Drzewka gry. Teoria gier a biznes.

Drzewka gry. Teoria gier a biznes.

Drzewka gry Gra jest to sytuacja konfliktowa, w której gracze podejmują decyzję, co do strategii, w sposób sekwencyjny i sukcesywny, w miarę przebiegu gry poznając kolejne ruchy przeciwnika. Takie sytuacje możemy właśnie przedstawić za pomocą drzewek gry. Taką grę, którą da się przedstawić w postaci drzewka, można łatwo sprowadzić również do poznanej wcześniej postaci gry macierzowej.

Przykład 1 (uproszczony poker) Gra odbywa się przy użyciu talii ograniczonej do asów i króli.pan Wiersz i Pani Kolumna dostają po jednej karcie i wkładają do puli po 1$. Po otrzymaniu swojej karty Pani Kolumna ma do wyboru dwie opcje: podnieść stawkę o 2$ lub spasować. Jeżeli spasuje, Pan Wiersz zgarnia całą pulę, jeśli jednak podniesie stawkę, wówczas Pan Wiersz może sprawdzić (tzn. zaakceptować grę o wyższą stawkę) lub spasować. Jeżeli Pan Wiersz spasuje, wówczas Pani Kolumna zgarnia pulę, zaś jeśli zdecyduje się sprawdzać, to gracze porównują swoje karty i wygrywa ten, który ma wyższą; jeśli oboje mają taką samą, pula dzielona jest pomiędzy graczy po równo.

Aby zbudować model tej gry, musimy opisać ją najpierw jako sekwencję ruchów. Pierwszy ruch, rozdając karty, wykonuje Los. Ma on cztery możliwości: 1. przydzielić obojgu graczom asa (A,A) 2. dać asa Panu Wierszowi i króla Pani Kolumnie (A,K) 3. dać króla Panu Wierszowi i asa Pani Kolumnie (K,A) 4. przydzielić obojgu graczom króla (K,K). Zakładamy przy tym, że prawdopodobieństwo każdego z tych rozdań jest takie samo i wynosi ¼. Po ruchu wykonanym przez Los, kolejny ruch należy do Pani Kolumny, która wybiera pomiędzy podniesieniem stawki a spasowaniem; jeśli podniosła, wówczas Pan Wiersz wybiera pomiędzy sprawdzeniem a spasowaniem. Na koniec obojgu graczom przydzielane są ich wypłaty.

Drzewka gry mogą być wykorzystywane do opisu sytuacji, w której gracze (min. dwóch) wykonują sekwencyjnie szereg ruchów, jednak każde z nich charakteryzuje się tym samym, tzn.: każdy wewnętrzny węzeł przypisany jest któremuś z graczy (włączając Los), wykonującemu z niego ruch każda z gałęzi wyprowadzona w dół z danego węzła reprezentuje możliwy ruch gracza każdej z gałęzi, odpowiadającej ruchowi Losu przypisane jest p-stwo, z jakim Los wykona odpowiedni ruch każdemu węzłowi końcowemu przypisane są wypłaty obu graczy węzły należące do każdego gracza podzielone są na zbiory informacyjne; wykonując ruch gracz wie, w którym zbiorze informacyjnym się aktualnie znajduje, nie wie jednak, w którym z jego węzłów z każdego z węzłów należących do tego samego zbioru informacyjnego wyprowadzona jest taka sama liczba gałęzi, oznaczanych w taki sam sposób

Każda dwuosobowa gra, którą da się przedstawić za pomocą drzewka gry, może być również przedstawiona jako gra macierzowa. To, co łączy ze sobą oba te przedstawienia to idea strategii. W przypadku gry przedstawionej w postaci drzewka, strategią gracza jest dokładny spis ruchów, jakie wykonałby w razie znalezienia się w każdym ze zbiorów informacyjnych, w których mógłby się w przebiegu gry znaleźć.

Biorąc pod uwagę wspomniany już przykład, łatwo możemy zauważyć, że każdy z graczy, zarówno Pani Kolumna, jak i Pan Wiersz, mają 4 możliwe strategie w tej grze. Jeżeli wiemy, jakie strategie wybiorą gracze, możemy, z dokładnością do ruchów Losu, wyznaczyć na drzewku gry cały jej przebieg, a dodatkowo ponieważ znamy prawdopodobieństwa poszczególnych ruchów Losu, możemy zatem wyznaczyć oczekiwane wartości wypłat dla obu graczy. Jeśli przypiszemy wierszom i kolumnom macierzy poszczególne strategie Pana Wiersza i Pani Kolumny, a w odpowiednie komórki macierzy wpiszemy wypłaty dla każdej pary strategii, uzyskamy wówczas grę macierzową odpowiadającą grze pierwotnie przedstawionej w postaci drzewka.

