Doświadczenie Atwood a

Doświadczenie Atwood a Dwa kocki o maach m 1 i m 2 = m 1 wiza na inie przewiezonej przez boczek. Oś boczka podwiezona jet do ufitu. Trzeci kocek o maie m 3 zota po ożony na pierwzym kocku tak że oba poruzaja ie w dó. Ruch rozpoczyna i e w chwii t = 0 z po ożenia = 0 i z pr edkości a v = 0. Tarcie boczka o oś oraz ma e boczka naeży zaniedbać. Zaniedbujac również ma e iny poicz: a) przyśpiezenie a kocków; b) cza t 1 po jakim kocki przemiezcza i e o 1 ; c) i e naciagu iny ; d) i e z jaka bok dzia a na ufit, F B ; e) i e z jaka kocek 3 nacika na kocek 1 F 3. W przypadku gdy ma e iny m nie można zaniedbać napiz f) równanie ruchu uk adu. Przy za ożeniu, że w po ożeniu = 0 ina o ca kowitej d ugości wii w ten poób że po obu tronach boczka znajduja i e odcinki iny o tej amej d ugości. m 1 = m 2 = 1.0 kg m 3 = 0.25 kg 1 = 2 m 0 m 3 m 1 m 2 a) Przypiezenie kocków może być obiczone z równania ruchu da ca ego uk adu trzech kocków po aczonych ina: m a = F Dodatni kierunek wpó rz ednej wybieramy w kierunku ruchu każdego eementu uk adu, tzn. w gór e da kocka 2 oraz w dó da kocków 1 i 3. Maa uk adu jet uma ma kocków: m = + m 3 Aby obiczyć wypadkowa i e F dzia aj ac a na uk ad naeży uwzg ednić wzytkie i y dzia aj ace na uk ad, przy czym i y wewn etrzne z jakimi dzia aj a na iebie pozczegóne eementy uk adu z godnie z III zaada dymamiki znoza i e. Jedynymi i ami zewn etrznymi a ci eżary ma m 1 i m 3 dzia aj ace w dodatnim kierunku wpó rz ednej oraz ci eżar may m 2 dzia aj acy w kierunku ujemnym: F = m 1 g + m 3 g m 2 g = (m 1 + m 3 m 2 )g Podtawiajac wyrażenia na m i F do równania ruchu, da m 1 = m 2 dotajemy: Przypiezenie ma wartość (2m 1 + m 3 )a = m 3 g a = m 3 /(2m 1 + m 3 )g = 1.09 m/ 2 b) Przypiezenie a jet ta e, wi ec zaeżność po ożenia kocków od czau wyraża i e wzorem: = a 2 t2 + v 0 t + 0, przy warunkach poczatkowych v 0 = 0 i 0 = 0. Do chwii czau t 1 kocki przeb ed a odeg ość: 1 = a 2 t2 1, zatem cza t 1 dany jet wzorem: t 1 = 21 a = 1.92

c) Si a naciagu iny jet i a wewn etrzn a dzia aj ac a pomi edzy kockiem 2 a kockami 1 i 3. Si a ta dzia a na obie grupy kocków w przeciwnych kierunkach i może być wyznaczona z równania ruchu da każdej grupy kocków z oobna. Rozpatrzmy ewy koniec iny dodajac tam nieznana i e. Rozpatrujac jedynie ewy koniec iny z maami m 1 i m 3, i a taje i e i a zewn etrzn a dzia aj ac a na kocki 1 i 3. Równanie ruchu ewej trony wygada nat epuj aco: Stad i a naciagu wynoi: (m 1 + m 3 )a = (m 1 + m 3 )g = ( )(g a) = 10.9 N Si e naciagu można również obiczyć pizac równanie ruchu da prawej trony: m 2 a = m 2 g + m 3 m 1 g (m 1 + m 3 )g = m 2 (g + a) = 10.9 N Z trzeciej zaady dynamiki Newtona wynika oczywiście że (ewa) = (prawa) m 2 g ub ( )(g a) = m 2 (g + a) m 2 g co jet równoważne (m 1 m 2 + m 3 )g = ( + m 3 )a To jet dok adnie równanie ruchu ca ego uk adu otrzymane w punkcie a). d) Suma wzytkich i dzia aj acych na boczek mui być równa 0 F B + F B = 0. Zatem: F B = 2 = 21, 8 N e) Aby obiczyć i e naciku kocka 3 na kocek 1 naeży napiać równanie ruchu tyko da kocka 3. Ci eżar kocka wynoi m 3 g. Przeciwtawia i e mu i a reakcji pod oże F 3. m 3 a = m 3 g F 3 F 3 = m 3(g a). Si a naciku F 3 zgodnie z trzecia zaada dynamiki ma wartość i y F 3 i jet przeciwnie do niej kierowana. F 3 = m 3 (g a) = 2.18 N F 3 m 3 m 3 g

f) W przypadku gdy nie można zaniedbać ma e iny, w równaniu ruchu naeży uwzg ednić ci eżar iny. Ca kowita maa uk adu wzrośnie o ma e iny m = + m 3 + m. Dodatkowymi i ami b ed a ci eżary zwiajacych kawa ków in. Jeśi kocki przemiezcza i e o to po prawej tronie d ugość iny wynieie /2 a po ewej tronie /2+. Wypadkowa i a wyrazi i e wzorem: 2 F = (m 1 + m 3 + + m )g (m 2 + 2 m )g m 2 Zatem równaniem ruchu przybieże potać: ( + m 3 + m )a = (m 1 + m 3 m 2 )g + 2 m g 0 m 1 m 3 2 Przypiezenie a zaeży zatem od po ożenia, co oznacza że ruch kocków jet ruchem ze zmiennym przypiezeniem. tego równania wykracza poza ramy tego kuru.

