Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa

Podstawowe rozkłady prawdopodobieństwa - ćwiczenia ĆWICZENIA Piotr Ciskowski

rozkład zerojedynkowy ćwiczenie 1. udowodnić Doświadczenie może się zakończyć dwoma wynikami: S sukces - prawdopodobieństwo sukcesu: p - wartość zmiennej losowej: X = 1 P porażka - prawdopodobieństwo porażki: 1-p - wartość zmiennej losowej: X = 0 Pokazać, że: E X = p Var X = p ( 1 p ) dowód: EX = Var X =

rozkład dwumianowy, schemat Bernoulliego ćwiczenie 2. udowodnić Wykonuje się n niezależnych doświadczeń, z których każde może zakończyć się: - sukcesem z prawdopodobieństwem p - albo porażką z prawdopodobieństwem 1-p Pokazać, że liczba K n wszystkich sukcesów w ciągu n doświadczeń jest zmienną losową o rozkładzie Bernoulliego b(n,p) dowód: - n P Kn k p p k k ( = ) = ( 1 ) n k

rozkład dwumianowy ćwiczenie 3. telefony Dziesięciu abonentów może połączyć się z siecią telefoniczną za pomocą lokalnej centrali dysponującej n liniami. Każdy z abonentów zajmuje linie średnio 12 minut na godzinę (reklamy :-) Zakładając, że zamówienia są dokonywane niezależnie od siebie, obliczyć, jaka jest minimalna liczba linii wystarczająca na to, by w dowolnej chwili z prawdopodobieństwem 0.99 obsłużyć wszystkie zgłoszenia sukces S jeden abonent zajął linię P(S) = 12/60 = 1 / 5 porażka P jeden abonent nie zajął linii P(P) = 48/60 = 4 / 5

rozkład dwumianowy ćwiczenie 3. telefony Dziesięciu abonentów może połączyć się z siecią telefoniczną za pomocą lokalnej centrali dysponującej n liniami. Każdy z abonentów zajmuje linie średnio 12 minut na godzinę (reklamy :-) Zakładając, że zamówienia są dokonywane niezależnie od siebie, obliczyć, jaka jest minimalna liczba linii wystarczająca na to, by w dowolnej chwili z prawdopodobieństwem 0.99 obsłużyć wszystkie zgłoszenia prawdopodobieństwo zajęcia k linii: k 10 1 4 = = k 5 5 ( k ) P X 10 k moje rozwiązanie: rozwiązanie Gajek-Kałuszka n+ 1 10 ( n+ 1) 10 1 4 P( A) = P( X = n + 1) = 0.01 n 1 < + 5 5 n k 10 k 10 1 4 P( B) = P( X n) = 0.99 k= 0 k 5 5

rozkład dwumianowy ćwiczenie 3. telefony Dziesięciu abonentów może połączyć się z siecią telefoniczną za pomocą lokalnej centrali dysponującej n liniami. Każdy z abonentów zajmuje linie średnio 12 minut na godzinę (reklamy :-) Zakładając, że zamówienia są dokonywane niezależnie od siebie, obliczyć, jaka jest minimalna liczba linii wystarczająca na to, by w dowolnej chwili z prawdopodobieństwem 0.99 obsłużyć wszystkie zgłoszenia prawdopodobieństwo zajęcia k linii: k 10 1 4 = = k 5 5 ( k ) P X 10 k moje rozwiązanie: rozwiązanie Gajek-Kałuszka n+ 1 10 ( n+ 1) 10 1 4 P( A) = P( X = n + 1) = 0.01 n 1 < + 5 5 n k 10 k 10 1 4 P( B) = P( X n) = 0.99 k= 0 k 5 5

rozkład normalny ćwiczenie 4. wałki Automat ustawiony na pozycji µ produkuje wałki, których średnica ma rozkład normalny N(µ,0.05) Wałek uważa się za dobry, jeśli jego średnica X mieści się w przedziale ( 20.15, 20.25 ) Jak powinien być ustawiony automat, aby prawdopodobieństwo wykonania braku było jak najmniejsze? Jaki procentowy udział w całej produkcji będą miały braki naprawialne ( X > 20.25 ) a jaki nienaprawialne ( X < 20.15 ), jeśli automat zostanie przypadkowo ustawiony na pozycji µ =20.25? automat powinien być ustawiony na Ile wyrobów wpadnie wtedy w przedział dobrych wałków? %

rozkład normalny ćwiczenie 4. wałki Automat ustawiony na pozycji µ produkuje wałki, których średnica ma rozkład normalny N(µ,0.05) Wałek uważa się za dobry, jeśli jego średnica X mieści się w przedziale ( 20.15, 20.25 ) Jak powinien być ustawiony automat, aby prawdopodobieństwo wykonania braku było jak najmniejsze? Jaki procentowy udział w całej produkcji będą miały braki naprawialne ( X > 20.25 ) a jaki nienaprawialne ( X < 20.15 ), jeśli automat zostanie przypadkowo ustawiony na pozycji µ =20.25? automat powinien być ustawiony na gdy będzie ustawiony na 20.25, to: - braków naprawialnych: % - braków nienaprawialnych: % a gdyby go ustawić na 20.15?

