Zadanie Punkty Ocena

Transkrypt

1 Statystyka matematyczna Test przykładowy na zaliczenie laboratorium / ćwiczeń PROSZĘ NIE ODWRACAĆ KARTKI PRZED ROZPOCZĘCIEM TESTU! Wskazówki: 1. Wybierz zadania, za które w sumie możesz otrzymać 30 punktów nie więcej, nie mniej. Resztę zadań wykreśl długopisem. 2. Przeczytaj treść zadań bardzo uważnie. 3. Staraj się umieszczać jak najwięcej własnych komentarzy przy rozwiązywaniu zadań. 4. Umieść na teście dowody, że zadanie wykonałe(a)ś samodzielnie. 5. Przekreśl tę część rozwiązań, która nie ma być przeze mnie sprawdzana. 6. Za prawidłowe odpowiedzi bez wystarczających dowodów lub opatrzone złymi komentarzami nie otrzymasz pełnej punktacji. 7. Wszystkie odpowiedzi umieszczaj na tym teście. 8. Dodatkowe kartki papieru są zbędne nie będą przyjmowane. Zadanie Punkty Ocena 1

2 1. Pobrano próbę losową prostą 50 butelek syropu na kaszel pewnej marki i zmierzono zawartość alkoholu w każdej z nich. Niech µ oznacza przecietną zawartość alkoholu dla populacji generalnej wszystkich buteleczek syropu tej marki. Otrzymano 95% przedział ufności dla tej średniej: (8.0, 9.6). a. Czy przedział ufności 90% liczony na podstawie tej samej próbki byłby węższy czy szerszy od obliczonego powyżej? Odpowiedź uzasadnij. b. Rozważ następujące stwierdzenie: Jest 95% szansy na to, że µ leży w granicach od 8 do 9.6. Czy to stwierdzenie jest poprawne? Odpowiedź uzasadnij. c. Rozważ następujące stwierdzenie: Jeżeli process wyboru próby losowej o rozmiarze 50 i następnie obliczanie 95% przedziału jest powtarzane 100 razy, 95 z otrzymanych przedziałów będzie zawierać µ. Czy to stwierdzenie jest poprawne? Odpowiedź uzasadnij. 2

3 2. Studenci na zajęciach ze statystystyki matematycznej zostali poproszeni o odpowiedzi na pytanie, czy mają chroniczne problemy ze snem czy też nie oraz ile zwykle godzin poświecają na sen w ciągu nocy. Celem badania było sprawdzenie, czy średni czas snu osób z chronicznymi przerwami snu jest istotnie niższy od osób bez zaburzeń. Wyniki badania przedstawiono w poniższej tabeli (statystyki opisowe): Grupa Rozmiar próby (n) Średnia Odchylenie standardowe Sen w normie Chroniczne przerwy podczas snu a. Badacz chciałby wykorzystać test parametryczny, aby sprawdzić, czy są powody by twierdzić, że średni czas snu na 1 noc był znacząco niższy u osób z tą dolegliwością. Jakie muszą zostać spełnione założenia nim zostanie wykonany porównawczy test t- Studenta? b. Postaw hipotezy (odpowiedniego typu) badane w tym eksperymencie: H 0 : H 1 : c. Oblicz odchylenie standardowe różnicy. d. Zapisz wartość statystyki testowej hipotez zapisanych w punkcie (b) oraz podaj obszar krytyczny testu. e. Zapisz wartość poziomu istotności testu (obserwowanego i teoretycznego). f. Bazując na wynikach otrzymanych w punktach (d) oraz (e) podejmij odpowiednie wnioski co do hipotez postawionych w punkcie (b). 3

4 3. Zarządzenie administracyjne reguluje całkowitą masę przewozów lotniczych w pewnego typu samolotach transportowych. Maksymalna masa nie może przekroczyć 330 kg. Zwykle samolot jest załadowywany 100 paletami pewnego towaru. Z danych historycznych wynika, że dla jednej palety średnia masa wynosi 3.2 kg, a odchylenie standardowe 0.4 kg. a. Jaki jest rozkład średniej wagi typowego załadunku samolotu? Podaj jego nazwę oraz podstawowe parametry. b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojedyncza paleta przekroczy masę 3.5 kg? c. Jaka jest szansa, że zarządzenie administracyjne jest w tym przypadku przestrzegane? Odpowiedź uzasadnij. 4. Na podstawie poniższych danych zweryfikować za pomocą testu Kołmogorova hipotezę, że rozkłady stażu pracy pracowników (wg ich liczby w poszczególnych przedziałach) pracujących w pewnym przedsiębiorstwie na koniec 2002 roku na wydziale A i na wydziale B są takie same. Przyjąć poziom istotności 0,01. Wypełnij tabelę danych pośrednimi obliczeniami: Staż pracy [lata] Wydział A Wydział B i więcej a. Podaj nazwę i wartość statystyki testowej: b. Podaj wartość krytyczną testu: c. Podaj poziom istotności empiryczny (p): d. Decyzja: 4