Si y wi ezów Poczta pneumatyczna przy użyciu pr eżonego powietrza tranportuje przey ki w gór e ze ta a pr edkości a v wewnatrz rury o promieniu krzywizny r = h/2, jak na ryunku obok. Przey ka ma ma e m. Z jaka i a ścianki rury dzia aj a na przey k e w punktach A, B i C? Przey ka poruza i e po okr egu ze ta a pr edkości a, zatem k adowa tyczna przypiezenie a = dv wynoi zero. Z dt tego wynika, że wypadkowa i a tyczna do toru paczki jet również równa 0. Wytarczy zatem rozpatrzeć jedynie ruch w kierunku radianym. Równanie ruchu da k adowej radianej w ruchu po okr egu jet nat epuj ace: m a r = F r, gdzie a r = m v2 r. Znak oznacza że przypiezenie a r jet kierowane zawze do środka okr egu. Zwrot i wartość i y wyznaczamy z równania ruchu: F r = m g + g C A B h A W punkcie A rozpoczyna i e ruch po okr egu. Si a ci eżkości kierowana jet na zewnatrz, wi ec jej wartość jet dodatnia. = m(g + v2 r ) < 0 mg > 0 Si a ma zwrot do środka okr egu. B W punkcie B i a ci eżkości nie ma k adowej w kierunku radianym datego nie wyt epuje ona w równaniu ruchu w kierunku radianym: = m v2 r < 0 Si a ma zwrot do środka okr egu i amotnie pe nia ro e i y dośrodkowej. C W punkcie C zwrot i y zaeży od pr edkości przey ki v. Si a ci eżkości kierowana jet do środka okr egu i ma wartość ujemna. = mg m v2 r = m(g v2 r ) mg < 0 Z tego równania wynika, że w zczegónym wypadku = 0 da g v2 = 0 czyi r v2 = gr. v = gr jet pr edkości a da której ścianki rury nie wywieraja żadnej i y na przey k e a ro e i y dośrodkowej pe ni amotnie i a ci eżkości. Da v > v mamy < 0 czyi i a ma zwrot do środka okr egu. Da v < v mamy > 0 czyi i a ma zwrot na zewnatrz okr egu.

Równia pochy a Kocek o maie m 1 oraz kocek o maie m 2, po aczone nitka, zuwaja i e po równi pochy ej nachyonej do poziomu pod katem α w taki poób, że ina mi edzy nimi jet tae napi eta. Wpó czynnik tarcia kinetycznego mi edzy kockiem m 1 a równia wynoi µ 1, natomiat mi edzy kockiem m 2 a równia wynoi µ 2. a) Podaj jakie warunki muza p eniać wpó czynniki tarcia µ 1 i µ 2 aby warunki zadania by y pe nione. b) Jakie jet napr eżenie iny i przypiezenie kocków? R 1 T 1 Za óżmy, że naciag nitki wynoi N a kocek m 1 znajduje i e powyżej kocka m 2, wtedy kocki poruzaja ie z przypiezeniem a wzd uż równi. Równania ruchu kocków wzd uż równi maja potać m 1 a = m 1 g in α T 1 + N, T 1 = µ 1 m 1 g coα R 2 N T 2 N m 1 g m 2 a = m 2 g in α T 2 N, T 2 = µ 2 m 2 g coα α m 2 g Dodajac tronami te równania otrzymamy Kocki poruzaja i e z przypiezeniem ( )a = ( )g in α (µ 1 m 1 + µ 2 m 2 )g coα Jeżei kocki maja i e poruzać to a > 0 czyi a = g in α µ 1m 1 + µ 2 m 2 g coα g in α µ 1m 1 + µ 2 m 2 g coα > 0 g in α > µ 1m 1 + µ 2 m 2 g coα µ 1 m 1 + µ 2 m 2 < tan α Naciag nitki obiczymy podtawiajac obiczona wartość a do jednego z dwóch pierzych równań N = m 1 a m 1 g in α + µ 1 m 1 g coα Jeśi nić jet napr eżona to N > 0 N = m 1m 2 (µ 1 µ 2 )g coα m 1 m 2 (µ 1 µ 2 )g coα > 0 µ 1 > µ 2

Si a dośrodkowa Samochód poruza i e po g adkim zakrzywionym torze nachyonym pod katem α w tounku do poziomu. Z jaka pr edkości a mui jechać amochód aby poruza i e po okr egu o promieniu R bez pośizgu? Dane: α = 30, R = 75 m, g = 10 m/ 2 Samochód poruza i e z pr edkości a v po poziomym okr egu o promieniu R zatem wypadkowa i a dzia aj aca na amochód mui być pozioma i a dośrodkowa o wartości mv 2 /R, gdzie m jet maa amochodu. W tym wypadku ro e i y dośrodkowej pe ni pozioma k adowa i y reakcji pod oȧ N R N mg α Równanie ruchu amochodu da k adowej poziomej ma potać ma = mv 2 /R = N in α a da k adowej pionowej 0 = N co α mg N = mg co α Podtawiajac wyrażenie na N do pierwzego równania otrzymamy v = gr tan α = 20.8 m/