Wymgni n poszczególne oceny dl Technikum Cły cykl ksztłceni: od I do IV ocen dopuszczjąc: Przedmiot: MATEMATYKA podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb stosuje cechy podzielności liczb rozróżni liczby pierwsze i liczby złożone zzncz n osi liczbowej dną liczbę wymierną i przedstwi ją w różnych postcich wykonuje proste dziłni w zbiorch liczb cłkowitych, wymiernych i rzeczywistych oblicz wrtość pierwistk dowolnego stopni z liczby nieujemnej orz wrtość pierwistk nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej wyłącz czynnik przed znk pierwistk orz włącz czynnik pod znk pierwistk usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu b wykonuje proste dziłni n potęgch o wykłdnikch cłkowitych wykonuje obliczeni procentowe prwidłowo odczytuje informcje przedstwione n digrmch posługuje się pojęcimi: zbiór, podzbiór, zbiór skończony, zbiór nieskończony zzncz n osi liczbowej przedziły liczbowe orz wyzncz iloczyn i sumę przedziłów liczbowych rozwiązuje proste nierówności liniowe, zzncz n osi liczbowej zbiór rozwiązń nierówności liniowej oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej wyzncz błąd bezwzględny przybliżeni rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu podje przykłdy funkcji liniowych opisujących sytucje z życi codziennego rysuje wykres funkcji liniowej dnej wzorem, oblicz wrtość funkcji liniowej dl dnego rgumentu i odwrotnie wyzncz miejsce zerowe funkcji liniowej interpretuje współczynniki ze wzoru funkcji liniowej odczytuje z wykresu funkcji liniowej jej włsności: dziedzinę, zbiór wrtości, miejsce zerowe, monotoniczność wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji liniowej z osimi ukłdu współrzędnych sprwdz lgebricznie i grficznie, czy dny punkt nleży do wykresu funkcji liniowej przeksztłc równnie ogólne prostej do postci kierunkowej i odwrotnie stosuje wrunek równoległości i prostopdłości prostych wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest równoległy do wykresu dnej funkcji liniowej wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest prostopdły do wykresu dnej funkcji liniowej rozwiązuje proste ukłdy równń liniowych z dwiem niewidomymi metodą podstwini lub metodą przeciwnych współczynników rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi sposobmi (wzorem, tbelką, wykresem, opisem słownym) poprwnie stosuje pojęci związne z pojęciem funkcji: dziedzin, zbiór wrtości, rgument, wrtość i wykres funkcji odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji wyzncz dziedzinę funkcji określonej tbelą lub opisem słownym oblicz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem (w prostych przykłdch) oblicz wrtość funkcji dl różnych rgumentów n podstwie wzoru funkcji oblicz rgument odpowidjący podnej wrtości funkcji sprwdz lgebricznie położenie punktu o dnych współrzędnych względem wykresu funkcji dnej wzorem wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji dnej wzorem z osimi ukłdu współrzędnych rysuje w prostych przypdkch wykres funkcji dnej wzorem sporządz wykresy funkcji: y = f ( - p), y = f () + q, y = f ( - p) + q, 1
y = f( -) n podstwie dnego wykresu funkcji y = f () odczytuje z wykresu wrtość funkcji dl dnego rgumentu orz rgument dl dnej wrtości funkcji określ n podstwie wykresu przedziły monotoniczności funkcji wskzuje wykresy funkcji rosnących, mlejących i stłych wśród różnych wykresów 2 rysuje wykres funkcji f () = i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży do wykresu dnej funkcji kwdrtowej rysuje wykres funkcji kwdrtowej w postci knonicznej i podje jej włsności ustl wzór funkcji kwdrtowej w postci knonicznej n podstwie informcji o przesunięcich wykresu oblicz współrzędne wierzchołk prboli rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki orz stosując wzory skróconego mnożeni wyzncz lgebricznie współrzędne punktów przecięci prboli z osimi ukłdu współrzędnych określ liczbę pierwistków równni kwdrtowego w zleżności od znku wyróżnik rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki odczytuje miejsc zerowe funkcji kwdrtowej z jej postci iloczynowej rozwiązuje nierówności kwdrtowe rozróżni trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwrtokątne stosuje twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie sprwdz, czy z trzech odcinków o dnych długościch możn zbudowć trójkąt uzsdni przystwnie trójkątów, wykorzystując cechy przystwni uzsdni podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństw zpisuje proporcje boków w trójkątch podobnych oblicz długości boków figur podobnych, wskzuje w wielokątch odcinki proporcjonlne posługuje się pojęciem skli do obliczni odległości i powierzchni przedstwionych z pomocą plnu lub mpy stosuje twierdzenie Pitgors oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dne są boki tego trójkąt oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych, redukuje wyrzy podobne w sumie lgebricznej dodje, odejmuje i mnoży sumy lgebriczne przeksztłc wyrżeni lgebriczne, uwzględnijąc kolejność wykonywni dziłń zn wzory skróconego mnożeni rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki orz stosując wzory skróconego mnożeni rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki przedstwi trójmin kwdrtowy w postci iloczynowej rozwiązuje równni wyższych stopni, korzystjąc z definicji pierwistk i włsności iloczynu wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne stosuje zleżność między wielkościmi odwrotnie proporcjonlnymi do rozwiązywni prostych zdń wyzncz współczynniki proporcjonlności podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu szkicuje wykres funkcji f ( ), gdzie 0 i podje jej włsności (dziedzinę, zbiór wrtości, przedziły monotoniczności) dobier wzór funkcji do jej wykresu wyzncz dziedzinę prostego wyrżeni wymiernego oblicz wrtość wyrżeni wymiernego dl dnej wrtości zmiennej wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych ( proste przypdki) i podje odpowiednie złożeni rozwiązuje proste równni wymierne oblicz potęgi o wykłdniku wymiernym zpisuje dną liczbę w postci potęgi o wykłdniku wymiernym zpisuje dną liczbę w postci potęgi o dnej podstwie uprszcz wyrżeni, stosując prw dziłń n potęgch (proste przypdki) porównuje liczby przedstwione w postci potęg (proste przypdki) wyzncz wrtości funkcji wykłdniczej dl podnych rgumentów sprwdz, czy punkt nleży do wykresu funkcji wykłdniczej oblicz logrytm dnej liczby stosuje równości wynikjące z definicji logrytmu do prostych obliczeń wyzncz podstwę logrytmu lub liczbę logrytmowną, gdy dn jest jego wrtość rozwiązuje równnie wykłdnicze, stosując logrytm oblicz logrytm iloczynu, ilorzu i potęgi stosując odpowiednie twierdzeni o logrytmch wyzncz kolejne wyrzy ciągu, gdy dnych jest kilk jego początkowych wyrzów szkicuje wykres ciągu wyzncz wzór ogólny ciągu, mjąc dnych kilk jego początkowych wyrzów 2
wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym lub słownie podje przykłdy ciągów monotonicznych, mjąc dne jego kolejne wyrzy podje przykłdy ciągów rytmetycznych wyzncz wyrzy ciągu rytmetycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i różnicę wyzncz wzór ogólny ciągu rytmetycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny ( proste przypdki) wyzncz wzór ogólny ciągu geometrycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny ( proste przypdki) stosuje średnią rytmetyczną do wyznczeni wyrzów ciągu rytmetycznego ( proste przypdki) określ monotoniczność ciągu rytmetycznego i geometrycznego oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego i geometrycznego podje przykłdy ciągów geometrycznych wyzncz wyrzy ciągu geometrycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i ilorz podje definicje funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym podje wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30 o, 45 o, 60 o oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym odczytuje z tblic wrtości f. trygonometrycznych dnego kąt ostrego znjduje w tblicch kąt ostry, gdy dn jest wrtość jego funkcji trygonometrycznej rozwiązuje trójkąty prostokątne w prostych zdnich oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny sinus, cosinus kąt podje związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt zzncz kąt w ukłdzie współrzędnych wyzncz wrtości f. tryg. kąt, gdy dne są współrzędne punktu leżącego n jego końcowym rmieniu określ znki f. tryg. dnego kąt oblicz wrtości f. tryg. szczególnych kątów, np.: 90 o, 120 o, 135 o zn definicje kąt środkowego i wpisnego bd wzjemne położenie dwóch okręgów i prostej i okręgu (proste zdni) rozpoznje okrąg wpisny w wielokąt rozpoznje okrąg opisny n wielokącie podje i stosuje wzory n długość okręgu, długość łuku, pole koł i pole wycink koł określ wzjemne położenie okręgów, mjąc dne promienie tych okręgów orz odległość ich środków oblicz pol figur, stosując zleżności między okręgmi (proste przypdki) rozpoznje kąty wpisne i środkowe w okręgu orz wskzuje łuki, n których są one oprte stosuje twierdzenie o kącie wpisnym i kcie środkowym, oprtych n tych smym łuku (proste przypdki) stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni prostych zdń podje różne wzory n pole trójkąt, równoległoboku, rombu i trpezu wyzncz współrzędne środk odcink oblicz odległość punktów w ukłdzie współrzędnych wskzuje środek symetrii figury, określ liczbę i wskzuje osi symetrii figury znjduje obrzy figur geometrycznych w symetrii osiowej względem osi ukłdu współrzędnych znjduje obrzy figur geometrycznych w symetrii osiowej względem środk ukłdu współrzędnych zn i rozumie pojęci: doświdczenie losowe, zdrzenie elementrne, przestrzeń zdrzeń elementrnych, zdrzenie losowe, wypisuje wyniki dnego doświdczeni potrfi zstosowć regułę mnożeni w typowych sytucjch wypisuje permutcje dnego zbioru określ zbiór wszystkich zdrzeń elementrnych prostego doświdczeni losowego, określ zbiór wszystkich zdrzeń elementrnych sprzyjjących dnemu zdrzeniu losowemu (proste przykłdy), zn i rozumie klsyczną definicję prwdopodobieństw i umie ją wykorzystć w prostym zdniu, zn i rozumie pojęci: zdrzenie pewne, zdrzenie niemożliwe, stosuje w prostych sytucjch regułę dodwni do wyznczeni liczby wyników doświdczeni spełnijących dny wrunek odczytuje informcje z tbel, digrmów słupkowych i kołowych oblicz średnią rytmetyczną, wyzncz medinę oblicz w prostych sytucjch średnią wżoną bd wzjemne położenie prostych i płszczyzn w przestrzeni, rozpoznje grnistosłupy i ostrosłupy, zn włsności ostrosłupów i grnistosłupów wskzuje w wielościnie proste prostopdłe, równoległe i skośne wskzuje w wielościnie rzut prostokątny dnego odcink n dną płszczyznę wskzuje elementy chrkterystyczne wielościnu (np. wierzchołek ostrosłup) rysuje sitkę wielościnu n podstwie jej frgmentu 3
oblicz długości przekątnych grnistosłup prostego oblicz w prostych sytucjch pole powierzchni i objętość grnistosłup i ostrosłup prwidłowego wskzuje kąt między przekątną grnistosłup płszczyzną jego podstwy wskzuje kąty między odcinkmi w ostrosłupie płszczyzną jego podstwy wskzuje kąt między sąsiednimi ścinmi wielościnu wskzuje przekroje prostopdłościnu, określ jkimi figurmi są te przekroje wskzuje elementy chrkterystyczne bryły obrotowej (np. kąt rozwrci stożk) rozpoznje w wlcch i stożkch kąt między odcinkmi orz kąt między odcinkmi i płszczyznmi przeprowdz proste dowody dotyczące włsności liczb ocen dostteczn: porównuje liczby wymierne podje przykłd liczby wymiernej zwrtej między dwiem dnymi liczbmi orz przykłdy liczb niewymiernych wyzncz przybliżeni dziesiętne dnej liczby rzeczywistej z zdną dokłdnością (również przy użyciu klkultor) orz określ, czy dne przybliżenie jest przybliżeniem z ndmirem, czy z niedomirem wykonuje dziłni n pierwistkch tego smego stopni, stosując odpowiednie twierdzeni przeksztłc i oblicz wrtości wyrżeń zwierjących pierwistki kwdrtowe, stosując wzory skróconego mnożeni przedstwi liczbę w notcji wykłdniczej posługuje się procentmi w rozwiązywniu prostych zdń prktycznych wykonuje dziłni n wyrżenich lgebricznych (stosuje wzory skróconego mnożeni dotyczące drugiej potęgi) zpisuje zbiory w postci przedziłów liczbowych, np. A R : 4 i 1 4,1 ) stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby do rozwiązywni elementrnych równń i nierówności typu II =, II < wyzncz błąd względny przybliżeni wyzncz lgebricznie orz odczytuje z wykresu funkcji liniowej zbiór rgumentów, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie (ujemne) wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dne dw punkty wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest dn prost sprwdz, czy dne trzy punkty są współliniowe rozstrzyg, czy dny ukłd dwóch równń liniowych jest oznczony, nieoznczony czy sprzeczny rozwiązuje ukłdy równń liniowych z dwiem niewidomymi metodą podstwini i metodą przeciwnych współczynników określ liczbę rozwiązń ukłdu równń liniowych, korzystjąc z jego interpretcji geometrycznej wyzncz dziedzinę funkcji dnej wzorem, wymgjącym jednego złożeni n podstwie wykresu funkcji określ rgumenty, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie, ujemne stosuje funkcje i ich włsności w prostych sytucjch prktycznych -przeksztłc wzór funkcji kwdrtowej z postci knonicznej do postci ogólnej i odwrotnie znjduje brkujące współczynniki funkcji kwdrtowej, znjąc współrzędne punktów nleżących do jej wykresu sprowdz funkcję kwdrtową do postci iloczynowej, o ile możn ją w tej postci zpisć wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji kwdrtowej w podnym przedzile wykorzystuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni prostych zdń wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni elementrnych zdń sprwdz, czy dne figury są podobne stosuje w zdnich twierdzenie o stosunku pól figur podobnych wykorzystuje wzory n przekątną kwdrtu i wysokość trójkąt równobocznego rozwiązuje trójkąty prostokątne stosuje w zdnich wzór n pole trójkąt orz wzór n pole trójkąt równobocznego przeksztłc wyrżenie lgebriczne z zstosowniem wzorów skróconego mnożeni stosuje wzory skróconego mnożeni do wykonywni dziłń n liczbch postci b c szkicuje wykres funkcji f ( ) q orz f ( ) i odczytuje jej włsności p wyzncz symptoty wykresu powyższych funkcji wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni prostych zdń tekstowych wyzncz wzór funkcji wykłdniczej i szkicuje jej wykres, znjąc współrzędne punktu nleżącego do jej wykresu 4
szkicuje wykres funkcji, będący efektem jednego przeksztłceni wykresu funkcji wykłdniczej i określ jej włsności wyzncz, które wyrzy ciągu przyjmują dną wrtość wyzncz wyrz n 1 ciągu określonego wzorem ogólnym stosuje monotoniczność ciągu geometrycznego do rozwiązywni prostych zdń stosuje włsność ciągu rytmetycznego lub geometrycznego do rozwiązywni prostych zdń oblicz wysokość kpitłu przy różnym okresie kpitlizcji oblicz oprocentownie lokty ( proste przypdki) stosuje zleżności między funkcjmi trygonometrycznymi do uproszczeni wyrżeń zwierjących funkcje trygonometryczne stosuje f. tryg. do rozwiązywni prostych zdń osdzonych w kontekście prktycznym oblicz pole trójkąt, dobierjąc odpowiedni wzór (proste przypdki) rozwiązuje zdni dotyczące okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny lub równoboczny rozwiązuje zdni związne z okręgiem opisnym n trójkącie wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów (proste przypdki) oblicz obwód wielokąt, mjąc dne współrzędne jego wierzchołków stosuje wzór n odległość między punktmi do rozwiązywni prostych zdń stosuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów stosuje zleżności między kątem środkowym i wpisnym oprtym n tym smym łuku korzyst z włsności stycznej do okręgu i włsności okręgów stycznych; znjduje obrzy figur w dnej symetrii środkowej stosuje włsności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywni prostych zdń zn i stosuje włsności okręgu opisnego n wielokącie zn i stosuje w prostych sytucjch włsności okręgu wpisnego w wielokąt stosuje regułę mnożeni oblicz prwdopodobieństw zdrzeń, korzystjąc z klsycznej definicji prwdopodobieństw, oblicz prwdopodobieństwo zdrzeni przeciwnego rozpoznje zdrzeni wykluczjące się, zn i rozumie włsności prwdopodobieństw, określ zbiór wszystkich zdrzeń elementrnych sprzyjjących dnemu zdrzeniu losowemu, przedstwi w prostych sytucjch drzewo ilustrujące wyniki dnego doświdczeni podje rozkłd prwdopodobieństw dl rzutów kostką, monetą stosuje w prostych sytucjch twierdzenie o prwdopodobieństwie sumy zdrzeń oblicz wricję i odchyleni stndrdowe oblicz średnią wżoną liczb z podnymi wgmi oblicz średnią rytmetyczną, wskzuje medinę i dominntę, gdy dne przedstwione są n różne sposoby rozpoznje w grnistosłupch i ostrosłupch kąty między odcinkmi (np. krwędzimi, krwędzimi i przekątnymi, itp.), określ liczby ścin, wierzchołków i krwędzi wielościnu oblicz pol powierzchni bocznej i cłkowitej grnistosłup i ostrosłup prostego oblicz objętości grnistosłup i ostrosłup prwidłowego rozwiązuje typowe zdni dotyczące kąt między prostą płszczyzną stosuje w prostych sytucjch funkcje trygonometryczne do obliczni pol powierzchni i objętości wielościnu stosuje w prostych sytucjch funkcje trygonometryczne do obliczni pol powierzchni i objętości bryły obrotowej przeprowdz proste dowody dotyczące nierówności przeprowdz proste dowody dotyczące włsności figur płskich ocen dobr: stosuje ogólny zpis liczb nturlnych przystych, nieprzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstwieni liczby nturlnej w postci k + r konstruuje odcinki o długościch niewymiernych wykonuje dziłni łączne n liczbch rzeczywistych zmieni ułmek dziesiętny okresowy n ułmek zwykły porównuje pierwistki bez użyci klkultor wykonuje dziłni łączne n potęgch o wykłdnikch cłkowitych oblicz, o ile procent jedn liczb jest większ (mniejsz) od drugiej oceni dokłdność zstosownego przybliżeni 5
wykonuje złożone dziłni n przedziłch liczbowych rozwiązuje nierówności liniowe sprwdz, dl jkich wrtości prmetru funkcj liniow jest rosnąc, mlejąc, stł sprwdz, dl jkich wrtości prmetru dwie proste są równoległe, prostopdłe znjduje współrzędne wierzchołków wielokąt, gdy dne są równni prostych zwierjących jego boki rozwiązuje proste zdni tekstowe prowdzące do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi rozpoznje i opisuje zleżności funkcyjne w otczjącej ns rzeczywistości przedstwi dną funkcję n różne sposoby określ dziedzinę orz wyzncz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem, który wymg kilku złożeń n podstwie wykresu funkcji określ liczbę rozwiązń równni f() = m w zleżności od wrtości prmetru m n podstwie wykresu określ liczbę rozwiązń równni f() = m w zleżności od prmetru m, gdzie y = f() jest funkcją kwdrtową znjduje iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązń nierówności kwdrtowych stosuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni trudniejszych zdń geometrycznych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni prktycznych problemów rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń kwdrtowych rozwiązuje równni wyższych stopni, stosując zsdę wyłączni wspólnego czynnik przed nwis rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlność odwrotną szkicuje wykres funkcji f ( ) w podnych przedziłch wyzncz współczynnik tk, by funkcj f ( ) spełnił podne wrunki wyzncz wzory funkcji f ( ) q orz f ( ) spełnijących podne wrunki p wyzncz dziedzinę wyrżeni wymiernego korzystjąc z prostych równń kwdrtowych wykonuje dziłni n wyrżenich wymiernych i podje odpowiednie złożeni rozwiązuje równni wymierne uprszcz wyrżeni stosując prw dziłń n potęgch porównuje liczby przedstwione w postci potęg odczytuje rozwiązni nierówności n podstwie wykresu funkcji wykłdniczej podje odpowiednie złożeni dl podstwy logrytmu lub liczby logrytmownej podje przybliżoną wrtość logrytmów dziesiętnych z wykorzystniem tblic wyzncz wzór ogólny ciągu spełnijącego podne wrunki bd monotoniczność ciągów wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg rytmetyczny lub geometryczny sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu rytmetycznego lub geometrycznego określ monotoniczność ciągu rytmetycznego i geometrycznego oblicz wrtości f. tryg. kątów ostrych w brdziej złożonych sytucjch rozwiązuje trójkąty prostokątne oblicz wrtości pozostłych f. tryg., mjąc dny tngens kąt stosuje wzory n długość okręgu, długość łuku, pole koł i pole wycink koł do obliczni pól i obwodów figur oblicz pole figury, stosując zleżności między okręgmi stosuje różne wzory n pole trójkąt i przeksztłc je wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów oblicz pole trójkąt wpisnego w okrąg oblicz pole trójkąt opisnego n okręgu oblicz pole wycink koł i długość łuku stosuje wzór n odległość między punktmi orz środek odcink do rozwiązywni trudniejszych zdń stosuje włsność środk okręgu opisnego n trójkącie w zdnich z geometrii nlitycznej stosuje włsności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywni trudniejszych zdń zn i rozumie metodę drzewek i oblicz prwdopodobieństw zdrzeń, korzystjąc z tej metody (proste przykłdy), zn i rozumie pojęci: sum, iloczyn, różnic zdrzeń, zdrzeni wykluczjące się, przeciwne, ustl zdrzeni przeciwne do dnych, stosuje regułę mnożeni i regułę dodwni do wyznczeni liczby wyników doświdczeni spełnijących dny wrunek oblicz prwdopodobieństw zdrzeń, korzystjąc z włsności prwdopodobieństw, odczytuje informcje z tbel, digrmów słupkowych i kołowych i wyciąg wnioski 6
oblicz średnią rytmetyczną, medinę, odchylenie stndrdowe, gdy dne przedstwione są w postci digrmów słupkowych i w tbelce oblicz wricję i odchyleni stndrdowe zestwu dnych przedstwionych są n różne sposoby wyzncz w grnistosłupch i ostrosłupch kąty między ścinmi; wyzncz w grnistosłupch i ostrosłupch kąty między odcinkmi i płszczyznmi stosuje i przeksztłc wzory n pol powierzchni i objętości wielościnów oblicz pol przekrojów prostopdłościnów, w tym również mjąc dny kąt nchyleni płszczyzny przekroju do jednej ze ścin prostopdłościnu oblicz mirę kąt dwuściennego między ścinmi wielościnu przeprowdz trudniejsze dowody dotyczące włsności liczb ocen brdzo dobr: d usuw niewymierność z minownik wyrżeni typu c b wykonuje brdziej skomplikowne dziłni łączne n liczbch rzeczywistych rozwiązuje złożone zdni tekstowe, wykorzystując obliczeni procentowe zzncz n osi liczbowej zbiory liczb spełnijących ukłd nierówności liniowych z jedną niewidomą przeksztłc wyrżeni lgebriczne, korzystjąc z włsności wrtości bezwzględnej rysuje wykres funkcji przedziłmi liniowej i omwi jej włsności oblicz pole figury ogrniczonej wykresmi funkcji liniowych orz osimi ukłdu współrzędnych rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi rozwiązuje lgebricznie ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi n podstwie wykresu funkcji odczytuje zbiory rozwiązń nierówności: f () > m, f () < m, f () m, f () m dl ustlonej wrtości prmetru m odczytuje z wykresów funkcji rozwiązni równń i nierówności typu f() = g(), f()<g(), f()>g() szkicuje wykres funkcji spełnijącej podne wrunki rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do wyznczni wrtości njmniejszej i njwiększej funkcji kwdrtowej rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń lub nierówności kwdrtowych przeksztłc n ogólnych dnych wzór funkcji kwdrtowej z postci ogólnej do postci knonicznej przeprowdz dowód twierdzeni o sumie mir kątów w trójkącie stosuje włsności podobieństw figur podczs rozwiązywni zdń problemowych orz zdń wymgjących przeprowdzeni dowodu stosuje włsności czworokątów podczs rozwiązywni zdń, które wymgją przeprowdzeni dowodu przeksztłc wzory stosując dziłni n wyrżenich wymiernych wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni trudniejszych zdń tekstowych wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonlne do rozwiązywni zdń tekstowych dotyczących prędkości stosuje twierdzenie o logrytmie iloczynu, ilorzu i potęgi do uzsdnieni równości wyrżeń wykorzystuje włsności funkcji wykłdniczej i logrytmu do rozwiązywni zdń o kontekście prktycznym rozwiązuje zdni z prmetrem dotyczące monotoniczności ciągu stosuje włsności ciągu rytmetycznego i geometrycznego w zdnich rozwiązuje zdni związne z kredytmi dotyczące okresu oszczędzni i wysokości oprocentowni stosuje f. tryg. do rozwiązywni zdń prktycznych o podwyższonym stopniu trudności uzsdni związki między f. tryg. stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni trudniejszych zdń stosuje twierdzenie o kącie wpisnym i kcie środkowym, oprtych n tych smym łuku orz wnioski z tego twierdzeni do rozwiązywni zdń o większym stopniu trudności wykorzystuje umiejętność wyznczni pól trójkątów do obliczni pól innych wielokątów rozwiązuje zdni związne z okręgiem wpisnym w dowolny trójkąt i opisnym n dowolnym trójkącie stosuje włsność środk okręgu opisnego n trójkącie w zdnich z geometrii nlitycznej stosuje wzór n odległość między punktmi orz środek odcink do rozwiązywni trudniejszych zdń stosuje włsności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywni trudniejszych zdń oblicz prwdopodobieństw zdrzeń, korzystjąc z klsycznej definicji prwdopodobieństw (zdni n trudniejszym poziomie), oblicz prwdopodobieństw zdrzeń, korzystjąc z metody drzewek (zdni n trudniejszym poziomie), oblicz prwdopodobieństw zdrzeń, korzystjąc z włsności prwdopodobieństw (zdni n trudniejszym poziomie), 7
zpisuje zdrzeni w postci sumy, iloczynu orz różnicy zdrzeń wyciąg wnioski z informcji w postci średnich, odchyleni stndrdowego i wricji wykorzystuje poznne widomości w zdnich z treścią przeprowdz wnioskowni dotyczące położeni prostych w przestrzeni stosuje w brdziej złożonych sytucjch funkcje trygonometryczne i twierdzeni plnimetrii do obliczeni pol powierzchni i objętości wielościnu stosuje w brdziej złożonych sytucjch funkcje trygonometryczne i twierdzeni plnimetrii do obliczeni pol powierzchni i objętości bryły obrotowej przeprowdz trudniejsze dowody dotyczące nierówności przeprowdz trudniejsze dowody dotyczące włsności figur płskich ocen celując: - zostł luretem olimpid przedmiotowych, konkursów, - w pełni opnowł mterił przewidziny progrmem nuczni, - wypowid się wyczerpująco pod względem merytorycznym, - swobodnie operuje pojęcimi dnego przedmiotu i wyciąg włściwe wnioski, - smodzielnie i twórczo rozwij swoje uzdolnieni. Widomości i umiejętności uczni wykrczją poz zkres podstwy progrmowej ksztłceni w szkole zwodowej. DZIAŁ POWTÓRZENIE W KLASIE IV Wymgni w klsie czwrtej dl dziłu powtórzenie obejmują wymgni n poszczególne oceny ustlone we wcześniejszych ltch ksztłceni. 8