Wstęp do teorii mnogości

Podstawy matematyki dla informatyków Wstęp do teorii mnogości Proponowana literatura Podręczniki: [] Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski, Teoria mnogości, Monografie Matematyczne t. XXVII, W-wa 978, [2] Jerzy Tiuryn, Wstęp do teorii mnogości i logiki, Wrocław 2000, [3] Helena Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN W-wa 2003, [4] Zofia Adamowicz, Paweł Zbierski, Logika matematyczna, PWN W-wa 99, [5] Agnieszka Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, PWN W-wa 979. Zbiory zadań: [] Igor A. Ławrow, Łarisa L. Maksimowa, Zadania z teorii mnogości, logiki matematycznej i teorii algorytmów, PWN W-wa 2004, [2] Janusz Onyszkiewicz, Wiktor Marek, Elementy logiki i teorii mnogości, PWN W-wa 2004.

2 Zarys historii teorii mnogości Ewolucja myśli matematycznej przebiega w sposób nieprzerwany od co najmniej 5 000 lat. Wiodła ona od, jak byśmy to dziś powiedzieli, aplikacji arytmetycznych poprzez rozwój geometrii i algebry oraz próby formalizacji idei matematycznych z wykorzystaniem dorobku filozofów zwanego od czasów Arystotelesa logiką. Wraz ze wzrostem poziomu komplikacji analizowanych obiektów matematycy potrzebowali coraz to nowych narzędzi pozwalających na jednoznaczny opis zarówno nowouzyskiwanych wyników jak i tych, które były znane stosunkowo dawno, ale język ich opisu był mało prezyzyjny. Takie pojęcia jak zbiór i zawieranie były w przeszłości rozumiane intuicyjnie, między innymi z uwagi na geometryczne odniesienia, i nie budziły sporów interpretacje tych pojęć. Kłopoty zaczęły się pojawiać w momencie, gdy obiektem rozważań były pojęcie równoliczności zbiorów, czy też pojawienia się w kontekście zbioru pojęcia liczby czy wielkości. Jednym z takich problemów był problem nieograniczonej podzielności czy rozciągliwości badany już przez pitagorejczyków. Ten problem prowadził często do kłopotów natury filozoficznej i dotykał on zarówno eleatów jak Bolzana i Cantora. Po raz pierwszy z zagadniem równoliczności lub bardziej precyzyjnie uogólnionej równoliczności pojawia się w pracach Galileusza, który wykazuje wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między liczbami naturalnymi i ich drugimi potęgami. Dziś wydaje się co najmniej niezrozumiałe, jak przez całe wieki mogły być utrzymywane i kultywowane poglądy matematyczne, o których dziś wiemy, że były nieprecyzyjne lub całkowicie błędne. Wytłumaczenie tego zjawiska wydaje się jednak być dość nieskomplikowane. Mianowicie, nie istnieło wewnętrzne zapotrzebowanie matematyki na precyzje w tym względzie. Rozwój analizy matematycznej jaki dokonał się w XIX wieku za sprawą wielu ówczesnych matematyków wśród których należy wymienić Cauchy ego, Weierstrass a, Bolzano, Riemanna, Poincarégo, Mittag-Leffera, Cantora, Dedekinda, Bernsteina i Peano. Ta lista nie jest oczywiście kompletna, ale wymienione nazwiska wskazują na rangę dostrzeżonego problemu. Bez wątpienia za ojca teorii mnogości w jej dzisiejszym rozumieniu należy uznać matematyka niemieckego Georga Ferdynanda Ludwiga Cantora (845-98). Wychodząc od analizy prac Riemanna doszedł problemów związanych z przeliczalnością oraz konstruowaniem liczb rzeczywistych. W latach 878-884 Cantor ogłosił cykl sześciu rozpaw poświęconych problemom równoliczności, teorii zbiorów całkowicie uporządkowanych, własnościom topologicznym R i R n, a także problemom miary. Wprowadzenie w 882 roku przez Cantora pojęcia zbioru dobrze uporządkowanego daje podstawę do badania liczb kardynalnych oraz pozwala sformułować hipotezę continuum. Opór matematyków wobec wyników Cantora był dość jednolity i twardy. Jedynie Carl Weierstrass był nastawiony do jego wyników życzliwie. Opór ten powodowany był rewolucyjnym charakterem tych wyników, burzyły one bowiem ponad dwutysięczną tradycję matematyczną. Po wynikach Cantora przyszła kolej na uzupełniejące je rezultaty Bernsteina i Zermelo. Prawdziwym sojusznikiem Cantora w pracach nad teorią mnogości był Julius Wilhelm Richard Dedekind (83-96). Niektóre spośród wyników uzyskanych przez Cantora i jego kontunuatorów były odkryte przez Dedekinda jednak nie zostały one opublikowane. Co więcej wiele wyników tego ostatniego pokazało jak w pełni należy stosować teorie aksjomatyczne. Mianowicie, Dedekind rozważając ogólne przypadki zbiorów, a nie tylko zbiorów całkowicie

3 uporządkowanych, dochodzi do zbiorów kratowych i gruntownie analizuje ich własności. Chociaż w odróżnieniu od wyników Cantora, rezultaty uzyskane przez Dedekinda nie znalazły natychmiastowego zastosowania, to okazały się one niezwykle ważnie już w nieodległej przyszłości. Wyniki prac Cantora pozwoliły na formalizację matematyki, a jednocześnie dały początek upowszechnianiu się metod aksjomatycznych. Jednak poza tym osiągnięciem dały one początek kryzysowi podstaw matematyki. Pojawiły się oto paradoksy teorii mnogości. Większość z nich była bliźniaczo podobna, pod względem natury, do tych z jakimi zetknięto się wcześniej przy odkryciu geometrii nieeuklidesowych. Skonstatować to można sformułowaniem zaczerpniętym z Elementów historii matematyki Nicolasa Bourbaki, że próżne są próby zbudowania jakiejkolwiek teorii matematycznej za pomocą odwoływania się (jawnego lub nie) do intuicji. Szło zatem o to, by dla teorii mnogości stworzyć podstawę aksjomatyczną analogiczną do układu aksjomatów geometrii elementarnej, bez dociekania co nazywamy zbiorem, w sensie natury obiektu, jak również nie jest definiowane przynależenie do zbioru, a jedynie wyraźnie formułowane są warunki charakteryzujące przynależność do ustalonego zbioru. Pierwszym, który zbudował taką aksjomatyzację był Zermelo i stało się to w 908 roku. Próba ta uzupełniona przez wynki Skolema i Fraenkla pozwoliła na konstrukcję aksjomatyki teorii mnogości, jednak ceną jaką należało za to zapłacić, była komieczność wprowadzenia także reguł logiki. Literatura [] N. Bourbaki Elementy historii matematyki, PWN Warszawa 980, [2] A.P. Juszkiewicz Historia matematyki (od czasów najdawniejszych do początku czasów nowożytnich), Tom -3, PWN Warszawa 975, [3] K.Kuratowski, A. Mostowski Teoria mnogości, Monografie Matematyczne XXVII, Warszawa 978, [4] R. Murawski Filozofia matematyki zarys dziejów, Wydawnictwo Naukowe PWN 995

