Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2"

Katarzyna Turek
9 lat temu
Przeglądów:

1 Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Składki netto w ubezpieczeniach Ŝyciowych Zakład ubezpieczeniowy pobiera za ubezpieczenia składkę brutto, składającą się ze składki netto oraz kosztów ustawowych (nadzór, PIU, KG PSP), administracyjnych, akwizycji, zysku (skóry, fury i komóry),... Wartość bieŝąca składki netto to wartość oczekiwana bieŝącej wartości wypłacanych świadczeń. Do wyliczania wartości bieŝącej przyjmuje się ustaloną roczną stopę procentową i, odpowiadający jej czynnik dyskontujący to v i Składki jednorazowe. Bezterminowe ubezpieczenie na Ŝycie - kwota ( paczka C złotych) jest wypłacana na koniec roku, w którym następuje zgon ubezpieczonego (w wieku x. Jej wartość bieŝąca jest zmienną losową Z x v K x (funkcją zmiennej losowej K x ) i ma rozkład prawdopodobieństwa PrZ x v k PrK x k k p x q xk jednorazowa składka netto A x A x Ev K x v k k p x q xk v k k k l x v k d xk Uwaga: gdy i 0, tj. v, to A x. 2. Terminowe ubezpieczenie na Ŝycie - kwota ( paczka C złotych) jest wypłacana na koniec roku, w którym następuje zgon ubezpieczonego (w wieku x), ale tylko wtedy, gdy zgon nastąpi w ciągu n lat. Jej wartość bieŝąca jest zmienną losową

.. Wartość bieŝąca składki netto to wartość oczekiwana bieŝącej wartości wypłacanych świadczeń.

2 Z x v K x jeśli K x 0,, 2,..., n 0 jeśli K x n, n, n 2,... jednorazowa składka netto A x:n n EZ x A x:n n v k k p x q xk v k k k l n x v k d xk Uwaga: gdy i 0, tj. v, to A x:n n. 3. Ubezpieczenie na doŝycie - kwota ( paczka C złotych) jest wypłacana na koniec n tego roku od zawarcia umowy, jeśli ubezpieczony Ŝyje Jej wartość bieŝąca jest zmienną losową Z x 0 jeśli K x 0,, 2,..., n v n jeśli K x n, n, n 2,... jednorazowa składka netto A x:n A x:n EZ x v n n p x v n n Uwaga: gdy i 0, tj. v, to A x:n n. 3. Ubezpieczenie na Ŝycie i doŝycie - kwota ( paczka C złotych) jest wypłacana na koniec roku, w którym następuje zgon ubezpieczonego (w wieku x), jeśli zgon następuje w ciągu n lat, albo na koniec n tego roku od zawarcia umowy, jeśli ubezpieczony Ŝyje. Jej wartość bieŝąca jest zmienną losową Z x v K x jeśli K x 0,, 2,..., n v n jeśli K x n, n, n 2,... jednorazowa składka netto A x:n A x:n EZ x A x:n A x:n n v k d xk v n n Uwaga: gdy i 0, tj. v, to A x:n.

.., n v n jeśli K x n, n, n 2,... jednorazowa składka netto A x:n A x:n EZ x v n n p x v n n Uwaga: gdy i 0, tj. v, to A x:n n. 3.

3 RentyŜyciowe. Renta bezterminowa - zmienna losowa Y x ä Kx vv 2 v 3... v K x opisuje wartość bieŝącą renty rocznej w wysokości, płatnej co roku z góry przez cały czasŝycia (K x pełnych lat) osoby w wieku x. Zmienna Y x ma rozkład PrY x ä k PrK x k k p x q xk ä k vv 2...v k v k vk v dla k 0,, 2,... Wartość oczekiwana ä x zmiennej Y x ä Kx więc ä x Eä Kx ä k k p x q xk Zmienną losową Y x moŝna zapisać równieŝ jako Y x v k Kx k, Kx k gdy K x k 0 gdy K x k, a jej wartość oczekiwaną wyrazić wzorem ä x v k k p x A x:k tzn. jako sumę jednorazowych składek netto w ubezpieczeniach na doŝycie. v k k 2. Renta terminowa - wartość bieŝąca płatnej co roku góry przez czasŝycia, ale nie dłuŝej niŝ przez n lat, renty rocznej w kwocie, jest zmienną losową Y x ä Kx dla K x 0,, 2,..., n ä n dla K x n, n, n 2,... Jej wartość oczekiwana moŝe być wyraŝona wzorem ä x:n EY x lub wzorem ä k k p x q xk ä n n p x

4 n ä x:n v k k p x l x n v k k Składki roczne w ubezpieczeniachŝyciowych. Bezterminowe ubezpieczenie na Ŝycie - płatna co roku z góry przez osobę w wieku x roczna składka netto P x powinna mieć oczekiwaną wartość bieŝącą równą oczekiwanej wartości składki jednorazowej, tzn. powinna spełniać równanie EP x ä Kx A x Ev K x z którego otrzymujemy czyli P x Eä Kx P x ä x A x P x A x ä x v k d xk v k k W przypadku składki płatnej z dołu mamy więc a Kx vv 2 v 3... v K x ä Kx a x ä x P x A x a x A x ä x 2. Terminowe ubezpieczenie na Ŝycie - płatna z góry roczna składka netto P x:n powinna spełniać równanie E P x:n Y x A x:n Y x ä Kx dla K x 0,, 2,..., n ä n dla K x n, n, n 2,... P x:n A n x:n v k d xk ä n x:n v k k 3. Ubezpieczenie na doŝycie - płatna z góry roczna składka netto P x:n w ubezpieczeniu na doŝycie n lat powinna spełniać równanie E P x:n Y x A x:n

powinna spełniać równanie EP x ä Kx A x Ev K x z którego otrzymujemy czyli P x Eä Kx P x ä x A x P x A x ä x v k d xk v k k W przypadku składki płatnej z dołu mamy więc a Kx vv 2 v 3.

5 P x:n A x:n ä x:n v n n n v k k 3. Ubezpieczenie na Ŝycie i doŝycie - płatna z góry roczna składka netto P x:n w ubezpieczeniu mieszanym na Ŝycie i doŝycie n lat powinna spełniać równanie EP x:n Y x A x:n P x:n A x:n P ä x:n P x:n x:n Uwaga. W obliczaniu składek korzysta się z utworzonych na podstawie tablic trwania Ŝycia tzw. funkcji komutacyjnych. Np. definiując v x N x 2... ä x N x ; a x N x ; ä x:n N x N xn A x M x A x:n M x M xn A x:n n A x:n M x M xn n mamy: C x v x d x M x C x C x C x2...

lat powinna spełniać równanie EP x:n Y x A x:n P x:n A x:n P ä x:n P x:n x:n Uwaga.

Podobne dokumenty

3 Ubezpieczenia na życie

3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając