reguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły szczegółowe dotyczące spójników logicznych: wprowadzanie, eliminacja.

Transkrypt

1 System naturalnej dedukcji Gentzena Sąd postaci: Γ f (f formuła,γ zbiórformuł) czytamy: konsekwencją założeń Γ jest wniosek f Reguły systemu: reguły ogólne, charakteryzujące operator konsekwencji ; reguły szczegółowe dotyczące spójników logicznych: wprowadzanie, eliminacja. Wykład9,1IV010,str. System naturalnej dedukcji Gentzena reguły konsekwencji (aksj. założeniowy) f f (cięcie) Γ 1 f 1 Γ,f 1 f Γ 1,Γ f (monotoniczność) Γ f (przemienność) Γ 1,f 1,f,Γ f Γ,f 1 f Γ 1,f,f 1,Γ f Aksjomat założeniowy(jedyny). Reguła cięcia odpowiednik reguły odrywania(modus ponens) na metapoziomie. patrz: następne slajdy

2 System naturalnej dedukcji Gentzena reguły spójników WPROWADZANIE ELIMINACJA (&I) Γ 1 f 1 (&E Γ f 1 ) Γ f 1 &f Γ f Γ 1,Γ f 1 &f 1 (&E ) Γ f 1 &f Γ f ( E) Γ ( I) Γ,f 1 f 1 f 1 f Γ Γ f 1 f f 1 Γ 1,Γ f ( I) Γ f Γ x f (x/ FreeVar(Γ)) ( E) Γ x f Γ f[t/x] Wykład9,1IV010,str.4 System naturalnej dedukcji Gentzena reguły spójników WPROWADZANIE ELIMINACJA ( I 1 ) Γ f 1 Γ f 1 f ( I ) Γ f Γ f 1 f ( E) Γ 1,f 1 f Γ,f f Γ 1,Γ,f 1 f f ( I) Γ f[t/x] Γ x f ( I) Γ,f false Γ f ( E) Γ,f 1 f Γ, x f 1 f (x/ FreeVar(Γ,f )) ( E) Γ 1 f Γ f Γ 1,Γ false

3 System naturalnej dedukcji Gentzena Przykład: (p q) ( q p) M 1 p p zaksj.założeniowego p q p q zaksj.założeniowego 3 p q,p q z( E)zastos.do i 1 4 q q zaksj.założeniowego 5 p q,p, q false z( E)zast.do 3 i 4 6 p q, q p z( I)zast.do 5 7 p q q p z( I)zast.do 6 8 (p q) ( q p) z( I)zast.do 7 Wykład9,1IV010,str.6 System naturalnej dedukcji Gentzena Przykład: ( x f) ( x f) M 1 ( x f) x f zaksj.założeniowego ( x f) f z( E)zastos.do 1 3 f f zaksj.założeniowego 4 ( x f),f false z( E)zastos.do 3 i 5 ( x f),( x f) false z( E)zastos.do 4 6 ( x f) x f z( I)zastos.do 5 7 ( x f) ( x f) z( I)zastos.do 6

4 Naturalna dedukcja w arytmetyce Oprócz reguł logicznych(jak wyżej) potrzebne są reguły specyficzne np. dla arytmetyki. Np. (indukcja) Γ 1 f[0/n] Γ,f f[(n+1)/n] Γ 1,Γ n f (n/ FreeVar(Γ 1,Γ )) Wykład9,1IV010,str.8 Strategia szukania dowodu dowód budować od tezy ku założeniom; w formule, która ma zostać dowiedziona, wyszukać najbardziej ogólny spójnik logiczny; zastosować(wstecz) regułę wprowadzania tego spójnika; jeśli w tej formule nie ma żadnego spójnika logicznego, przejrzeć założania(przed znakiem ); zastosować do nich(w przód) regułę eliminacji; powtarzać powyższe kroki wiele razy.

5 Efektywność szukania dowodu Rachunek zdań jest rozstrzygalny, ale NP-zupełny(możemy automatycznie ustalić, czy dana formuła jest tautologią, ale nie w czasie wielomianowym). Rachunek predykatów nad jakąś dziedziną jest rekursywnie przeliczalny, ale niekoniecznie rozstrzygalny to zależy od dziedziny(dla każdego twierdzenia potrafimy znaleźć dowód, ale dla zdań nie będących twierdzeniami możemy nie umieć tego stwierdzić). Naturalna dedukcja działa tak jak człowiek-matematyk dowodzący twierdzenia.jeśliwięcdowódniewyjdzie,toteza,naktórejsięzaciął,jestbezpośrednio czytelna dla człowieka. Inne metody szukania dowodu są sprawniejsze, ale jeśli się zatną, to trudno ustalić dlaczego. Wykład9,1IV010,str.10 DEFINICJA: koniunkcyjna postać normalna formuły Mkoniunkcja alternatyw literałów; literał zmienna logiczna lub jej negacja. Przykład: M (p q p)&( q q p) MFormuła w koniunkcyjnej postaci normalnej jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej alternatywa zawiera kontrarną parę literałów:...p p...

6 MKażdą formułę rachunku zdań można przekształcić w równoważną formułę w koniunkcyjnej postaci normalnej. Dowód: Usuwanie i : f 1 f (f 1 f )&(f f 1 ) f 1 f f 1 f Wyciąganie&i ponad : (f 1 &f ) f 1 f (f 1 f ) f 1 & f Wyciąganie& ponad : (f 1 &f ) f 3 (f 1 f 3 )&(f f 3 ) Kasowanie podwójnego : ( f) f Wykład9,1IV010,str.1 Rachunek zdań jest rozstrzygalny, ale NP-zupełny(możemy automatycznie ustalić, czy dana formuła jest tautologią, ale nie w czasie wielomianowym). MKażdą formułę rachunku zdań można przekształcić w równoważną formułę w koniunkcyjnej postaci normalnej. MFormuła w koniunkcyjnej postaci normalnej jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy każda jej alternatywa zawiera kontrarną parę literałów:...p p... Gdzie więc podziała się NP-zupełność

7 Przykład: MBaza wiedzy zawiera reguły: jeśli p :stopyprocentowerosną,to q :kursakcjispada jeśli q :kursakcjispada,to r :wyborcysąniezadowoleni Wiemy,że p :stopyprocentowerosną; czyjestprawdą,że r :wyborcysąniezadowoleni Trzeba dowieść (p q)&(q r)&p r Wykład9,1IV010,str.14 Przykład: MTrzeba dowieść (p q)&(q r)&p r Zamiana na koniunkcyjną postać normalną: (p q p r)& (p r p r)& ( q q p r)& ( q r p r) para kontrarna w każdej alternatywie