4 Ważne osoby i daty w rozwoju teorii mnogości Julius Wilhelm Richard DEDEKIND ( 83 Braunschweig w Niemczech 96 Braunschweig w Niemczech), nowoczesna teoria liczb algebraicznych, prakroje Dedekinda. Paul David Gustav DU BOIS-REYMOND ( 83 Berlin 889 Freiburg w Niemczech), badał szeregi liczbowe, a przy tym wniósł wiele do teorii zbiorów. Georg Ferdynand Ludwig CANTOR ( 845 St Petersburg w Rosji 98 Halle w Niemczech), twórca teorii mnogości, która wpłynęła na rozwój całej matematyki, a w szczególności na podstawy współczesnej analizy matematycznej, konstrukcja Cantora liczb rzeczywistych. Magnus Gösta MITTAG-LEFFLER ( 846 Sztokholm 927 Sztokholm), twórca skandynawskiej szkoły matematycznej, przyczynił się do uporządkowania teorii mnogości. Ernst Friedrich Ferdinand ZERMELO ( 87 Berlin 953 Freiburg w Niemczech), badał podstawy matematyki, autor fundamentalnych prac z teorii mnogości w szczególności aksjomatyki teorii mnogości. Julius Henri POINCARÉ ( 854 Nancy we Francji 92 Paryż), zajmowałsięwieloma dyscyplinami matematycznymi, a także fizyką i filozofią. Jego prace dotyczące podstaw matematyki stanowiły istotny wkład w rozwój teorii mnogości. Adolf Abraham Halevi FRAENKEL ( 89 Monachium 965 Jerozolima), wspólnie z Fraenklem i Cantorem współtworzył współczesną teorię mnogości. Friedriech Ludwig Gottlob FREGE ( 848 Wismar w Mecklenburgii-Schwerinie w Niemczech 925 Bad Kleinen w Niemczech), pierwsze ujęcie rachunku zdań jako sformalizowanej teorii aksjomatycznej. Giuseppe PEANO ( 858 Cuneo na Sardynii 932 Turyn we Włoszech), atytmetyka jako teoria aksjomatyczna sformalizowana (Arytmetyka Peano). David HILBERT ( 862 Królewiec w Prusach Wschodnich 943 Getynga w Niemczech), jego badania nad podstawami geometrii (898-902) zapoczątkowały nowoczesną, aksjomatyczną budowę teorii matematycznych (23 problemy Hilberta, teoria spektralna operatorów liniowych podstawowy aparat mechaniki kwantowej). Bertrand Arthur William RUSSEL ( 872 Ravenscroft w Walii 970 Penrhyndendraeth w Walii), w 902 r analizując zaproponowany przez Fregego system logicznych podstaw matematyki zauważył w nim sprzeczność polegającą na tzw. paradoksie klas (antynomia Russella), w 903 ogłosił Principles of Mathematics, w których starał się sprowadzić teorię mnogości, a nawet całą matematykę do logiki, w 908 r stworzył zasady tzw. teorii typów logicznych. W latach 90-93 B.A.W. Russell wraz z Alfredem North Whiteheadem ( 86 Ramsgate hrabstwo Kent w Anglii 847 Cambridge w Massachusetts USA) napisali i opublikowali Principia Mathematica (t. I III), w której ideą przewodnią było poszukiwanie podstaw matematyki w zasadach logicznych, rezultatem zaś przedstawienie matematyki w postaci systemu sformalizowanego oraz nadanie współczesnego kształtu logice matematycznej. John (Janos) von NEUMANN ( 903 Budapeszt 957 Waszyngton), matematyk, chemik, fizyk, informatyk współtwórca broni atomowej. Jego badania z teorii mnogości przyczyniły

5 się do wykorzystania uzyskanych przez niego wyników w zastosowaniach praktycznych oraz do uszlachetnienia wielu wyników. Henri Leon LEBESGUE ( 875 Beavais we Francji 94 Paryż), twórca ogólnej teorii miary i całki. W trakcie badań nad tymi teoriami uzyskał ważne dla teorii mnogości wyniki. Wacław SIERPIŃSKI ( 882 Warszawa 969 Warszawa), badał teorię liczb, topologię i teorię mnogości. W 92 roku napisał fundamentalną książkę dotyczącą tej ostatniej dyscypliny, w której zamieścił również wiele własnych wyników. Kurt GÖDEL ( 906 Brünn w Austrowęgrzech obecnie Brno w Czechach 978 Princeton w stanie Nowy Jork w USA), niepełność teorii aksjomatycznych sformalizowanych zawierających arytmetykę. Twierdzenie o niesprzeczności hipotezy continuum zaksjomatyką teorii mnogości. Kazimierz KURATOWSKI ( 896 Warszawa 980 Warszawa), jeden z twórców Lwowskiej Szkoły Matematycznej, badacz teorii mnogości, topologii, teorii grafów, analizy matematycznej i podstaw matematyki. Jego wyniki badań z podstaw matematyki przyczyniły się do uporządkowania tej dyscypliny (lemat Kuratowskiego-Zorna). Stanisław Marcin ULAM ( 909 Lwów 984 Santa Fe w USA), twórcametodymonte Carlo, wszechstronny matematyk o zdolnościach przenoszenia wyników matematycznych do innych nauk. Jego prace z teorii procesów stochastycznych, równań różniczkowych cząstkowych, analizy funkcjonalnej oraz ich zastosowania w fizyce przyczyniły się do badań problemów teorii mnogości. Niektóre z jego wyników prac pozostają utajnione po dziś dzień, ze względu na ich wykorzystanie przy konstrukcji bomby atomowej i wodorowej. Bezspornie Stanisław Ulam jest uważany za twórcę koncepcji bomby wodorowej, był on także stałym konsultantem w trakcie jej budowy. Paul Joseph COHEN ( 934 Long Branch, New Jersey), niezależność hipotezy continuum (963), medal Fieldsa w 966.

6 0. Wprowadzenie Warto dodać, że tak jak logika matematyczna korzysta z pojęć teorii mnogości, tak teoria mnogości wykorzystuje wiele pojęć logiki. W tej części wykładu nie będziemy formalizować pojęć logiki matematycznej, będzie to przedmiotem drugiej części. Jednak z uwagi na użyteczność podstawowych faktów logicznych przedstawimy je w znacznym uproszczeniu. Dodać należy, że posłużymy się logiką znaną z nauki w szkole średniej. Jest to w penym sensie klasyczne podejście do tej dyscypliny, odmienne od podejścia które zaprezentowane w części poświęconej logice. Ten logiczny dualizm jest jednak konieczny ze względu na gradację trudności. Niech Z oznacza zbiór wszystkich zdań orzekaja cych odnoszących się do matematyki. Niech ponadto 0 będzie symbolem fałszu, natomiast symbolem prawdy. Funkcję w : Z {0, } nazywamy wartościowaniem. Przyjmijmy umowę, że elementy zbioru Z będziemy oznaczać małymi literami alfabetu: p, q, r, s, p,q,r,s,p 2,q 2,r 2,s 2,..., których może być nawet nieskończenie wiele. Litery oznaczać będą obiekty zwane zmiennymi zdaniowymi. Narzędziem zaczerpniętym z języka potocznego są spójniki, zwane w logice również funktorami zdaniotwórczymi. Pozwalają one budować ze zdań prostych zdania złożone. I tak, zamiast pisać nie użyjemy symbolu (symbolizyje on zdeformowaną literę N, od nego, co oznacza przeczę), zamiast pisać jeśli..., to zapiszemy, symbol będzie zastępował zwrot wtedy i tylko wtedy (lub krótko wtt ), symbol oznaczać będzie i, zaś symbol będzie zastępował spójnik lub. Oprócz spójników (funktorów zdaniotwórczych) posługiwać się będziemy nawiasami: otwierającym ( oraz zamykającym ). W oparciu o nawiasy, funktory zdaniotwórcze i zmienne zdaniowe tworzyć będziemy formuły rachunku zdań. Każda z takich formu l stajesie zdaniem, gdy w miejsce zmiennych zdaniowych wstawimy zdania oczywiście w miejsce ustalonej litery wstawiamy to samo zdanie. Nawiasy, wymienione jako element sk ladowy formu l zdaniowych u latwiaja, a niekiedy wre cz umożliwiaja, odczytanie takiej formu ly gdy w zbiorze funktorów nie zosta la wprowadzona hierarchia mocy wia zania. Wśród wszystkich formu l rachunku zdań szczególnie ważna role pe lnia formu ly prawdziwe bez wzgle du na wartość logiczna wyste puja cych w nich zmiennych zdaniowych. Formu ly takie nazywamy tautologiami i w zapisie dla podkreślenia tego faktu poprzedzamy symbolem. Rola tautologii polega na tym, że za ich pomoca możemy dokonywać operacji logicznych niezależnie od treści zdań, które logicznie przekszta lcamy. Osobnym zagadnieniem jest sprawdzenie czy dana formu la jest tautologia. Przedstawimy pochodzącą od Ernsta Schrödera metodę zerojedynkową, lub inaczej metodę tablicową. Polega ona na rozpatrzeniu wszystkich uk ladów wartości logicznych zmiennych zdaniowych wyste puja - cych w danym wyrażeniu. Metoda ta nazywana jest niekiedy metoda matrycowa,zewzgle du na pos lugiwanie sie w niej tabelkami matrycowymi, przedstawiaja cymi w jaki sposób wartość logiczna zdania z lożonego utworzonego przy pomocy danego funktora, lub funktorów, jest wyznaczona przez wartości logiczne zdań sk ladowych. Pozostaja c przy dotychczasowych umowach możemy zdefiniować poszczególne funktory. W tym celu pos lużymy sie naste puja ca tabela.

7 w(p) w(q) w( p) w(p q) w(p q) w(p q) w(p q) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Metode zerojedynkowa zilustrujemy naste puja cym przyk ladem. Przyk lad. rachunku zdań. Sprawdzimy czy formu la (p q) [(q r) (p r)] jest tautologia w(p) 0 0 0 0 w(q) 0 0 0 0 w(r) 0 0 0 0 w(p q) 0 0 w(q r) 0 0 w(p r) 0 0 w[(q r) (p r)] 0 w{(p q) [(q r) (p r)]} Tabela ta pokazuje w jaki sposób należy postępować dla sprawdzenia czy rozpatrywana formuła jest tautologią. Ponieważ ostatnia kolumna składa się z samych jedynek, to oznacza to, że dla wszystkich możliwych układów wartości logicznych zdań składowych, zbudowanych zgdnie z formułą, otrzymujemy zdanie prawdziwe. Zatem badana przez nas formuła jest tautologia. Przedstawimymy teraz kilka ważniejszych tautologii, których sprawdzenie pozostawiamy do samodzielnego wykonania przy użyciu obu przedstawionych metod. postać prawa w(p q) =w(q p) w(p q) =w(q p) w(p (q r)) = w((p q) r) w(p (q r)) = w(p q) r) w(p (q r)) = w((p q) (p r)) w(p (q r) =w((p q) (p r)) w(p p) = w(p p) = w( (p p)) = w(p ( p)) = w([(p q) (q r)] (p r)) = w(( p p) p) = w(p q) =w( q p) w(p (p q) q) = nazwa prawa przemienności alternatywy przemienności koniunkcji la czności alternatywy la czności koniunkcji rozdzielności koniunkcji wzgle dem alternatywy rozdzielności alternatywy wzgle dem koniunkcji wy la czonego środka tożsamości sprzeczności podwójnego przeczenia sylogizmu sprowadzania do niedorzeczności kontrapozycji regu la odrywania Zajmiemy sie teraz bardzo ważnymi z praktycznego punktu widzenia tautologiami zwanymi prawami de Morgana. Pozwalaja one przeczyć funktorom dwucz lonowym i sa cze sto wykorzystywane w dowodach nie wprost.

8 postać prawa w( (p q)) = w( p q) w( (p q)) = w( p q) nazwa prawa prawo de Morgana dla koniunkcji prawo de Morgana dla alternatywy Bezpośrednia konsekwencja praw de Morgana dla zdań sa naste puja ce tautologie: w( (p q)) = w(p q) w( (p q)) = w([(p q) (q p)]) W matematyce spotykamy sie cze sto z poje ciami warunku koniecznego i warunku wystarczaja cego. Poje cia te wia ża sie z funktorami implikacji i równoważności. Rozważmy implikacje p = q, ( ) wktórej zdanie p nazywamy poprzednikiem, a zdanie q naste pnikiem implikacji ( ). Mówimy wtedy że zdanie q jest warunkiem koniecznym dla p, natomiast p jest warunkiem dostatecznym dla q. Dla implikacji ( ) implikacje p = q, (lub inaczej q = p) ( ) nazywamy odwrotna. Jeśli prawdziwe sa implikacja prosta i implikacja odwrotna, to zdanie p q nazywamy warunkiem koniecznym i wystarczaja cym.. Zbiory i operacje na zbiorach W teorii mnogości, podobnie jak w każdej dyscyplinie matematycznej, korzystamy z pojęć przyjmowanych bez definicji tak zwanych pojęć pierwotnych. Zaliczamy do nich: pojęcie zbioru i pojęcie przynależności do zbioru lub inaczej bycie elementem zbioru. Zamiast mówić, że a jest elementem zbioru A piszemy a A, jeślinatomiasta nie jest elementem zbioru A piszemy a A. Jeśli zajmujemy się ustaloną teorią matematyczną (w naszym przypadku teorią mnogości), to poza pojęciami pierwotnymi przyjmuje się bez dowodu pewną liczbę własności (twierdzeń) odnoszących się do obiektów teorii (w naszym przypadku zbiorów) zwanych aksjomatami iw oparciu o taki zestaw narzędzi formułowane są dalsze własności obiektów tej teorii. Istnienie takiej kolekcji pojęć pierwotnych i aksjomatów w przypadku ustalonej teorii pozwala nazwać ją teorią aksjomatyczną. Jak już mówiliśmy w części poświęconej historii teorii mnogości dyscyplina ta ma aksjomatykę zwaną aksjomatyką Zermelo-Fraenkla. Rozpatrzmy dwa dowolne zbiory A i B. Mówimy, że A jet równy B wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory te mają identyczne elementy. Zwykle fakt ten wyrażamy pisząc: A = B wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a zachodzi: a A wtt a B.

9 Zależność tę nazywamy zasadą ekstensjonalności. Mówimy, że A jest podzbiorem B lub równoważnie A jest zawarty w B wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbiotu A jest elementem zbioru B. Piszemy wtedy A B. Niekiedy o zbiorze B mówimy, że jest nadzbiorem zbioru A. Jeśli A B i A B, toa nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B ipiszemywtedya B. Zbiór nie zawierający żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem. Na mocy zasady ekstensjonalności istnieje dokładnie jeden zbiór pusty. Zbiór będziemy uważać za określony jeśli zostało podane kryterium pozwalające rozstrzygnąć czy dany element należy, czy też nie należy do rozpatrywanego zbioru. W zależności od sposobu określenia i rodzaju zbioru oznaczamy go symbolem {a,...,a n }, gdy zbiór jest skończony i składa się z n elementów, albo {x w(x)}, gdziew(x) jest warunkiem charakteryzującym dany zbiór. Zamiast A {x w(x)} będziemy pisać {x A w(x)}. Jeżeli A jest zbiorem, którego elementami są zbiory, to A nazywać będziemy rodziną zbiorów. Jeśli A i B są dowolnymi zbiorami, to przez sumę tych zbiorów rozumiemy zbiór A B, którego elementami są te i tylko te elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B. Natomiast iloczynem (przecięciem) zbiorów nazywamy zbiór A B, którego elementami są te i tylko te elementy, które są równocześnie elementami zbioru A izbiorub. Różnicą zbioru A i B nazywamy zbiór A\B, złożony z tych i tylko tych elementów, które należą do A i nie należą do B. Dla zbioru A symbolem P(A) lub też 2 A oznaczać będziemy zbiór złożony ze wszystkich podzbiorów tego zbioru i nazywać go będziemy zbiorem potęgowym zbioru A. Jeżeli w odniesieniu do ustalonego zbioru A rozważania ograniczymy tylko do jego podzbiorów (tj. elementów P(A)), to zbiór A nazywać będziemy wtedy przestrzenią. Działania sumy i iloczynu dwóch zbiorów można rozszerzyć na większą liczbę zbiorów, to znaczy na rodziny zbiorów. Dla rodziny zbiorów A jej sumę oznaczamy przez A imamy wtedy: x A wtt, gdy istnieje A A, że x A. Podobnie definiujemy iloczyn rodziny zbiorów A. Mamy mianowicie: x A wtt, dla każdego A A, że x A. Rozpatrzmy teraz sytuację, kiedy element x nie należy odpowiednio do sumy zbiorów, iloczynu zbiorów oraz różnicy zbiorów. A zatem, jeśli x A B, to zgodnie z definicją sumy zbiorów x A i x B. Z kolei jeśli x A B, tox A lub x B. Natomiast fakt, że x A\B oznacza na mocy definicji, że x A lub x B. Zatem symbolicznie możemy wyrazić te uwagi pisząc: x A B x A x B, x A B x A x B, x A \ B x A x B. Przez formułę rachunku zbiorów rozumiemy wyrażenie utworzone z symboli zbiorów, symboli operacji na zbiorach i nawiasów. Podobnie jak w przypadku formuł rachunku zdań tautologiami nazuwać będziemy te spośród formuł rachunku zdań, które są prawdziwe niezależnie od doboru występujących w nich zbiorów.