Zadanie 1) Odtwórz rachunki, które dla gry z przykładu 1 pozwoliły wyznaczyć: a) Wypłatę 5/4 b) wypłatę -1/2

Przykład 2 (model kubańskiego kryzysu rakietowego) W grze biorą udział: Stany Zjednoczone pod prezydenturą Kennedy ego i ZSRR pod przywództwem Chruszczowa. Rozpoczyna Chruszczow, decydując, czy zainstalować na Kubie pociski rakietowe, mogące razić terytorium USA. Jeżeli zdecyduje się na ich rozmieszczenie, wówczas Kennedy ma trzy możliwości postępowania: nie zrobić nic, ogłosić blokadę Kuby lub zniszczyć rakiety za pomocą precyzyjnego uderzenia z powietrza. Jeśli Kennedy zdecyduje się na działania agresywne, czyli blokadę wyspy lub zniszczenie rakiet, wówczas Chruszczow może albo ustąpić, albo zastosować kroki odwetowe, co mogłoby ostatecznie doprowadzić do wojny nuklearnej.

W przedstawionej sytuacji Kennedy ma do wyboru trzy strategie, odpowiadające trzem ruchom możliwym do wykonania z jego jedynego węzła: A) nie robić nic, B) zastosować blokadę, C) zniszczyć rakiety, natomiast kwestia strategii Chruszczowa jest bardziej skomplikowana, gdyż ma on do wyboru aż pięć różnych strategii: A)nie rozmieszczać rakiet, B)rozmieścić rakiety; w przypadku jakiejkolwiek agresywnej reakcji Kennedy ego ustąpić, C)rozmieścić rakiety; w przypadku blokady ustąpić, zaś w przypadku zniszczenia rakiet zastosować odwet, D)rozmieścić rakiety; w przypadku blokady zastosować odwet, zaś w przypadku zniszczenia- ustąpić, E)rozmieścić rakiety; w przypadku agresywnej reakcji Kennedy ego zastosować odwet. Ponieważ każdy z graczy zna uprzednie ruchy przeciwnika, zatem wszystkie zbiory informacyjne zawierają tylko po jednym węźle.

Gra o pełnej informacji O grze o pełnej informacji mówimy wtedy, gdy: żaden z węzłów nie jest przypisany ruchowi Losu każdy węzeł należy do osobnego zbioru informacyjnego o Inaczej mówiąc, w grze nic nie zależy od przypadku- wszyscy gracze znają obowiązujące reguły gry, wszystkie dotychczas wykonane w grze ruchy, a także wypłaty przeciwnika. o Ten rodzaj gry może być analizowany techniką przycinania drzewka, czyli indukcji wstecznej.

Opis: Mamy tu do czynienia z grą o sumie zerowej. Analizując drzewko metodą przycinania, należy na początku zastanowić się nad ostatnim ruchem Pani Kolumny w grze przedstawionej na pierwszym drzewku. Pani Kolumna zawsze wybierze tę gałąź, która prowadzi do wyniku gorszego dla Pana Wiersza, a zatem możemy przyciąć ostatnie gałązki drzewka, a każdemu spośród powstałych w ten sposób węzłów końcowych gry przypisać najniższą ze znajdujących się pierwotnie poniżej danego węzła wypłatę Pana Wiersza, w ten sposób uzyskując drugie drzewko. Teraz ostatni ruch wykonuje Pan Wiersz, który zawsze wybierze gałąź prowadzącą do najwyższej dla siebie wypłaty, można zatem po raz kolejny zredukować ostatni poziom gałązek i uzyskać w ten sposób ostatnie drzewo gry. Znów teraz decyzję podejmuje Pani Kolumna, zgodnie z opisanymi wcześniej zasadami. W tym przypadku powinna ona wybrać prawą gałąź, a racjonalnym wynikiem gry jest wypłata -2 dla Pana Wiersza. Posuwając się śladem uprzednio odciętych gałęzi, możemy teraz odtworzyć sekwencję prowadzących do tego wyniku ruchów.

Zadanie 2) Załóżmy, że w kryzysie kubańskim gracze w następujący sposób porządkują wyniki od najlepszego dla danego gracza do najgorszego: Kennedy: w, y, u, v, x, z Chruszczow: v, u, w, y, z, x Zastosuj technikę indukcji wstecznej ( przycinania ) do drzewka gry z rysunku 7.2, aby znaleźć jej racjonalne rozwiązanie.

Zadanie 3) Dla gry z rysunku: a) znajdź rozwiązanie techniką indukcji wstecznej ( przycinania ) b) wypisz wszystkie strategie Pani Kolumny c) wypisz wszystkie strategie Pana Wiersza d) zapisz macierz gry e) Rozwiąż grę macierzową i sprawdź, czy uzyskane rozwiązanie jest takie samo jak w podpunkcie a

Teoria gier a biznes: podejmowanie decyzji w warunkach konkurencji

W świecie biznesu przedsiębiorstwa często podejmują decyzje w warunkach strategicznej niepewności co do działań, które podejmują inne firmy. Dodatkowymi czynnikami niepewności mogą być przy tym przyszła koniunktura gospodarcza, wielkość rynku dla nowego produktu, koszty oraz wiele innych zmiennych. Możemy więc powiedzieć, że przedsiębiorstwa biorą udział w grach z udziałem zarówno innych graczy, jak i losu. W tego typu grach szczególnego znaczenia nabiera informacja, zarówno dotycząca działań konkurentów, jak i czynników ogólnie określanych mianem losu.

