ułóżmy proporcję Z powyższej proporcji dostajemy równanie 80 x x 80 = Dzieląc przez 80 dostajemy wzór na zamianę stopni na radiany: x = 80 Korzystając z powyższego wzoru dostajemy Zatem w radianach kąt jest równy 9. x = 40 80 = 9 Przykład. Zamień miarę łukową na miarę stopniową dla wartości 0. Korzystając ponownie z proporcji: i wyznaczając tym razem dostajemy 80 x Z powyższego wzoru dostajemy = x 80. = Zatem miara w stopniach kąta jest równa 8. 0 80 = 8 Definicja 4. Kąt skierowany jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku. Pierwsza półprosta jest nazywana ramieniem początkowym, druga półprosta - ramieniem końcowym, wspólny początek półprostych nazywamy wierzchołkiem kąta.
O ramię końcowe, B ramię początkowe, A Kąt skierowany oznaczamy graficznie tak, jak to obrazuje rysunek (łuk kończy się strzałką, aby zaznaczyć ramię końcowe). Kąt skierowany oznaczamy następująco: AOB. Mówimy, że dwa kąty skierowane, β są równe gdy spełniony jest następujący warunek: każdy z tych kątów jest obrazem drugiego za pomocą pewnej translacji lub obrotu albo za pomocą złożenia tych dwóch przekształceń, przy czym w wyniku tych przekształceń ramię początkowe kąta β powinno się nałożyć na ramię początkowe kąta, a ramię końcowe kąta β na ramię końcowe kąta. Kątem skierowanym przeciwnym do kąta AOB jest kąt BOA i każdy kąt równy temu kątowi. Uwaga 4. Niech P = (x, y) będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wtedy mamy jednoznacznie wyznaczoną półprostą l o początku w środku układu współrzędnych oraz przechodzącą przez punkt P. Ponieważ półprosta l jest wyznaczona jednoznacznie, to również jest jednoznacznie wyznaczony kąt skierowany pomiędzy półosią dodatnią osi OX a półprostą l. Zauważmy, że miara kąta nie zależy od wyboru punktu P na półprostej l i oczywiście należy do przedziału [0, ). P l O Definicja 5. Niech P = (x, y) będzie punktem, który odpowiada kątowi z uwagi 4 oraz r = x + y (odległość punktu P od środka układu współrzędnych). Wtedy funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta definiujemy za pomocą następujących ilorazów: sin = y r ; cos = x r ; tg = y x, x 0; ctg = x, y 0. () y 4
W ten sposób zdefiniowaliśmy cztery funkcje trygonometryczne dla kątów skierowanych o mierze łukowej od 0 do rad, a więc funkcje, których argumentami są liczby rzeczywiste z przedziału [0, ]. Zauważmy, że funkcja tangens nie jest zdefiniowana dla x = 0, zatem funkcja ta nie jest zdefiniowana, gdy ramię końcowe kąta leży na osi OY, czyli dla kątów rad i rad. Natomiast cotangens nie jest określony dla y = 0, czyli gdy ramię końcowe leży na osi OX, stąd dostajemy, że cotangens jest niezdefiniowany dla kątów 0 rad i rad. Przez kąt o mierze ujemnej rozumieć będziemy kąt, w którym ruch od ramienia początkowego do ramienia końcowego odbywa się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, przy czym nadal ramię początkowe takiego kąta leży na dodatniej części osi OX, a wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. W ten sposób poszerza się zakres rozpatrywanych (miar) kątów skierowanych, a więc zakres argumentów funkcji trygonometrycznych do przedziału [, ]. Możliwe wartości miary łukowej kątów od [, ] możemy dalej poszerzyć do zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych, wykonując więcej niż jeden pełen obrót ramienia końcowego kąta w kierunku przeciwnym (dla kątów dodatnich) lub zgodnym (dla kątów ujemnych) do ruchu wskazówek zegara. Dla kąta o dowolnej mierze łukowej R definiujemy funkcje trygonometryczne tak samo jak dla kąta od 0 do, tzn. wybieramy punkt P leżący na ramieniu końcowym kąta, a następnie korzystamy ze wzorów (). Wykresy sinusa i cosinusa: y f (x) = sin x 6 4 x 5
