Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa, a zatem i stopa zwrotu (zwrot) R t z inwestycji w akcję na okres t 1, t (kupno w momencie t 1, sprzedaŝ w momencie t) jest zmienną losową R t P t p t 1 D t 1,t p t 1, tzn. moŝe przyjąć pewne wartości r t,1,..., r t,m z pewnym (zwykle nieznanym) prawdopodobieństwem: P R t r t,1 p 1,..., P R t r t,m p m. Zwrot tj. wartość oczekiwana E R t stopy zwrotu: E R t r t,1 p 1... r t,m p m. Ryzyko R t dla akcji to odchylenie standardowe zmiennej losowej R t : R t Var R t E R t E R t 2. Uwaga. Do obliczeń przyjmuje się empiryczną wartość oczekiwaną ( średnia arytmetyczna rzeczywistych stóp zwrotu r t n dla akcji w minionych okresach t n 1, t n, n 1, 2,..., m : r t m 1 r t n, n 1 oraz empiryczne odchylenie standardowe : 1 m r m 1 t n r t 2. n 1 Kontrakt terminowy (Futures) to papier wartościowy zobowiązujący jedną ze stron do zakupu (pozycja długa - long), a drugą do sprzedaŝy (pozycja krótka - short) bazowego papieru wartościowego lub m
towaru po ustalonej cenie X w ustalonym okresie T, T. PoniewaŜ f T T X W chwili t T : portfel A : kontrakt (f t ) plus kwota dająca X po czasie T t (Xe T t ) portfel B : papier bazowy ( t ) 1 8 6 4 2-2 -4-6 -8-1 2 4 6 8 1121416182 s w chwili T : portfele A i B dają papier bazowy, więc V A T V B T T V A t V B t f t Xe T t t to wartość teoretyczna f t kontraktu terminowego (dla pozycji długiej) w momencie t T : f t t Xe T t. gdzie: t - rzeczywista cena bazowego papieru (towaru) w momencie t, - siła oprocentowania ( nominalna stopa procentowa do kapitalizacji ciągłej) dla lokat bezpiecznych (np. obligacji rządowych). 4. Opcja kupna (call) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T (opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska). Wartość teoretyczna c T - dla europejskiej, C T - dla amerykańskiej opcji kupna w momencie T : c T C T T X max T X,.
max 1, 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Wartość teoretyczna c t - dla europejskiej, C t - dla amerykańskiej opcji kupna akcji w momencie t T c t f t t Xe T t. (wg modelu Blacka - cholesa): c t C t c t, t t d Xe T t d T t, gdzie: - odchylenie standardowe stopy zwrotu R t dla akcji, - dystrybuanta rozkładu normalnego N ;1 : d 1 d e x2 2 dx, 2 d ln t X Uwaga. Mamy zawsze 2 T t 2 T t c t t Xe T t. 5. Opcja sprzedaŝy (put) to papier wartościowy dający prawo (ale nie obowiązek) do zakupu bazowego papieru wartościowego (towaru) po ustalonej cenie X w ustalonym momencie T (opcja europejska), albo do ustalonego momentu T (opcja amerykańska). Wartość teoretyczna p T - dla europejskiej, P T - dla amerykańskiej opcji sprzedaŝy w momencie T : p T P T max X T,..
1 8 6 4 2 W chwili t T : portfel A : opcja kupna (c t ) plus kwota dająca X po czasie T t (Xe T t ) portfel B : opcja sprzedaŝy (p t ) plus papier bazowy ( t ) 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 w chwili T : portfele A i B mają wartości: Wartość teoretyczna p t dla europejskiej opcji sprzedaŝy akcji w momencie t T spełnia warunek parytetu kupno - sprzedaŝ : stąd p t t c t Xe T t, p t t d 1 Xe T t d T t 1 t d Xe T t d T t. T gdy T X V A T X gdy T X T gdy T X V B T X gdy T X V A T V B T V A t V B t c t Xe T t p t t Wyjaśnienie warunku: C t c t Wyjaśnienie warunku: p t t c t Xe T t, W chwili t T : portfel A : opcja kupna (C t ) plus kwota dająca X po czasie T t (Xe T t )
w chwili T : portfele A w przypadku realizacji opcji w momencie t ma w momencie t wartość: V A r t t X Xe T t a w przypadku niezrealizowania opcji W chwili T : V A n t C t Xe T t czyli więcej niŝ maksymalny zysk X, w przypadku przetrzymania opcji do momentu T. Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zaleŝności od momentu t oraz ceny (przy X 1, T 1, dla. 9 oraz dla : V A r T T Xe T t X T a w przypadku niezrealizowania opcji V A n t C T X max T X, X max T, X. Uwaga. Dla amerykańskiej opcji sprzedaŝy akcji moŝna podać tylko oszacowanie wartości teoretycznej P t : P t t C t Xe T t P t C t Xe T t t. 1.8 15.6 t 1.4 5.2-5 -1 5 1 15 2 f t 1 exp. 9 1 t f t Jeśli t X Xe T t, to wykonanie opcji amerykańskiej w momencie t T daje w momencie T wartość X t e T t X, Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zaleŝności od ceny (przy
X 1, T 1,. 9 dla t. 25, t. 5 t. 75, t. 95 : 1 8 6 4 15 1 5 2-2.2.4.6.8 1 t 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2-5 -1 Wartość teoretyczna futures (dla pozycji długiej) w zaleŝności od momentu t (przy X 1, T 1,. 9, dla 75, 1, 125, 15 : Cena teoretyczna opcji call w zaleŝności od momentu t oraz ceny (przy X 1, T 1, dla. 3,. 4 oraz dla, : 1 1.8.6 t 5.4.2 5 1 15 2
Cena teoretyczna opcji call w zaleŝności od ceny (przy X 1, T 1,. 3,. 4 dla t. 25, t. 5 t. 75, t. 95 : 7 6 5 4 12 1 8 3 2 1.2.4.6.8 1 t 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Cena teoretyczna opcji call w zaleŝności od momentu t (przy X 1, T 1,. 3,. 4 dla 75, 1, 125, 15 :