rozkład ćwiczenie 5. żywotność Zmierzono żywotność (czas bezawaryjnej pracy w godzinach) stu jednakowych urządzeń wytwarzanych masowo. Otrzymano wyniki przedstawione w tabeli Dopasować rozkład, wyznaczyć jego parametr rozkład średnia: lambda:

ćwiczenie 6. ubezpieczenia Towarzystwo ubezpieczeniowe ma rezerwę 1000zł z poprzedniego roku. W bieżącym roku stu klientów wpłaca po 100zł ubezpieczenia. W przypadku śmierci ubezpieczonego firma wypłaca 4000zł. Prawdopodobieństwo śmierci każdego z klientów przyjmujemy za jednakowe i równe p = 1/100 Załóżmy, że przypadki zgonów są niezależne od siebie. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że firma w tym roku nie będzie wypłacalna? rozw.:

ćwiczenie 7. hazard Krupier rzuca symetryczną monetą do chwili, gdy wypadnie orzeł. Gdy orzeł wypadnie w k-tym rzucie, krupier wypłaca 2 k zł, ale gdy orzeł nie wypadnie po sześciu rzutach, gracz płaci S zł i gra się kończy. Ile powinna wynosić opłata S, aby gra była sprawiedliwa? rozw.: p = 0.5 orzeł q = 0.5 rzeszka k: k-1 reszek + k-ty orzeł 1 2 3 4 5 6 X: wypłata P(k): EX krupier = = P(k>=7) = 1 suma k=1..6 P(k) = EX krupier = S * P(k>=7) = EX gracz = S * S = zł

ćwiczenie 8. gwoździe Zmierzono n = 100 razy długość produkowanych detali (np. gwoździ). Otrzymano wyniki (w mm) jak w tabeli. Zorientować się, jaki to rozkład, wyznaczyć jego parametry, obliczyć liczności oczekiwane dla tego rozkładu 9,8 9,7 9,6 9,8 9,9 10,3 9,9 10,6 9,6 10,5 10,1 9,9 10,5 10,1 9,6 9,7 9,0 10,6 9,9 10,3 9,4 9,7 9,8 9,9 10,1 9,8 10,6 10,6 10,1 9,8 9,6 10,4 10,7 9,8 10,5 9,2 9,8 10,3 9,9 9,9 10,5 11 10,3 10,3 11,1 9,8 10,2 10,0 10,3 9,6 9,9 10,4 9,6 9,7 9,7 10,2 9,5 10,6 9,4 10,4 10,7 9,3 10,5 9,8 10,3 10,7 10,1 9,2 9,9 10,6 9,7 10,1 9,5 10,3 10,4 9,7 9,8 9,5 10,4 10,2 10,6 9,4 10,0 9,4 10,5 10,0 10,0 10,6 10,1 10,3 10,0 10,1 10,3 10,1 10,2 9,8 10,1 9,9 10,0 10,1

ćwiczenie 9. układ szeregowy Rozważmy układ szeregowy złożony z m ogniw. Prawdopodobieństwo awarii k-tego ogniwa przy naprężeniu γ wynosi p k. Oblicz prawdopodobieństwo, że nie nastąpi awaria układu przy naprężeniu γ. Wykonaj obliczenia dla m=5 oraz p k = 1/(k+1), k=1,, 5 odp.: P(sprawny)= 1 P ( jeden padnie ) = = P ( wszystkie sprawne ) = =

ćwiczenie 10. układ równoległy Rozważmy układ równoległy złożony z m ogniw. Prawdopodobieństwo awarii k-tego ogniwa wynosi p k. Awaria takiego układu następuje wtedy, gdy wszystkie ogniwa ulegną awarii. Oblicz prawdopodobieństwo, że nie nastąpi awaria układu. Wykonaj obliczenia dla m=6 i dla p 1 =p 2 =p 3 = 2/9 oraz p 4 =p 5 =p 6 = 1/9 odp.: P ( sprawny )= 1 P ( wszystkie padną ) = = P ( którykolwiek sprawny ) = =

ćwiczenie 11. samolot Samolot ma 4 silniki, po dwa na każdym skrzydle. Prawdopodobieństwo awarii każdego silnika w czasie lotu wynosi p=0.001 (i jest niezależne od stanu pozostałych silników). Oblicz prawdopodobieństwo tego, że samolot doleci do celu, jeśli może kontynuować lot mając: 1) co najmniej dwa sprawne silniki 2) co najmniej jeden sprawny silnik na każdym skrzydle odp.: P ( doleci ) = 1 P ( spadnie ) 1) P ( doleci ) = 2) P ( doleci ) =

