Ćwiczenia ZPI 1
Współczynniki greckie Odpowiadają na pytanie o ile zmieni się wartość opcji w wyniku: Współczynnik Delta (Δ) - zmiany wartości instrumentu bazowego Współczynnik Theta (Θ) - upływu czasu do terminu wygaśnięcia Współczynnik Kappa lub Vega (K) - zmiany zmienności instrumentu bazowego Współczynnik Rho (P) - zmiany wolnej od ryzyka stopy procentowej Współczynnik gamma (Γ) - zmiany wartość współczynnika delta w wyniku zmiany wartości instrumentu bazowego. 2
Zadanie 1. Współczynnik delta Wyznacz wartości współczynnika delty na podstawie poniższych tabeli i zinterpretuj: Δ = dp ds p - kursu opcji S - cena instrumentu spot 2011-12-15 2011-12-16 ds? WIG20 2161,32 2116,03 dp? OW20L1210 70 27 Δ? 2011-12-15 2011-12-16 ds? WIG20 2161,32 2116,03 dp? OW20L1220 3,68 0,05 Δ? 2011-12-15 2011-12-16 ds? WIG20 2161,32 2116,03 dp? OW20X1210 2,5 0,6 Δ? 2011-12-15 2011-12-16 ds? WIG20 2161,32 2116,03 dp? OW20X1220 31,73 72 Δ?
Zadanie 1. Interpretacja współczynnika delta Δ < 0.5 - opcja out of the money, Δ = 0.5 opcja at the money, Δ > 0.5 opcja in the money. Dla opcji call przyjmuje wartości od 0 do 1, a dla opcji put od -1 do 0. OW20L1210 Δ 0,95 OW20L1220 Δ 0,08 OW20X1210 Δ 0,04 OW20X1220 Δ - 0,89 Współczynnik delta jest używany w metodzie wyceny opcji Blacka-Scholesa i pojawia się tam jako parametr N(d 1 ).
Delta hedging Współczynnik delta jest wykorzystywany przy tworzeniu strategii zabezpieczających. Umożliwia oszacowanie liczby instrumentu bazowego, którego nabycie zabezpieczy wystawione opcje. Aby zabezpieczyć wystawione opcje: - kupna należy, nabyć instrumentu bazowego w odpowiedniej ilości, czyli: liczba akcji przypadających na jedną opcję CALL x liczba wystawionych opcji CALL x delta opcji CALL - sprzedaży należy, nabyć instrumentu bazowego w odpowiedniej ilości, czyli: liczba akcji przypadających na jedną opcję PUT x liczba wystawionych opcji PUT x delta opcji PUT
Zadanie 2. Delta hedging Oblicz ile akcji musi zakupić inwestor, żeby zabezpieczyć portfel, w którym wystawił 100 sztuk opcji kupna na akcje spółki X. Na jedną opcje przypada 20 sztuk akcji X. Kurs akcji X wynosi 50,00 PLN, zaś kurs opcji 5,00 PLN. Współczynnik delta jest na poziomie 0,35 Zakładając, że akcja rośnie na wartości 2,00 PLN, przeanalizuj co się stanie na rynku kasowym i terminowym. Cena Spot Cena Opcji Liczba Opcji Liczba akcji na jedną opcję Delta Liczba akcji - Wzrost istrumentu bazowego 2 PLN Rynek terminowy Rynek kasowy
Zadanie 3. Współczynnik gamma Γ = d Δ ds Współczynnik gamma jest miarą zmiany wartości współczynnika delta wraz ze zmianą ceny instrumentu bazowego; tzw. miarą niestabilności współczynnika delta. Wyznacz nową wartość opcji, wiedząc, że jej aktualna wartość wynosi 0,45, zaś obecna wartość instrumentu Spot to 65,00 i wzrośnie do 70,00. Wiemy, że współczynnik delta jest na poziomie 0,32, a gamma 0,03. wartość Spot 65 wartość Spot (po wzroście) 70 wartośc opcji 0,45 Delta 0,32 Gamma 0,03 dp Z wzoru na Δ wyznaczamy zmianę ceny opcji 1,6 dp Z wzoru na Γ wyznaczamy zmiane ceny opcji 0,375 ds 5 Nowa wartość opcji 2,425
Zadanie 4. Współczynnik Kappa (Vega) V = dp dσ Współczynnik kappa jest miarą zmiany wartości opcji na wskutek zmiany zmienności instrumentu bazowego, mówi nam o ile zmieni się wartość opcji w wyniku zmiany zmienności instrumentu bazowego o jeden punkt procentowy. Przeanalizuj jaka będzie wartość opcji w wyniku spadku zmienności o 2%, jeżeli w chwili obecnej zmienność instrumentu bazowego wynosi 12%, wartość opcji wynosi 4,55. Współczynnik kappa jest na poziomie Wartośc opcji 4,55 σ 0,12 Kappa 0,25 dσ 2% dp 0,005 Na podstawie zmiany ceny opcji wyznaczamy, aktualną wartość opcji:? = 4,55 0,005 obecna wartość opcji 4,545