0 () Prawa przemienności. Jeśli A i B są dowolnymi zbiorami to A B =B A, A B =B A. D o w ó d. Wykażemy na wstępie prawdziwość przemienności dla sumy. Przypuśćmy, że x B A. Na mocy definicji wiemy, że x A B x A x B. Z drugiej strony na mocy prawa przemienności alternatywy: p q q p, mamy, że x A B x A B x A x B x A B x B x A x B A. Dowód drugiego z praw przebiega podobnie. (2) Prawa łączności. Jeśli A, B, C są dowolnymi zbiorami, to prawdziwe są równości: A (B C) =(A B) C, A (B C) =(A B) C. Dla dowodu tych praw wystarczy wykorzystać odpowiednio prawo przemienności dla alternatywy i dla koniunkcji. (3) Prawa rozdzielności. Jeśli A, B, C są dowolnymi zbiorami, to prawdziwe są równości: A (B C) =(A B) (B C), A (B C) =(A B) (A C). W tym przypadku również wystarczy wykorzystać prawa rachunku zdań tj. prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy i alternatywy względem koniunkcji. (4) Prawa tautologii. Jeśli A jest dowolnym zbiorem, to prawdziwe są równości: Łatwo udowodnić prawa rachunku zdań: A A =A, A A =A. p p p oraz p p p, to bezośrednio z tych praw wynikają prawa tautologii. (5) Prawa de Morgana. Jeśli A, B, C są dowolnymi zbiorami, to prawdziwe są równości: A \ (B C) =(A \ B) (A \ C), A \ (B C) =(A \ B) (A \ C).

Prawa de Morgana dla zbiorów są konsekwencją praw de Morgana dla zdań. Bardziej znana postać praw de Morgana dotyczy dopełnienia zbioru. Jeśli X jest przestrzenią zaś A P(X) i B P(X), to przez dopełnienie zbioru A do przestrzeni X rozumiemy zbiór A = X \ A podobnie B = X \ B. Przy takich oznaczeniach prawa de Morgana możemy zapisać w postaci (A B) =A B, (A B) =A B. 2. Iloczyn kartezjański zbiorów i relacje Niech A i B będą dowolnymi zbiorami i niech x A oraz y B. Wynikastąd,że{x} A oraz {x, y} A B, azatem { } ( ) {x}, {x, y} P P(A B). Przyjmujemy umowę notacyjną, że symbol x, y def = { {x}, {x, y} } oznaczać będzie parę uporządkowaną o poprzedniku x i następniku y. Zbiór { x, y x A y B} nazywamy iloczyniem kartezjańskim (produktem kartezjańskim) zbiorów A i B oraz oznaczamy symbolem A B. Niech x, y oraz z,t będą elementami zbioru A B. Pamiętamy,że x, y = { {x}, {x, y} } oraz z,t = { {z}, {z,t} }. Skoro pary te są zbiorami to zbadajmy kiedy są one równe. Przypuśćmy, że są równe i zastosujmy do nich definicję równości zbiorów. Wynika stąd, że a w konsekwencji, że {z} {x, y} oraz {z,t} x, y, () {z} = {x} lub {z} = {x, y} (2) oraz (3) {z,t} = {x} lub {z,t} = {x, y} (4) Równość () ma miejsce jedynie wtedy, gdy x = z = y. W takim przypadku równości (3) oraz (4) są równoważne i mamy z = t = x. Mamy więc, że z = t = x. Prowadzitodowniosku, że x = y = z = t. Jeśli rozpatrzymy przypadek (3), to równość okazuje się także spełniona. Zajmijmy się teraz przypadkiem (4). Wtedy z = x oraz bądź z = y, bądźt = y. Gdyz = y, to zachodzi równość (2) i otrzymujemy rozpatrywany już przypadek. Gdy natomiast t = y, to mamy x = z i y = t.

2 Jeśli rozpatrzymy teraz implikację odwrotną do dowiedzionej tzn. x = z i y = t, to teza jest oczywista, na mocy definicji równości zbiorów. jeśli przypuścimy, że Otrzymaliśmy zatem następujące twierdzenie. Twierdzenie. Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by pary x, y i z,t były równe jest, by zachodziły równości: x = z oraz y = t. Pojęcie iloczynu kartezjańskiego ma łatwą interpretację geometryczną. Jeśli A i B są dowolnie ustalonymi zbiorami, to elementy zbioru A B nazywamy niekiedy punktami, zaś zbiory A i B osiami współrzędnych. Jeśli t = x, y jest punktem w A B, tox nazywamy odciętą, zaś y rzędną punktu t. Ta intuicja wywodzi się z geometrii płaszczyzny, gdzie zbiór punktów płaszczyzny może być utożsamiany z iloczynem R R,przy czym R oznacza zbiór liczb rzeczywistych. Korzystając bezpośrednio z definicji produktu kartezjańskiego możemy wyprowadzić wiele praw wiążących to działanie z działaniami teorii zbiorów. Przyk lad. Wykażemy tożsamość: Niech (x, y) (A B) C. Wtedy (A B) C =(A C) (B C). (x, y) (A B) C (x A B) (y C) (x A x B) y C x A (y C x B) (x A y C) (x B y C) (x, y) A C (x, y) B C (x, y) (A C) (B C). Posługując się podobną techniką dowodową możemy wykazać prawdziwość formuł, o których mówi następujące twierdzenie. Twierdzenie. Jeśli A, A 2 oraz B są dowolnymi zbiorami, to (A A 2 ) B =A B A 2 B, (A \ A 2 ) B =A B \ A 2 B, B (A A 2 )=B A B A 2, B (A \ A 2 )=B A \ B B A 2, Dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbioru A B, tzn. dowolny zbiór par uporządkowanych o poprzednikach z A i następnikach z B nazywamy relacją (dwuczłonową). Jeśli podzbiór taki oznaczymy przez ϱ to zamiast pisać a, b ϱ piszemy czesto aϱb imówimy,że a jest w relacji ϱ z b. Dziedziną relacji (dziedziną lewostronną) ϱ nazywamy zbiór D ϱ zawarty w A izłożony z poprzedników par należących do relacji. Przeciwdziedziną (dziedziną prawostronną) relacji ϱ nazywmy podzbiór R ϱ zbioru B złożony z następników par należących do relacji ϱ. Formalizując te definicje możemy zapisać: D ϱ = {a A istnieje b B, że aϱb} oraz R ϱ = {b B istnieje a A, że aϱb}

3 Przez pole relaji rozumiemy zbiór będący sumą dziedziny i przeciwdziedziny (obu dziedzin) relacji. Niech ϱ A B. Przezwykres relacji rozumiemy zbiór Gr(ϱ) = { a, b A B aϱb }. Tak więc wykres relacji i relacja spełniają tę samą definicję, zatem jest to ten sam obiekt. Relacja ϱ A B wyznacza nową relację ϱ B A w następujący sposób: (b, a) ϱ def (a, b) ϱ. Relację ϱ nazywamy relacją odwrotną do relacji ϱ. W takim przypadku mamy, że D ϱ = R ϱ oraz R ϱ = D ϱ. Niech ϱ A B oraz µ B C, będątakie,żed ϱ R µ.relacjęη A C taką, że x, z η istnieje y B, że xϱy yϱz. nazywamy złożeniem (superpozycją) relacji ϱ oraz µ i oznaczamy pisząc η = µ ϱ. Przykład. Weźmy pod uwagę relacje: ϱ {a, b, c} {α, γ} i µ {α, β, γ} { 2, 0,, 5, 8} gdzie ϱ = a, α, b, α, c, γ } oraz µ = { α, 2, α, 0, β,, γ,5, δ, 8 }. Złożeniem tych relacji jest relacja η {a, b, c} { 2, 0,, 5, 8} taka, że η = µ ϱ = { a, 2, a, 0, b, 2, b, 0, c, 5 }. Przykład. Dana jest relacja χ {0,, 2, 3,...,9} {0,, 2, 3,...,9} zdefiniowana warunkiem: aχb 3a = b 3a +=b. Wyznaczymy relacje χ. Zanim przejdziemy do wyznaczenia relacji χ należa ce do relacji χ. Mamy: na wste pie wypiszmy precyzyjnie pary χ = { 0, 0, 0,,, 3,, 4, 2, 6, 2, 7, 3, 9 }. Bezpośrednio z definicji relacji odwrotnej dostajemy, że χ = { 0, 0,, 0, 3,, 4,, 6, 2, 7, 2, 9, 3 }. Twierdzenie. Jeśli ϱ A B, µ B C i ν C D, to: (i) ν (µ ϱ) =(ν µ) ϱ; (ii) (µ ϱ) = µ ϱ.