y f (x) = cos x 6 4 Animacja rysująca wykresy funkcji sinus i cosinus(do działania animacji wymagany jest Adobe Reader): Uwaga 5. Z powyższej konstrukcji funkcji trygonometrycznej możemy określić następujące dziedziny i zbiory wartości x sin : R [, ], cos : R [, ], tg : R \ { + k} R, k Z, ctg : R \ {k} R, k Z. Uwaga 6. Zobaczmy, jakie są zależność między funkcjami trygonometrycznymi dla kąta oraz. Na początku zaznaczmy te kąty w układzie współrzędnych. P l O s P Ponieważ każdy punkt na półprostych l i s wyznacza dokładnie ten sam kąt, dlatego przyjmijmy, że punkty P, P są oddalone od punktu O o długość jednej jednostki. Możemy zauważyć wtedy, 6
że jeżeli punkt P ma współrzędne (x, y) to punkt P = (x, y). Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy: sin() = y = y = sin( ), cos() = x = cos( ), tg() = y x = y x = tg( ), ctg() = x y = x y = ctg( ). Uwaga 7. Zastanówmy się w jaki sposób znając jedynie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów z przedziału [0, ] można odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta. Zacznijmy od sporządzenia rysunku. P A = (0, y) (x, 0) β O Zauważmy, że w ten sposób powstał trójkąt prostokątny OAP oraz mamy następującą zależność między kątami: = β +. Możemy więc obliczyć wartość sin β w trójkącie prostokątnym, x tzn. sin β =. Następnie z własności wartości bezwzględnej i definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta x +y dostajemy: sin β = x x + y = x x + y = cos 7
Zatem w celu obliczenia cosinusa kąta z przedziału [, ] wystarczy obliczyć wartość sinusa dla kąta β =. Dla przykładu obliczmy wartość cos 4, ponieważ 4 mieści się w powyższym przedziale, dlatego możemy skorzystać ze wzoru, który wyprowadziliśmy: cos 4 = cos( 4 + ) = sin 4 = Korzystając z podobnych argumentów możemy wyprowadzić wzory dla kątów z każdej ćwiartki. Nazywamy je wzorami redukcyjnymi I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka ϕ + + + sin ϕ cos cos sin sin cos cos sin cos ϕ sin sin cos cos sin sin cos tg ϕ ctg ctg tg tg ctg ctg tg ctg ϕ tg tg ctg ctg tg tg ctg sin + cos = ; tg = sin cos ; ctg = cos sin ; tg = ctg ; tg + = cos ; ctg + = ; sin sin( + β) = sin cos β + cos sin β; sin( β) = sin cos β cos sin β; cos( + β) = cos cos β sin sin β; cos( β) = cos cos β + sin sin β; sin = sin cos ; cos = cos sin ; tg = tg ; tg sin + sin β = sin +β cos β ; sin sin β = cos +β sin β ; cos + cos β = cos +β cos β ; cos cos β = sin +β sin β ; sin = cos ; cos = +cos ; tg x = cos x sin x ; ctg x = +cos x sin x. Wybrane tożsamości trygonometryczne. 8
Zadania na zajęcia Zadanie. Zamień miarę stopniową na łukową dla podanych kątów: a) 75, b) 70, Zadanie. Zamień miarę łukową na stopniową dla poniższych kątów: a) 6, b) 6, Zadanie. Punkt (, 0) obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt. Znajdź współrzędne punktu P, który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy: a) 6, b) 4, Zadanie 4. Znajdź najmniejszy kąt dodatni o jaki należy obrócić punkt P = (, 0) wokół początku układu współrzędnych, aby otrzymać punkty: a) B = (, ), b) C = (, ). Zadanie 5. Korzystając z poniższych informacji obliczyć wartości funkcji sin x, cos x, tg x, ctg x. a) cos x = 4 oraz x ( ; ), b) sin x = oraz x (, ). Zadanie 6. Wartość podanego wyrażenia jest liczbą dodatnią czy ujemną? Rozwiązać jeden z poniższych przykładów. a) sin 547 cos 4 tg b) c) sin 48 ctg 909 + cos 69 d) cos( 5 ) sin 79 tg( 0 ) sin 04 cos 9 ctg( 7 ) Zadanie 7. Obliczyć: a) sin 75 ; b) cos 05 ; c) tg 5. Zadanie 8. Korzystając ze wzoru sin( + β) = sin cos β + cos sin β, uzasadnij wybraną tożsamość trygonometryczną: a) sin( β) = sin cos β cos sin β; b) cos( + β) = cos cos β sin sin β; c) cos( β) = cos cos β + sin sin β. Zadanie 9. Sprawdzić tożsamości trygonometryczne: a) sin 7x tg, 5x + cos 7x = b) sin ( 7 cos x x) + sin x = (cos x sin x) ;. 9
