Probabilistyka przykłady
Przestrzeń zdarzeń Zapisać przestrzeń zdarzeń dla: 1.liczby wygranych gier w serii liczącej trzy gry 2.liczby wizyt u lekarza w ciągu roku 3.ilości czasu (w minutach) od wezwania do przyjazdu straży pożarnej 4.różnicy wzrostu (w cm) męża i żony 5.długości oczekiwania na wizytę lekarską i długości trwania wizyty 6.liczby poprawnych odpowiedzi udzielonych przez dwu uczestników w konkursie obejmującym zadanie każdemu uczestnikowi 10 pytań
Przestrzeń zdarzeń Dla doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie monetą zapisać przestrzeń zdarzeń pozwalającą określić: 1. wyniki rzutów, w kolejności w której wystąpiły 2. łączną liczbę orłów 3. liczbę reszek do uzyskania pierwszego orła
Zdarzenia Zapisać zdarzenia jako podzbiory przestrzeni ze slajdu nr 2 1. a) E=wygrano co najmniej 2 gry, b) F=przegrano co najmniej 2 gry 2. E=w ciągu roku było nie więcej niż 2 wizyty 3. E=straż przyjechała nie później niż po 5 minutach 4. E=żona jest wyższa od męża 5. a) E=pierwszy zawodnik udzielił co najmniej 7 prawidłowych odpowiedzi, b) F=drugi zawodnik udzielił co najmniej 7 prawidłowych odpowiedzi, c) G=obaj zawodnicy udzielili łącznie co najmniej 15 prawidłowych odpowiedzi
Zdarzenia W której z przestrzeni zdarzeń ze slajdu nr 3 można przedstawić następujące zdarzenia: 1. Orzeł w pierwszym rzucie 2. 2 orły i 1 reszka 3. Kolejne wyniki to orzeł, reszka, orzeł
Związki między zdarzeniami Korzystając ze zdarzeń zdefiniowanych na slajdzie nr 4, zapisać podzbiory przestrzeni zdarzeń odpowiadające następującym zdarzeniom: 1.a) E F, b) E F, c)e' 2.E' 5.a) E F, b) E F, c) E F G
Związki między zdarzeniami Uprościć: (A B) (A B') (A B) (A' B) (A B') (A B) (B C)
Związki między zdarzeniami W rozgrywce brydżowej niech N k (k= 1, 2, 3, 4) oznacza zdarzenie, że N ma co najmniej k asów. Niech S k, W k, E k będą analogicznymi zdarzeniami dla S, W, E. Co można powiedzieć o liczbie asów posiadanych przez W dla zdarzeń: a) W 1 ', b) N 2 S 2, c) N 1 ' S 1 ' E 1 ', d) W 2 \W 3, e) N 1 S 1 E 1 W 1, f) N 3 W 1, g) (N 2 S 2 ) E 2
Zdarzenia jednakowo prawdopodobne Komputer generuje losowe cyfry, tj. każda z cyfr 0-9 jest jednakowo prawdopodobna. Wyznaczyć prawdopodobieństwo: 1. sytuacji, w której dwie kolejne cyfry są równe 2. sytuacji, w której trzy kolejne cyfry są równe 3. sytuacji, w której trzy kolejne cyfry są różne 4. sytuacji, w której dokładnie dwie z trzech kolejnych cyfry są równe
Zdarzenia jednakowo prawdopodobne Spośród cyfr 1, 2, 3, 4, 5 najpierw wybiera się jedną, a następnie dokonuje się drugiego wyboru z pozostałych czterech 1. ile jest możliwych wyników? 2. przyjmując, że wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, określić prawdopodobieństwo że nieparzysta cyfra zostanie wybrana: 1. za pierwszym razem 2. za drugim razem 3. za pierwszym i drugim razem
Zdarzenia jednakowo prawdopodobne Rzucamy wielokrotnie monetą 1.Jakie prawdopodobieństwo będzie miał każdy z możliwych wyników wymagający n rzutów? Przerywamy rzucanie gdy w dwu kolejnych rzutach powtórzy się ta sama strona 2. Jak wygląda przestrzeń zdarzeń? 3. Jakie jest prawdopodobieństwo że doświadczenie skończy się przed 6 rzutem? 4. Jakie jest prawdopodobieństwo że doświadczenie skończy się w parzystej liczbie rzutów?
Permutacje 1.Ile jest możliwych permutacji: 1.5 z 5 różnych obiektów 2.0 z 6 różnych obiektów 3.2 z 8 różnych obiektów
Permutacje Na ile sposobów można ułożyć w rzędzie 7 kolorowych kul jeśli: 1. każda jest w innym kolorze 2. trzy są czerwone, a pozostałe każda w innym kolorze 3. trzy są czerwone, dwie czarne, a pozostałe każda w innym kolorze
Permutacje Podejrzany i 7 innych osób biorą udział w policyjnej procedurze identyfikacji. Zakładając, że staną w rzędzie w losowej kolejności, jakie jest prawdopodobieństwo że podejrzany będzie pierwszy bądź ostatni?
Kombinacje 10 biegaczy startuje w zawodach lekkoatletycznych; 3 z nich to Polacy. Pierwsza runda jest podzielona na 2 starty (A, B) po 5 biegaczy. Określ prawdopodobieństwo że: 1. wszyscy Polacy pobiegną w starcie A 2. wszyscy Polacy pobiegną w jednym starcie 3. co najmniej jeden Polak pobiegnie w każdym ze startów
Prawdopodobieństwo warunkowe Z partii 100 elementów elektronicznych wybrane zostały losowo 3 elementy aby określić jakość produkcji. W partii znajdują się 4 elementy z defektami. Jakie jest prawdopodobieństwo że elementy wybrane do testu będą sprawne?
Niezależność Moneta być może niesymetryczna jest rzucana dwukrotnie. Rezultat orzeł jest określany jako sekwencja OR, reszka jako RO. Rezultaty OO i RR są ignorowane i doświadczenie powtarzane. Wykazać, że prawdopodobieństwo rezultatu orzeł wynosi 0,5 niezależnie od asymetrii monety.
Niezależność Do poprawnego działania urządzenia konieczne jest działanie bloków B1 i B2 połączonych jak na rysunku. Przyjmując prawdopodobieństwo awarii bloku B1 wynoszące p1 i bloku B2 wynoszące p2 określić prawdopodobieństwo działania urządzenia jako całości B1 B2
Niezależność Aby zwiększyć niezawodność urządzenia zduplikowano bloki i połączono je jak na rysunku. Do działania urządzenia jako całości wystarczy działanie jednej z gałęzi. Wykazać, że prawdopodobieństwo poprawnego działania takiego urządzenia jest wyższe B1 B2 B1 B2
Niezależność Jako alternatywę zaproponowano inne połączenie bloków. Wykazać które z podejść daje wyższe prawdopodobieństwo poprawnego działania urządzenia jako całości B1 B2 B1 B2