4 Dowód. Wykażemy prawdziwość (i). Przypuśćmy, że x, z A D. Mają miejsce następujące fakty: x, z ϱ (µ ν) wtt, gdy istnieją t C, że x, t µ ν oraz t, z ϱ wtt, gdy istnieją t C i y B, że x, y ϱ oraz y,t µ oraz t, z ν wtt, gdy istnieje y B, że a, b ϱ oraz y,z ν µ wtt, gdy x, t (ν µ) ϱ. Rozpatrzmy teraz przypadek (ii). Niech t, x C A. Wtedy: t, x (µ ϱ) wtt, gdy x, t µ ϱ wtt, gdy istnieje y B, że x, y ϱ oraz y,t µ wtt, gdy istnieje y B, że y,x ϱ oraz t, y µ wtt, gdy t, x ϱ µ Przedstawimy teraz kilka przyk ladów relacji. Przyk lad. a) Niech A = B = A be dzie zbiorem wszystkich ludzi żyja cych na Ziemi (w dowolnym okresie jej istnienia). Relacje bycia przodkiem rozumiemy wtedy jako zbiór par a, b takich, że osoba a jest przodkiem osoby b bezwzgle du na czas dziela cy ich daty urodzenia. b) Niech X = Y = R. Rozważmy nierówność y>x+. Oznaczmy przez ϱ zbiór par x, y, które spe lniaja nasza nierówność. Sta dpiszemy: x, y ϱ y>x+. c) Niech niepusty zbiór X będzie przestrzenią, zaś P(X) zbiorem potęgowym X. Zgodnie z wprowadzoną poprzednio definicja inkluzji i definicja relacji wiemy, że mie dzy zbiorami A P(X) oraz B P(X) zachodzi inkluzja tylko w pewnych przypadkach. Zatem inkluzja jest w lasnościa par uporza dkowanych A, B zbiorów elementów P(X). Jestwie cinkluzja podzbiorem produktu P(X) P(X), awie crelacja. Dotychczas rozważaliśmy przypadki, gdy produkt kartezjański tworzony by l z dwóch zbiorów, a co za tym idzie relacje odnosi ly sie do par elementów. W przypadku ogólnym relacjami dwucz lonowymi w produkcie X Y,gdzieX i Y sa dowolnymi zbiorami, nazywamy podzbiory tego produktu. Jeśli ϱ jest podzbiorem produktu X X, tomiastmówić, że ϱ jest relacja dwucz lonowa wwprodukciex X, cze sto mówimy, że ϱ jest relacja dwucz lonowa w X. W zbiorze wszystkich relacji dwucz lonowych możemy wyróżnić pewne ich klasy. Przedstawimy je w naste puja cej definicji. Relacje dwucz lonowa ϱ X X nazywamy: (i) zwrotna def dla każdego x X jest xϱx; (ii) przeciwzwrotna def dla każdego x X jest (xϱx); (iii) symetryczna def dla każdego x X oraz y X jest xϱy = yϱx; (iv) przeciwsymetryczna (v) antysymetryczna def dla każdego x X oraz y X jest xϱy = (yϱx); def dla każdego x X oraz y X jest (xϱy) (yϱx) = (x = y); (vi) przechodnia def dla każdych x X i y X iżdego z X jest (xϱy) (yϱz) (xϱz); (vii) spójna def dla każdego x X i każdego y X jest { (x y) = [(xϱy) (yϱx)] }.

5 Przyk lad. Poszczególne rodzaje relacji zilustrujemy przykładami a) Relacjaprzystawaniatrójka tów jest relacja zwrotna w zbiorze wszystkich trójka tów. b) Relacja wie kszości liczb w zbiorze liczb rzeczywistych jest przeciwzwrotna. c) Przyk ladem relacji symetrycznej jest relacja podzielności w zbiorze liczb ca lkowitych, bo każda liczba ca lkowita jest podzielna przez sama siebie. d) Przyk ladem relacji przeciwsymetrycznej jest relacja wie kszości w zbiorze liczb rzeczywistych. e) Relacja niewie kszości w zbiorze liczb rzeczywistych jest przyk ladem relacji antysymetrycznej. f) Równoleg lość prostychnap laszczyźnie jest relacja przechodnia. g) Niech X be dzie zbiorem liter alfabetu lacińskigo. Przyje taumowacodokolejności liter w nim zawartych pozwala ustalić relacje hierarchie wyrazów (hase l) w skorowidzach nazw czy hase l. Tak określona relacja jest relacja spójna. Podobnie relacja niewie kszości ( ) jest relacja spójna. 3. Liczby naturalne Niech A będzie rodziną zbiorów. Rodzinę tę nazywamy induktywną wtt, gdy: (i) A; (ii) dla każdego X A,zbiórX {X} A. Operacją następnika nazywamy operację, króra każdemu zbiorowi X przyporządkowuje zbiór X {X}. Następnik zbioru X oznaczamy przez X. W aksjomatyce Zermelo-Fraenkla istnienie zbiorów induktywnych gwarantuje aksjomat nieskończoności. Mówiąc krótko wyraża on istnienie zbiorów nieskończonych. Twierdzenie. Istnieje najmniejszy zbiór induktywny tj. taki zbiór induktywny A 0,żedla dowolnego zbioru induktywnego B jest A 0 B. Dowód. Przypuśćmy, że A jest zbiorem induktywnym. Rozpatrzmy rodzinę zbiorów taką, że ={B A B jest zbiorem induktywnym }. Wynika stąd, że również zbiór A 0 = jest zbiorem induktywnym. Pozostaje wykazać, że A jest najmniejszym zbiorem induktywnym. Jeśli B jest zbiorem induktywnym, to B A. Z kolei z definicji iloczynu zbiorów wynika, że A 0 B A. Z drugiej strony skoro B A B, to A 0 B. Z tego, że ostatnia inkluzja zachodzi dla wszystkich elementów rodziny, to A 0 jest najmniejszym zbiorem induktywnym, w sensie relacji zawierania.

