Logika. Logika. Z czego się składa: model dziedzina, o której własnościach wnioskujemy,

Podobne dokumenty
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Adam Meissner.

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań III

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność

reguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły szczegółowe dotyczące spójników logicznych: wprowadzanie, eliminacja.

Co to są liczby naturalne i czemu ich nie ma?! Adam Kolany

Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Semantyka rachunku predykatów

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Logika matematyczna wersja 0.94 (1 września 2005)

Klasyczny rachunek predykatów

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Semantyka rachunku predykatów pierwszego rzędu. Dziedzina interpretacji. Stałe, zmienne, funkcje. Logika obliczeniowa.

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Twierdzenie Łosia o ultraprodukcie

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

Drobinka semantyki KRP

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

II Matematyka 2 stopnia( 3W). Logika i podstawy matematyki. Janusz Czelakowski. Wykład 8. Arytmetyka

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Metoda Tablic Semantycznych

Zasady krytycznego myślenia (1)

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Internet Semantyczny i Logika I

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Podstawowe Pojęcia. Semantyczne KRZ

Elementy logiki matematycznej

Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Lista egzaminacyjna zadań z matematycznych podstaw informatyki, wersja 3.

Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań

Paradygmaty dowodzenia

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

Schematy Piramid Logicznych

RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań

4 Klasyczny rachunek zdań

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW

Wyuczalność w teorii modeli

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.

1 Funktory i kwantyfikatory

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Logika Matematyczna (1)

Zasada indukcji matematycznej

Równoliczność zbiorów

Rachunek zdań i predykatów

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Rozstrzygalność logiki modalnej

Rachunki relacji. Rachunki relacji. RRK Relacyjny Rachunek Krotek

RACHUNEK PREDYKATÓW 7

Adam Meissner SZTUCZNA INTELIGENCJA

Logika Matematyczna (I JiIN UAM)

Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa

Kultura logicznego myślenia

Wstęp do Matematyki (4)

Programowanie w logice

Logika Matematyczna (2,3)

Matematyka ETId Elementy logiki

Dowody założeniowe w KRZ

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

1 Podstawowe oznaczenia

Rekurencyjna przeliczalność

O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Początki informatyki teoretycznej. Paweł Cieśla

Przykładowe dowody formuł rachunku kwantyfikatorów w systemie tabel semantycznych

Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań

Teoria mnogości, o której mówimy i teoria mnogości, w której mówimy

Elementy logiki i teorii mnogości

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

Programowanie deklaratywne

Transkrypt:

Z czego się składa: model dziedzina, o której własnościach wnioskujemy, język w którym zapisujemy te własności, interpretacja przypisująca napisom języka elementy z modelu Składowe części języka: termy opisyelementów;npsinπ; formuły opisy własności elementów; np sin π 05(własności niekoniecznie prawdziwe); teoria zbiórformuł,któreuważamyzaopisy prawdziwych własności; zwykle zadawany przez aksjomaty i reguły wnioskowania język interpretacja model Wykład8,14IV2010,str2 DEFINICJA: logika pierwszego rzędu język M zmiennevar:napisyk,m,n,ewzindeksamilubprimami; symbole funkcyjne Fun: skończony(lub przeliczalny rekursywny) zbiór napisów; dana funkcja arność ar: Fun N(nieformalnie: liczba argumentów); jeślic Funiar(c)0,tocnazywamystałą; termy Term: najmniejszy zbiór napisów tż: Var Term,czylizmiennesątermami, jeślif Funit 1,t 2,,t ar(f) Term,tof(t 1,t 2,,t ar(f) ) Term, czyli termy uzyskuje się przez zastosowanie symbolu funkcyjnego do odpowiedniej liczby termów; symbole relacyjne Rel: skończony(lub przeliczalny rekursywny) zbiór napisów; dana funkcja arność ar: Rel N(nieformalnie: liczba argumentów); formuły Form: najmniejszy zbiór napisów tż: jeślir Relit 1,t 2,,t ar(r) Term,tor(t 1,t 2,,t ar(f) ) Form, czyli formuły atomowe uzyskuje się przez zastosowanie symbolu relacyjnego do odpowiedniej liczby termów; jeślif 1,f 2 Form,tonapisy f 1,f 1 &f 2,f 1 f 2,f 1 f 2,f 1 f 2 też są formułami, jeslix Varif Form,to x fi x fsąformułami

Przykład: język arytmetyki M symbolefunkcyjne: ar(0)0 stałazero ar(1)0 stałajeden ar(s)1 funkcjanastępnik ar(+)2 funkcjadodawanie ar( )2 funkcjamnożenie symbolerelacyjne: ar()2 równość ar(<)2 mniejszość ar( )2 mniejszośćnieostra Przykłady formuł: n k n k n k n<k n0 n1 n2 k (n k 0n k 1+n k 2 k 2) Wykład8,14IV2010,str4 DEFINICJA: logikapierwszegorzędu modelm M,F,R M zbiórm nośnikmodelu; zbiórf + n0 F n operacji; jeślif F n,tof:m M }} zbiórr + n0 negz R n predykatów; M jeślir R n,tor:m M false, true} }} negz

DEFINICJA: logika pierwszego rzędu interpretacja M I:Fun F tż I[[f]] Far(f) I:Rel R tż I[[r]] R ar(r) W obecności wartościowania zmiennych do elementów modelu, v Val def Var M taka interpretacja rozszerza się jednoznacznie do interpretacji termów i formuł: I:Term Val M I:Form Val false,true} (patrz dalej) Wykład8,14IV2010,str6 Interpretacje: zmienna:i[[x]]v def v(x) termzłożony:i[[f(,t i,)]]v def I[[f]](,I[[t i ]]v,) formułaatomowa:i[[r(,t i,)]]v def I[[r]](,I[[t i ]]v,) formuła złożona: I[[ f]]v def falsejeślii[[f]]vtrue truejeślii[[f]]vfalse I[[f 1 &f 2 ]]v def truejeślii[[f1 ]]vtrueii[[f 2 ]]vtrue false w przeciwnym razie I[[f 1 f 2 ]]v def falsejeślii[[f1 ]]vfalseii[[f 2 ]]vfalse true w przeciwnym razie I[[f 1 f 2 ]]v def falsejeślii[[f1 ]]vtrueii[[f 2 ]]vfalse true w przeciwnym razie I[[f 1 f 2 ]]v def truejeślii[[f1 ]]vi[[f 2 ]]v false w przeciwnym razie

Interpretacje, cd: formuła złożona(z kwantyfikatorem): I[[ x f]]v def I[[ x f]]v def truejeślii[[f]]v truedladowolnegov Val różniącegosięodvnajwyżejnazmiennejx false w przeciwnym razie falsejeślii[[f]]v falsedladowolnegov Val różniącegosięodvnajwyżejnazmiennejx true w przeciwnym razie Wykład8,14IV2010,str8 Uwagi: interpretacja I tłumaczy napisy na rzeczywistość ; podobnie jak translator języka programowania tłumaczy programy(napisy) na prawdziwe obliczenia; w definicji interpretacji używaliśmy pojęć analogicznych do definiowanych, ale na innym poziomie, np: pojęcia metapojęcia spójniki,&,,, słowa i, jeśli, w przeciwnym razie kwantyfikatory, słowa dla dowolnego w logice drugiego rzędu zezwala się dodatkowo na kwantyfikowanie po funkcjach lub predykatach

Oznaczenia: formuła f jest w interpretacji I spełniona dla każdego wartościowania: I f def I[[f]]vtruedlakażdegov Val formuła f jest tautologią: f def I fdlakażdegomodelumikażdejinterpretacjiiwm Wykład8,14IV2010,str10 DEFINICJA: logika pierwszego rzędu teoria: Mwybieramy pewien zbiór twierdzeń: T Form; ozn: f def f T DEFINICJA: teoria T zgodna z modelem M, I : M(inaczej: M,I jestmodelemteoriit) dladowolnejformułyf Form:jeśli f to I f DEFINICJA: teoria T pełna dla modelu M, I : Mdladowolnejformułyf Form:jeśli I f to f

pierwszego rzędu teoria: Teorie są zwykle nieskończone Zadaje się je zwykle przez podanie skończonego(lub przeliczalnego rekursywnego) zbioru aksjomatów, oraz skończonego(lub przeliczalnego rekursywnego) zbioru reguł wywodu Aksjomaty to gotowe twierdzenia teorii Reguły wywodu to sposoby czysto językowego konstruowania nowych twierdzeń ze starych Wykład8,14IV2010,str12 pierwszego rzędu teoria: Przykład: reguła odrywania(modus ponens) M } f 1 f 2 f założenia 1 f 2 wniosek Przykład: reguła uszczegółowiania(wprowadzania ) M f[t/x] x f (f[t/x] formułafzezmiennąxzastąpionąprzeztermt) Przykład: reguła uogólniania(wprowadzania ) M f x f (o ile x nie występuje w założeniach)

Komplikacje: istnieje dużo modeli danej logiki pierwszego rzędu; np termy arytmetyki można interpretować jako prawdziwe liczby, albo jako ciągi bitów; ale takie modele są izomorficzne; zwykle istnieje wiele nieizomorficznych modeli danej logiki pierwszego rzędu TWIERDZENIE: (Skolema-Löwenheima) MJeśli teoria pierwszego rzędu posiada choćby jeden model nieskończony, to posiada model o każdej mocy pozaskończonej Wniosek: MArytmetyka liczb naturalnych posiada modelmocyℵ 0,modelmocy2 ℵ 0,modelmocy2 2ℵ 0,,itp Wykład8,14IV2010,str14 język interpretacja 1 interpretacja0 model 1 model 0 model 1 interpretacja 1

DEFINICJA: MDlaf,f 1,,f n Formzapis f 1,,f n f oznacza,żei[[f]]vtruedlakażdegotakiegomodelu M,I ikażdego wartościowaniavzmiennychwtymmodelu,żei[[f i ]]vtruedlawszystkich i 1,,n} DEFINICJA: MTemu odpowiada formalny napis w języku: f 1,,f n f oznaczający(zgrubsza),żezzałożeńf 1,,f n dajesięwywieśćtezaf