Przykład Rozważmy dwie firmy: Zeus Music, będącą liderem w produkcji nowoczesnego sprzętu audio oraz Atena Acoustics, będącą firmą mniejszą, lecz cenioną ze względu na innowacyjność i wysoką jakość produktów. Obie firmy opracowały nowy, obiecujący heksafoniczny system dźwiękowy, polegający na zawieszeniu słuchacza na pewnej wysokości, tak aby z każdej strony był otoczony muzyką i mógł słuchać jej z sześciu głośników, umieszczonych z przodu, tyłu, lewej, prawej, góry i dołu. Czynnikiem niepewności jest tutaj wielkość rynku na tego typu urządzenia: mały (zysk około 24 mln $) lub duży (zysk około 40 mln $)szanse istnienia obu są takie same i wynoszą 50%. Obie firmy muszą zatem zdecydować, jakiego typu produkt wypuścić najlepiej na rynek: najwyższej jakości system adresowany do audiofilów (NJ) czy też system tańszy, skierowany do odbiorców poszukujących nowości, ale o mniejszych wymaganiach co do jakości dźwięku (T) Jeżeli rynek jest mały, lepiej będzie się sprzedawać system wyższej jakości, jeżeli jednak byłby duży, wówczas większym powodzeniem cieszyłby się system tańszy.

Uwzględniając wszystkie czynniki, analitycy Zeusa oszacowali udziały w rynku obu firm w różnych sytuacjach (zakładamy, że analitycy Ateny ocenili sytuację podobnie, bowiem do obliczeń wykorzystano informacje powszechnie dostępne):

Przypadek 1 Obie firmy trzymają w tajemnicy swoje decyzje co do kierunku produkcji- żadna nie zna decyzji drugiej; nie zna także decyzji Losu. Obie firmy mają tu po dwie strategie: produkować sprzęt najwyższej jakości (NJ), bądź też tańszy (T).

Przypadek 2 Zeus, jako firma wiodąca na rynku, musi podjąć decyzję co do wyboru produktu wcześniej, a Atena- firma mniejsza i bardziej elastyczna- może zdecydować się na tyle późno, by poznać najpierw decyzję podjętą przez konkurenta. Firma Zeusa ma w tym przypadku dwie możliwości strategii, zaś firma Ateny- cztery.

Przypadek 3 Zeus wykonuje ruch jako pierwszy, ale zanim go wykona, przeprowadza dokładne badania rynku, które pozwolą mu określić, czy rynek jest duży, czy też mały. Atena nie będzie znać wyniku badań, będzie jednak wiedzieć, że miały one miejsce. Obie firmy mają tu po cztery strategie.

Przypadek 4 Obie firmy, zarówno Zeus, jak i Atena przeprowadzają badania rynku, pozwalające określić czy rynek jest mały, czy duży; Atena wykonuje swój ruch znając już decyzje zarówno Zeusa, jak i Losu. Firma Zeusa ma w tym przypadku cztery strategie, zaś firma Ateny- aż szesnaście.

Przypadek 5 Zeus wykonuje badania rynku, ale ukrywa ten fakt przed Ateną, stąd też ma ona błędne wyobrażenie o grzegrze- według niej mamy do czynienia z grą z przypadku 2, dlatego będzie grać strategią optymalną dla tego przypadku, czyli NJ/T. Zeus wiedząc o tym, jak zagra Atena i wiedząc, że ma do czynienia z grą z przypadku 3, zagra więc strategią optymalną dla tego też przypadku, czyli NJ/T, dzięki czemu uzyska wypłatę 24 (zysk o 2, w porównaniu z przypadkiem 3) Wniosek: posiadanie informacji może pozwolić graczowi na zapewnienie sobie lepszego wyniku gry gry-- dotyczy to także informacji o tym, co który z graczy wie o informacjach posiadanych przez drugiego, a więc o tym, jaka gra jest w rzeczywistości rozgrywana.

Ćwiczenie Załóżmy, że obaj gracze wykonują ruchy jednocześnie, ale uprzednio Zeus przeprowadza badania rynku, o czym Atena wie, ale nie zna ich wyników. Wskaż zbiory informacyjne w tej grze. Zapisz i rozwiąż odpowiednią grę 4x2. Co by się zmieniło, gdyby Atena nie wiedziała o przeprowadzonych badaniach rynku?