Zadanie 0. Zamień miarę stopniową na łukową dla podanych kątów: a) 60, b) 0, c) 45, d) 5. Zadanie. Zamień miarę łukową na stopniową dla poniższych kątów: 5 a), b) 5, 6 4 c), d). 0 9 Zadanie. Punkt (, 0) obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt. Znajdź współrzędne punktu P, który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy: a), b) 5, 4 c), d). 6 Zadanie. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: tg +tg β a) tg( + β) = b) tg( β) = c) tg = tg tg. tg tg β ; tg tg β +tg tg β ; Zadanie 4. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: a) sin + sin β = sin +β cos β ; b) sin sin β = cos +β sin β ; c) cos + cos β = cos +β cos β ; d) cos cos β = sin +β sin β. Zadanie 5. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: tg x a) tg x+ctg x = sin x; sin x+cos x b) cos x tg x = sin x tg x cos x + ; c) sin(x + y) sin(x y) = sin x sin y; Zadanie 6. Oblicz: a) sin + sin + + sin 58 + sin 59 ; b) cos + cos + + cos 78 + cos 79. Zadania domowe Zadanie 7. Zamienić miarę stopniową na łukową dla kątów: a) 5, b) 00, c) 0, d) 7. 0
Zadanie 8. Zamienić miarę łukową na stopniową dla kątów: a) 4, b) 5, c) 0, d) 80. Zadanie 9. Określić znak każdej z funkcji trygonometrycznych dla kątów: a) 0, b) 4. Zadanie 0. Obliczyć, korzystając ze wzorów redukcyjnych oraz okresowości funkcji trygonometrycznych: a) sin, b) ctg 4, c) ctg( 407 ), d) cos. 4 6 Zadanie. Podane liczby uporządkować rosnąco a) a = cos 0, b = cos, c = cos, d = cos ; b) a = ctg, b = ctg, c = ctg, d = ctg. 6 Literatura M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Podręcznik do liceów i techników klasa, Oficyna Edukacyjna, 00. M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Zbiór zadań do liceów i techników klasa, Oficyna Edukacyjna, 00. M. Braun, M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, E. Zamościńska,Matematyka II Zbiór zadań dla liceum i technikum, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, 005. N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla kl. I i II liceum ogólnokształcącego, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 994. Wskazówki. Skorzystaj ze wzoru x =.. Skorzystaj ze wzoru = 80 x 80.. Narysuj półprostą nachyloną do dodatniej półosi OX pod kątem, a następnie zaznacz na niej punkt w odległości od środka układu współrzędnych i skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. 5. Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i sprawdź jaki znak przymuje funkcja sin oraz cos w odpowiednich ćwiartkach. 6. Skorzystaj z okresowości funkcji trygonometrycznej (sin, cos -; tg, ctg - ), a następnie określ znak funkcji w przedziale [0, ) 7. Skorzystaj z wzorów na sin( ± β) oraz cos( ± β). 8. Skorzystaj z parzystości i nieparzystości funkcji sin, cos oraz wzorów redukcyjnych. 9. Skorzystaj z wzorów które znajdują się na końcu częśći z teorią. 0. Skorzystaj ze wzoru x =.. Skorzystaj ze 80 wzoru = x 80.. Narysuj półprostą nachyloną do półosi OX pod kątem, a następnie zaznacz na niej punkt w odległości od środka układu współrzędnych i skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.. a) Rozpisać prawą stronę(zamienić tg na iloraz sin / cos ) a następnie skorzystać z wzorów na sin ± β, cos ± β. Dla podpunktów b i c skorzystaj z a. 4. Skorzystaj z podstawienia = u + v, β = u v. 6.
a) Korzystamy z wzoru sin + sin β = sin +β cos β i sumujemy skrajne elementy, b) Korzystamy z wzoru cos + cos β = cos +β cos β i sumujemy skrajne elementy 7. Skorzystaj ze wzoru x =. 8. Skorzystaj ze wzoru = 80 x 80. 9. Narysuj wykres funkcji sin x oraz cos x, a następnie skorzystaj z okresowości funkcji trygonometrycznych.. Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych w odpowiednich przedziałach. Odpowiedzi rad. a) 0, b, 5,. a) P = ( 5. a) rad, b) = 7 = 4 5, b) = 4 = 6 0. 5. a) sin x =, ), b) P = ( 7, cos x =, tg x = 7 4 4, 7 ), 4. a), ctg x =, b) 7 sin x =, cos x =, tg x =, ctg x = 6. a) +, b) -, c) -, d) + 7. a) ( + ), 4 b) ( ), c) 4 +. 9. a) Tak, b) Nie 0. a) rad, b) rad, c) rad, d). a) 6 4 6 50, b) 5,c) 99, d) 40. a) P = (, ), b) P = (, ), c) P = (, 5. a) Tak, b) Tak, c) Tak 6. a) 0, b) 0 7. a), b) 5, c) 68, d) 6 9 b) 4, c) 800, d) 9. a) sin 0 < 0, cos 0 ), d)p = (0, ) 8. a) 45 5, ) > 0, < 0, tg 0 > 0, ctg 0 > 0, b) sin( 4 cos( 4 ) < 0, tg( 4 ) < 0, ctg( 4 ) < 0. 0. a), b), c), d). a) d < c < b < a, b) c < d < b < a.