ćwiczenie 12. gospodarstwa Rozpatrujemy 31 gospodarstw domowych ze względu na liczbę osób (zmienna losowa skokowa) i wyróżniamy 6 poziomów: 1, 2, 3, 4, 5, 6 i więcej. Dane przedstawia tabela Celem ćwiczenia jest wyrównanie empirycznego rozkładu do postaci rozkładu dwumianowego 1 3 4 6 1 3 4 6 1 3 4 1 3 4 Zmienna: Zmn1, Rozkład: Dwumianowy, p = 0,61935 Test chi-kwadrat = 0,44032, df = 1 (dopasow.), p = 0,50697 2 3 4 2 3 4 2 3 5 2 3 5 2 3 5 2 4 5 Liczba obserwacji 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-1 0 1 2 3 4 5 6 Kategoria (górna granica)

ćwiczenie 13. giełda Empiryczny rozkład wartości pieniężnej akcji najbogatszych graczy na warszawskiej giełdzie przedstawia tabela Wyznaczyć statystyki opisowe, dopasować rozkłady: normalny i log-normalny

ćwiczenie 14. kwiatki Otwórz przykładowy plik danych dołączany do STATISTICi: Irisdat.sta Plik zawiera dane podane przez Fishera (1936), a dotyczące długości i szerokości działek kielicha (Dł działki, Szer działki) oraz płatków (Dł płatka, Szer płatka) dla 50 kwiatów trzech odmian irysa Sprawdź rozkłady czterech zmiennych opisujących wymiary długościowe i szerokościowe działek kielicha i płatków. Oczekujemy, że dane te podlegają rozkładowi normalnemu 25 Zmienna: Dł działki, Rozkład: Normalny d Kołmogorowa-Smirnowa 0,08865, p < 0,20, p Lillieforsa < 0,01 Test chi-kwadrat = 23,98622, df = 10 (dopasow.), p = 0,00764 20 Liczba obserwacji 15 10 5 0 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 Kategoria (górna granica)

ćwiczenie 14. kwiatki Otwórz przykładowy plik danych dołączany do STATISTICi: Irisdat.sta Plik zawiera dane podane przez Fishera (1936), a dotyczące długości i szerokości działek kielicha (Dł działki, Szer działki) oraz płatków (Dł płatka, Szer płatka) dla 50 kwiatów trzech odmian irysa Sprawdź rozkłady czterech zmiennych opisujących wymiary długościowe i szerokościowe działek kielicha i płatków. Oczekujemy, że dane te podlegają rozkładowi normalnemu 20 Odmiana=SETOSA Zmienna: Dł działki, Rozkład: Normalny d Kołmogorowa-Smirnowa 0,60381, p < 0,01, p Lillieforsa < 0,01 Test chi-kwadrat = 91,55227, df = 4 (dopasow.), p = 0,00000 18 Odmiana=VIRGINIC Zmienna: Dł działki, Rozkład: Normalny d Kołmogorowa-Smirnowa 0,44935, p < 0,01, p Lillieforsa < 0,01 Test chi-kwadrat = 47,64849, df = 4 (dopasow.), p = 0,00000 11 Odmiana=VERSICOL Zmienna: Dł działki, Rozkład: Normalny d Kołmogorowa-Smirnowa 0,21921, p < 0,05, p Lillieforsa < 0,01 Test chi-kwadrat = 10,35905, df = 4 (dopasow.), p = 0,03479 18 16 10 Liczba obserwacji 16 14 12 10 8 6 4 Liczba obserwacji 14 12 10 8 6 4 Liczba obserwacji 9 8 7 6 5 4 3 2 2 2 1 0 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 Kategoria (górna granica) 0 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 Kategoria (górna granica) 0 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 3,75 4,25 4,75 5,25 5,75 6,25 6,75 7,25 7,75 8,25 Kategoria (górna granica)

ćwiczenie 15. www Grima Jeżeli strona internetowa jest odwiedzana średnio 100 razy na dobę (zakładając, że nie zależy ona od dnia tygodnia), to jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba odsłon w ciągu doby będzie mniejsza od 80?

ćwiczenie 16. pasażerowie Rabiej Samolot zabiera 80 pasażerów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 5550kg, jeśli wiadomo, że waga dorosłego człowieka ma rozkład N(70,3)?

ćwiczenie 17 Grima Wśród wyrobów opuszczających linię produkcyjną 1% to produkty wadliwe. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w pudełku zawierającym 50 produktów znajdują się 2 produkty wadliwe 75% rzutów wolnych wykonywanych przez pewnego koszykarza kończy się zdobyciem punktu. Oblicz prawdopodobieństwo, że koszykarz ten trafi 8 razy w 10 rzutach Pewne małżeństwo ma czworo dzieci. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że to 2 chłopców i 2 dziewczynki Czy równy rozkład płci jest najbardziej prawdopodobny?