5 5. Pracownia badań opinii społecznej planuje pobrać próbę losową złożoną z 200 gospodarstw domowych. Załóżmy, że dla każdego i w granicach od 1 do 200, liczba mieszkańców w itym gospodarstwie wynosi 1+N i, gdzie N 1 ; ; N 200 są identycznymi i niezależnymi zmiennymi Poisson a, każda o parametrze 2. Niech X będzie całkowitą liczbą mieszkańców we wszystkich pobranych gospodarstwach domowych. a) Znajdź wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe zmiennej X oraz podaj ich wartości. b) Podaj przybliżoną wartość P(X>650). Uzasadanij krótko typ swojego przybliżenia. c) Podaj dokładny rozkład zmiennej X. 6. Profesor Kot twierdzi, że zasługuje na podwyżkę, gdyż jego studenci wykazują systematycznie bardzo wysoki wskaźnik zdawalności końcowych egzaminów ze statystyki. Dziekan porównał te wskaźniki dla 60 losowo pobranych studentów profesora oraz 85 losowo pobranych studentów magistra F. Dwudziestu czterech studentów profesora zdało egzamin w pierwszym terminie, natomiast u magistra F. było ich 19. Podaj 95% przedział ufności dla róznicy pomiędzy wskaźnikami prof. Kota i magistra F. 5

6 7. Próba losowa o rozmiarze 16 została wylosowana z rozkładu normalnego o średniej 20 i wariancji 4. Niech X oznacza średnią w próbie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że X jest większa od 19? 8. Rzucono 180 razy kostką do gry. Wyniki rzutów przedstawia tabela. Wynik Liczebności Czy mamy podstawy by twierdzić, że kostka jest nierzetelna? Przyjmij w odpowiednim teście poziom istotności 5%. Przedstaw wszystkie 7 kroków testowania hipotez oraz pośrednie obliczenia z komentarzem. 6

7 9. Schemat dwumianowy bazuje na 100 próbach i na nieznanym prawdopodobieństwie sukcesu p. Niech X będzie liczbą sukcesów. Wówczas hipoteza zerowa H 0 : p = 0.5 oraz alternatywna H 1 : p = 0.6. H 1 jest akceptowana jeśli X > 58. Podaj wartość prawdopodobieństw błędu 1 i 2 rodzaju. Użyj przybliżenia rozkładem normalnym wraz z poprawką na ciągłość. 10. Trzech wykładowców akademickich oceniało te same projekty 5 studentów. Po protestach studentów, komisyjnie przeprowadzono analizę wariancyjną dla sumy punktów przyznanych przez każdego z wykładowców. Wyniki analizy przedstawiono w poniższej tabeli, lecz niestety nie jest ona kompletna. ŹRÓDŁO SS DF MS TEST p MIĘDZYGRUPOWE 41,6 WEWNĄTRZGRUPOWE 164,4 RAZEM 206,0 14 Wypełnij tabelę oraz podejmij decyzję, czy są podstawy by twierdzić, że studenci zostali niesprawiedliwie ocenieni przez wykładowców (różnice pomiędzy ocenami były wysoce statystycznie istotne przyjmij poziom istotności 1%). Podaj wartość i nazwę statystyki testowej oraz zaobserwowany poziom istotności. 7

8 11. W pewnym przedsiębiorstwie branży metalowej, spośród 855 odbiorców wyrobów tej firmy, wylosowano w próbie prostej 80 i zbadano rentowność sprzedaży. Wyniki prezentuje poniższe zestawienie: Rentowność [%] Liczba odbiorców -15,0 0,0 4 0,0 15,0 7 15,0 30, ,0 45, ,0 60, ,0 75,0 6 75,0 90,0 1 90,0 105,0 1 Jeśli wiadomo, że średnia rentowność w całej grupie odbiorców wynosi 32,4%, a wariancja 407,76%, zbadać zgodność rozkładu rentowności sprzedaży z rozkładem normalnym. a. Postaw hipotezy nieparametryczne. H 0 : H 1 : b. Zapisz wartość statystyki testowej oraz obszar krytyczny testu. c. Zapisz wartość poziomu istotności testu (obserwowanego i teoretycznego). d. Bazując na wynikach otrzymanych w punktach (b) oraz (c) podejmij odpowiednie wnioski co do hipotez postawionych w punkcie (a). 8