6 Przez zbiór liczb naturalnych rozumiemy najmniejszy zbiór induktywny i oznaczamy go przez N. Z definicji zbioru induktywnego (warunek (i)), zawiera on zbiór pusty, który reprezentuje liczbę 0. Z drugiej strony (warunek (ii)), N zawiera następnik 0 (oznaczany symbolem ), a także następnik następnika 0 (oznaczany symbolem 2), itd. Twierdzenie. (Zasada indukcji) Jeśli M N jest zbiorem liczb naturalnych spełniającym warunki: 0 M, dla dowolnie wybranej liczby n takiej, że n M, zachodzi n M, to M zawiera wszystkie liczby naturalne tj. M = N. Dowód. Teza twierdzenia jest konsekwencją bycia przez N najmniejszym zbiorem induktywnym. Małymi literami alfabetu będziemy oznaczać elementy zbioru N. Twierdzenie. Dla dowolnych m N oraz n N: (i) jeśli m n, tom n; (ii) n n; (iii) jeśli m = n,tom = n; (iv) jeśli m n oraz m n, tom n; (v) zachodzi: m n lub n m; (vi) zachodzi dokładnie jedna z możliwości: m n, m = n, n m. Dowód. Dowód poprowadzimy przez indukcję. Ad. (i) Niech M = {n N dla każdego m n jest m n}. Chcemy wykazać induktywność zbioru M. Mamy: 0 M. Przypuśćmy, że n M. Po to by wykazać, że n Mobierzmy dowolne m n. Ponieważ n = n {n}, to mamy możliwe dwa przypadki. Jeśli m n, toz założenia indukcyjnego mamy m n, awięcm n. Jeżeli zaś m = n, tom n. Wynika stąd, że w każdym z tych przypadków m n, co w konsekwencji dowodzi, że n M. Ad. (ii) Rozpatrzmy zbiór M = {n N n n}. W takim przypadku 0 M. Przypuśćmy, że n Mi załóżmy, że n n {n}. Wtedy albo n n albo n = n. Jeślin n, to korzystając z warunku (i) mamy n {n} n, co oznacza, że n n co przeczy założeniu indukcyjnemu. Jeśli zaś n = n, to otrzymujemy sprzeczność z założeniem indukcyjnym. Zatem przypuszczenie, że n n {n} jest błędne. Dowodzi to, że n M. Ad. (iii) Teraz załóżmy, że m {m} = n {n}. Wynikastąd,żem musi należeć do zbioru po prawej stronie znaku równości. Jeśli m n, tonamocy(i)mamy,żem n. Gdyzaśm = n, to także m n. Z symetrii założeń wynika również n m, coprowadzidorównościm = n. Ad. (iv) Niech teraz M = {n N dla każdego m n, jeśli m n, to m n}. Na pewno

7 0 M bo zbiór pusty nie zawiera podzbiorów właściwych. Przypuśćmy, że n Miniech m n. ( ) Załóżmy, że m jest podzbiorem właściwym zbioru n. Pokażęmy, że m n.jeślin m, tona podstawie (i) jest n m, zatemn m izzałóżenia: m n, otrzymujemy róność n = m a więc sprzeczność. Mamy zatem n m. Z założenia ( ) otrzymujemy m n. Jeśl m = n, tom n. Niech zatem m n. Ponieważ m jest podzbiorem właściwym n, toz założenia indukcyjnego otrzymujemy, że m n, codajem n. To zaś oznacza koniec dowodu podpunktu (iv) twierdzenia. Ad. (v) Teraz rozpatrzmy zbiór M = {n N dla każdego m N, jeślin m, to m n}. Dla wykazania induktywności zbioru M zauważmy, że 0 Moraz załóżmy, że n M. Obierzmy dowolny m taki, że n m ( ) Z założenia indukcyjnego mamy, że m n lub też n m. Gdym n, tom n cokończy proces dwodowy. Przypuśćmy zatem, że n m. Na podstawie (iv) mamy, że n m. Wynika stąd, że n m, co przeczy ( ). Dowodzi to, że założony przypadek nie może zajść. Stąd n M. Ad. (vi) Ten podpunkt jest konsekwencją wcześniejszych podpunktów. Jeden z warunków wynika z (iv) i (v), podczas gdy niemożliwość zajścia dwóch spośród wymienionych przypadków wynika z (ii) oraz (i). W zbiorze liczb nauralnych relacja zawierania oznaczana jest symbolem, podczas,gdy relacja przynależnośći oznazczana jest symbolem <. Jeśli piszemy n m, to mówimy,że n jest mniejsze od m oraz, że m jest większe od n. Następnik liczby n jest oznaczany poprzez n +. Liczba naturalna jest równocześnie zbiorem wszystkich liczb naturalnych mniejszych od niej, co oznacza, że n = {k N k<n}. Twierdzenie. Jeśli n jest liczbą naturalną, zaś X niepustym zbiorem takim, że X n, to istnieje n 0 X, żedlakażdegom X zachodzi warunek m n 0,tj. n 0 jest największą liczbą w X. Innymi słowy, ostatnie twierdzenie głosi, że każdy skończony i niepusty podzbiór liczb naturalnych ma element największy. Dowód. Niech M oznacza zbiór tych wszystkich liczb naturalnych n, że dla każdego niepustego podzbioru X n istnieje n 0 X, żedlakażdegom X ma miejsce nierówność: m n 0. Chcemy pokazać, że M jest zbiorem induktywnym. Z oczywistych powodów 0 M. Przypuśćmy, że n Moraz niech X n będzie dowolnym niepustym podzbiorem. Rozpatrzmy dwie możliwości.

8 Jeśli n X, to szukanym elementem jest n. Gdy zaś n X, wtedyx n i założenia indukcyjnego mamy, że istnieje n 0 X o stosownych własnościach. Twierdzenie. (Zasada minimum) Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych ma liczbę najmniejszą tj. taką, że jeśli X N oraz X, toistniejen 0 X, żedlakażdegom X zachodzi warunek n 0 m. Dowód. Przypuśćmy, że X jest podzbiorem N nie zawierającym elementu najmniejszego. Niech ponadto M = {n N n X = }. Chcemy wykazać induktywność zbioru M. Łatwo widać, że 0 M. Przypuśćmy, że n M oraz, że n X. Stąd n X oraz dla każdego m<nmamy m X. To zaś oznacza, że n jest najmniejszym elementem w X. Sprzeczność ta dowodzi, że n X =, co oznacza, że n M Na mocy zasady indukcji mamy, że M = N,awięcX =. Z tej sprzeczności wynika, że X musi mieć element najmniejszy. 4. Funkcje Rozpatrzmy dowolne zbiory A i B. Przez funkcję z A w B rozumiemy uporządkowaną trójkę f,a,b taką, że f A B jest relacją spełniającą następujące warunki: (i) dla każdego x A istnieje y B, że x, y f; (ii) dla każdego x A oraz każdych y b oraz y 2 B, jeśli x, y f oraz x, y 2 f, to y = y 2. Przedstawiona definicja wskazuje na istotność każdego z elementów trójki f,a,b awięc nie tylko relację f, ale w tym samym stopniu zbiory A i B. Zbiór A nazywamy dziedziną, zaś zbiór B przeciwdziedziną funkcji f. Zwykle zamiast pisać f,a,b piszemy f : A B. Zbiór wszystkich funkcji z A w B oznaczamy symbolem A B. Jeśli w definicji funkcji zrezygnujemy z warunku (i), to trójkę f,a,b spełniającą jedynie warunek (ii) nazywamy funkcją częściową z A w B. Zbiór Dom(f) ={x A istnieje b B, że x, y f} nazywamy dziedziną funkcji częściowej f. W przypadku, gdy f A B jest funkcją częściową z A w B, to jest funkcją z Dom(f) w B. Funkcję ze zbioru A wzbiórb nazywamy równoważnie odwzorowaniem określonym na zbiorze A i o wartościach w zbiorze B. Przyjęła się niepisana umowa, że funkcja to odwzorowanie zbioru liczbowego, lub produktu kartezjańskiego takich zbiorów w inny zbiór liczbowy my jednak obu nazw będziemy używać zamiennie. Dla oznaczenia funkcji będziemy używać na ogół małych liter alfabetu łacińskiego. Symbol f : A B będzie oznaczał, że f odwzorowuje zbiór A wzbiórb, natomiast symbol f : x y, żef przyporządkowuje elementowi x A element y B. Niekiedy element przyporza dkowany elementowi x A poprzez funkcję f be dziemy