Zadanie 5. Delta gamma vega hedging Na akcja spółki X są 3 rodzaje opcji: A opcja Call z 3-miesięczny terminem wygaśnięcia, B opcja Call z tygodniowym terminem wygaśnięcia, C opcja Put z miesięcznym terminem wygaśnięcia Współczynniki greckie wynoszą odpowiednio: Δ dla: A 0,2; B 0,8; C 0,5; Γ dla: A 0,5; B 0,2; C 0,4; V dla: A 0,4; B 0,1; C 0,2; Liczb akcji w portfelu inwestora: 10 Oblicz jaka powinna być liczba poszczególnych opcji, żeby portfel był deltagamma-vega neutralny (czyli dla każdego współczynnika portfel powinien być równy 0)
Zadanie 6. Współczynnik Theta Θ = dp dt Współczynnik theta jest miarą zmiany wartości opcji (wartości czasowej) na wskutek upływu czasu pozostałego do dnia wygaśnięcia, określa o ile spadnie wartość opcji w wyniku upływu czasu pozostałego do dnia wygaśnięcia o jedne dzień. Mamy Opcję w portfelu, której termin jej zapadalności jest za 80 dni, a jej wartość to 30,00, zaś współczynnik Theta wynosi 0,045. Przeanalizuj jaka będzie wartość opcji, jeżeli zostało 30 dni do wygaśnięcia. Wartość opcji 30 Theta 0,045 T1 80 T2 30 dt -50 dp -2,25 Na podstawie, wzoru na wyznaczenie Thety wyznaczamy zmiane wartości opcji: (-50) * 0,045 = -2,25 Stąd: Obecna wartośc opcji 27,75 Obecna wartośc opcji 27,75
Zadanie 7. Współczynnik Rho ρ= dp dr Współczynnik rho jest miarą zmiany wartości opcji na wskutek zmiany wolnej od ryzyka stopy procentowej, określa o ile zmieni się wartość opcji w wyniku zmiany wolnej od ryzyka stopy o jeden punkt procentowy. Wartość opcji Call wynosi 10,25, zaś opcji PUT 10,10. Jaki kurs będą miały opcje, jeżeli wolna stopa od ryzyka wzrośnie o 0,5%. Wartość Rho dla opcji Call 0,0595, zaś dla opcji Put 0,0425. Wartość opcji: Call 10,250 Put 10,100 Rho dla: Call 0,0595 Put -0,0425 dp Call 0,0002975 dp Put -0,0002125 Wartość opcji po wzroście r: Call 10,250 Put 10,100 dr 0,50%
Zadanie 8. Współczynnik greckie, a wycena opcji Kurs opcji Call na akcje wynosi 10, zaś cena akcji 100. Opcja wygaśnie za 3 miesiące, zaś zmiennośc instrumentu bazowego jest w wysokości 24,59% W tabeli przedstawiono konkretne współczynniki grecki dla tej opcji: Δ Γ V Θ ρ 0,7230 0,0211-0,0025 0,01544 0,0035 Oblicz wartość opcji zakładając, że: cena instrumentu bazowego wzrosnie o 5,00 czas do wygaśnięcia opcji zmniejszy się o 30 dni σ spadnie o 4% r spadnie o 0,75%
Zadanie 8. Współczynnik greckie, a wycena opcji Δ 0,7230 Γ 0,0211 V -0,0025 Θ 0,0154 ρ 0,0035 Kurs Opcja Call 10,0000 Kurs akcji 10,0000 σ 0,2459 ds 5 dt 30 dσ -4% r -0,75% Ze wzoru na: Δ dp 3,61500 Γ dp 0,26375 V dp 0,00010 Θ dp -0,46320 ρ dp -0,00003 Σ 3,41 Kurs opcji Call po zmianach wynosi: 10,00 + 3,41 = 13,41
Zadanie 9. Współczynnik greckie, a wycena opcji Dla akcji o cenie 70,00 wystawiono opcję Call o terminie wykonania za rok oraz cenie wykonania 70. Aktualna cena opcji wynosi 10,9, zaś stopa wolna od ryzyka jest na poziomie 5%. Zmienność jest na poziomie σ=24,5%. Wskaźniki greckie dla tej opcji wynoszą odpowiednio: Δ=0,64; Γ=0,015; V=18,76; θ=-5,7 ρ=20,9. 1. Ustal teoretyczna cena opcji po upływie miesiąca, zakładaj że cena instrumentu bazowego, jego zmienność oraz stopa wolna od ryzyka pozostają bez zmian. 2. Stopa wolna od ryzyka wzrosła o 1 pkt. proc., zaś cena akcji spadła do 49. Jaka jest nowa, teoretyczna cena opcji.
Zadanie 9. Współczynnik greckie, a wycena opcji Punkt 1. Z wzoru na współczynnik theta Δ 0,640 Γ 0,015 V 0,760 Θ -0,057 ρ 0,090 Kurs Opcja Call 10,90 Kurs akcji 70,00 σ 24,5% dt -30,00 dp 1,71 Stąd cena opcji wynosi: 10,90 + 1,71 = 12,61 Punkt 2. Korzystamy z wzorów na Δ, Γ i ρ: dr 1% ds -5,00 Ze wzoru na: Δ dp -3,200 Γ dp 0,188 ρ dp 0,090 Σ -3,012 Stąd cena opcji wynosi: 10,90-3,012 = 7,88