9 oznaczać przez f(x). Wtedy f(x) oznacza wartość odwzorowania f dla elementu x, lub obraz elementu x poprzez funkcję f. Podzbiór zbioru B złożony z wszystkich tych elementów y, że dla każdego z nich istnieje przynajmniej jeden element x ze zbioru A, że y jest obrazem x poprzez funkcję f tj. y = f(x) nazywamy obrazem zbioru A poprzez funkcję f. Mamy zatem: f(a) = { y B : istnieje x A, że y = f(x) }. Podobnie, jeśli X jest dowolnym podzbiorem zbioru A, to obraz tego zbioru poprzez odwzorowanie f oznaczamy przez f(x) ikładziemy: f(x) = { y B : istnieje x A, że y = f(x) }. Jeśli f(a) =B, tomówimy,że f : A B jest funkcją przekształcającą zbiór A na zbiór B. Odwzorowanie f : A A nazywamy odwzorowaniem zbioru A w siebie, gdy f(a) A, natomiast odwzorowaniem zbioru A na siebie, gdy f(a) =A. Odwzorowanie i zbioru A na siebie, w którym obrazem każdego elementu x A jest ten sam element tj. dla wszystkich x A jest i(a) =a nazywamy odwzorowaniem identycznościowym zbioru A na siebie i oznaczamy przez i A. Jeżeli dziedzina A funkcji f jest zborem pustym, zaś B jest dowolnym zbiorem, to relacja f A B jest relacją pustą (jako podzbiór zbioru pustego). Gdy zaś A oraz B =, to funkcja z A w B nie istnieje. Znów mamy A B = A =, jednak teraz relacja pusta jest funkcją częściową, ale nie jest funkcją. Korzystając z definicji funkcji wprowadzimy teraz nowe pojęcia. Przez indeksowaną rodzinę zbiorów rozumiemy dowolną funkcję ze zbioru indeksów I w rodzinę zbiorów A. Rodzinę indeksowaną zbiorów oznaczamy zwykle symbolem: {A i } i I. Jeśli A jest dowolnym zbiorem, to słowem nad alfabetem A nazywamy każdy skończony ciąg elementów zbioru A, tj. funkcję w : {0,, 2,...,n} A, gdzie(n +) N nazywamy długością słowa, którą zwykle oznaczamy symbolem w. Zbiór wszystkich słów nad alfabetem A (niezależnie od ich długości) oznaczamy symbolem A. Słowem pustym, oznaczanym zwykle symbolem ε, nazywamy słowo nad każdym alfabetem o długości 0. SymbolA n oznaczał będzie zbiór uporządkowanych n-tek postaci x 0,x,...,x n, które mogą być również traktowane jako słowa długości n nad alfabetem A. Wtedy x 0,x,...,x n może być reprezentowana w przez funkcję w : n A, dlaktórejw(i) =a i,przyi {0,,...,n }. WzbiorzeA możemy określić operację składania (konkatenacji) słów w taki sposób, że jeśli w : n A, zaśu : m A, towu :(m + n) A, przy czym: { w(i), gdy i {0,,...,n }, (wu)(i) = w(i n), gdy i {n, n +,...,m+ n }. Dla dowolnie ustalonego zbioru A, przez multizbiór rozumiemy każdą funkcję M : A N. Opisowo, funkcja M z każdemu elementowi bioru A przypisuje krotność jego występowania. Oznacza to, że jeżeli element x A ma przypisaną krotność 0, to nie występuje on w multizbiorze,

20 jeśli zaś M(x) =3, toelementx pojawia się trzykrotnie. Zbiór wszystkich multizbiorów zbioru A oznaczamy symbolem M(A). Dowolny podzbiór zbioru A, jest multizbiorem, którego każdy z elementów ma krotność nie przekraczającą. Odwzorowanie f : A B nazywamy różnowartościowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x A oraz x 2 A zachodzi warunek: (x x 2 = f(x ) f(x 2 )). Różnowartościowe odwzorowanie zbioru A na zbiór B nazywamy też wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru A na zbiór B. Jeśli odwzorowanie f,a,b jest równocześnie różnowartościowe i na, to nazywamy je bijekcją. Jeśli f : A B, to możemy ją rozpatrywać w dowolnym podzbiorze X A iwtedy mówimy, że rozpatrujemy obcięcie funkcji f do zbioru X. Dla podkreślenia zawężenia dziedziny funkcji f ze zbioru A do zbioru X używamy symbolu f X. Funkcje g przeprowadzającą zbiór B na cały zbiór A nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f przeprowadzającej zbiór A na zbiór B, gdy dla każdego x A oraz każdego y B zachodzą równości: g(f(x)) = i A (x) =x oraz f(g(y)) = i B = y. Funkcję odwrotną do funkcji f, dla podkreślenia jej związku z funkcją f będziemy zwykle oznaczać symbolem f. Odwzorowania różnowartościowe nazywane są niekiedy odwracalnymi. Wśród wszystkich odwzorowań wyróżnia się także odwzorowania częściowo odwracalne tj. takie, które zawężone do pewnego podzbioru dziedziny są różnowartościowe. Zwróćmy teraz uwagę, że istnienie dla danej funkcji, funkcji do niej odwrotnej jest obwarowane warunkiem różnowartościowości. W przypadku, gdy mówimy o relacji warunek ten nie jest wymagany. Zatem jeśli dla danej funkcji nie istnieje funkcja odwrotna, wskutek jej nieróżnowartościowości, to na pewno istnieje relacja do niej odwrotna. Twierdzenie. Jeśli f : A B, g : B C są funkcjami, to: (i) relacja g f A c jest funkcją z A w C; (ii) gdy f i g są różnowartościowe odpowiednio na A i B, tog f jest różnowartościowa; (iii) gdy f i g są na, to g f jest na. Dowód. Ad (i) Z założenia, że f jest funkcją z A w B wynika, że dla dowolnego x A istnieje y B spełniające warunek a, y f. Z drugiej strony dla funkcji g zpodobnych powodów dla każdego y B istnieje z C, że y,z g. Stąd zgodnie z definicją składania relacji dla dowolnego x A istnieje z C, że x, z g f. Tak więc dla każdego x A istnieje obraz poprzez superpozycję g f. Pozostaje pokazać, że jest to obraz jedyny. Przypuśćmy, że tak niejesttj.,żeistniejądwiepary x, z g f oraz x, z 2 g f. Jednak w takim przypadku muszą istnieć elementy y oraz y 2 wzbiorzeb takie, że x, y f oraz x, y 2 f przy czym y,z g oraz y 2,z 2 g. Założenie o tym, że f jest funkcją prowadzi do równości: y = y 2.Z kolei założenie, że g jest funkcją daje równość: z = z 2. Ostatecznie z obu wykazanych powodów wynika, że relacja g f jest funkcją.

2 Ad (ii) Niech zgodnie z założeniem obie funkcje tj. f i g będą różnowartościowe i niech (g f)(x )=(g f)(x 2 ). Z faktu różnowartościowości funkcji g wynika równość: f(x ) = f(x 2 ). Dalej już z różnowartościowości funkcji f mamy, że x = x 2. Oznacza to, że g f jest różnowartościowa. Ad (iii) Zgodnie z założeniem niech f i g będą na. Zatem dla każdego elementu z C istnieje element y B, żez = g(y). Podobnie dla każdego y B istnieje x A, żey = f(x). Stąd też mamy zagwarantowane dla każdego z C istnienie takich elementów x A oraz y B, że c = g(y) =g ( f(x) ). Jest to zgodne z definicją funkcji na, którą tym razem spełnia g f. Zatem funkcje f : A B i g : B C wyznaczają nową funkcję, którą oznaczamy przez g f taką, że h : A C i określoną dla wszystkich x A warunkiem: h(x) =g ( f(x) ), którą nazywamy superpozycją (złożeniem) funkcji f i g i oznaczamy symbolem g f. Takwięc dla każdego x A: ( g f ) (x) =(g f)(x) Przykład. Niech f : R Rbędzie określona wzorem: f(x) =x 2 +, zaś g : R R wzorem: g(x) =sinx. Obie te funkcje mają wspólną dziedzinę, natomiast różne przeciwdziedziny. Możemy dla tych funkcji rozważać zarówno superpozycję f g jak i g f. Mamy: (g f)(x) =g(f(x)) = sin (x 2 +) zaś (f g)(x) =sin 2 x +. Jak łatwo zauważyć porównując oba te złożenia, a właściwie przeciwdziedziny tych złożeń, superpozycja funkcji nie jest przemienna. Twierdzenie. Dla dowolnych funkcji f : A B, g : B C i h : C D h (g f) =(h g) f. Dowód. Bezpośrednio z definicji złożenia funkcji mamy, że dla dowolnego x A zachodzą równości: (h (g f))(x) =h((g f)(x)) = h(g(f(x))), ((h g) f)(x) =(h g)(f(x)) = h(g(f(x))). Porównując je dostajemy tezę twierdzenia. Twierdzenie. Dla dowolnej funkcji f : A B następujące warunki są równoważne: (i) f ma funkcję odwrotną; (ii) f jest bijekcją; (iii) relacja odwrotna f jest funkcją. Dowód. Załóżmy zgodnie z (i), że f ma funkcję odwrotną i oznaczmy ją przez g. Zatem g : B A. Gdyf(x )=f(x 2 ),tog(f(x )) = g(f(x 2 )). Z drugiej strony mamy z założenia, że g f = i A,awięcx = x 2. Oznacza to różnowartościowość funkcji f.

22 Teraz pokażemy, że f jest na. Niech y B będzie dowolnie wybrany i niech a = g(y). Stąd f(x) =f(g(y)) = y, bof g = i B. Oznacza to, że f jest na (czyli jest bijekcją). Obecnie przypuśćmy, że spełniony jest warunek (ii) twierdzenia. Niech y B będzie dowolnie wybrany. Z tego, że f jest na wynika, że istnieje x A dla którego f(x) =y. To zaś oznacza, że y,x f. Załóżmy teraz, że y,x f,atakże y,x 2 f.wtedyotrzymujemy równość: f(x )=f(x 2 ), a z różnowartościowości funkcji f mamy x = x 2. Oznacza to, że relacja f jest funkcją. Niech teraz spełniony będzie warunek (iii). Dla każdego x A mamy: x, x f f,gdyż x, f(x) f. Konsekwencją tego faktu jest, że i A f f. Gdy założymy, że x,x 2 f f, toistniejey B dla którego x,y f oraz y,x 2 f. Wynika stąd również, że y,x f,askorof jest funkcją, to x = x 2.Zatemf f = i A. Dla funkcji f : A B wprowadziliśmy poprzednio pojęcie obrazu elementu x zbioru A poprzez funkcję f. Przypomnijmy, że jest to taki element y zbioru B, że x, y f. Jeśliteraz X A będzie dowolnym podzbiorem dziedziny funkcji f. Obrazem zbioru X poprzez funkcję f : A B nazywamy zbiór f(x) B, że f(x) def = {f(x)} = { y B istnieje x X, że y = f(x) } x X Jeśli Y B, to przeciwobrazem zbioru Y poprzez funkcję f nazywamy zbiór f (Y ) określony równością: f (Y ) def = {f (y)} = { x A f(x) Y }. y Y Twierdzenie. Dla dowolnej funkcji f : A B oraz rodziny X podzbiorów zbioru A i rodziny Y podzbiorów zbioru B mamy: (i) f ( X )= { } f(x) X X ; (ii) jeśli X, tof ( X ) { } f(x) X X ; (iii) f ( Y)= { } f (Y ) Y Y ; (iv) jeśli Y, tof (Y) = { } f (Y ) Y Y. Dowód. Ad (i) Zgodnie z definicją obrazu zbioru poprzez funkcję mamy dla dowolnego X X,żef(X) = {f(x)}. Zatem skoro X = X, to dostajemy natychmiast, że x X X X X X [ ( )] ( ) f X = f {f(x)} = { } f(x) X X x X Ad (ii) Niech y f ( ) X. Zatem istnieje x X,żey = f(x). Na mocy definicji iloczynu zbiorów (w szczególności definicji iloczynu rodziny zbiorów) mamy, że x X dla wszystkich X X. Z drugiej strony oznacza to, że f(x) { } f(x). Tak więc teza (ii) jest prawdziwa. X X

23 Ad (iii) Przyjmijmy, że x f ( ) Y jest dowolnie wybrany. Stąd zaś wynika, że f(x) Y. Dalej z definicji sumy zbiorów wynika, że istnieje zbiór Y Y,doktóregonależyf(x). To z kolei oznacza, że istnieje Y Y,żex f (Y ). W konsekwencji jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy x { f }. Y Y Ad (iv) Technika dowodowa tej tezy jest analogiczna do zaprezentowanej w poprzednich podpunktach. 5. Definicje indukcyjne Jak to zostało omówione w paragrafie 3. zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem zawierającym 0 i zamkniętym ze względu na jednoargumentową operację następnika. Te własności zbioru liczb naturalnych umożliwiają definiowanie w nim pewnych funkcji. Dla przykładu niech f oznacza działanie dodawania liczb naturalnych (dwuargumentową i wewnętrzną operację w N )tj. f : N N N.Mamy: f(m, 0) =m, f(m, n )= ( f(m, n) ). Przy użyciu tych dwóch równości możemy wykonywać działanie dodawania w zbiorze N.Liczba m występująca w tej definicji nosi nazwę parametru. Jest to liczba naturalna dowolnie ustalona. Twierdzenie. (o definiowaniu przez indukcję) Niech A i B będą dowolnie ustalonymi zbiorami i niech B, zaśg : A B i h : B A N B dowolnymi funkcjami. Istnieje dokładnie jedna funkcja f : A N B spełniająca dla dowolnych x A oraz n N następujące warunki: f(x, 0) =g(x), f(x, n )=h ( f(x, n),x,n ). Na wstępie uprzedźmy, że dowód tego twierdzenia zostanie przedstawiony w dalszej części wykładu. Dodajmy też, że w przedstawionym twierdzeniu zbiór A jest zbiorem parametrów. Jako efekt tego twierdzenia możemy przedstawić pewne uporządkowanie zaprezentowanej poprzednio definicji dodawania liczb naturalnych. Rolę funkcji g pełni funkcja identyczność i N w zbiorze liczb naturalnych, zaś rolę funkcji h operacja następnika. Wartość funkcji f dla liczb naturalnych m i n oznaczamy tradycyjnie poprzez m + n. Teraz przedstawimy definicję mnożenia liczb naturalnych. Będziemy się trzymać oznaczeń użytych w twierdzeniu. Mnożenie liczb naturalnych jest to jedyna funkcja f : N N N określona układem równań: f(m, 0) =0, f(m, n )=m + f(m, n). Funkcja g ma w tym przypadku postać g(x) =0dla x N,zaśh ma postać h(x, y, z) =y + x, dla x N, y N, z N.

24 Rozpatrzmy teraz operację iteracji, którą oznaczymy przez Iter i wtedy Iter : P(A A) N P(A A) dla każdej relacji binarnej w A, przy czym o zbiorze A niczego nie zakładamy. Dla realacji ϱ A A przyjmujemy definicję: Iter(ϱ, 0) =i A, Iter(ϱ, n )=ϱ Iter(ϱ, n), gdzie Iter(ϱ, n) oznacza n-krotne złożenie relacji ϱ ze sobą. Funkcja g (z ostatniego twierdzenia) jest określona następująco: { g : P(A A) P(A A), g(ϱ) =i A, przy czym ϱ P(A A). Zaś funkcja h (również wymieniona w ostatnim twierdzeniu) ma postać: { h : P(A A) P(A A) N P(A A), h(ϱ,ϱ 2,n)=ϱ 2 ϱ 2, dla ϱ P(A A) i ϱ 2 P(A A) oraz n N. Dla ilustracji przedstawionego opisu rozpatrzmy następującą sytuację. Niech k N będzie dowolną liczbą naturalną dodatnią i niech A = {0, } k oraz niech ϕ : {0, } k {0, } oznacza pewną funkcję k-argumentową. Wtedy dla dowolnego x 0,x,...,x k mamy ϕ ( x 0,x,...,x k ) = x k. Funkcja ϕ określona poprzednio pozwala na określenie odwzorowania I ϕ : {0, } k {0, }, zwanego systemem iteracyjnym funkcji ϕ, gdzie{0, } oznacza zbiór wszystkich słów (ciągów) nieskończonych nad alfabetem {0, }. Ciągi takie nazywamy obliczeniami systemu I ϕ,aokreślamy je następującą równością: I ϕ ( x0,x,...,x k ) =(x 0,x,...,x k,x k,x k,...) gdzie dla dowolnego i N jest x i+k = ϕ ( x i,x i+,...,x i+k ). W oparciu o funkcję ϕ możemy określić relację ϱ ϕ {0, } k {0, } k. Jeśli przyjmiemy, że x 0 := x 0,x,...,x k oraz x := x,x 2,...,x k,ϕ ( x 0,x,...,x k ),to: x i, x j ϱ ϕ def x j = x i,ϕ(x i ), gdzie x i = x,x 2,...,x k jest elementem {0, } k powstałym z x i poprzez obcięcie pierwszego wyrazu.